47对勾函数的性质及应用

拓展：斜勾函数
类型
定义域
值域
奇偶性
奇函数
奇函数
单调性
在 上单调递增
在 上单调递减
②当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 。
综上所述，函数 的值域为 。
【题型7】函数 。
此类函数可变形为标准形式： .
【例12】函数 的最小值为。
【答案】
【解析】由题可知，函数 ，令 ，则 ，显然在 上单调递增，故 ，此时 ，故函数 的最小值为 。
【例13】函数 的值域为.
【答案】
【解析】由题可知，函数 ，令 ，故 ，故函数 的值域为 。
类型
图像
定义域
值域
奇偶性
奇函数
奇函数
单调递增区间
单调递减区间
最值
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
【例4】函数 的在区间 上的值域为
【答案】
【解析】 ， ， 函数 在 上单调递增， ，当且仅当 时取等号，即 。
【例5】如 ， ，则实数 的取值范围是
【答案】
【解析】由题可知， ，令 ， ， ，
在 上单调递减， ，即 ， ，故 ，得 。
【例1】函数 的值域为
【答案】
【解析】显然函数的定义域为 ， 。
①当 时, , ,当且仅当 ，即 取等号;
②当 时, , ,当且仅当 ，即 取等号;
综上所述，函数 的值域为 。
【例2】函数 的值域为
【答案】
【解析】易知函数 的定义域为 ，
。
①当 时, , ,当且仅当 ，即 时取等号;
②当 时, , ,当且仅当 ，即 时取等号;
【题型4】函数 .
可变形为 ，则 可由对勾函数 左右平移，上下平移得到。
【例6】已知 ，则函数 的最小值为。
【答案】
【解析】由题可知， ， ， ， ，当且仅当 ，即 时取等号 函数 的最小值为 。
【例7】已知 ，则函数 的最大值为。
【答案】
【解析】由题可知， ， ， ，故 ，当且仅当 ，即 时取等号，故函数 的最大值为 。
【题型5】函数
这类型题目，可以令 ，得 ，代入原函数，将其转化为关于 的函数求解。
【例8】函数 在区间 上的最大值为。
【解析】
【解析】由题可知，令 ，则 ， ，令 ，故 ，当且仅当 ，即 ，即 时取等号。 函数 在区间 上的最大值 。
【例9】函数 在区间 上的最大值。
【答案】
【解析】由题可知， ， ，令 ， 则 ，即
综上所述，函数 的值域为 。
【题型2】函数 。
此类函数可变形为 ，可由对勾函数 上下平移得到。
【例3】函数 的值域为
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
①当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号;
②当 时， ,当且仅当 ，即 时取等号;
综上所述，函数 的值域为 .
【题型】函数 。
此类函数定义域为 ，且可变形为 (当 时单调考虑。)
，当且仅当 ，即 取等号，故函数 在区间 上的最大值为 。
【题型6】函数 .
此类函数可变形为对勾函数的标准形式，即 。
【例10】函数 的最小值为。
【答案】
【解析】由题可知，函数 的定义域为 ，
，当且仅当 ，即 时取等号。
【例11】函数 的值域为。
【答案】
【解析】由题可知，函数 的定义域为 ，
①当 时， ;
专题47、对勾函数的性质及应用
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，故称“对勾函数”，也称“耐克函数”或“双勾函数”。对勾函数的图像与性质如下表：
解析式
图像
定义域
值域
特殊点
奇偶性
奇函数
奇函数
奇函数
增区间
减区间
【题型1】函数
此类函数可变形为 ，则 可由对勾函数 左右平移，上下平移得到