2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第四章 4.3 第2课时 简单的三角恒等变换

第2课时 简单的三角恒等变换三角函数式的化简1．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ .答案 12cos 2x解析 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .2．当π<α<2π时，化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α＝ .答案 cos α解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α2<0.∴原式＝－cos α2cos α－cosα2＝cos α.3．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝ .答案 12解析 方法一(从“角”入手，化复角为单角) 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.方法二(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－cos 2β⎝⎛⎭⎫sin 2α＋12cos 2α ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.4．化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．三角函数的求值命题点1 给角求值例1 (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－239π＝ . 答案 －18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.(2)sin 10°1－3tan 10°＝ . 答案 14解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.命题点2 给值求值例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得 sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3 ＝45×12－35×32＝4－3310. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π<x <74π，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝ . 答案 －2875解析 ∵17π12<x <7π4，∴5π3<π4＋x <2π. 又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45， ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210. ∴sin x ＝－7210，tan x ＝7.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝2×⎝⎛⎭⎫－7210×⎝⎛⎭⎫－210＋2×⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875.命题点3 给值求角例3 已知α，β为锐角，cos α＝277，sin β＝3143，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .答案 17 π3解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17.又因为α，β为锐角，sin β＝3143， 所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角． 跟踪训练 (1)cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . 答案268解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.1．计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22 B.12 C.32 D ．－22答案 A 解析1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°)＝sin 210°2sin 210°＝22.2．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( ) A ．－78 B ．－14 C.14 D.78答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α等于( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．0答案 D解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，可得sin α＝－cos α， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0. 4．4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin 100°－sin 40°cos 40°＝2sin (60°＋40°)－sin 40°cos 40°＝2×32cos 40°＋2×12sin 40°－sin 40°cos 40°＝ 3.故选C.5．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案 D解析tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析 因为tan α＝1＋sin βcos β，所以sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，又α，β均为锐角，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B. 7．计算：3－sin 70°2－cos 210°＝ .答案 2解析 3－sin 70°2－cos 210°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2.8．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于 ． 答案 34解析 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又因为cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34.9．化简：⎝⎛⎭⎫3cos 10°－1sin 170°·cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 －4 3解析 原式＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°·1＋tan 15°1－tan 15°＝2sin (10°－30°)12sin 20°·tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15° ＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.10．(2020·广西百色检测)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝ .答案 －45解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12， sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－13＋21＋23＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π2， 所以α＋β＝5π4. 12．已知0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解 (1)方法一 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， 所以cos β＋sin β＝23， 所以1＋sin 2β＝29，所以sin 2β＝－79. 方法二 sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)因为0<α<π2<β<π， 所以π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2. 所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315.13．若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α2等于( ) A.32 B.34C.233D.433答案 A解析 由已知得cos α＝1－32sin α. 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋⎝⎛⎭⎫1－32sin α2＝1， 整理得74sin 2α－3sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝437. 因为α∈(0，π)，所以sin α＝437，故cos α＝1－32×437＝17. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝4371＋17＝32. 14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β ＝3314，0<β<α<π2，则β＝ . 答案 π3解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 又cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0<β<π2，故β＝π3.15．已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝12，sin(α＋β)＝12，则sin(3α－β)等于( ) A ．－12B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，所以sin(α－β)＝－32，cos(α＋β)＝－32， 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝－32×⎝⎛⎭⎫－32＋12×12＝1. 因为α为锐角，所以2α＝π2， 所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝12. 16．已知0<α<π2<β<π，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12. (1)求cos α的值； (2)证明：sin β>513. (1)解 ∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得cos α＝35. (2)证明 由已知得π2<α＋β<3π2. ∵sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213. 由(1)可得sin α＝45， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×45＝6365>513.。