方向-晶体结构-1小节
三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向
三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向1.引言1.1 概述晶体是具有长程有序排列的原子、离子或分子的固体物质。
晶体的结构是由最密排列的晶面和晶向构成的。
最密排晶面是指在晶体结构中，原子、离子或分子最紧密地靠近的面，而最密排晶向则指的是在晶体中最紧密地排列的方向。
本文将分析三种不同的晶体结构，探讨它们各自的最密排晶面和最密排晶向。
通过深入研究这些结构的排列方式，可以更好地理解晶体的性质和行为。
第一种晶体结构是立方晶系，也是最简单的晶体结构之一。
它的最密排晶面是(111)晶面，最密排晶向则是[110]晶向。
这些晶面和晶向在晶体中具有紧密的排列，使晶体的结构呈现出高度的对称性。
第二种晶体结构是六方晶系，它相对于立方晶系而言稍复杂一些。
在六方晶系中，最密排晶面是(0001)晶面，最密排晶向是[10-10]晶向。
与立方晶系不同，六方晶系具有六方对称性，呈现出更复杂的晶体结构。
第三种晶体结构是四方晶系，它也是一种常见的晶体结构。
在四方晶系中，最密排晶面是(100)晶面，最密排晶向是[110]晶向。
四方晶系的晶体结构与立方晶系相似，但具有更多的对称性和排列方式。
通过对这三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向进行研究，我们可以更好地理解晶体的基本结构和性质。
这对于材料科学、凝聚态物理和相关领域的研究具有重要意义，同时也有助于开发新材料和改进现有材料的性能。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面的介绍：1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分概述了晶体结构和最密排晶面、最密排晶向的研究背景和重要性，并提出了本文研究的目的和意义。
正文部分分为三个小节，分别介绍了三种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向。
每个小节将首先介绍该种晶体结构的一般特点和常见应用，然后详细讨论最密排晶面和最密排晶向的确定方法和规律，并给出具体的实例和数据进行说明。
结论部分对于每种晶体结构的最密排晶面和最密排晶向进行总结和回顾，并指出各种晶体结构最密排晶面和最密排晶向的综合特点和应用前景。
第三讲 晶面和晶向
h1 : h2 : h3
1 1 1 : : r s t
h1 : h2 : h3
1 1 1 : : r s t
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。 任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。 可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
O a1 cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
1 1 1 又 cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r s t
a 1 n h1d a 2 n h2d a 3 n h3d
a cosa , n h d a cosa , n h d
a1 cos a 1 , n h1d
2 2 2 3 3 3
X n d
A3
N
n
A2
a 3 d
a2
A1
取 a1 , a2 , a3为天然长度单位得：
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 解： OB i ,
a 例1：如图在立方体中， i , b j, c k A
OE i j k ,
c
b
C
BE OE OB j k
O
D
a
B
晶列BE的晶列指数为： [011]
求AD的晶列指数。
E A
c
b
OA k ,
1 AD OD OA i j k 2
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
14种晶体结构
14种晶体结构晶体是由原子、分子或福隔离子按照一定的空间规则排列而成的有序固体。
晶体结构是指晶体中原子、离子或分子排列的规则和顺序。
在固体物质中，晶体结构的种类有很多种，其中比较常见的有以下14种：1. 立方晶体结构：最简单的晶体结构之一，具有三个等长的边和六个等角，包括简单立方、体心立方和面心立方三种类型。
2. 六方晶体结构：其晶胞的基本结构是六方密堆，其中最典型的就是六方晶体和螺旋晶体。
3. 正交晶体结构：晶胞具有三个不相互垂直的晶轴，分别被称为a、b 和c 轴，是最常见的晶体结构之一。
4. 单斜晶体结构：晶胞具有两个不相互垂直的晶轴，是晶体结构中的一种。
5. 三方晶体结构：具有三个相等的轴，夹角为60度，最常见的晶体结构之一是石英。
6. 菱晶体结构：晶胞内部有四面体结构，是一种简单的晶体结构。
7. 钙钛矿晶体结构：一种具有钙钛矿结构的晶体，包括钙钛矿结构和螺旋钙钛矿结构。
8. 蜗牛晶体结构：晶胞的形状像一只蜗牛的壳，是晶体结构中的一种。
9. 立方密排晶体结构：晶胞的结构是立方密排，是晶体结构中的一种。
10. 体心立方晶体结构：晶体结构的晶胞中有一个原子位于晶体的中心，是晶体结构中的一种。
11. 面心立方晶体结构：晶体结构的晶胞的各个面的中心有一个原子，是晶体结构中的一种。
12. 钻石晶体结构：晶体结构的晶胞构成了一种钻石结构，是晶体结构中的一种。
13. 银晶体结构：晶体结构的晶胞构成了一种银结构，是晶体结构中的一种。
14. 锶钛矿晶体结构：晶体结构的晶胞构成了一种锶钛矿结构，是晶体结构中的一种。
晶体结构的种类繁多，每种晶体结构都有其独特的结构特点和性质，对晶体的物理和化学性质有着重要的影响。
研究晶体结构不仅可以帮助我们更好地了解晶体的构成和性质，还有助于我们在材料科学、物理化学等领域的应用和研究。
因此，对晶体结构的研究具有重要的科学意义和应用价值。
晶体结构的类型分类
晶体结构的类型分类晶体是由原子、离子或分子按照一定的规律排列而成的固体物质，其结构具有高度的有序性和周期性。
根据晶体内部原子、离子或分子的排列方式和结构特征，可以将晶体结构分为几种不同的类型。
下面将介绍几种常见的晶体结构类型分类。
1. 根据晶体的周期性分为：- 长程有序晶体：具有长程有序性，即晶体中原子、离子或分子的排列呈现出明显的周期性，如立方晶系、四方晶系、六方晶系等。
- 短程有序晶体：具有短程有序性，即晶体中只有一部分原子、离子或分子的排列呈现出周期性，而整体结构并不呈现规则的周期性。
2. 根据晶体的原子、离子或分子排列方式分为：- 离子晶体：由正负离子按照一定比例排列而成，如氯化钠晶体。
- 共价晶体：由共价键连接的原子或分子构成，如金刚石晶体。
- 金属晶体：由金属原子通过金属键连接而成，如铜晶体。
- 分子晶体：由分子之间通过范德华力或氢键等相互作用力连接而成，如冰晶体。
3. 根据晶体的结构特征分为：- 离子晶体：具有高度的电荷平衡，通常硬度较大，熔点较高，易溶于水。
- 共价晶体：具有坚硬的结构，通常硬度很大，熔点也很高。
- 金属晶体：具有电子云海结构，通常具有良好的导电性和热导性。
- 分子晶体：分子之间的相互作用力较弱，通常易溶于有机溶剂，熔点较低。
4. 根据晶体的晶体系统分类：- 立方晶系：包括立方晶体、体心立方晶体、面心立方晶体。
- 四方晶系：包括四方晶体。
- 六方晶系：包括六方晶体。
- 斜方晶系：包括斜方晶体。
- 单斜晶系：包括单斜晶体。
- 单轴晶系：包括单轴晶体。
总的来说，晶体结构的类型分类是根据晶体内部原子、离子或分子的排列方式、结构特征以及晶体系统等因素进行划分的。
不同类型的晶体结构具有不同的性质和特点，对于研究物质的性质和应用具有重要意义。
通过对晶体结构的分类和研究，可以更深入地了解物质的结构和性质，为材料科学和化学领域的发展提供重要参考。
L2-晶体结构与对称性2PPT课件
许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。
.
8
4、六角密积结构
其结构图见P343习题10的图。 由化学键的取向不同可知，体内原子与六方形 顶角的原子是不等价的。所以六角密积是有两个六 角布喇菲晶格套构而成。六角形底面的边长为a，晶 胞高度为c。
.
9
固体物理学原胞 120见0角下，图a。3 沿原垂胞直基密矢排a1面、的a方2 在向密。排基矢面表内达，式互见成 P342第五题。
晶体。
.
11
晶向:
同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所 以一族晶列的特点是晶列的取向。晶列的取向称 为晶向。
晶向的表示法
对应于一个简约格矢量
R l1 a 1 l2 a 2 l3 a 3
(
l1
、l 2
、l 3
为互质整数）
晶向记为 [ l1 ，l 2 ，l 3 ]。
[ l1 ，l 2 ，l 3 ] 称为晶列指数。
1、氯化钠结构 由两个面心立方格子套构而成。 具有氯化钠结构的化合物有： LiF、LiCl、NaF、CaO等。
.
3
2、氯化铯结构
由两个简单立方格子套构而成。
具有氯化铯结构的化合物有： CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。
.
4
3、金刚石结构 金刚石由碳原子组成，其晶胞见P19图1-13。
h
于是 , (r Rl ) ( K h )eiK h r eiK h Rl
h
(r Rl ) (r )要求 eiK h Rl 1
常用密勒指数表示不同的晶面系。
.
16
密勒指数的确定
选一格点为原点，以原胞基矢a1、a2、a3 为轴线；
由于所有格点都在晶面系上，所以必然有一晶面通 过原点，其它晶面均匀切割各轴；
晶体结构总结
晶体结构总结简介无机化学中，晶体结构是研究物质的有序排列方式和性质的重要方面。
晶体结构的研究对于理解和预测物质的物理、化学性质具有重要意义。
本文将对晶体结构的基本概念、分类和研究方法进行总结。
晶体结构的基本概念晶体是由原子、离子或分子等构成的周期性有序排列的固体。
晶体结构是指晶体中原子或离子的有序排列方式，决定了物质的物理、化学性质。
晶体结构的基本概念包括晶胞、晶格和晶体面。
晶胞是指晶体中最小的重复单元，可以看作是一个几何体，它的外形和大小由晶体的结构决定。
晶格是晶体中原子或离子的有序排列方式，可以看作是晶体中的虚拟网格。
晶格中的点被称为胞内原子或离子。
晶体面则是晶胞的界面，由一组晶胞面构成。
晶体结构的分类根据晶胞的对称性，晶体结构可以分为离散晶体和连续晶体。
离散晶体是指晶胞中只有少数几个原子或离子，它们之间通过化学键或相互作用力保持结合。
离散晶体常见的结构类型包括离子晶体、共价晶体和金属晶体。
连续晶体是指晶胞中包含大量的原子、离子或分子，它们之间通过一系列规则的对称操作排列。
连续晶体常见的结构类型包括简单晶格、面心立方晶格和体心立方晶格等。
晶体结构的研究方法研究晶体结构的方法主要包括晶体衍射和晶体结构分析。
晶体衍射是通过将射线照射到晶体上，测量从晶体中射出的衍射波的方向和强度来研究晶体结构。
常用的晶体衍射方法包括X射线衍射、中子衍射和电子衍射等。
晶体结构分析是利用实验数据和计算方法确定晶体的原子或离子排列方式。
常用的晶体结构分析方法包括X射线单晶衍射、粉末衍射和电子显微镜等。
结论晶体结构是无机化学中的重要研究领域，对于理解和预测物质的性质至关重要。
通过研究晶体结构，人们可以深入揭示物质中原子、离子或分子的排列方式，从而为材料科学、催化剂设计等领域提供基础的理论支持。
参考文献1. 王道，无机化学基础，化学工业出版社，2010。
2. 高清榜，晶体学导论，科学出版社，2012。
3. 晶体结构与理论组，无机化学实验，化学工业出版社，2015。
金属热处理教案
F：小结
G：布置作业： 9、10、11
第十一、十二教案
A：课题：金属的力学性能
B、课型：新课
C、教学目的与要求
1、了解维氏硬度测试原理、表示方法。
2、掌握冲击韧性的测定方法。
3、了解疲劳的概念、破坏的特征及疲劳曲线和疲劳极限。
D、教学重点与难点：
1、教学重点冲击韧性的测定方法。
2、教学难点洛氏、维氏硬度表示方法。
3、强度指标：
（1）屈服点：
在拉伸试验过程中，载荷不增加（保持恒定），试样仍能继续伸长时的应力称为屈服点。 用符号σs表示 ，计算公式：σs＝Fs/So
对于无明显屈服现象的金属材料可用规定残余伸长应力表示，
计算公式：σ0．2＝F0．2/So
屈服点σs和规定残余伸长应力σ0．2都是衡量金属材料塑性变形抗力的指标。
例、有一直径dO＝10mm，lo＝100mm的低碳钢试样，拉伸验时测得FS＝21KN，Fb＝29KN，d1＝5．65mm，l1＝138mm，求：σs、σb、δ、ψ。
解：（1）计算SO，S1
S0＝πd02/4 ＝3．14×102/4＝78．5mm2
S1¬＝πd12/4 ＝3．14×5．652/4＝25mm2
③交变载荷 ：是指大小、方向或大小和方向随时间发生周期性变化析载荷。
按载荷作用形式分：
拉伸载荷、压缩载荷、弯曲载荷、剪切载荷和扭转载荷等。如：P3图。
三、变形的概念及分类
金属材料受到载荷作用而产生的几何形式和尺寸的变化称为变形。
变形分为：弹性变形和塑性变形两种
四、应力、内力
内力：金属材料受外力作用时，为保持其不变形，在材料内部作用作与外力相对抗的力，称为内力。
应力：单位面积上的内力称为应力。
晶体学基础知识点小节
晶体学基础知识点⼩节第⼀章晶体与⾮晶体★相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。
）★空间格⼦的要素：结点、⾏列、⾯⽹★晶体的基本性质：⾃限性：晶体能够⾃发地⽣长成规则的⼏何多⾯体形态。
均⼀性：同⼀晶体的不同部分物理化学性质完全相同。
晶体是绝对均⼀性，⾮晶体是统计的、平均近似均⼀性。
异向性：同⼀晶体不同⽅向具有不同的物理性质。
例如：蓝晶⽯的不同⽅向上硬度不同。
对称性：同⼀晶体中，晶体形态相同的⼏个部分（或物理性质相同的⼏个部分）有规律地重复出现。
最⼩内能性：晶体与同种物质的⾮晶体相⽐，内能最⼩。
稳定性：晶体⽐⾮晶体稳定。
■本章重点总结：本章包括3组重要的基本概念：1）晶体、格⼦构造、空间格⼦、相当点；它们之间的关系。
2）结点、⾏列、⾯⽹、平⾏六⾯体;结点间距、⾯⽹间距与⾯⽹密度的关系.3）晶体的基本性质：⾃限性、均⼀性、异向性、对称性、最⼩内能、稳定性，并解释为什么。
第⼆章晶体⽣长简介2.1晶体形成的⽅式★液-固结晶过程：⑴溶液结晶：①降温法②蒸发溶剂法③沉淀反应法⑵熔融结晶：①熔融提拉②⼲锅沉降③激光熔铸④区域熔融★固-固结晶过程：①同质多相转变②晶界迁移结晶③固相反应结晶④重结晶⑤脱玻化2.2晶核的形成思考：怎么理解在晶核很⼩时表⾯能⼤于体⾃由能，⽽当晶核长⼤后表⾯能⼩于体⾃由能？因为成核过程有⼀个势垒：能越过这个势垒的就可以进⾏晶体⽣长了，否则不⾏。
★均匀成核：在体系内任何部位成核率是相等的。
★⾮均匀成核：在体系的某些部位（杂质、容器壁）的成核率⾼于另⼀些部位。
思考：为什么在杂质、容器壁上容易成核？为什么⼈⼯合成晶体要放籽晶？2.3晶体⽣长★层⽣长理论模型（科塞尔理论模型）层⽣长理论的中⼼思想是：晶体⽣长过程是晶⾯层层外推的过程。
★螺旋⽣长理论模型（BCF理论模型）思考：这两个模型有什么联系与区别？联系：都是层层外推⽣长；区别：⽣长新的⼀层的成核机理不同。
思考：有什么现象可证明这两个⽣长模型？环状构造、砂钟构造、晶⾯的层状阶梯、螺旋纹2.4晶⾯发育规律★★布拉维法则（law of Bravais）:晶体上的实际晶⾯往往平⾏于⾯⽹密度⼤的⾯⽹。
晶体学基础知识点小节知识讲解
第一章晶体与非晶体★相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。
）★空间格子的要素：结点、行列、面网★晶体的基本性质：自限性: 晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。
均一性:同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。
晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。
异向性：同一晶体不同方向具有不同的物理性质。
例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。
对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。
最小内能性：晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。
稳定性：晶体比非晶体稳定。
■本章重点总结：本章包括3组重要的基本概念:1) 晶体、格子构造、空间格子、相当点；它们之间的关系。
2) 结点、行列、面网、平行六面体; 结点间距、面网间距与面网密度的关系.3) 晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性，并解释为什么。
第二章晶体生长简介2.1 晶体形成的方式★液-固结晶过程:⑴溶液结晶: ①降温法②蒸发溶剂法③沉淀反应法⑵熔融结晶: ①熔融提拉②干锅沉降③激光熔铸④区域熔融★固-固结晶过程:①同质多相转变②晶界迁移结晶③固相反应结晶④重结晶⑤脱玻化2.2 晶核的形成●思考：怎么理解在晶核很小时表面能大于体自由能，而当晶核长大后表面能小于体自由能？因为成核过程有一个势垒：能越过这个势垒的就可以进行晶体生长了，否则不行。
★均匀成核：在体系内任何部位成核率是相等的。
★非均匀成核：在体系的某些部位（杂质、容器壁）的成核率高于另一些部位。
●思考：为什么在杂质、容器壁上容易成核？为什么人工合成晶体要放籽晶？2.3 晶体生长★层生长理论模型（科塞尔理论模型）层生长理论的中心思想是：晶体生长过程是晶面层层外推的过程。
★螺旋生长理论模型（BCF理论模型）●思考：这两个模型有什么联系与区别？联系：都是层层外推生长；区别：生长新的一层的成核机理不同。
●思考：有什么现象可证明这两个生长模型？环状构造、砂钟构造、晶面的层状阶梯、螺旋纹2.4 晶面发育规律★★布拉维法则(law of Bravais)：晶体上的实际晶面往往平行于面网密度大的面网。
晶体结构基本知识
下图是一个六方底心的格子，而 下图是一个六方底心的格子， 且平行C 且平行C轴有L6，但该格子不是一个 六面体；将这个八面体一分为三， 六面体；将这个八面体一分为三，形 成三个相同的斜方柱状的原始格子， 成三个相同的斜方柱状的原始格子， 且每一个都完好的体现了六方晶系的 晶格常数， 晶格常数，而且也是体积最小的平行 六面体，所以，六方晶系( 六面体，所以，六方晶系(包括三方 晶系)只有一个斜方柱状的原始格子， 晶系)只有一个斜方柱状的原始格子， 如图中粗实线所示。 如图中粗实线所示。
四方晶系－Tetrogobal 点群符号 4，－4 42，4/m，4mm -42m, 4/mmm 各符号的方位 c a a＋b
晶胞形状：
a＝b<>c α＝ β ＝γ＝90
六方晶系－Hexagonal 点群符号 6，－6 －62m，62，6/m 6mm，6/mmm 6mm 6/mmm 各符号的方位 c a 2a＋b
晶系
点群
28 23 29 m3
空间群
195 P23 196 F23 197 I23 198 P213 199I213 200 Pm-3 201 Pn-3 202 Fm-3 203 Fd-3 204 Im -3 205 Pa-3 206 Ia-3 207 P432 208 P4232 209 F432 210 F4132 211 I432 212 P4332 213 P4132 214 I4132 215 P-43m 216F -43m 217 I-43m 218P-43 n 219 F-43c 220 I-43d 221 Pm-3m 222 Pn-3n 223 Pm-3n 224Pn-3m 225 Fm-3m 226 Fm-3c 227 Fd-3m228F d-3c 229 Im-3m 230 Ia-3d
第一章晶体结构王俊2nd
b
c
a
b
c
b
a
注：对称操作 群元素参见方 可编《群论及 其在物理和化 学 中 的 应 用》，重庆大 学出版社， 1987
小结：晶系与布喇菲格子
1.三斜晶系: a ≠ b ≠ c ,α ≠ β ≠ γ 2.单斜晶系: α = γ = 90 0 ≠ β 3.三角晶系: 4.正交晶系: 5.四角系:
§1.4 晶体结构的数学描述与晶系举例
6.六角晶系：
a=b≠c
c
β
γ = 120
0
α = β = 90
0
α γ
六角(11)
a
b
7.立方晶系：
a=b=c
α = β = γ = 900
简立方(12)
体心立方(13)
面心立方(14)
a a
六方
立方
a
三方
c
a a
单斜
四方
c
a a a
a a a
三斜 正交
c
三角(4)
§1.4 晶体结构的数学描述与晶系举例
4.正交晶系：
a ≠ b ≠ c,
α = β = γ = 90 0
简单正交(5)
底心正交(6)
c
β α γ
a
b
体心正交(7)
面心正交(8)
5.四方系：(正方或四角 晶系) a = b ≠ c
α = β = γ = 90 0
简单四角(9) 体心四角(10)
晶体结构
正格
倒格 1.
1.Rn = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
2.与晶体中原子位置 相对应； 3.是真实空间中点的周 期性排列； 4.线度量纲为[长度]
金属的晶体结构知识点总结
金属的晶体结构知识点总结一、晶体结构的基本概念1. 晶体及其性质晶体是由原子、离子或分子按一定的顺序排列而成的，具有周期性结构的固体。
晶体内部的原子、离子或分子按照规则排列，形成了晶体的结晶面、晶格点、结晶方位等。
晶体具有明显的外部形状和内部结构，具有特定的物理、化学性质。
晶体根据其结构的不同可以分为同质晶体和异质晶体。
2. 晶体结构晶体结构是指晶体内部的原子、离子或分子的排列方式和规律。
根据晶体内部原子、离子或分子的排列方式的不同，晶体结构可以分为点阵型、面心立方型、体心立方型等。
3. 晶体的组成晶体的组成通常是由晶格单元和晶格点构成的。
晶格单元是晶体的最小重复单元，晶格点是晶体内部原子、离子或分子所占据的位置。
4. 晶体的晶格晶格是晶体内部原子、离子或分子排列形成的几何形状。
晶格可以分为点阵型、面心立方型、体心立方型等。
5. 晶体的晶系晶体根据晶体中晶格的对称性可将其分为七个晶系，包括三角晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱形晶系、正菱形晶系和立方晶系。
6. 晶体的晶向和晶面晶体中的晶向和晶面是用来描述晶体内部结构的概念。
晶向是晶体内部原子排列的方向，晶面是晶体内部原子排列的平面。
7. 晶格常数晶格常数是用来描述晶体晶格尺寸大小的物理量。
晶格常数通常表示为a、b、c等，表示晶体中晶格点之间的距离。
二、金属的晶体结构1. 金属的结晶特点金属是一类具有典型金属性质的固体物质，具有较好的导电性、热导性、延展性和塑性等。
金属的晶体结构对其性质有着显著的影响。
2. 金属的晶体结构类型根据金属晶体内部原子排列的方式和规律，金属的晶体结构可分为面心立方结构、体心立方结构和密堆积结构等。
3. 面心立方结构（FCC）面心立方结构是一种典型的金属晶体结构类型，其中晶格点位于立方体的六个面的中心和顶点。
面心立方结构的晶体具有较好的密度和变形性能，常见于铜、铝、银、金等金属中。
4. 体心立方结构（BCC）体心立方结构是一种典型的金属晶体结构类型，其中晶格点位于立方体的顶点和中心。
第二节晶格及其平移对称性讲课文档
所谓格点的周期性阵列，就是说如果把晶体结构看作是在三维空间无限延伸的，则任 一点周围的情况的都是完全相同的。通常把这种点的周期性阵列称为布拉菲点阵或布拉
菲格子(Bravias lattice)，而点即为格点.
第32页，共73页。
布拉菲格子
钙）钛 、矿 锆结 酸构 铅是 （钛酸B a钙T）（iO、3 铌酸C）锂a类T（型iO的3 结构）。、重P钽b要Z酸的r锂O压（3电铁电晶）体等，都如是钛钙酸钛钡矿（结构。 下面以Li钛N b酸O钡3 为例来说明这种结构L iT a O 3
在立方体的顶角上是钡（Ba），体心是钛（Ti）,面心是氧（O）。 氧分成了三组，处于立方体相对面心上的两个氧为一组，三组氧（OⅠ，OⅡ ，OⅢ）周围情况各不相同。
原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面内相邻的6
个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式，称为密排面。把密排面叠 起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
要形成密堆积，只要把一层的球 心对准另一层的球隙即可。
密堆积
第11页，共73页。
Close packed structures
第二节晶格及其平移对称性
第1页，共73页。
Packing
Can pack with irregular shapes
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry） 一、 晶体结构及基元（crystal的晶体，除了在立方体的顶角位置各有一个原子以外，在 体心位置还有一个原子，体对角线的长度等于两个原子球的直径。
体心立方晶格的堆积方式
001方向 晶体 -回复
001方向晶体-回复晶体的方向：从晶体结构到应用的指引引言：晶体是凝聚态物质中最有序排列的固态物质，具有特殊的结构和性质。
晶体的方向性在化学、物理、材料科学等领域具有重要的应用价值。
本文将通过一步一步的分析，探讨晶体的方向性在晶体结构研究、晶体生长、晶体应用等方面的重要作用。
一、晶体结构与方向性晶体的结构是其方向性研究的基础，定义了晶体内部原子或分子的排列方式。
晶体结构的确定对于了解晶体性质具有重要意义。
例如，金刚石是由均匀的、由碳原子形成的晶体结构构成的，其结构中的碳原子成为了重要的结构基元。
通过研究晶体结构可以发现晶体中的周期性和对称性，进而推测出晶体的各个方向。
二、晶体生长与方向性晶体的生长是指晶体从液态或气态逐渐长大，形成完整的晶体结构的过程。
晶体生长过程中的方向性非常重要，它决定了晶体的生长速率和形态。
在生长晶体的过程中，通过选择适当的生长条件、控制晶体的生长方向，可以得到具有特殊形状和性质的晶体。
例如，硅材料的单晶管通过合适的晶体生长方法可以获得高质量、高效率的光电器件。
三、晶体在材料科学中的应用与方向性晶体在材料科学中有着广泛的应用，包括电子器件、能源材料、光学器件等领域。
这些应用的成功与否往往取决于晶体的方向性。
作为半导体材料，硅晶体具有优良的电子输运性能和光电特性，其方向性在电子器件的制造中起到了关键的作用。
此外，光学材料中的晶体也需要具备特定的方向性来实现特定的光学性能，如荧光晶体和激光晶体等。
结语：晶体的方向性在晶体结构研究、晶体生长、晶体应用等方面起到了重要的作用。
通过研究晶体的结构，可以揭示晶体的周期性和对称性，推测晶体的各个方向。
控制晶体的生长方向可以获得具有特殊形状和性质的晶体，如硅材料的单晶管。
晶体的方向性也决定了其在材料科学中的应用，如电子器件、能源材料和光学器件等。
因此，深入研究和利用晶体的方向性对于推动材料科学的发展具有重要意义。
晶体结构的对称性晶体结构的对称性
对称操作和对称元素
对称操作： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换 前不可区分（复原，重合）。 对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。 点群： 保留一点不变的对称操作群。 空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群 对称操作和平移对称操作组合而成；由 32 晶体学点群与 14 个Bravais 点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带 心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性 操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。
阵 1 0
y
y
z
z 0 1
晶体结enter)
倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Center of symmetry)，它的操作是通过一个点的倒反(反 演)，使空间点的每一个位置由坐标为(x、y， z) 变换到(- x， - y， - z)。符号为1(i)，变换矩阵为
（ dihedral
plane ）。
通过yz面的反映。
晶体结构的对称性-董成
旋转倒反轴-反轴
旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操 倒反操作，这样的复合操作称 作(n)后立刻再进行 _ 为记为
n
组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定 是对称操作。其矩阵表示为：
一般写作：晶体结构=点阵+结构基元；但准确的描述应为：
晶体结构=点阵*结构基元 ；晶体结构=结构基元@点阵
晶体结构的对称性-董成
晶胞的选取
晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞时，要尽 可能选取对称性高的初基单胞，还要兼顾尽可能反映晶体 内部结构的对称性，所以有时使用对称性较高的非初基胞惯用晶胞。 （1）符合整个空间点阵的对称性。 （2）晶轴之间相交成的直角最多。 （3）体积最小。 （4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直角。
晶体结构基本知识
a＝b＝c α＝ β ＝γ＝90
点群国际符号中描述晶体对称的三个方位(与空间点群相) 点群国际符号中描述晶体对称的三个方位(与空间点群相) 等轴 四方 六方 斜方 单斜 三斜
c c c a b c
a+b+c a a b
a+b a+b 2a+b c
思考：Fd思考：Fd-3m
P42/mnm
对称要素的方位？ 对称要素的方位？
晶系
点群
28 23 29 m3
空间群
195 P23 196 F23 197 I23 198 P213 199I213 200 Pm-3 201 Pn-3 202 Fm-3 203 Fd-3 204 Im -3 205 Pa-3 206 Ia-3 207 P432 208 P4232 209 F432 210 F4132 211 I432 212 P4332 213 P4132 214 I4132 215 P-43m 216F -43m 217 I-43m 218P-43 n 219 F-43c 220 I-43d 221 Pm-3m 222 Pn-3n 223 Pm-3n 224Pn-3m 225 Fm-3m 226 Fm-3c 227 Fd-3m228F d-3c 229 Im-3m 230 Ia-3d
四方晶系－Tetrogobal 点群符号 4，－4 42，4/m，4mm -42m, 4/mmm 各符号的方位 c a a＋b
晶胞形状：
a＝b<>c α＝ β ＝γ＝90
六方晶系－Hexagonal 点群符号 6，－6 －62m，62，6/m 6mm，6/mmm 6mm 6/mmm 各符号的方位 c a 2a＋b
空间群 143 P3 144 P31 145 P32 146 R3 147 P-3 148 R-3
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示结构基元在空间的分布，无物质内容。 • 如将空间点阵中各点阵点换上具体内容 --
结构基元(原子、离子、分子、基团等），即 得到具体的晶体结构。 • 换言之：晶体结构 = 空间点阵 + 结构基 元
点阵划分为晶格可
以有不同的方法。
布拉维（Bravais）规则
•1.所选择的平行六面体的特性应符合整个空间点阵的 特征，并应具有尽可能多的相等棱和相等角。
1 1 = 2 d hkl (1 2 cos a cos b cos g cos 2 a cos 2 b cos 2 g ) h 2 sin 2 a k 2 sin 2 b l 2 sin 2 g 2hk [ (cos a cos b cos g ) 2 2 2 a b c ab 2kl 2hl (cos b cos g cos a ) (cos g cos a cos b )] bc ac
正方 (四方) 斜方
a=b≠ c α=β=γ=90º a = b= c α=β=γ≠ 90º
简单晶胞：晶胞内仅含1个结点；复杂晶胞：晶胞内含1个以上结点。
7个晶系及其所属的布拉菲点阵（续)
晶系
菱方( 三方) 六方
点阵常数
a=b=c α=β=γ ≠ 90º a=b≠ c α=β=90º γ=120º
正方晶系
Tetragonal
Simple c a c a
Body -centered
a
a
10
a = b c, a = b = g = 90
11
立方晶系
(Cubic system)
a a a
a
a
a Body -centered
a
a
a
Simple
Face –centered
12
13
a = b = c, a = b = g = 90
2
c
a
c
a
3
a
Simple b
a
b Base-centered
a b c, b = g = 90 a
斜方晶系
Orthorhombic
c
c
b Simple
a
b
a
Base-centered Body –centered Face -centered
4
5
6
7
a b c, a = b = g = 90
晶面指数的确定
1) 确定平面与三个坐标轴上的交点。平面不能通过原点。如
果平面通过原点，应移动原点； 2) 在一组晶面中任选一个,量与坐标轴的截距； 3) 取截距－交点坐标的倒数（所以平面不能通过原点）， 如果平面与某一坐标轴平行，则交点为，倒数为零。 4) 消除分数，但不化简为最小整数。负数用上划线表示。
B： 第一步：确定交点的坐标： x 轴：1, y 轴：2/3, z 轴：2/3 第二步：取倒数：1，3/2，3/2 第三步：消除分数： 1 2 = 2 3/2 2 = 3 3/2 2 = 3 第四步：加圆括号，不加逗号， 得到：(233)
A
1,0,0
0,1,0
常见晶面的Miller指数
(312)
布拉菲 点阵
简单立方 体心立方 面心立方 简单正方 体心正方 简单斜方 体心斜方 底心斜方 面心斜方
点 阵 晶格内 符号 结点数
P I F P I P I C F 1 2 4 1 2 1 2 2 4
结点坐标
000 000,1/2 1/2 1/2 000,1/2 1/2 0,1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2 000 000,1/2 1/2 1/2 000 000,1/2 1/2 1/2 000,1/2 1/2 0 000,1/2 1/2 0,1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2
第二章 X射线衍射方向
第一节 晶体几何学基础
一、空间点阵
晶体：物质点（原子、离子、分子）在 空间周期排列构成固体物质。 空间点阵：上述几何点在空间 的分布，每个点称为阵点。 结构基元：在晶体中重复出现的 基本单元；在三维空间周期排列； 为简便,可抽象为几何点
(a)
(b)
(c)
空间点阵
晶胞
ห้องสมุดไป่ตู้ •
空间点阵仅是晶体结构的几何抽象，只表
斜方
单斜 三斜 菱方 六方
a = b = c, a = b = g 90 a = b c, a = b = 90, g = 120
二、晶体结构
• 阵点的具体化 • 单质金属元素的晶体结构是最简单的结构形态： 原子－阵点 • f.c.c. 银 铝 金 铂 铜 镍 铅 • b.c.c. 铬 钾 钠 钨 钼 钽 铌 钒 a铁 b钛 • h.c.p. 镁 锌 a铍 a钛 a钴 a锆 铼 • 菱方 铋 锑 汞 • 正方 铟 • 斜方 镓
晶面指数通常用（hkl）表示。
例
1 0,0, 3
B
0,0,1
0,0, 2 3 1 0, ,0 0, 2 ,0 2 3
A： 第一步：确定交点的坐标： x 轴：1, y 轴：1/2, z 轴：1/3 第二步：取倒数：1，2，3 第三步：消除分数。因无分数， 直接进入下一步。 第四步：加圆括号，不加逗号， 得到：(123)
•2.平行六面体中各棱之间应有尽可能多的直角关系。
•3.在满足1,2时,平行六面体的体积应最小。
根据上述原则，证明仅存在14种不同的晶格（或点阵）， 称做布拉维点阵，按对称性可分为7个晶系。
三斜晶系 triclinic
1
c
b
a g b a
a b c, a b g 90
单斜晶系 monoclinic
(211)
常见晶面的Miller指数
(110) (001) (100) (001)
(111)
a/2
a/4
原点
(100) (400) (200)
原点
440 220 110
对晶面指数的说明：
1. h,k,l三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2. 其中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行， 例如(hk0)晶面平行于c轴；(h00)平行于b,c轴。 3. (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的 晶面。 4. 晶面指数不允许有公约数，即hkl三个数互质。 5. 若某晶面与晶轴相截在负方向，则相应指数上加 一横。
晶向指数练习
四、晶带、 晶面间距与晶面夹角
• 晶带－ • 晶带轴－ • 晶带定律－ • 晶面间距－ • 晶面夹角－参附录13
晶面与 晶带
晶面间距的计算
正交（斜方）
1 h2 k 2 l 2 = 2 2 2 2 d hkl a b c
单斜
三斜
1 h2 k2 l2 2hl cos b = 2 d hkl a 2 sin 2 b b 2 c 2 sin 2 b ac sin 2 b
七个晶系的基矢
a a a Cubic c a a c c a Tetragonal b a c
b
a a a
a
a
a
a
120
a
a Trigonal
Hexagonal
a
b a g
b
a
Orthorhombic
Monoclinic
Triclinic
7个晶系及其所属的布拉菲点阵
晶系
立方
点阵常数
a=b=c α=β=γ=90º
三、 晶面与晶向
• 1. 晶面－在空间点阵中可以作出相互平行且间距相 等的一组平面，使所有结点均位于这组平面上，各 平面结点分布情况也完全相同。
意义－不同晶面的差别在于不同取向。
（注意：晶面非实在的平面，故衍射时多组晶面同时产生 衍射现象）
• 2. 晶向－在空间点阵中任意方向上连接两个以上结 点，构成相互平行的结点直线，这些直线上结点排 列规律相同。
a ≠ b≠ c α= γ = 90º ≠ β a ≠ b≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90º
布拉菲 点阵
简单菱方 简单六方
点 阵 晶格内 符号 结点数
R P 1 1
结点坐标
000 000
单斜 三斜
简单单斜 底心单斜 简单三斜
P C P
1 2 1
000 000,1/2 1/2 0 000
14
六方晶系 Hexagonal
菱方晶系 Rhombohedral
a a
8
c
a
a a
9
a a = b c, a = b = 90, g = 120
a = b = c, a = b = g 90
七个晶系的晶格参数
立方 正方 a = b = c, a = b = g = 90 a = b c, a = b = g = 90 a b c, a = b = g = 90 a b c, b = g = 90 a a b c, a b g 90
晶面与晶面间距
X 射 线 管
劳 厄 斑 点
铅 屏
晶体
底 片
晶体可看作三维 立体光栅 根据劳厄斑点的 分布可算出晶面间距 掌握晶体点阵结构
三、 晶面与晶向
3. 晶面指数：（hkl） －影响衍射斑点或条纹位置 4. 晶面族－影响衍射斑点或条纹强度
5. 晶向指数 [uvw]－<uvw>
找一条过原点的直线； 在该线上找距原点最小距离的结点，取其坐标值； 去分母，加[ ] 。
晶面夹角(其法线间的夹角）的计算
很复杂，对于等轴晶体， 有： cosΦ=(h1h2+k1k2+l1l2)/[(h12+k12+l12) (h22+k22+l22)]1/2 对于四方晶体， 有： cosΦ=c2(h1h2+k1k2)+a2l1l2/[[c2(h12+k12)+a2l12] c2(h22+k22)+a2l22)]]1/2