第7章麦克斯韦方程组

第7章 麦克斯韦方程组● 静止电荷和运动电荷都可以激发电场-库伦定律。

● 运动电荷还可以激发磁场-比萨定律。

● 变化的磁场可以激发电场-法拉第定律。

● 变化电场可以激发磁场-麦克斯韦假设。

7-1 安培环路定律与位移电流1. 对于恒定电流激发的恒定磁场，安培环路定律得到满足:I S d J l d H S l=⋅=⋅⎰⎰⎰111I S d J l d H S l=⋅=⋅⎰⎰⎰222曲面S曲面S2. 对于时变电流激发的时变磁场，安培环路定律出现矛盾I S d J l d H S l=⋅=⋅⎰⎰⎰1110222=⋅=⋅⎰⎰⎰S lS d J l d H3. 引入位移电流概念，对于时变电流激发的时变磁场，消除安培环 路定律出现的矛盾。

电流连续性定律：⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-=⋅V SdV t S d J ρ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-=⋅+⋅-22122211S S S dS t S d J S d J σ⎰⎰⋅=111S S d J I0222=⋅⎰⎰S S d J⎰⎰⎰⎰⋅=3222S S dS D dSσ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅∂∂=⋅∂∂=⋅=3312211S S S dS t DdS D t S d J I● 位移电流密度和位移电流定义：tD J D ∂∂=⎰⎰⎰⎰⋅∂∂=⋅=3222S S D D dS t DS d J I● 用位移电流表述电流连续性定律：I S d J dS t DS d J I S S S D D =⋅=⋅∂∂=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1321122D S D S S I S d J dS t DS d J I =⋅=⋅∂∂=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2312211● 无矛盾的安培环路定律I S d J l d H S l=⋅=⋅⎰⎰⎰111I I S d J l d H D S D l==⋅=⋅⎰⎰⎰224. 无论在恒定情况还是时变情况下安培环路定律都成立● 安培环路定律()()∑⎰⎰⎰+=⋅+=⋅D SD lI I S d J J l d H或⎰⎰⎰⎰⎰⋅∂∂+⋅=⋅SS l S d t D S d J l d H● 安培环路定律说明电流可以激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。

7-2 麦克斯韦方程组1. 电荷和变化的磁场可以激发电场：● 电场的高斯定理：由库仑定律得到∑⎰⎰⎰⎰⎰==⋅q dV S d D VSρ● 电场的环路定理：由库仑定律和电磁感应定律得到⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅Sl S d t B l d E● 辅助方程：由电介质的极化效应得到P E D+=0ε2. 电流（运动电荷）和变化电场可以激发磁场：● 磁场的高斯定理：由毕萨定律得到0=⋅⎰⎰SS d B● 磁场的安培环路定理：由毕萨定律和麦克斯韦位移假设得到()∑⎰⎰⎰⎰⎰+=⋅∂∂+⋅=⋅D SS l I I S d t D S d J l d H● 辅助方程：由磁介质的磁化效应得到M H B00μμ+=3. 麦克斯韦方程组的积分形式：⎰⎰⎰⎰⎰=⋅VS dV S d D ρ⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅S l S d t B l d E0=⋅⎰⎰SS d B⎰⎰⎰⎰⎰⋅∂∂+⋅=⋅SS l S d t D S d J l d HPE D +=0ε MH B 00μμ+=4. 麦克斯韦方程组的微分形式：引入数学定律⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅∇=⋅VVSdV dV D S d D ρ()⎰⎰⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅⨯∇=⋅SS l S d t B S d E l d E⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅∇=⋅VVSdV dV B S d B 0()⎰⎰⎰⎰⎰⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⨯∇=⋅S S l S d t D J S d H l d HPE D+=0ε MH B 00μμ+=麦克斯韦方程组的微分形式ρ=⋅∇DtB E ∂∂-=⨯∇0=⋅∇BtD J H ∂∂+=⨯∇PE D +=0ε MH B 00μμ+=7-3 麦克斯韦方程组与电磁场的物质性1. 电磁场对电荷作用的力密度：单位体积的电荷所受的电磁场力[]B v E f ⨯+=ρ2. 电磁场的能量密度：单位体积中的电磁场能量22121c B H D E w m ρ=⋅+⋅=3. 电磁场的能流密度：单位时间内垂直流过单位面积的电磁场能量H E S ⨯=4. 电磁场的动量密度：单位体积中电磁场的能量5. 根据麦克斯韦方程组，可证明电磁场与电荷系统的能量守恒定律()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-⋅-=⋅VSVwdV t S d S dV v ftwS v f ∂∂-⋅-∇=⋅ 0=∂∂+⋅∇+⋅tw S v f6. 电磁场的动量密度：单位体积中电磁场的动量2u S H E B D g=⨯=⨯=εμ，εμ1=u ，001με=c7. 电磁场的动量流密度：单位时间内垂直流过单位面积电磁场动量⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+--=B H D E IB H D E T 2121ˆˆ 8. 根据麦克斯韦方程组，可证明电磁场与电荷系统的动量守恒定律⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-⋅-=V SV dV g t S d T dV ft g T f ∂∂-⋅-∇= 0=∂∂+⋅∇+tgT f9. 根据麦克斯韦方程组，可以证明电荷守恒定律（电流连续性定律）t J ∂∂-=⋅∇ρ0=∂∂+⋅∇tJ ρ7-4 麦克斯韦方程组与电磁波1. 根据麦克斯韦方程组，可得空间中的电磁波动方程。

● 电磁波动方程012222=∂∂-∇E tu E012222=∂∂-∇B tu Brr cu μεεμ==1● 真空中的平面电磁波()r k t E E⋅-⋅=ωcos 0()r k t B B⋅-⋅=ωcos 0λπω2==ckk B E ˆˆˆ00=⨯ 0ˆˆ00=⋅B E cE B =● 赫兹通过实验证实了电磁波的存在，也就证明了麦克斯韦方程组的正确性，也就是麦克斯韦的位移电流假设是正确的。

2. 电磁场的势● 电磁场的标量势ϕ的矢量势AAt E ∂∂--∇=ϕ A B⨯∇=● 根据麦克斯韦方程组，可得标量势ϕ和矢量势A的波动方程 ✧ 库仑规范下的电磁势方程J tu A t u A μϕ-=∇∂∂-∂∂-∇2222211ερϕ-=∇2 库仑规范：0=⋅∇Arr cu μεεμ==1✧ 洛伦兹规范下的电磁势方程-达朗伯方程ερϕϕ-=∂∂-∇22221tuJ A tu Aμ-=∂∂-∇22221洛伦兹规范：012=∂∂+⋅∇ϕtu Arr cu μεεμ==17-5 电磁场的统一性和电场与磁场的相对性1. 坐标系K '相对坐标系K 以速度v 做匀速直线运动。

● 在坐标系K '中，时空为：t z y x '''',,,；电磁场为：B E '',.● 在坐标系K 中，时空为：t z y x ,,,；电磁场为：B E,.2. 麦克斯韦方程组具有不变性（遵循相对性原理）：● 在坐标系K '中：ρ'='⋅∇'Dt B E '∂'∂-='⨯∇'0='⋅∇'Bt D J H '∂'∂+'='⨯∇'P E D '+'=' 0ε M H B '+'=' 00μμ● 在坐标系K 中：ρ=⋅∇Dt B E ∂∂-=⨯∇0=⋅∇Bt D J H ∂∂+=⨯∇PE D +=0ε MH B 00μμ+=3. 洛伦兹坐标变换()vt x x -='γy y ='z z ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x c v t t 2γ()t v x x '+'=γy y '=z z '=⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=x c v t t 2γ211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c v γ4. 电磁场变换x xE E ='()z y y vB E E -='γ， ()y z zvB E E +='γx xB B ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='z y y E c v B B 2γ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-='y z zE c v B B 2γxx E E '= ()z y y B v E E '+'=γ，()y z z B v E E '-'=γxx B B '= ⎪⎭⎫⎝⎛'-'=z y y E c v B B 2γ ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=y z z E c v B B 2γ 5. 以速度v 在x 方向运动的点电荷的电磁场。

● 高速时()()[]23222204z y vt x vt x q E x ++--=γπεγ()[]23222204zy vt x qyE y ++-=γπεγ()[]23222204z y vt x qzE z ++-=γπεγ0=x Bz y E cv B 2-= y z E c v B 2=● 低速时()()[]2322204zy vt x vt x q E x ++--=πε()[]2322204z y vt x qyE y ++-=πε()[]2322204z y vt x qzE z ++-=πε0=x Bz y E cv B 2-= y z E c v B 2=或304r rqE πε=，库仑定律 3024r r qv E cv B ⨯=⨯=πμ，毕萨定律7-6 习题14-1，14-2，14-3，14-7。