麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
设极板面积为S´， 某时刻极板上的
S2 L S'
S1
自由电荷面密度
为，则 D
I
j
R
I
S´面电位移通量： D DS S
dD d (S) dq I
dt
dt dt
----电位移通量随时间的变化率
等于导线中的传导电流
充放DI引t电电D 入：：--d-位-dD位Dt移tD移电00电流与与流S：电电密DtI场场度D同反djSD向d向dtIDjjj DDR与与SS2'jj同同L I向向S1 t
D 0r E , B 0r H , j E
根据麦克斯韦方程组、电磁场量之 间关系式、初始条件及电磁场量的 边界条件，可以确定任一时刻介质 中某一点的电磁场
放 电
I过
电路中电流仍可视
R
程
为保持连续。
任取一环绕导线的闭
合曲线L，以L为边界
可以作S1和S2 两 个曲
面
对S1曲面
H dl I L
对S2曲面
H dl 0
L
S2 L
S1
I
j
I
R
----稳恒电流磁场的安培环路定律
对于非稳恒情形不再适用
dS
----全电流定律
H dl
j dS
D
L
s
s t
对前述的电容器：
dS
I
j
S2 L
S'
I
S1
R
L
H
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程中，我们可以推断出光波是电磁波。
麦克斯韦方程和洛伦兹力方程构成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了由20个方程和20个变量组成的原始方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
详细介绍
麦克斯韦方程是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场和磁场的四个基本方程。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程
微分形式的方程通常称为麦克斯韦方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场是一个整体。
方程组系统而完整地推广了电磁场的基本规律，预测了电磁波的存在。
核心理念
麦克斯韦的旋涡电场和位移电流假说的核心思想是:变化的磁场激发旋涡电场，变化的电场激发旋涡磁场;电场和磁场不是彼此孤立的，而是相互联系，相互激发，形成统一的电磁场(这也是电磁波的形成原理)。
麦克斯韦进一步整合了电场和磁场的所有定律，建立了完整的电磁场理论体系。
电磁理论体系的核心是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组
一.麦克斯韦方程组的积分形式
磁场
静电场 电 场 感生
电场
一般 电场
高斯定理
SBdS0
环路定理
Hdl
L
S(j D t )dS
SD (1)dSS内 q0V dV
D(2)dS0 S
D D (1 )D (2)
SDdSVdV
E(1)dl 0 L
E(2)dl
B dS
L
t
E E (1 )E (B 2)
解：1） E72 si0 1n50 t ,
D7200 si1n5 0t
jD d d D t 7 2 15 0 00 c1 o50 s t (A m -2)
2）作如图r＝0.01m的环路，
由安培环路定理：
L HdlSjDdS
r
L jD
H2rjD r2 Hj2 D r3.6 0150 0co 15 s0 t
变化电场和极化 电荷的微观运动
无焦耳热， 在导体、电介质、真空 中均存在
共同点
都能激发磁场
P334 问题：比较导体、介质中 j0 ,数jD量级
三. 安培环路定理的推广
1. 全电流 I全I0ID
对任何电路，全电流总是连续的
D
(j )dS0
S1S2
t
I S1
S 2
S
L
2 1K
2. 推广的安培环路定理
大家好
1
§ 11.3 位移电流
对称性
随时间变化的磁场 感生电场（涡旋电场） 随时间变化的电场 磁场
麦克斯韦提出又一重要假设：位移电流
一.问题的提出
稳恒磁场的安培环路定理：
Hdl L
I0
（L内）
世界第一公式：麦克斯韦方程组
世界第一公式：麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
在英国科学期刊《物理世界》发起的“最伟大公式”中，麦克斯韦方程组力压勾股定理，质能转换公式，名列第一。
这里，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。
1力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。
比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。
但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。
很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。
能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。
分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。
在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。
我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。
那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。
也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。
关于麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组▽-----乐天10518关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。
麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。
它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。
麦克斯韦方程组Maxwell's equations麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与的四个基本方程。
方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。
在方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。
该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。
麦克斯韦提出的涡旋电场和假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。
麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的体系。
这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组在中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。
以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。
它所揭示出的的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。
另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。
[]历史背景1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。
概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。
1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了、—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。
它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。
更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。
许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。
这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。
这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。
若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组八种麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
它描述了电荷与电流产生的电场和磁场之间的相互作用。
麦克斯韦方程组共有8个方程，分别描述了电场、磁场的产生和变化规律。
本文将详细介绍这八种方程，并解释其物理意义。
1. 高斯定律（Gauss’s Law）高斯定律是麦克斯韦方程组中的第一个方程，用来描述电场与电荷之间的关系。
它可以表述为：∇⋅E=ρε0其中，∇⋅E表示电场的散度（divergence），ρ是电荷密度，ε0是真空介质中的介质常数。
高斯定律实际上是一种守恒定律，它表明了通过一个闭合曲面的电通量等于该曲面内部所包围的总电荷。
这个方程可以用来计算电场的分布，理解电荷与电场的相互作用。
2. 麦克斯韦-法拉第定律（Maxwell-Faraday Law）麦克斯韦-法拉第定律描述了磁场的变化如何产生感应电场。
它可以表述为：∇×E=−∂B ∂t其中，∇×E表示电场的旋度（curl），B是磁感应强度。
这个方程说明了当磁场发生变化时，会产生一个环绕着磁场变化区域的感应电场。
这个定律是电磁感应现象的基础，也是电磁波传播的重要原理之一。
3. 安培环路定理（Ampere’s Circuital Law）安培环路定理描述了通过一条闭合回路的磁感应强度与该回路内部所包围的总电流之间的关系。
它可以表述为：∇×B=μ0J其中，∇×B表示磁感应强度的旋度，μ0是真空中的磁导率，J是电流密度。
安培环路定理说明了电流会产生磁场，并且磁场的强度与电流的大小和方向有关。
这个定律对于计算磁场分布、设计电磁设备等都具有重要意义。
4. 法拉第电磁感应定律（Faraday’s Law of Electrom agnetic Induction）法拉第电磁感应定律描述了通过一个闭合回路的磁感应强度与该回路内部所包围的总磁通量之间的关系。
第11章 麦克斯韦方程组
1 2 we = ε0E 2
电磁场的总能量密度为： 电磁场的总能量密度为：
B2 wm = 20
2
1 B 2 2 w = we + wm = ε0E + = ε0E 2 20
B = E/ c
c= 1
ε00
2、电磁波的能流密度 S 、 电磁波的能流密度： 电磁波的能流密度： 单位时间通过垂直于传播 方向、单位截面的电磁波的能量。 方向、单位截面的电磁波的能量。 为垂直于传播方向的一个面元， 设dA 为垂直于传播方向的一个面元，在dt 时 间内通过此面元的能量，应是底面积为dA，厚度为 间内通过此面元的能量，应是底面积为 ， cdt 的柱形体积内的能量： 的柱形体积内的能量：
dE Jd = ε0 dt
dΦe E dS Id = ε0 = ε0 ∫ S t dt
2、变化的磁场产生感生电场 、
B ∫L Ei dr = ∫S t dS
将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广， 将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广，导 出了电磁场所满足的基本方程——麦克斯韦方程组， 麦克斯韦方程组， 出了电磁场所满足的基本方程 麦克斯韦方程组 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。
S=
1
0
E× B
所以坡印亭矢量 S 指向 电容器内部。 电容器内部。
由全电流定律： 由全电流定律：
d ∫LB dr = 0 (Ic +ε0 dt ∫SE dS)
得电容器外缘处的磁感应强度为： 得电容器外缘处的磁感应强度为：
dE B 2πR = 0ε0 (πR ) dt
2
B=
S=
0ε0R dE
2
=
物理-麦克斯韦方程组
磁场不存在 纵场成分
未发现磁单极
变化的磁场激 电磁感应定律 发涡旋电场 感生电场假设
电流与变化电 安培定律 场激发横磁场 位移电流假设
一、积分形式的麦克斯韦方程组
在稳恒情况下
SD dS V ρdV
B
LE dl S t dS
SB dS 0
D
LH dl S ( j t ) dS
B
L Ei dl t dS
E Eo Ei E dl
B
dS
L
S t
一、积分形式的麦克斯韦方程组
方程
SD dS V ρdV
SB dS 0
B
E dl dS
L
S
t
D
LH dl S ( j t ) dS
意义
实验基础
电荷激发电场 中的纵场成分
库仑定律
一般地，记： E H S （玻印廷矢量）
它是一个与电磁场有关的功率密度矢量。
S
其方向表示能量流动的方向。
(E H )d
V,
由区域V 边界面 ，在单位时间内流出的电磁场能量
三、电磁场的物质性
例：在输电线上，电磁能量是沿导线由电磁场传输的：
En
Et = E内
S
H
E内 S
I
S
S E H En H Et H S//表面 S表面
2、电磁场的能流密度
• 在空间任一体积 V ,其表面为 Σ
• 体积V内电磁能为:
V,
W
We
Wm
1 2
V
(D
E
B
H )dV
• 区域V中电磁场能量的增加率：
dW dt
1 2
V
t
(D E B H )dV
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
麦克斯韦电磁场理论的基本思想是：相对时间变化的磁 场会激发感生电场，而相对时间变化的电场会激发磁场.根据 这一思想，如果在空间某一区域内有变化的电场(如电荷做加 速运动)，那么在邻近区域内就会产生变化的磁场.这个变化的 磁场又会在较远处产生变化的感生电场.这样产生出来的电场 也是随着时间变化的，它必然要产生新的磁场.这样，在充满 变化的电场空间，同时也充满变化的磁场，两者相互联系、 相互转化.电场和磁场的统一体称为电磁场.前面讨论的静电场 和稳恒磁场都只不过是电磁场的两种特殊表现形式.
麦克斯韦方程组
这样，无论选择S1或S2作为以L为边界的曲面来计算H 的环流都得到相同的确定值，不会出现图10-26所示的矛盾 结果了.
对于任何电路，全电流永远是连续的.对图10-26中由S1 和S2组成的封闭曲面S来说，传导电流I流入S1而等量的位移 电流Id流出S2，所以
（10-24） 式（10- 24）就是全电流连续性方程.
激发磁场，位移电流也激发磁场.虽然两种电流的性质不同，但激发磁
场的性质却完全相同.
引入全电流定律，上述非稳恒电路中的矛盾就得到了解决.穿过图
10-26中以L为边界的曲面S1和S2的电流都应为全电流.在S1处位移电流 几乎为零，只剩下传导电流；而在S2处不存在传导电流，只有位移电 =I全=I
麦克斯韦方程组
图10- 27 电容器充、放电电路
麦克斯韦方程组
由此可见，导线中的传导电流I虽然在电容器极 板间中断了，可以替换它，可以等价地替换传导电 流密度j.若将电流的概念扩大，那么就解决了图1026所示电路中电流的连续性问题.
麦克斯韦提出，就电流的磁效应而言，变化的 电场也应该是一种电流.这种电流密度与电位移矢量 相联系，所以称为位移电流.
麦克斯韦方程组详解
麦克斯韦方程组详解
1麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是一组常微分方程，用于描述物体的运动行为。
该方程组的解取决于初始条件，其解可以用来解释物体的速度和加速度，以及所受外力的大小、方向和方向。
该方程组一般由两个方程组成：动量定理和动量法则。
2动量定理
动量定理是一种物理定理，主要用于说明物体质量的变化和受力的关系。
动量定理简要的表达为：物体的动量的变化等于受力的大小×作用时间。
即受力F与时间t的乘积就是物体动量变化的量级。
以此，可以用动量定理来描述物体受力后的运动状态变化。
3动量法则
动量法则是一种物理定理，用于说明物体受到外力时，物体的动量、速度和加速度等变化的规律性。
动量法则简要表达为：物体受外力F时，物体的动量p变化等于外力F和受力时间t的乘积，即Ft。
因此，可以用动量法则来描述物体受力后的变化情况。
4麦克斯韦方程的解
麦克斯韦方程组的解是对于物体的运动情况的描述，主要由动量定理和动量法则组成。
解得麦克斯韦方程组可以得到物体受到外力F 后，物体的动量、速度和加速度等变化情况。
其解又是由物体的初始
条件求得的，通过解麦克斯韦方程组，可以得到物体的运动参数，从而研究物体的运动行为。
麦克斯韦方程组
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例 求 如图不规则的平 面载流导线在均匀磁场中所受 的力，已知 B 和 I . 解 取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转 产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。 若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管 的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都 为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。 问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁 通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
麦克斯韦方程组
D=εE
B=μH
对于正弦时变场，可以使用复矢量将电磁场定律表示为复数形式。 麦克斯韦方程组复数形式：
▽·������ = −������������������（9） ������ =εE（10） B =μH（11） ������ = ������������ +������′（12）
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数， 在求解时，不必再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面 采用复数形式的电磁场定律是较为方便的。 麦克斯韦方程组的意义： (一)经典场论是 19 世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学 模型进行类比的基础上创立起来的。 但麦克斯韦的主要功绩恰恰使他能够跳出经 典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学 上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。 这两条是发现电磁波方程的基础。 这就是说， 实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是 由于当时的历史条件， 人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁 场理论。 (二) 我们从麦克斯韦方程组的产生，形式，内容和它的历史过程中可以看到： 第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握， 所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的， 一种新的具有认识意义的公理体 系的建立才是科学理论进步的标志。第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不 同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的“存在” 。第 三， 我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物 理事实,，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。 (三) 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美， 这种优美 以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式 才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)；另一方面，我们也不应 当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。因此， 我们应当认识到应在数学的表达方式中"发现"或"看出" 了这种对称性， 而不是从 物理数学公式中直接推演出这种本质。
麦克斯韦方程
• 什么是位移电流？
– 电场随时间变化形成的“电流”
– Maxwell对位移电流的认识
Maxwell 认为：电流由两个部分组成，一部分为传导
电流，另一部分他称之为位移电流 ，即总电流密度：
J总 J传导 J位移 J Jd
第二项 推广的法拉第电磁感应定律
Faraday电磁感应定律
E B t
Faraday 从1820年开始探索磁场产 生电场的可能性，1831年实验发现， 当穿过闭合线圈的磁通量发生变化 时，闭合导线中有感应电流产生， 感应电流方向总是以激发磁通量对 抗原磁通量的改变
D的法向边界条件
把积分Maxwell方程组应 D d S dV
用到图所表示的两媒质交 S
V
界面的扁平圆盘。让h→0，
得到：
( D1 D2 ) nˆ s
B的法向边界条件
把积分Maxwell方程组应 用到图所表示的两媒质交 界面的扁平圆盘。h→0， 得到：
S BdS 0
( B1 B2 ) nˆ s
l
H
dl
S
J
D t
d
S
nˆ
(
H1
H2
)
Nˆ
Js
Nˆ
nˆ ( H1 H2 ) J s
E的切向分量的边界条件
在介质分界面两侧，选 取如图所示的积环路， 并且宽度趋于0；利用 推广的法拉第电磁感应 定律可以得到：
l
E
dl
S
B t
d
S
nˆ ( E1 E2 ) 0
nˆ ( E1 E2 ) 0
E B t
进一步的实验还证明: 只要闭合曲线内磁通 量发生变化，感应的电场不仅存在于导体回 路上，同样存在于非导体回路上，并满足：
麦克斯韦方程组
6. 局限性 （1）是在承认电荷连续分布基础上建立的宏观
经典理论，未和物质微观结构联系起来 . 1895年： 汤姆生发现电子 . 20 世纪初： 洛仑兹建立电磁现象微观理论
经典电子论
量子电磁理论
（2）不完全对称 ？ 不存在磁单极 .
思考：如果存在磁单极，麦克斯韦方程如何修正 ？
=
∫V
ρdV
环路定理
∫r
H
L
⋅
d
r l
r
= ∫S ( j +
∂
r D
∂t
)
⋅
d
r S
∫r
E
(1)
⋅
r dl
=
0
L
∫ ∫ r
E
(2)
⋅
r dl
=
−
∂Br
⋅
r dS
L
∂t
∫ ∫ r
E
=
r E⋅
r E
(1)
+
r dl = −
r E
(2)
r
∂B
⋅
r dS
L
S ∂t
麦克斯韦方程组
积分形式
∫SDr
r ⋅ dS
=
dF r
m
Fm =
q =
vv
×
v B
v Idl
×
v
dFm
v B
v M
=
v Pm
×
v B
第12章
1. 感应电动势的计算
ε = − dψ m
dt
= − N dφm
dt
ε动 = ∫
(vv
麦克斯韦方程组
㈠麦克斯韦方程组描述无源情况下，变化电场与变化磁场之间关系的两个方程分别是t B E ∂-∂=⨯∇/t D H ∂∂=⨯∇/ （4-3-1）如果交变电磁场是时谐场，即电矢量和磁矢量可以写成如下形式：jwt r E t r E )(),(=jwt r H t r H )(),(= （4-3-2）则（4-3-1）式在无源，无损耗和各向同性的非磁介质的情况下可以写成H j E ωμ-=⨯∇E j H ωε=⨯∇ （4-3-3）式中，ε和μ分别是介质的介电常数及磁导率。
20n εε=；n 是介质的折射率；磁导率0μμ≈。
在平面波导中，存在着沿z 方向的一个行波，而在xy 平面内，由于宽度（y 方向）远大于厚度（x 方向），平板波导的光只在一个方向上（x 方向）受到限制，波导的几何结构及折射率沿y 方向是不变的。
因此，相应的光场的电矢量和磁矢量不沿y 方向变化。
上面的),(t r E 和),(t r H 可以分别写成)(),(),(z t j y x E t r E βω-=)(),(),(z t j y x H t r H βω-= (4-3-4)式中β是沿z 方向的传播常数。
将（4-3-4）式的E 与H 代入（4-3-3）式中，并展开运算，注意到0/=∂∂y ，就可以得到电磁场中各分量之间的关系x y H E ωμβ-=y z x H j x E E j ωμβ=∂∂+/z y H j x E ωμ-=∂∂/x y E H ωεβ=z y E j x H ωε=∂∂/ (4-3-5)yz x E j x H H j ωεβ-=∂∂+/以上6个方程，包含了两组独立的方程组，一组含有y E ，x H ，z H ，另一组含有y H ，x E ，z E 。
第一组因为电场只有横向分量，所以称为TE 波，第二组则是磁场只含有横向分量，所以称为TM 波。
根据这些分量的相互关系，只要知道部分分量就可以将其他分量求出。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦在1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的：.高斯定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。
电场线开始于正电荷，终止于负电荷（或无穷远）。
计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。
更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。
..高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。
所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。
磁场线会形成循环或延伸至无穷远。
换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。
以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个无源场。
..法拉第感应定律：该定律描述时变磁场怎样感应出电场。
电磁感应是制造许多发电机的理论基础。
例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭合电路因而感应出电流。
..麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠传导电流（原本的安培定律），另一种是靠时变电场，或称位移电流（麦克斯韦修正项）。
麦克斯韦方程组
1861年，麦克斯韦为了把安培环路定理推广到 年 非恒定电流的情况，提出了另一个重要的假设: 非恒定电流的情况，提出了另一个重要的假设 在电容器充电时， 在电容器充电时，电容器内 “变化的电场也象电流一样会产生磁场” 变化的电场也象电流一样会产生磁场” 变化的电场也象电流一样会产生磁场
. 位移电流
产生根源 存在于 热效应 磁效应 单位(SI) 单位
q 定向运动 实物 产生焦耳热 产生磁场 安培
r E
的变化
实物或“真空” 实物或“真空” 不产生焦耳热 产生磁场 安培
电场和磁场的基本规律总结： 电场和磁场的基本规律总结： 电场部分： 电场部分：
r r 1）电场的高斯定理 ∫S D⋅ dS = ∑q0 ）电场的高斯定理:
L
S1
Lε
∼
K
面应用安培环路定理， 面无电流通过， 对 S2 面应用安培环路定理，由于 S2 面无电流通过，
r r H ⋅ dl = ∫
L
∫
对于同一个环路 L，由于对环路所张的曲面不同， ，由于对环路所张的曲面不同， 所得到的结果也不同。 所得到的结果也不同。
S2
r r j ⋅ dS = 0
二、位移电流假设
麦克斯韦认为变化的电场可以看作一种电流， 麦克斯韦认为变化的电场可以看作一种电流， 变化的电场可以看作一种电流 称为位移电流，如果把位移电流也作为电流对待, 称为位移电流，如果把位移电流也作为电流对待 安培环路定理就没有矛盾了。 安培环路定理就没有矛盾了。 麦克斯韦提出的位移电流
ΦD------电位移的通量 电位移的通量
三．全电流及修正后的安培环路定理
I全 = I传 + I位
全电流总是连续的: 面只有I 全电流总是连续的 例，对S1面只有 传， 面只有I 而这两项是相同的。 对S2面只有 位，而这两项是相同的。 修正后的安培环路定理
maxwell微分方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场变化的偏微分方程组，它由四个方程组成，分别是：1.麦克斯韦第一方程：∂t∂B=−∇×E
这个方程描述了磁场B的变化与电场E的关系。
2.麦克斯韦第二方程：∂t∂E=∇×B−J
这个方程描述了电场E的变化与磁场B和电流密度J的关系。
3.麦克斯韦第三方程：∇∇B=0
这个方程描述了磁场的散度为零，即磁场是无源场。
4.麦克斯韦第四方程：∇∇E=ρ
这个方程描述了电场的散度与电荷密度ρ的关系。
以上四个方程描述了电磁场的基本性质和变化规律，是电磁学和电动力学的基础。
11.3 麦克斯韦方程组
通量
r r ∫ D静电 ⋅ dS = ∫ ρ 0dV
S V
r r ∫ D感生 ⋅ dS = 0
S
∫
S
r r B ⋅ dS = 0
r r r r r ∂D v ∫ H ⋅ dl = ∫ J0 ⋅ dS + ∫ ∂ t ⋅ dS L S S
r r ∫ D⋅ dS = V ρ 0dV ∫ S r r r ∂B r ∫ E ⋅ dl = −∫ ∂ t ⋅ dS L S r r ∫ B ⋅ dS = 0
§11.3 麦克斯韦方程组 (Maxwell equations) )
r r r E = E 静电 + E 感生 r r r B = B 稳恒 + B 位移 r r r D = D静电 + D感生 r r r H = H 传导 + H 位移
环流
r r ∫ E静电 ⋅ dl = 0 r r r ∂B r ∫ E感生 ⋅ dl = −∫ ∂ t ⋅ dS L S
r ∂E ∂t
r ∂B ∂t
二、电磁波的性质 1. 电磁波是横波
y
v E
v u
x
v v E ⊥u
y
r E
v v H ⊥u
z
v H v v v E × H // u v v E与 H 同相
x
O z
r H
2. 空间中任一点 3. 波速
真空
ε E = µH
u=
= 3 ×108 m = c s µ 0ε 0
1
4 电磁能量传播
r r r S = E×H
5 光是电磁波 c n = = µ rε r u
能流密度矢量 Poynting Vector
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？ 由电荷守恒定律即⑤式可知，
J
0
稳恒电流
t 0 非稳恒电流
麦克斯韦首先注意到了这一点，为此把④作一般形
麦克斯韦方程组
式的推广：
假设存在一个位 移电流的物理量
J
D
，它和
J
合起
来恒满足： (J J D ) 0, 并假设位移电流 J D与电流
J 均产生磁效应。
2、位移电流的形式
由① 和⑤式可 得 ：
的方向与 l 的方向相同。 的方向与 l 的方向相反。
注意：l 的方向与 dS 的方向满足右手螺旋关系。
3、感应电流和感应电场
感应电流：线圈上的电荷受到感应电场的驱动而形成的定 向运动。
感应电场：把产生感应电动势 的场称为感应电场。
物理图像： 磁场变化
E感（本质）
导线
感 闭合线圈
I感
麦克斯韦方程组
E t
B流和 B感 均为有旋无源场，
又称横场。
二者均对电流有力的作用
麦克斯韦方程组
（2）方程组在逻辑上是自洽的。 所谓自洽性就是各方程彼此之间不相互矛盾。
Case A
E B / t ②
B(x,t) 0
③
对②式两边取散度，
(
E)
(
B)
t
③
Case B
E
B
/0
0J
0 0
E t
① ④
对④式两边取散度，
左边： ( B) 0
右边：0
J
0 0
t
(
E)
电荷守恒定律
①
=0
=0 =0
麦克斯韦方程组
2、方程的重要意义
揭示了电磁场内在运动规律，不仅
和
J
可以激发电磁
场，而且变化的电场和磁场也可以相互激发。
由于在 0 和 J 0 的区域，电磁场可以出现非零解
(电磁波存在的必要条件)，据此麦克斯韦预言了电磁波的存在。
d
S (E感) dS dt
B dS
S
由于
dS
的任意性，则
E感
B t
5、说明
① 上述方程不含回路参数，反映了场与场的关系，实质 随时间变化的磁场可以在空间激发电场。
麦克斯韦方程组
② 变化的磁场是原因，在空间激发电场是结果。
③ B 的方向与 E 的方向相互垂直。
既然变化的磁场可以激发电场，那么变化的电场
(x,
t
)
0
E(x,t)
(x,
t
)
J (x,t)
[J (x,t)
0
t
E ( x, t ) ]
t
0
(J J D ) 0
J (x, t)
0
t
[
E(x,t)]
0
J (x,t)
[ 0
t
E(x,t)]
0
麦克斯韦方程组
令
JD
0
E ( x, t )
t
位移电流 (密度矢量)
则
f E J B
（2）普遍情形
麦克斯韦方程组
度为对v于，任则意一运个动带的电带粒电子粒受子到系的统电，磁若场粒作子用的力电为荷为 q ，速
F qE qv B
洛伦兹力公式
则，
[J (x,t)
J D (x, t)] 0
三、真空中的麦克斯韦方程组
1、方程的形式
微
E(x,
t
)
(
x,
t)
/
0
分 形
E(x,t) B(x,t) / t
B(x,t) 0
① ② ③
式
B(x,t) 0J(x,t) 00E(x,t) / t
④
麦克斯韦方程组
E dS
能否激发磁场呢？
二、位移电流
1、位移电流的引入 综合前两节所学内容，
我们有如下关系式：
E
/
0
①
E B / t
②
B 0
③
B 0J
④
J / t
⑤
麦克斯韦方程组
公式①、②、③和⑤是普遍适用的，而公式④在变
场情况下与其他公式存有矛盾！
对④式两边同时取散度，有
（ B） 0 J
= =0
电场方程
E E荷 E感
E荷 / 0 +
E荷 0
E感
E感
0
B t
E
E
/ 0
B
t
E荷 有源场，又称纵场。
E感 有旋场，又称横场。
二者均对电荷有力的作用
磁场方程
B B流 B感
B流 0
B流 0J
+
B感 0
B感 00
E t
B 0
B
0 J
0 0
四、洛伦兹力公式
1、研究对象
电磁场对带电体系的相互作用力。
2、力的表达式
麦克斯韦方程组
（1）稳恒电流情形
电荷元 dV 所受的电场力：dFE dVE
电流元 JdV 所受的磁场力：dFB JdV B
带电体系受到总的电磁场作用力：
dF总 dVE JdV B
定义：带电体系 单位体积 所受的力为力密度 f ，
4、感应电场的旋度
电动势就是电场力把单位电荷从负极搬运到正极
电场力所作的功，
E感 dl
如果回路闭合，则
l E感 dl
由法拉第电磁感应定律，即
d dt
SB dS
由斯托克斯公式，得
=
l E感 dl
d
dt SB dS
麦克斯韦方程组
l E感 dl S (E感) dS
故，
1
dV
S
0 V
①
积 分 形
l
E
dl
d dt
SB
dS
式
SB dS 0
② ③
B dl
l
0
J
S
dS
0 0
d dt
E dS
S
④
2、方程的特点
（运1动）变麦化克的斯普韦遍方规程律作，为方电程磁中场的的E动 和力学B 是方总程场，，描述和了是J电 总磁的场
电荷密度和电流密度。
麦克斯韦方程组
§1.3 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程是建立在库伦定律、安培定律、法 拉第电磁感应定律这几个实验定律的基础之上的。
一、法拉第电磁感应定律
1、研究对象 变化磁场产生电场。
2、研究内容
闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁
通量变化率成正比，
dm dt
d dt
B ds
S
麦克斯韦方程组
0 0