动态矩阵控制算法(DMC)

}
y(k)
}
y {a(k )} {a0 a1 a2
系统能否由a(k)唯一确定？换言之，a(k) 是否足以 描述系统？
12
预备知识 System
u(k)
u 1(k ) {1 1 1
k
y(k)
a1 a2 }
} y {a(k )} {a0
k
a(k ) hu i (k i ) hi hi a(i) aHale Waihona Puke Baidui 1) ai ai 1
2 i 1 j 1 P M
s.t. yM (k i | k ) y0 (k i | k ) i 1
min( M ,i )
ai j 1 u (k j 1)
min( M ,i ) J (k ) qi w(k i) ( y0 (k i | k ) i 1 ai j 1 u (k j 1)) rj u 2 (k j 1) i 1 j 1
线性叠加原理
21
输出预测 (3) – 输出预测值
在 M 个连续的控制增量作用 u(k ), , u(k M 1) 下， 未来各时刻的输出值为：
yM (k i | k ) y0 (k i | k ) j 1
min( M ,i )
ai j 1 u (k j 1), i 1,
优化问题 (2)
约束优化问题：
min J (k ) qi w(k i) yM (k i | k ) rj u 2 (k j 1)
2 i 1 j 1 P M
s.t. yM (k i | k ) y0 (k i | k ) i 1 yi min yM (k i | k ) yi max u j min u (k j 1) u j max
J (k ) wP (k ) yP0 (k ) AU M (k ) U M
Q 2 2 R
J (k ) wP (k ) yP0 (k ) AU M (k ) Q wP (k ) yP0 (k ) AU M (k ) U M T RU M

7
预备知识
LTI 系统的描述(1)
u(k)
System
y(k)
h1 h2 }
u(k ) (k ) {1 0 0
} y(k ) : h(k ) {h0
系统能否由h(k)唯一确定？换言之，h(k) 是否足以描述 系统？
8
预备知识
u(k)
u (k ) : {1 0 0 u {u(0) 0 0 u {0 1 0 u {0 u(1) 0
Lecture 2 动态矩阵控制算法 (DMC)
回顾- 预测控制基本原理
• 三个基本原理 预测模型 滚动优化 反馈校正
2
回顾- 预测控制基本原理
• 预测模型
输入
预测模型
输出
- 模型表达：输入（包括操作变量和可测扰动）输出之间 的定量关系 - 模型结构：无限制、阶跃/脉冲响应、传递函数、状态方 程等 - 模型功能：根据当前已知信息和假设未来输入预测系统 未来输出 - 模型作用：作为不同控制策略下比较控制效果的基础
A是由阶跃响应系数 ai 组成的 P M 矩阵，称为动态矩阵。 性能指标写成向量形式：min J (k ) wP (k ) yP (k ) Q U M
M
2
2 R
其中 wP (k ) w(k 1)
w(k P)
T
Q diag (q1,
, qP ), R diag (r1,
2 Q
U M
2 R
由极值必要条件 dJ (k ) d UM (k ) 0 可得：
U M (k ) ( AT QA R ) 1 AT Q wP (k ) y P0 (k )
获得 u(k ),
, u(k M 1) 的最优值。
30
无约束优化问题求解 (4)
2 i 1 j 1 P M
s.t. yM (k i | k ) y0 (k i | k ) i 1
min( M ,i )
ai j 1 u (k j 1)
求优化变量：U M ( k ) u ( k ), , u (k M 1)
T
26
0 h0u(k ) h1u(k ) h2u(k )
y : { y(k )} ?
9
预备知识
u {u(0) 0 0 u {0 u(1) 0
u {0 0 u (k ) 0 u(k ) u {u(0) u(1)
y (0) h0u (0) y (1) h0u (1) h1u (0) y (2) h0u (2) h1u (1) h2u (0) y (k ) h0u (k ) h1u (k 1) hk u (0) hiu (k i)
P
2
M
dJ (k ) d u j (k ) 0
U M (k ) u (k ), , u (k M 1)
T
28
无约束优化问题求解 (2)
首先，写出预测模型向量形式：
yPM (k ) yP0 (k ) AuM (k )
yM (k 1| k ) y ( k ) P 其中 M yM ( k P | k ) y0 (k 1| k ) yP0 (k ) y0 (k P | k ) a1 A aM aP a1 aP M 1 0
,N
22
预测控制基本原理
• 预测模型 • 滚动时域优化
– 以滚动方式对未来有限时域进行优化
– 在线计算并实现当前控制作用
• 反馈校正
23
DMC - 滚动时域优化
24
优化目标函数
每一时刻，确定从该时刻起的 M 个控制增量 u(k ), , u(k M 1) 使得被控对象在其作用下： 未来 P 个时刻: yM (k i | k ) w(k i) u 0 因此，k 时刻优化性能指标（惩罚跟踪误差与调节幅度）：
注意：
y0 (k N | k ) y0 (k N 1| k )
y0 ( | k )
20
输出预测 (2) – 零状态响应
k时刻：控制有一增量△v(k)，计算未来时刻的输出值
yi (k i | k ) y0 ( k i | k ) ai u (k ) i 1, ,N
i 0 k
} }
}
y {h0u(0) hu } 1 (0) h2u(0) y {0 h0u(1) hu } 1 (1) h2u(1)
y { } 0 h0u(k ) hu 1 (k ) h2u(k ) }
y : { y(k )} ?
k
y(k ) hu i (k i )
i 0
min J (k ) qi w(k i) yM (k i | k ) rj u 2 (k j 1)
2 i 1 j 1
P
M
其中 qi , rj 为权系数，分别表示对跟踪误差及控制量变化的抑制。
25
优化问题 (1)
无约束优化问题：
min J (k ) qi w(k i) yM (k i | k ) rj u 2 (k j 1)
u {0 0 u (k ) 0 u( k ) u {u(0) u(1)
System
} } } }
} y { }
y(k)
h1 h2 } }
}
y {h(k )} {h0 y {0 h0
} }
y {h0u(0) h1u(0) h2u(0) h1 h2 y {0 h0u(1) h1u(1) h2u(1)
i 0 i 0
系统可由 a(k)唯一确定.
13
预备知识
y (0) h0u (0) y (1) h0u (1) h1u (0) y (2) h0u (2) h1u (1) h2u (0) y (k ) h0u (k ) h1u (k 1) hk u (0) hiu (k i)
• 单变量DMC算法设计 • DMC参数设计
15
动态矩阵控制
• 预测模型
– 输入输出模型 – 假设未来输入预测未来输出
• 滚动时域优化 • 反馈校正
16
DMC - 预测模型
输入
预测模型
输出
如何根据当前已知信息和假设未来输入预测系统未来输出？ 阶跃响应 ＋ 比例叠加原理 输出预测
17
DMC - 预测模型
10
预备知识
u(k)
u {u(0) u(1)
System
u( k ) y { y(0)
k
y(k)
}
y(1)
y(k )
}
y(k ) hu i (k i )
i 0
系统可由hi 唯一确定
11
预备知识
LTI 系统的描述(2)
u(k)
u 1(k ) {1 1 1
System
, aN 称为模型向量，N为建模时域
T
• 对于渐近稳定对象，N步之后对象稳定，即 aN as a
19
输出预测 (1) - 零输入响应
• 在 k 时刻，假设控制作用保持不变时，对未来N 个时刻的输出有初始预测值 y0 (k i | k ) i 1, 2, , N
k k
k+N
k
k
i
hi u (0) hi u (1)
i 0 k i 0
k
k 1
h0 u (k )
系统可由 a(k)唯一确定.
ak i u (i ) ai u (k i )
i 0 i 0
14
k
主要内容
• DMC算法
– 预测模型 – 滚动优化 – 反馈校正
i 0 k
y(k ) hu i (k i ) hk i u (i )
i 0 i 0
k
k
u (0) 0
hi a(i) a(i 1) ai ai 1
y (k ) hk i u (i ) hk i u ( j )
i 0 i 0 j 0
min( M ,i )
ai j 1 u (k j 1)
求优化变量：U M (k ) u (k ), , u (k M 1)T
27
无约束优化问题求解 (1)
思路：代入预测方程，对控制向量求导
min J (k ) qi w(k i) yM (k i | k ) rj u 2 (k j 1)
, rM )
29
无约束优化问题求解 (3)
min J (k ) wP (k ) yPM (k ) U M
Q 2 2 R
(1) (2)
s.t.
yPM (k ) yP0 (k ) AuM (k )
将式(2)代入式(1)可得：
min J (k ) wP (k ) yP0 (k ) AU M (k )
阶跃响应 ＋ 比例叠加原理 输出预测
模型预测值：自由项（零输入响应） + 强迫项（零状态响应）
18
阶跃响应采样
1,1,1,
＝
0, a1, a2 , a3 ,
，
• 测量对象单位阶跃响应的采样值 ai a(iT ) i 1, 2, T为采样周期 • 对象动态信息可近似为有限集合 a1, a2 , , aN • 向量 a a1 ,
3
预备知识
信号
0.35 0.3 0.25 0.2

连续信号 x(t)
0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0.35

离散信号 x(k)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
预备知识
系统

输入 x(t) 或 x(k) 输出 y(t) 或 y(k)

x(t)
System
y(t)
5
预备知识
动态系统描述 常微分方程 传递函数 脉冲响应 阶跃响应 频率响应 状态方程 等

6
预备知识
系统特性
线性 齐次 时不变