动态矩阵控制算法(DMC)

i=0 i=0
k
k
hi = a (i ) − a (i − 1) = ai − ai −1
y (k ) = ∑ hk −i u (i ) = ∑ hk −i ∑ Δu ( j )
i =0 i =0 j =0
k
k
i
= ∑ hi Δu (0) + ∑ hi Δu (1) + L + h0 Δu (k )
• 反馈校正
23
DMC - 滚动时域优化
24
优化目标函数
每一时刻，确定从该时刻起的 M 个控制增量 Δu ( k ),L , Δu ( k + M − 1) 使得被控对象在其作用下：
% 未来 P 个时刻: yM (k + i | k ) → w(k + i )
Δu → 0
因此，k 时刻优化性能指标（惩罚跟踪误差与调节幅度）：
i=0 k
y ={hu(0) hu(0) hu(0) L } 0 1 2 y ={0 hu(1) hu(1) hu(1) L } 0 1 2
y := { y (k )} = ?
k
y(k) = ∑hu(k −i) i
i=0
10
预备知识 System
u(k)
u = {u (0) u (1) L u (k ) L L} y = { y (0)
T
26
优化问题 (2)
约束优化问题：
% min J ( k ) = ∑ qi [ w( k + i ) − yM ( k + i | k ) ] + ∑ rj Δu 2 ( k + j − 1)
2 i =1 j =1 P M
% % s.t. yM (k + i | k ) = y0 (k + i | k ) + ∑ i =1 % yi min ≤ yM (k + i | k ) ≤ yi max Δu j min ≤ Δu (k + j − 1) ≤ Δu j max
20
输出预测 (2) – 零状态响应
k时刻：控制有一增量△v(k)，计算未来时刻的输出值
% yi (k + i | k ) = % y0 (k + i | k ) + ai Δu (k ) i = 1,L , N
线性叠加原理
21
输出预测 (3) – 输出预测值
在 M 个连续的控制增量作用 Δu (k ),L , Δu (k + M − 1) 下， 未来各时刻的输出值为：
29
无约束优化问题求解 (3)
% min J (k ) = wP (k ) − yPM (k )
2 Q
+ ΔU M
2 R
(1) (2)
s .t .
% % y PM ( k ) = y P0 ( k ) + A Δ u M ( k )
将式(2)代入式(1)可得：
% min J ( k ) = wP ( k ) − y P0 ( k ) − AΔU M ( k )
12
预备知识 System
u(k)
y(k)
a1 a2 L}
u = 1(k ) = {1 1 1 L} y = {a (k )} = {a0
k k
a(k) = ∑hu(k −i) = ∑hi hi = a(i) −a(i −1) = ai −ai−1 i
i=0 i=0
系统可由 a(k)唯一确定.
13
A是由阶跃响应系数 ai 组成的 P × M 矩阵，称为动态矩阵。
% 性能指标写成向量形式：min J (k ) = wP (k ) − yP (k ) + ΔU M Q
M
2
2 R
其中 wP (k) = [ w(k +1) L w(k + P)]
T
Q = diag (q1 ,L , qP ), R = diag (r1 ,L , rM )
2 i =1 j =1 P M
% % s.t. yM (k + i | k ) = y0 (k + i | k ) + ∑ i =1
min( M ,i )
ai − j +1 × Δu (k + j − 1)
求优化变量：ΔU M (k ) = [ Δu (k ),L , Δu (k + M − 1) ]
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
预备知识
系统 输入 x(t) 或 x(k) 输出 y(t) 或 y(k)
x(t)
System
y(t)
5
预备知识
动态系统描述 常微分方程 传递函数 脉冲响应 阶跃响应 频率响应 状态方程 等
6
预备知识
系统特性 线性 齐次 时不变
7
预备知识
LTI 系统的描述(1)
k
y(k)
y (1) L y (k ) L L}
y(k) = ∑hu(k −i) i
i=0
系统可由hi 唯Hale Waihona Puke Baidu确定
11
预备知识
LTI 系统的描述(2)
System
u(k)
u = 1(k ) = {1 1 1 L}
y(k)
y = {a(k )} = {a0 a1 a2 L}
系统能否由a(k)唯一确定？换言之，a(k) 是否足以 描述系统？
预备知识
y(0) = hu(0) 0 y(1) = hu(1) +hu(0) 0 1 y(2) = hu(2) +hu(1) +hu(0) 0 1 2 y(k) = hu(k) +hu(k −1) +L+hu(0) = ∑hu(k −i) 0 1 k i
i=0 k
y(k) = ∑hu(k −i) = ∑hk−iu(i) i
% % yM (k + i | k ) = y0 (k + i | k ) + ∑ j =1
min( M ,i )
ai − j +1 × Δu (k + j − 1), i = 1,L , N
22
预测控制基本原理
• 预测模型 • 滚动时域优化
– 以滚动方式对未来有限时域进行优化 – 在线计算并实现当前控制作用
min( M ,i )
ai − j +1 × Δu (k + j − 1)
求优化变量：ΔU M (k ) = [ Δu (k ),L , Δu (k + M − 1) ]T
27
无约束优化问题求解 (1)
思路：代入预测方程，对控制向量求导
% min J ( k ) = ∑ qi [ w( k + i ) − yM ( k + i | k ) ] + ∑ rj Δu 2 ( k + j − 1)
System
u(k) y(k)
h1 h2 L}
u (k ) = δ (k ) = {1 0 0 L} y (k ) := h(k ) = {h0
系统能否由h(k)唯一确定？换言之，h(k) 是否足以描述 系统？
8
预备知识 System
u(k)
u = δ (k ) := {1 0 0 L}
y(k)
y = {h(k )} = {h0 y = {0 h0 h1 h1 h2 L} y = {h0u (0) h1u (0) h2u (0) L} h2 L} y = {0 h0u (1) h1u (1) h2u (1) L}
i =0 k i =0
k
k −1
系统可由 a(k)唯一确定.
= ∑ ak −i Δu (i ) =∑ ai Δu (k − i )
i =0 i =0
14
k
主要内容
• DMC算法
– 预测模型 – 滚动优化 – 反馈校正
• 单变量DMC算法设计 • DMC参数设计
15
动态矩阵控制
• 预测模型
– 输入输出模型 – 假设未来输入预测未来输出
• 滚动时域优化 • 反馈校正
16
DMC - 预测模型
输入
预测模型
输出
如何根据当前已知信息和假设未来输入预测系统未来输出？ 阶跃响应 ＋ 比例叠加原理 输出预测
17
DMC - 预测模型
阶跃响应 ＋ 比例叠加原理 输出预测
模型预测值：自由项（零输入响应） + 强迫项（零状态响 应）
18
阶跃响应采样
3
预备知识
信号
0.35 0.3 0.25 0.2
连续信号 x(t)
0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.35
离散信号 x(k)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15
9
预备知识
u ={u(0) 0 0 L } u ={0 u(1) 0 L }
u ={0 L 0 u(k) 0 L y ={ 0 hu(k) hu(k) hu(k) L } L } 0 1 2 u ={u(0) u(1) L u(k) L L }
y(0) = hu(0) 0 y(1) = hu(1) +hu(0) 0 1 y(2) = hu(2) +hu(1) +hu(0) 0 1 2 y(k) = hu(k) +hu(k −1) +L+hu(0) = ∑hu(k −i) 0 1 k i
{1,1,1,L}
＝
{0, a1 , a2 , a3 ,L}
• 测量对象单位阶跃响应的采样值 ai = a (iT ) i = 1, 2,L， T为采样周期 • 对于渐近稳定对象，N步之后对象稳定，即 aN = as = a ( ∞ ) • 对象动态信息可近似为有限集合 {a1 , a2 ,L , aN } • 向量 a = [ a1 ,L , aN ] 称为模型向量，N为建模时域
T
19
输出预测 (1) - 零输入响应
• 在 k 时刻，假设控制作用保持不变时，对未来N % 个时刻的输出有初始预测值 y0 (k + i | k ) i = 1, 2,L , N
k k
k+N
注意：
% % % y0 (k + N | k ) = y0 (k + N + 1| k ) = L = y0 (∞ | k )
% min J (k ) = ∑ qi [ w(k + i ) − yM (k + i | k )] + ∑ rj Δu 2 (k + j − 1)
2 i =1 j =1
P
M
其中 q i , r j 为权系数，分别表示对跟踪误差及控制量变化的抑 制。
25
优化问题 (1)
无约束优化问题：
% min J ( k ) = ∑ qi [ w( k + i ) − yM ( k + i | k ) ] + ∑ rj Δu 2 ( k + j − 1)
u = {u (0) 0 0 L} u = {0 1 0 L} u = {0 u (1) 0 L}
u = {0 L 0 u (k ) 0 L} y = {L 0 h0u (k ) h1u (k ) h2u (k ) L} u = {u (0) u (1) L u (k ) L L}
y := { y (k )} = ?
2 Q
+ ΔU M
2 R
由极值必要条件 dJ (k ) d ΔU M (k ) = 0 可得：
% ΔU M ( k ) = ( AT QA + R ) −1 AT Q ⎡ wP ( k ) − yP0 ( k ) ⎤ ⎣ ⎦
Lecture 2 动态矩阵控制算法 (DMC)
回顾- 预测控制基本原理
• 三个基本原理 预测模型 滚动优化 反馈校正
2
回顾- 预测控制基本原理
• 预测模型
输入
预测模型
输出
- 模型表达：输入（包括操作变量和可测扰动）输出之间 的定量关系 - 模型结构：无限制、阶跃/脉冲响应、传递函数、状态方 程等 - 模型功能：根据当前已知信息和假设未来输入预测系统 未来输出 - 模型作用：作为不同控制策略下比较控制效果的基础
P
2
M
dJ ( k ) d Δu j ( k ) = 0
ΔU M (k ) = [ Δu (k ),L , Δu (k + M − 1) ]
T
28
无约束优化问题求解 (2)
首先，写出预测模型向量形式：
% % y PM ( k ) = y P0 ( k ) + A Δ u M ( k )
% ⎡ yM (k + 1| k ) ⎤ ⎢ ⎥ % yPM (k ) = ⎢ M 其中 ⎥ ⎢ yM (k + P | k ) ⎥ ⎣% ⎦ % ⎡ y0 (k + 1| k ) ⎤ ⎢ ⎥ % yP0 (k ) = ⎢ M ⎥ ⎢ y0 (k + P | k ) ⎥ ⎣% ⎦ 0 ⎤ ⎡ a1 ⎢ M O ⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢ aM L a1 ⎥ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ⎢ aP L aP − M +1 ⎥ ⎣ ⎦
2 i =1 j =1 P M
% % s.t. yM (k + i | k ) = y0 (k + i | k ) + ∑ i =1
min( M ,i )
ai − j +1 × Δu (k + j − 1)
min( M ,i ) % J ( k ) = ∑ qi ⎡ w( k + i ) − ( y0 ( k + i | k ) + ∑ i =1 ai − j +1 × Δu ( k + j − 1)) ⎤ + ∑ rj Δu 2 ( k + j − 1) ⎣ ⎦ i =1 j =1