有关圆锥曲线题型的总结

直线和圆锥曲线常

考题型

运用的知识：

1、中点坐标公式：1212,y 22

x x y y

x ++=

=，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB ===

=

或

者

AB ===

= 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v •=

4、韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a

+=-=。 常见的一些题型：

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系; 题型二：弦的垂直平分线问题; 题型三：动弦过定点的问题;

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题;

题型五：共线向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题

问题十：范围问题（本质是函数问题）

问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）;

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系:

例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:

14x y C m

+=始终有交点，求m 的取值范围

解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭

圆22

:

14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22

:14x y C m

+

=始终有交点，则

14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+⇒过定点（，）; :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2

y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，

求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x

=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+=

①

由直线和抛物线交于两点，得2242

(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2

1

04

k <<

② 由韦达定理，得：212221

,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22

211

(,)22k k k

--。 线段的垂直平分线方程为：

2

2

1112()22k y x k k k --=--令

y=0,得

0211

22

x k =

-

，则211(

,0)22

E k - ABE ∆为正三角形，∴211(

,0)22

E k -到直线AB 的距离d 为

AB 。

AB =2

2

1k k =

+

d =

2

2

122k k k

+=

解得13k =±满足②式此时05

3

x =

。 题型三：动弦过定点的问题

例题3、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率

为

3

2

，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交

于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3

c e a =

=，2a =,则得3,1c b ==。从而椭圆的方程为2

214

x y +=

（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122

(2)

44

y k x x y =+⎧⎨

+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根，

21121164214k x k -∴-=+则2

112

1

2814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211

22

11

284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122

k k k k t

-∴

=-+，直线MN 的方

程为：

121

121

y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得2112

12

x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：