非线性电路中的混沌现象实验报告

非线性电路中的混沌
五：数据处理：
1.计算电感L
在这个实验中使用了相位测量。

根据RLC 谐振定律，当输入激励频率
时LC
f π21=
，RLC 串联电路达到谐振，L 和C 的电压反向，示波器显
示一条45度斜线穿过第二象限和第四象限。

实测：f=32.8kHz ；实验仪器标记：C=1.095nF 所以：
mH C f L 50.21)
108.32(10095.114.341
412
39222=⨯⨯⨯⨯⨯==
-π
估计不确定性：
估计 u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 但：
3
2222106.7)()(4)(-⨯=+=C
C u f f u L L u 这是
mH L u 16.0)(=
最后结果：mH L u L )2.05.21()(±=+
2、有源非线性负电阻元件的测量数据采用一元线性回归法处理： (1) 原始数据：
(2) 数据处理：
根据R
U I R
R =流过电阻箱的电流，由
回路KCL 方程和KVL 方程可知：
R
R R R U U I I =-=11
对应的1R I 值。

对于非线性负电阻R1，将实验测量的每个（I ，U ）实验点标记在坐标平面上，可以得到：
从图中可以看出，两个实验点（ 0.0046336 ，-9.8）和（ 0.0013899 ，-1.8）是折线的拐点。

因此，我们采用线性回归的方法，分别在
V U 8.912≤≤-、 、 和8V .1U 9.8-≤<-三个区间得到对应的 IU 曲线。

0V U 1.8≤<-
使用 Excel 的 Linest 函数找到这三个段的线性回归方程：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-
20.02453093-0.002032U I
经计算，三段线性回归的相关系数非常接近1（r=0.99997），证明区
间IV 内的线性符合较好。

应用相关绘图软件可以得到U<0范围内非线性负电阻的IU 曲线。

曲线关于原点对称可以得到区间 U>0 的非线性负电阻 IU 曲线：
3、观察混沌现象：
(1) 双周期：
周期Vc 1 -t加倍（2）双倍周期：
Vc 1 -t的两倍
(3) 四倍期：
四倍周期Vc 1 -t (4) 单吸引子：
单吸引子爆发混沌
三重周期Vc 1 -t (5) 双吸引子：
双吸引子Vc 1 -t
4. 使用计算机数值模拟混沌现象：
（1）源程序（Matlab代码）：
算法核心：四阶龙格-库塔数值积分法
文件 1：chua.m
函数 [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no) h=0.01；
a=h/2；
aa=h/6;
xx=[];
对于 j=1:symbol_no;
k0=chua_map(x,time_variable,aaa);
x1=x+kO*a；
k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);
xl=x+k1*a；
k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);
x1=x+k2*h；
k3=chua_map(x1,时变,aaa);
x = x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3)；
xx = [xx x]；
结尾
chua_initial.m第2条：
函数 [x0] = chua_initial (x, aaa)
h = 0.01； a = h/2; aa = h/6;
x = [-0.03 0.6 -0.01] ';
k0 = chua_map (x, 1, aaa);
x1 = x+k0*a；
k1 = chua_map (xl, 1, aaa);
x1 = x+k1*a；
k2 = chua_map (x1,1, aaa);
x1 = x+k2*h；
k3 = chua_map (x1,1, aaa);
x = x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);
对于 k = 2：400
kO = chua_map (x, k, aaa);
x1 = x+k0*a；
k1 = chua_map (x1, k, aaa);
x1 = x+k1*a；
k2 = chua_map (x1, k, aaa);
x1 = x+k2*h；
k3 = chua_map (xl, k, aaa);
x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3)；
结尾
x0=x;
文件3：chua_map.m:
函数[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)
m0=-1/7.0；
m1=2/7.0；
如果 xx(1)>=1
hx=m1*xx(1)+m0-m1；
elseif abs(xx(1))<=1
hx=m0*xx(1);
别的
hx=m1*xx(1)-m0+m1；
结尾
A=[0 9.0 0
1.0 -1.0 1.0
o aaa 0];
x=A*xx；
x=x+[-9*hx 0 O]';
文件4：chua_demo.m
x0=0.05*randn(3,1);
[x0]=chua_initial(x0,-100/7);
[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);
情节（UVI（1,1：结束），UVI（2,1：结束））；
xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');
数字;
plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))
xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)'); (2)
对于这个实验，微分方程的解也可以离散化。

具体代码如下：（Matlab 代码）
函数离散柴
dt=0.04；
c1=1/9；
c2=1;
L=1/7；
G=0.7；
N=10000；
a0=0.8;a1=0.1;
MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1] ;
UVI=零（3，N）；
UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];
对于 k=1:N-1；
bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];
UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd；
结尾
情节（UVI（1,1：结束），UVI（2,1：结束））；
xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');
数字;
plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))
xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)');
经验证，该代码的执行效率高于四阶龙格-库塔数值积分法，但初始精度稍差。

(2)数值模拟结果：
改变G的值，当G=0.7时，数值模拟出现双吸引子：
Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以制作I-Uc1-Uc2的三维图：
I-Uc1-Uc2图
同时，Plot 可用于制作 I、Uc1 和 Uc2 对时间的曲线：
改变 G 的值，使 G=0.35，数值模拟中出现单个吸引子：
Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以制作I-Uc1-Uc2的三维图：
同时，Plot 可用于制作 I、Uc1 和 Uc2 对时间的曲线：
从结果可以看出，计算机数值模拟的相图特性与前述示波器非常相似。

同时，使用计算机可以很方便地改变系统参数，充分显示了计算机仿真的优越性。

六、选择做实验：
费根鲍姆常数的测量：
以G 为系统参数，从一个较大的值逐渐减小R V1 + R V2 ，记录倍周期分岔发生时的参数值Gn ，得到倍周期分岔之间连续参数间隔的比值：
n
n n n n G G G G --=+-∞→11lim δ 测量时， δn 值越大，越接近费根鲍姆常数。

由于本实验中的限制，需要使用费根鲍姆常数的近似值：
1
32321)()(R R R R R R --≈δ 实验发现：R 1 =8700 Ω； R 2 =11060 Ω； R 3 =11829 Ω。

代入上式，我们得到：
≈δ 4.1728
七、实验后思考题：
1. 什么是相图？为什么要使用相图来研究混沌现象？本实验的相图是如何得到的？
1 (t) 和y=V
2 (t) 中消去时间变量t 得到的空间曲线在非线性理论中称为相图。

在非线性理论中，我们会看到利用运动状态之间的关系更有利于揭示事物的本质，从而突出了电路系统运动的全局概念。

本实验中，示波器CH1端接Vc 1电压，CH2端接Vc 2电压，即可得到Vc 1 -Vc 2相位图。

2、什么是倍周期分岔，它在相图上有什么特点？
答：系统更改某些参数后，运动周期变为原来的两倍，即系统需要两倍的时间才能恢复原来的状态。

这在非线性理论中称为倍周期分岔。

倍周期分岔在相图上显示，原来的一个椭圆变成了两个分岔的椭圆，运动轨迹从一个椭圆跑到另一个椭圆，然后在重叠点又回到原来的椭圆。

3.什么是混沌？相图有什么特点？
答：混沌一般包括以下主要内容：
（1） 该系统执行看似单向运动，但决定其运动规律的基本动力学是
确定性的；
（2） 具体结果敏感地依赖于初始条件，因此它们的长期行为是不可
预测的；
（3） 这种不可预测性不是由外部噪声引起的；
（4） 系统的长期行为具有独立于初始条件的某些全局性和普遍性
特征。

混沌出现在相图上，因为围绕某一侧的轨道似乎是随机的，但这种随机性与真正随机系统中不可预测的不规则性不同。

因为相位点似乎在不规则地四处游荡，它不会重复已经走过的路径，但也不是在具有连续概率分布的相位平面上随机游走。

类似于“线圈”的轨道本身是有界的，其中显然有一些规律。

.
4. 什么是吸引子？什么是非奇异吸引子？什么是奇异吸引子？相图有什么特点？
答：在一定的系统条件下，无论它有什么初始条件，最终都会落入各自的最终状态集，称为“吸引子”。

周期解的吸引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引子。

5. 什么是费根鲍姆常数？在这个实验中如何测量它的近似值？ 答：对于某个系统，改变参数r ，当r=r 1时，可以看出系统从稳定周期1变为周期2，并继续改变r 。

当r=r 2时，周期2变得不稳定，同时出现周期4。

， 等等。

定义：
n
n n n n r r r r --=+-∞→11lim δ 常数δ称为费根鲍姆常数。

测量时， δn 值越大，越接近费根鲍姆常数。

由于本实验中的限制，需要使用费根鲍姆常数的近似值：
1
32321)()(R R R R R R --≈δ 6、如何测量非线性电阻R 的伏安特性？如何对实验数据进行分段拟合？实验中使用了哪条曲线？
答：测量非线性电阻R 时，从电路中取出电感，使有源非线性负电阻R 脱离移相器的连接。

将电阻箱R 0与有源非线性负电阻并联，改变电阻箱R 0 的阻值，用数字电压表测量U RO ，得到有源非线性负的伏安特性U < 0V 时的电阻。

分割时，先在坐标平面上绘制实验点，确定拐点的位置，然后分组进行单变量线性回归拟合。

实验中使用U<0V 时的伏安特性曲线，需要与原点对称，才能得到U>0V 时的伏安特性曲线。

八、实验印象：
在这个实验中，我对混沌的一些知识有了初步的了解，对混沌的理论和实际应用感兴趣。

实验后通过查阅相关资料了解到，20多年来，混沌一直是世界瞩目的前沿课题和研究热点。

它揭示了复杂性、有序与无序的统一、有序与无序的统一、稳定与随机的统一，极大地开阔了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。

非线性科学中的混沌是指一种确定性但不可预测的运动状态。

它的外观与纯随机运动非常相似，即不可预测。

但与随机运动不同，混沌运动是动态确定的，其不可预测性来自于运动的不稳定性。

换句话说，混沌系统也对无限小的初始值变化和微绕组敏感。

再小的扰动，时间久了都会完全偏离原来的进化方向。

混沌是自然界的普遍现象，天气变化是典型的混沌运动。

在人类的实际生活中，混沌机制也被广泛用于秘密通信、改进和提高激光的性能等等。

在实验中，通过观察现象加深了对RLC电路谐振的理解，并学习了该原理在测量领域的应用。

同时，在非线性电阻R的伏安特性曲线的测量中，通过对连接方式和测量方式的思考，锻炼了实验能力。

参考：
[1] 清都晓松。

混沌系统和混沌电路。

: 科学，2007
[2] 志忠．数值分析。

第二版。

：东南大学，2002。

[3] 龙超，洪斌。

蔡氏电路的仿真研究。

华北航天工程学院学报 Vol.
15 增刊，2005 年 6 月
从结果可以看出，计算机数值模拟的相图特性与前述示波器非常相似。

同时，使用计算机可以很方便地改变系统参数，充分显示了计算机仿真的优越性。

双期
四倍期
混沌爆发三重时期
单吸引子
双吸引子
使用混沌现象的计算机数值模拟：
（1）源程序（Matlab代码）：
算法核心：四阶龙格-库塔数值积分法
文件 1：chua.m
函数 [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no) h=0.01；
a=h/2；
aa=h/6;
xx=[];
对于 j=1:symbol_no;
k0=chua_map(x,time_variable,aaa);
x1=x+kO*a；
k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);
xl=x+k1*a；
k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);
x1=x+k2*h；
k3 = chua_map (x1, time-variable, aaa);
x = x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3)；
xx = [xx x]；
结尾
chua_initial.m第2条：
函数 [x0] = chua_initial (x, aaa)
h = 0.01； a = h/2; aa = h/6;
x = [ -0.03 0.6 -0.01] ';
k0 = chua_map (x, 1, aaa);
x1 = x+k0*a；
k1 = chua_map (xl, 1, aaa);
x1 = x+k1*a；
k2 = chua_map (x1,1, aaa);
x1 = x+k2*h；
k3 = chua_map (x1,1, aaa);
x = x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);
对于 k = 2：400
kO = chua_map (x, k, aaa);
x1 = x+k0*a；
k1 = chua_map (x1, k, aaa);
x1 = x+k1*a；
k2 = chua_map (x1, k, aaa);
x1=x+k2*h；
k3=chua_map(xl,k,aaa);
x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3)；
结尾
x0=x;
文件3：chua_map.m:
函数[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)
m0=-1/7.0；
m1=2/7.0；
如果 xx(1)>=1
hx=m1*xx(1)+m0-m1；
elseif abs(xx(1))<=1
hx = m0*xx(1);
别的
hx=m1*xx(1)-m0+m1；
结尾
A=[0 9.0 0
1.0 -1.0 1.0
他aaa 0]；
x=A*xx；
x=x+[-9*hx 0 O]';
第四部分：chua_demo.m
x0=0.05*randn(3.1);
[x0]=chua_initial(x0,-100/7);
[xx]=chua(x0.1.-100/7.20000);
情节（UVI（1,1：结束），UVI（2,1：结束））；
xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');
数字;
plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))
xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)'); (2)
对于这个实验，微分方程的解也可以离散化。

具体代码如下：（Matlab 代码）
函数离散柴
dt=0.04；
c1=1/9；
c2=1;
L=1/7；
G=0.7；
N=10000；
a0=0.8;a1=0.1;
MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1] ;
UVI=零（3，N）；
UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];
对于 k=1:N-1；
bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];
UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd；
结尾
情节（UVI（1,1：结束），UVI（2,1：结束））；
xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');
数字;
plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))
xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)');
经验证，该代码的执行效率高于四阶龙格-库塔数值积分法，但初始精度稍差。

(2)数值模拟结果：
改变G的值，当G=0.7时，数值模拟出现双吸引子：
Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以制作I-Uc1-Uc2的三维图：
I-Uc1-Uc2图
同时，Plot 可用于制作 I、Uc1 和 Uc2 对时间的曲线：
改变 G 的值，使 G=0.35，数值模拟中出现单个吸引子：
Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以制作I-Uc1-Uc2的三维图：
同时，Plot 可用于制作 I、Uc1 和 Uc2 对时间的曲线：。