11概率论与数理统计试卷及答案

福州大学概率论与数理统计试卷A (20130702)
附表： (Φ 2.5)=0.9937, (Φ3)=0.9987，09.2)19(025.0=t 一、 单项选择(共18分,每小题3分)
1．设随机变量X 的分布函数为()F x ，则以下说法错误的是( )
（A ）()()F x P X x =≤ （B ）当12x x <时，12()()F x F x < （C ）()1,()0F F +∞=-∞= （D ）()F x 是一个右连续的函数
2.设,A B 独立，则下面错误的是( )
(A) B A ,独立 (B) B A ,独立 (C) )()()(B P A P B A P = (D)φ=AB 3. 设X 与Y 相互独立，且3
1
)0()0(=
≥=≥Y P X P ，则=≥)0},(max{Y X P ( ) （A ）91 （B ）95 （C ）98 （D ）3
1
4. 设128,,,X X X K 和1210,,,Y Y Y L 分别是来自正态总体()21,2N -和()2,5N 的样本，且相互独立，21S 和22S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是( )
（A ）222152S S （B ） 212254S S （C ）222125S S （D ）2
22
145S S
5. 随机变量)5.0,1000(~B X ，由切比雪夫不等式估计≥<<)600400(X P ( ) (A)0.975 (B)0.025 (C)0.5 (D) 0.25
6.设总体),(~2
σμN X ，n X X X ,,,21Λ为X 的一组样本， X 为样本均值，2
s 为样本
方差，则下列统计量中服从)(2n χ分布的是（ ）.
(A) 1--n s X μ (B) 2
2)1(σs n - (C) n s X μ
- (D) ∑=-n
i i
X
1
22)(1μσ
学院 专业 级 班 姓 名 学 号
二．填空题（每空3分，共30分）
1.某互联网站有10000个相互独立的用户，若每个用户在平时任一时刻访问网站的概率为0.2，则用中心极限定理求在任一时刻有1900-2100个用户访问该网站的概率为 .
2. 已知c B A P b b B P a
A p =≠==)(),1()(,)(Y ，则=)(
B A P ，)(B A P = .
3. 在区间)1,0(上随机取两点Y X ,，则Y X Z -=的概率密度为 .
4．设随机变量]2,1[~U X ，则23+=X Y 的概率密度()Y f y = .
5．当均值μ未知时，正态总体方差2
σ的置信度为α-1的置信区间是
6.设随机变量ΛΛn X X X ,,,21相互独立且同分布，它的期望为μ，方差为2σ，令
∑==n
i i n X n Z 1
1，则对任意正数ε，有{}=≥-∞→εμn n Z P lim .
7. 设)1(~P X （泊松分布），则==))((2
X E X P .
8. 设921,,,X X X Λ是来自总体]1,3[~N X 的样本，则样本均值X 在区间]3,2[取值的概率为 9. 设随机变量X 的分布为()()1,2,k P X k p k λ===L ，则λ= .
三、计算题(每小题8分,共16分)
1.城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台任购一台，求 （1）该顾客购到正品的概率.
（2）若已知顾客购到的是正品，则已出售的两台都是次品的概率是多少？
2．设顾客在银行的窗口等待服务的时间X (单位：min)服从参数为0.2的指数分布. 假设某顾客在窗口等待时间超过10min 就离开.又知他一周要到银行3次，以Y 表示一周内未等到服务而离开窗口的次数，求).1(≥Y P
四、计算题(每小题8分,共24分) 1.
设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
,
),(22-===n q p n Y m X P ;,2,1Λ=m ;,2,1Λ++=m m n ,
10<<p 1=+q p ，求关于X 与Y 的边缘分布律.
2．设随机变量),(Y X 满足,1)0(==XY P 且X 与Y 的边缘分布为
,41)1(=±=X P ,21)0(==X P ,2
1
)1()0(====Y P Y P XY Y X ρ相关系数求,,并判别X 与Y
是否相互独立?
3. 设二维随机变量),(Y X 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由2,0=+=-y x y x 与
0=y 所围成的三角形区域，求条件概率密度)(y x f Y X .
五、计算题(每小题6分,共12分)
1.总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它,
01
0,1)()1(x x x f θθθ，其中
为未知参数0>θ，n X X X ,,,21Λ为总体X 的简单随机样本，求（1）θ的极大似然估计量θˆ.
（2）证明θ
ˆ是θ的无偏估计.
2.设某厂生产的电灯泡的寿命X 服从正态分布),(2
σ
μN ，现测试了20只灯泡的寿命，算得样本
均值1832=X （小时），样本方差4972
=S （小时），问2000=μ（小时）这个结论是否成立
（)05.0=α?
装 订 线 装 订 线 装 订 线
概率统计试题（20130702）参 考 答 案
一．选择题 1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D
二．填空题 1、0.9874
2.b b
c b c ---1,
3.⎩⎨⎧<<-=-=其他0
10)1(2)(z z z f Y X Z 4.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他08531)(y y f Y 5.)
)1()1(,)1()1((22
12222-----
n s n n s n ααχχ 6.0 7.e 21 8.0.4987 9.
p
p
-1 三．计算题
1. 解： 设B={顾客买到的是正品}，=i A {售出的两台有i 台次品}，2,1,0=i
,157)(210270==C C A P ,157
)(210
17131==C C C A P 151)(2=A P
⑴10
7
871518615785157)()()(2
=⨯+⨯+⨯=
=∑=i i i A B P A P B P ⑵121
10
787151)()()(22=⨯
==B P B A P B A P
2．.解：(1) 0.210
2(15|5)(10)P X X P X e e -⨯->>=>==
(2) 因为0.210
2(10)P X e
e -⨯->==
假设Y 表示三次等待不到服务而离开窗口的次数，由题意得2
~(3,)Y B e - 23
(1)1(0)1(1)P Y P Y e -≥=-==--
四．计算题1. 2211
(),1,2,n m n m P X m p q pq m +∞
--=+==
==∑
L
1
22221
()(1),2,3,n n n m P Y n p q n p q n ---====-=∑L
2. ．由题可得(0)0P XY ≠=，因此联合分布律容易得出
显然由 (1,1)0(1)(1)1/8P X Y P X P X =-==≠=-==,所以,X Y 不独立。

因为2
2
0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/4EX EY EX EY DX DY ======，0EXY =
所以(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，所以0XY ρ=，,X Y 不相关
∴==≠==).1()1()1,1(Y P X P Y X P Θ,X Y 不独立
3. ⎩⎨
⎧∈=其他
),(1
),(G y x y x f
⎪⎩⎪
⎨⎧<<-===⎰⎰-∞+∞
-其他0
1
0221),()(2y y dx dx y x f y f y y
y
时，当10<<y ⎪⎩
⎪
⎨⎧-<<-=其他02221
)|(|y x y y y x f Y X 五．
计算题1. 似然函数X n
i i
n
x
L 1
)1(1
)(=-=
θ
θθ
θ,
故X n
i i
x n L 1
ln 1ln ln =-+
-=θ
θ
θ,0)1
)(ln (/ln 21
=-+-=∑=θθθn
i i x n L d d ∑==-n
i i x n 1
ln θ,∑=-=n
i i x n 1ln 1ˆθ,θθθ=-=--⎰dx x x X E 11
101ln )ln ( θθθ==-=∑=n n
x E n E n i i
1)(ln 1)ˆ(1,
2. 2000:0=μH
1832=X 4972=S 20=n 05.0=α
7349.3320
497
2000
1832)(0=-=-=
S X n T μ 查表得09.2)19(025.0=t 09.2>T Θ
0H 拒绝∴。