重复测量资料方差分析

2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1)
y1i y2i y1i y2i n
2 sij 2 sii s 2 jj
rij
球形对称的实际意义举例
协方差 阵 A1 A2 A3 A4
A1
10 5 10 15
A2
5 20 15 20
A3
10 15 30 25
检验的P值若大于研究者所选择的显著性水准α时， 说明协方差阵的球形性质得到满足。
球形条件不满足怎么办
• 常有两种方法可供选择： 1. 采用MANOVA（多变量方差分析方法）
2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时间有关 的F值的自由度进行调整（调小） ' 分子自由度 1 1
分母自由度
2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1)
y1i y2i y1i y2i n
2 sij 2 sii s 2 jj
rij
重复测量资料方差分析对协方差阵的要求
• 重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相互独立的随机 样本，其总体均数服从正态分布； 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等，即具有方差齐 同 3. 各 时 间 点 组 成 的 协 方 差 阵 (covariance matrix) 具 有 球 形 性 (sphericity)特征。
多次重复测量设计
表 19-3 患者 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 药品治疗慢性乙型肝炎不同时间谷丙转氨酶（ALT）水平（u/L） 治疗时间 治疗前 160 415 327 174 201 289 85 176 76 75 12 周 105 371 94 113 26 20 44 165 215 94 24 周 147 258 36 63 55 17 56 136 34 51 36 周 135 182 51 50 20 21 62 83 81 59
A4
15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
5周后
10周后
两组家兔血清胆固醇的对数随时间的变化
每一根线代表1位病人
血药浓度（μ mol/L)
180 150 120 90 60 30 0
图10.附2
旧剂型 新剂型
4
8
时间（小时）
12
某药新旧剂型血药浓度随时间的变化
内容
• • • • • • •
概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
场合
广义
重复测量(repeated measure)是指对同一研究对象的某一观察指标在 不同场合（occasion，如时间点、部位等）进行的多次测量。
重复测量资料的特点
重复测量数据是对同一受试对象的某个观察指标进行连续观测所得到的数据 重复测量数据有两个因素：处理因素、时间因素 重复测量数据是试验结果按时间顺序固定排列的，不能像随机区组设计的处理那 样经过随机排列 重复测量数据不同时间测量值之间高度相关
• Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差 分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是 真的无效假设。
协方差阵的球形性检验
• 方差是指在某一时点上测定值变异性的
大小，而协方差是指在两个不同时点上
测定值相互变异性的大小。如果在某个
时点上的取值不影响其他时点上的取值，
则协方差为0，反之，则不为0。由方差
Box（1954）指出，若球形性质得不到满足，则方差分析的F值是有偏的，这 会造成过多的拒绝本来是真的无效假设(增加Ⅰ型错误)。
• 在对重复测量资料进行方差分析时，除要求样本 是随机的、在处理的同一个水平上的观察是独立 的以及每一水平上的测定值都来自正态总体外， 特别强调协方差阵(covariance matrix)的球形性 (sphericity)或为园环形(circularity)。
本例差值对应的方差精确 相等，说明球形对称。
2 2 2 2 s yi y j s yi s y j 2s yi y j
如：s
2 y1 y2
s s 2s
2 11 2 22
2 12
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形
H0：资料符合球形要求，
H1：资料不满足球形要求
•随机区组 单因子方差分析
•析因设计 •拉丁方设计 •正交设计 重复测量数据
方 差 分 析
多 反 应 变 量
•裂区设计 多因子方差分析 •交叉设计 •均匀设计 •……
非重复测量数据
每一根线代表1只兔子
胆固醇（mg%)的对数
6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 实验前
图10.附1
处理组 对照组
s12a 2 s2 a 2 saa (n 1)
对于yi与yj两时间点变量间差值 对应的方差可采用协方差矩阵 计算为：
2 2 2 2 s yi y j s yi s y j 2s yi y j 2 2 2 2 如：s y1 y2 s11 s22 2s12
协方差构成的矩阵称协方差阵。
•
设 k、l为两个测定时点，skl 代表协方差阵中的元素。当k＝l时为方差， k≠l时为协方差。共有a个测定时点，将这a个方差和（a-1）/2个协方差 排成协方差阵V为：
2 s11 2 s21 V s2 a1 2 s12 2 s22
2

重复测量设计的优缺点
每一个体作为自身的对照， 克服了个体间的变异。分析时 可更好地集中于处理效应. 因重复测量设计的每一个 体作为自身的对照，所以研究 所需的个体相对较少，因此更 加经济。
优点
缺点
滞留效应(Carry-over effect) 前面的处理效应有可能滞留到 下一次的处理. 潜隐效应(Latent effect) 前面的处理效应有可能激活原 本以前不活Fra Baidu bibliotek的效应. 学习效应(Learning effect) 由于逐步熟悉实验，研究对象 的反应能力有可能逐步得到了提高。

2 sa 2
2 s1a 2 s2 a 2 saa
(10 1)
协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素（方差） 相等、非主对角线元素（协方差）为零。
球形性
• 协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素(方 差)相等、非主对角线元素(协方差)为零。
• 常用Mauchly氏法检验协方差阵的球形性质。
重复测量的概念
狭义 时间 重复测量(repeated measure)是指对同一观察对象的同一观察指标在 不同时间点上进行的多次测量，用于分析该观察指标在不同时间上 的变化特点。
部位 重复测量(repeated measure)是指对同一观察对象的同一观察指标在 个体的不同部位（或组织）上重复获得指标的观察值。
内容
• • • • • • •
概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
重复测量资料方差分析对协方差阵的要求 协方差矩阵
2 2 s11 s12 2 2 s21 s22 V 2 2 s a1 sa 2 2 s11 ( y1i y1 ) 2


2
2 a 1 s kl k l

2
2 2a s k k

2
a2 s2

2

2 式 ( 1 0 - 3 ) 中 的 s kl 是 矩 阵 ( 1 0 - 1 ) 中 第 k 行 第 l 列 元 素 ，
s2 = s k l
d 66
设立对照的前后测量设计
表 19-2 肥胖患者治疗前后体重（kg） 观察对 象编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 均数 标准差 试验组 体重（kg） 服药前 （X1） 101 131 131 150 124 137 126 105 90 67 84 109 1355 112.9 24.5 服药后 （X2） 100 136 126 143 128 126 116 95 87 57 74 101 1289 107.4 26.3 差值 d= X1- X2 1 -5 5 7 -4 11 10 10 3 10 10 8 66 5.5 5.6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 观察对 象编号 对照组 体重（kg） 服药前 （X1） 100 129 127 145 137 128 115 130 87 69 85 109 1361 113.4 23.6 服药后 （X2） 101 131 126 140 135 126 116 126 90 70 84 101 1346 112.2 22.5 差值 d= X1- X2 -1 -2 1 5 2 2 -1 4 -3 -1 1 8 15 1.25 3.2
• Mauchly氏检验的P值若大于研究者所选择的显著 性水准α时，说明协方差阵的球形性质得到满足。 否则，必须对与时间有关的F统计量的分子、分母 自由度进行调整，以便减少犯I类错误的概率。调 整系数为ε(读作epsilon)。
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
2 2 s11 s12 2 2 s21 s22 V 2 2 s a1 sa 2 2 s11 ( y1i y1 ) 2
内容
• • • • • • •
概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
前后测量设计
表 19-1 某减肥药服用前后体重的观察值 观察对 象编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 体重（kg） 服药前（X1） 服药后（X2） 101 131 131 150 124 137 126 105 90 67 84 109 100 136 126 143 128 126 116 95 87 57 74 101 差值 d= X1- X2 1 -5 5 7 -4 11 10 10 3 10 10 8
自由度调整方法2
(2)Huynh-Feldt 调 整 系 数 (H-F )
s12a 2 s2 a 2 saa (n 1)
对于第8、章，几个处理 9 组间的协方差矩阵为：
2 s11 0 0 2 0 s22 0 V 0 0 s2 aa 2 2 且假定s11 saa
2 kl
2 2 a 2 是 所 有 元 素 的 总 平 均 值 ， s kk ( s ll ) a 是 l
2 2 主 对 角 线 元 素 的 平 均 值 ， s k = ( s kl ) a 是 第 k 行 的 平 均 值 。 l
ˆ 的 取 值 在 1 . 0 与 1 / ( a - 1 ) 之 间 。
' 2 2
(1) Geenhouse-Geisser调整系数(G-G) (2) Huynh-Feldt调整系数(H-F)
自由度调整方法1
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ( G - G ) 为 ：
ˆ
2 a 2 s kk s 2
重复测量设计资料的方差分析
内容
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概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
内容
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概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
方差分析
单 反 应 变 量