离散型随机变量的数学期望(一)(组内研讨课)

1
1
k
Cn p q
k k nk
… …
k nk n
n
Cn p q
n 0
Cn p q Cn p q
0 n
…
n1
EX=0×C n p q ＋１× C n p q
EX＝？ np
为什么 呢？能 证明它 吗？
1 1
＋…k× C n p q
k
＋…n× C n p q
n
n
结论： 1；一般地，如果随机变量X服从 两点分布（1，p)，则EX＝p 2；一般地，如果随机变量X服从二项分
X E a
b
一、离散型随机变量取值的均值
X
P
x1 x2
数学期望
· · ·
xn
· · · · · ·
xi
p1
p2
pi
· pn · ·
EX x 1 p 1 x 2 p 2 x i p i x n p n
二、随机变量数学期望的性质（线性性质）
E ( aX X )E a b
变式训练： 某课外活动小组有4名男生和6名女生， 现 要从中选3人组成一个调查小组，设其中 男生人数 为X．
(1)求X的分布列； (2)求X的期望.
一般地，如果随机变量X服从超几何分布， 即X～H(n，M，N)，则
E(X ) nM N
三、例题讲解
例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概 率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工 地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护 设备，有以下3 种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800 元． 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围 墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
xn
p1
p2
pi
· pn · ·
则称
EX x 1 p 1 x 2 p 2 x i p i x n p n
为随机变量X的均值或数学期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
1、某射手射击所得环数X的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9
10
p
0.02 0.04 0.05 0.10 0.25 0.30 0.24
布，即X～B（n,p），则EX=np
即时训练：
3， 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球
次数的数学期望是
3
.
4，随机变量X~B（8，p），已知X的均值EX=2， 0.21 则P（x=3)= （保留2位有效数字）。
超几何分布的数学期望
例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球 和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白 球个数的期望。
1、某射手射击所得环数X的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9
10
p
0.02 0.04 0.05 0.10 0.25 0.30 0.24
能否估计出该射手n次射击的平均环数？
2，商场促销决策问题 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促 销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活 动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要 看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万 元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选 择哪种促销方式？
概念 步骤
期望的概念
求期望的三个步骤
方法
求期望的三种方法 期望为我们提供了实际 问题决策的理论依据。
应用
高考链接：
（广东卷17）（本小题满分13分） 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一 等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4 件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6 万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件 产品的利润（单位：万元）为X． （1）求X的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品 率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件 产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是 多少？
分析： X～B（3，0.7）
X P 0 1
3
2
2
3
0 .7
3
0 .3
C 3 0 .7 0 .3
1
C 3 0 .7 0 .3
2 2
为什么 3 1 2 2 2 3 EX 0 0 . 3 1 C 3 0 . 7 0 . 3 2 C 3 0 . 7 0 . 3 3 0 . 7 Ex= 呢？ 2 . 1 3 0.7
b
即时训练：
1、随机变量X的分布列是
X 1 3 5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则EX=
2.4
. 5.8 .
(2)若Y=2X+1，则EY=
2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2
Eξ=7.5,则a=
0.1 b=
0.4 .
三、例题讲解
两点分布的期望
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？ 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
EX x 1 p 1 x 2 p 2 x i p i x n p n
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是 随机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
X P X
P
x1
x2
p1
x1
p2
x2
· · xn · · pn · · · · · · · · · · ·
18×P（Ｘ=18）+24×P（Ｘ=24）+36×P（Ｘ =36）＝２３ 合理价格： 18 24 36 23 ( 元 / kg ) 2 3、离散型随机变量取值的均值 (数学期望) 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
P
x1 x2
· · · · · ·
xi
· · ·
当堂检测
1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个 黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个 数的数学期望是 （用数字作答）
2. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任 取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ） A．4； B．5； C．4.5； D．4.75
3.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从 中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取 到一个白球记1分，每取到一个红球记2分， 用表示得分数 ①求的概率分布列 ②求的数学期望
离散型随机变量的分布列 X x1 x2 · · ·
P
xi
· · · · · ·
p1
p2
· · ·
pi
性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＝1．
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征如均 值，方差等。
反思：1、用定义求随机变量均值的一般步骤： 1）找出随机变量的可能取值； 2）求出分布列 3）利用定义（公式）求均值。 反思：2、求随机变量均值的一般方法：
1）利用定义求均值；
2）利用线性性质求均值。
3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。
例：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4 个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或 选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
思考：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？ 加 权数 权 平 1 1 1 合理价格： 18 24 36 23 ( 元 / kg ) 均 2 3 6
教学过程
思考：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg， 36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售， 如何对混合糖果定价才合理？ 如果混合糖果中每一颗糖 X 18 24 36 果的质量和形状都相同， 1 1 1 从混合糖果中任取一颗糖， P 用X表示这颗糖的价格， 2 3 6 X的分布列怎样？
xn
Y＝aX＋b ax 1 b ax 2 b
p1 p2
ax n b
pn
EY ( ax 1 b ) p 1 ( ax 2 b ) p 2 ( ax n b ) p n
a ( x 1 p1 x 2 p 2 x n p n ) b ( p1 p 2 p n )
X 1 0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0 ( 1 p ) p
三、例题讲解 二项分布的期望
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？ 0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？
4 . 76 x 4 . 73，解得
x 0 . 03
【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2； P ( X
P ，( X 2) 50 200 0 . 25 ， P ( X 1 )
6)
126 200
0 . 63
20 200
0 .1
,P ( X 2 )
4 200
0 . 02
故的分布列为： X
能否估计出该射手n次射击的平均环数？
分析：∵随机变量X 的均值等于：