离散型随机变量的方差与期望值

学号：1037017458
姓名：高静
随机变量的概率分布及其分布函数
— 完整地描述了随机变量的取值规律。 而在一些实际问题中，只需知道描述随机 变量的某种特征的量— 随机变量的数字特 征。 在这些数字特征中，最重要的是期望值和 方差。
离散型随机变量的期望值
(expected value)
• 离散型随机变量X的期望值定义为，在离散型 随机变量X的一切可能值的完备组中，各可 能值 xi与其对应概率 pi 的乘积之和称该随 机变量X的期望值（expected value），记 做E(X)或μ • 若X取值： x1 , x2，…，xn， 其对应的概率为： p1 ，p2 ，… ，pn ，则期望值为： • E（X）= x1p1 +x2p2 +。。。+xnpn x p
( 4 3 .5 ) 2 *
1 6

• • •
•
( 5 3 .5 ) *
( 6 3 .5 ) 2 *
百度文库
1
6 =2.9167 标准差=1.7078，说明每次掷得的点数与平均点数3.5平均 相距1.7078点。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机 变量取值的稳定与波动、集中与离散的程 度。
谢谢大 家
E ( X ) [ E ( X )]
2
oh, dear！ Come on!
2
由上式可知，方差实际上就是随机变量 X的函数[X－E（X）]2 的数学期望。于 是，若X是离散型随机变量，则
D(X )
[( xi
k i

E ( X )] pi
2
标准差
•
• 随机变量方差的算术平方根就为标准差。
n i i i 1
若X取无穷个数值：x1 , x2，…，xn ...其对应的概率为p1 ， p2 ，… ，pn。。。
• 则期望值为： E（X）



xi pi
k i
• 期望值E（X）也称为 随机变量X的数学期望。
【例】投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型随机变量。写出 掷一枚骰子出现点数的概率分布
(X ) D(X ) • 对掷骰子的例子，随机变量X的方差为：
2 (X ) D(X )
[( x i E ( X )] p i
2 i 1
n
(1 3 . 5 ) *
2 2
1 6
( 2 3 .5 ) 2 * 1 6
1 6
( 3 3 .5 ) 2 *
1 6

X = xi P(X=xi) pi
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
期望：μ=E(X)=
• 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3. 5
1.描述离散型随机变量取值的集中程 度 2.离散型随机变量X的所有可能取值 xi与其取相对应的概率 pi 乘积之和 3.记为 或E(X)，计算公式为: n =E(X)= x1p1 +x2p2 +。。。+xnpn= x p

i
i
i 1
由离散型随机变量X的期望值定义可看 到，它与加权平均数的写法有点类似， 其实它是加权平均数的一种推广。一般 实际数据的加权平均数是具体数据的平 均指标，而这里所谈的期望是随机变量 X的期望指标。
方差与标准差
方差— 描述随机变量X与其均值（数学期望） 的离散程度的。 随机变量的方差定义为每一个随机变量的取值 与期望值的离差平方之期望值。 设随机变量为X，其方差常用x,D(X)或V(X)表 示，本书采用D(X),则 D（X）=E[X－E（X）]2