离散型随机变量的期望

P（ ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15， （k=1，2，…9）； （ ） ， ， ， ）；
需要抽查10次即前 次取出的都是正品的概率 需要抽查 次即前9次取出的都是正品的概率 次即前 P（ ξ=10）=0.859 （ ）
（为什么？） 为什么？）
3、结论(1)：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np 、结论 ： ， ， ξ 0 1 … k … n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明： 证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∵
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + × × × …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 × × =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np
Eξ=0×P（ ξ=0）+ 1×P（ ξ=1）+…+ 10×P（ ξ=10） × （ ） × （ ） × （ ） 为此射手射击所得环数ξ的 称Eξ为此射手射击所得环数 的期望，它刻划了随机变量 所取的平 为此射手射击所得环数 期望，它刻划了随机变量ξ所取的平 均值，从一个方面反映了射手的射击水平。 均值，从一个方面反映了射
2
3
4
5
P 0.59049
0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
解：射击次数ξ的概率分布为 的概率分布为
ξ P
1 0.9
2 0.09
3 … 0.009 …
n … 0.1n-1×0.9 …
6、某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续 、某批数量较大的商品的次品率为 ， 取出5件 的分布列。 取出 件，求其中次品数ξ的分布列。 的分布列 解： ξ~B（5，0.1). ξ的分布列为 （ ， 的分布列为
服从几何分布的随机变量的期望 服从几何分布的随机变量的期望 几何分布 结论(2)： 结论 ：若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p ， ， ξ P 1 p 2 pq 3 … pq2 … k …
pqk-1 …
∴E ξ =p+2pq+3pq2+…+kpqk-1+… qE ξ =pq+2pq2+3pq3+…+kpqk+… ∴(1-q)E ξ =p+pq+pq2+pq3+…+pqk+…
有一批数量很大的产品，其次品率是15%。 例2 有一批数量很大的产品，其次品率是 。 对这批产品进行抽查，每次抽出1件 对这批产品进行抽查，每次抽出 件，如果抽出 次品，则抽查终止，否则继续抽查， 次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次 但抽查次数最多不超过10次 求抽查次数ξ 品，但抽查次数最多不超过 次。求抽查次数 的期望。（结果保留三个有效数字） 。（结果保留三个有效数字 的期望。（结果保留三个有效数字）
1、期望 、 若离散型随机变量ξ的概率分布为 若离散型随机变量 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … …
则称Eξ=x1p1+ x2p2+ … + xnpn+ …为ξ的数学期望或 则称 为 的数学期望或 平均数、均值，又称期望 期望。 平均数、均值，又称期望。
为上述离散型随机变量， 问：若ξ为上述离散型随机变量，则η=a ξ+b的分 为上述离散型随机变量 的分 布列怎样？ 布列怎样？ E η呢？ 呢 因为P（ ），i=1， ， 因为 （ η=a xi+b）=P（ ξ=xi）， ，2，3… ） （ 所以， 的分布图为 所以， η的分布图为 η a x1+b a x2+b … P p1 p2 … axn+b … pn …
的整数， 解：抽查次数ξ取1~10的整数，从这批数量很大的产品 抽查次数 取 的整数 中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的， 中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取 出次品的概率是0.15，取出正品的概率是 出次品的概率是 ，取出正品的概率是0.85，前k-1次 ， 次 取出正品而第k次 取出正品而第 次（k=1，2，…9）取出次品的概率 ， ， ）
3、若ξ~B(n,p)，则Eξ=np 、 ， 4：公式 若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p ： ， ， 练习：P14 1~6。 练习： 。
作业：习题 作业：习题1.2 P16 1~6
讲评作业:P9 习题 6 习题3, 讲评作业
3 、某射手射击击中目标的概率为 ，求从开始射 某射手射击击中目标的概率为0.9， 击到击中目标所需的射击次数ξ的概率分布 的概率分布。 击到击中目标所需的射击次数 的概率分布。
服从二项分布的随机变量的期望 服从二项分布的随机变量的期望 二项分布 若ξ~B(n,p)，则Eξ=np ， 一次英语单元测验由20个选择题构成 个选择题构成， 例4 一次英语单元测验由 个选择题构成，每 个选择题有4个选项 个选项。 个选择题有 个选项。其中有且仅有一个是正 确答案，每题选择正确答案得5分 确答案，每题选择正确答案得 分。不作出选 择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任 择或选错不得分，满分 分 一题的概率为0.9， 一题的概率为 ，学生乙则在测验中对每题都 个选项中随机地选择一个。 从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学 个选项中随机地选择一个 生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。 生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
于是E （ 于是 η=（a x1+b)p1+ （a x2+b)p2+…+ （a xn+b)pn+ … =a（ x1 p1+ x2p2+ …+ xnpn+ …）+b（p1+p2+ …+pn + …） ） （ ） =a E ξ+b E（a ξ+b）=a E ξ+b （ ）
2、例题 、
例1： 随机抛掷一个骰子， ： 随机抛掷一个骰子， 求所得骰子的点数ξ的期望 的期望。 求所得骰子的点数 的期望。
离散型随机变量的 期望
教学要求: 教学要求 使学生了解离散型随机变量的期望的意义,会 使学生了解离散型随机变量的期望的意义 会 根据离散型随机变量的分布列求出期望. 根据离散型随机变量的分布列求出期望
对于离散型随机变量，确定了它的分布列， 对于离散型随机变量，确定了它的分布列， 就掌握了随机变量取值的统计规律。 就掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题 中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的 某个方面的特征，最常用的有期望与方差。 某个方面的特征，最常用的有期望与方差。 引例： 引例： 某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 某射手射击所得环数 的分布列如下： 的分布列如下 ξ P 4 5 6 7 8 9 10
例5：一次英语单元测验由20个选择题构 一次英语单元测验由20个选择题构 20 每个选择题有4个选项， 成，每个选择题有4个选项，其中有且仅 有一个选项是正确答案， 有一个选项是正确答案，每题选择正确答 案得5 不作出选择或选错不得分， 案得5分，不作出选择或选错不得分，满 100分 学生甲选对任一题的概率为0.9 分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9 学生乙则在测验中对每题都从4 ，学生乙则在测验中对每题都从4个选项 中随机地选择一个。 中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在 这次英语单元测验中的成绩的期望。 这次英语单元测验中的成绩的期望。
设学生甲和学生乙在这次英语测验中 解： 选择了正确答案的选择题个数分别是ξ 选择了正确答案的选择题个数分别是ξ 和 η， 则 B(20，0.9)， ξ～B(20，0.9)， B(20，0.25)， η～B(20，0.25)， Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝ Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这 次英语测验中的成绩分别是5ξ 5η。所以， 5ξ和 次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以， 他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90， E(5ξ)＝5Eξ＝ 18＝90， E(5η)＝5Eη＝ 25． E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
根据这个射手射击所得环数ξ的分布列， 根据这个射手射击所得环数 的分布列，在 的分布列 n次射击中，预计有大约 次射击中， 次的4环 次射击中 预计有大约0.02n次的 环…… 次的
类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数 的 类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数ξ的 分布列，即已知各个P（ ），则 分布列，即已知各个 （ ξ=i)(i=0,1,2,3,…10），则 ）， 可预计他任意n次射击的平均环数是 可预计他任意 次射击的平均环数是
p = =1 1− q
1 1 ∴ Eξ = = 1− q P
例5 在独立重复的射击试 验中， 验中，某人击中目标的概 率为0.2， 率为 ，则他在射击时击 中目标所需要的射击次数ξ 中目标所需要的射击次数 的期望是多少？ 的期望是多少？
小结： 、随机变量的数学期望。 小结：1、随机变量的数学期望。 2、公式 、 E（a ξ+b）=a E ξ+b （ ）