离散型随机变量
概率论与数理统计之离散型随机变量
电子科技大学
离散型随机变量
14.12.13
lim P{ X n k }
n
lk
k!
e , k 1,2,
l
证明略. 思考：你能从条件 lim npn l 0,
n
中分析出什么结论吗？ 注
n
lim npn l
即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故
即 10k 10 P{ X a } e 0.95 k 0 k!
a
电子科技大学
离散型随机变量
14
14.12.13
查表可得
10k 10 e 0.9166 0.95 k 0 k!
10k 10 e 0.9513 0.95 k 0 k!
15
这家商店在月底保证存货不少于15件就 能以95%的概率保证下个月该种商品不会 脱销.
p (1 p)
电子科技大学
离散型随机变量
k n
14.12.13
从n次试验中选出k 次试验有C 种不同的 方式.
且各种方式的事件互不相容，由概率的有 限可加性可得
Pn ( k )
结论成立.
k Cn
p (1 p)
k
n k
,
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p).
14.12.13
故
F ( x ) P{ X x }
P[ { X xi }] P{ X xi }
xi x
xi x
二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; 贝努里 试验
离散型随机变量公式
离散型随机变量公式
1.非负性：对于所有可能取的值x，P(X=x)≥0。
2.规范性：所有可能取的值的概率之和为1，即∑P(X=x)=1
3.可数可加性：对于所有可能取的值x1和x2，当x1≠x2时，
P(X=x1)+P(X=x2)即为两个事件同时发生的概率。
E(X)=∑xP(X=x)·x
其中，∑表示对所有可能取的值x进行求和，并乘以对应的概率质量函数的值P(X=x)。
这个公式可以理解为将每个可能的结果乘以其发生的概率，然后将所有结果的期望值相加得到。
Var(X) = ∑x [P(X=x)·(x - E(X))^2]
其中，∑表示对所有可能取的值x进行求和，并乘以对应的概率质量函数的值P(X=x)和(x-E(X))^2、这个公式可以理解为将每个可能的结果与期望值的差的平方乘以其发生的概率，然后将所有结果的加权平均值得到。
σ = √Var(X)
其中，Var(X)表示离散型随机变量X的方差。
标准差可以理解为方差的平方根，它与原始数据集的单位保持一致。
标准差越大，说明数据的离散程度越大；标准差越小，说明数据的离散程度越小。
总结起来，离散型随机变量的公式主要包括概率质量函数（PMF）的定义以及期望值、方差、标准差的计算公式。
这些公式可以用于描述和衡量离散型随机变量的特点和性质。
概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量
概率统计中的离散型随机变量与连续型随机变量概率统计是数学的一个分支，用于研究随机现象的规律性和不确定性。
在概率统计中，随机变量是一个非常重要的概念。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。
本文将介绍这两种类型的随机变量以及它们的特点和应用。
一、离散型随机变量离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
它的特点是在定义域内的每个值都有一定的概率与之对应。
离散型随机变量的概率可以通过概率分布函数来描述。
概率分布函数是一个将随机变量的取值映射到概率的函数。
离散型随机变量常见的例子有抛硬币的结果、掷骰子的点数、抽奖的中奖号码等。
这些随机变量的取值都是有限个或可列个，每个取值的概率可以通过实验或统计数据得到。
离散型随机变量的期望值和方差是衡量其分布特征的重要指标。
期望值表示随机变量的平均取值，方差表示随机变量取值的离散程度。
通过计算期望值和方差，可以更好地理解和描述离散型随机变量的分布特征。
离散型随机变量在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在市场调研中，我们可以将消费者的购买行为看作是一个离散型随机变量，通过统计分析不同购买决策的概率分布，可以了解不同消费者的购买偏好和市场需求。
二、连续型随机变量连续型随机变量是指在一定范围内可以取任意实数值的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值是连续的，无法一一列举出来。
连续型随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。
概率密度函数是一个描述随机变量概率分布的函数，它可以表示在某个取值范围内随机变量出现的概率密度。
与离散型随机变量的概率分布函数不同，连续型随机变量的概率密度函数在定义域内的每个点上的函数值并不表示该点的概率，而是表示该点附近的概率密度。
连续型随机变量常见的例子有身高、体重、温度等物理量。
这些随机变量的取值可以是任意的实数，通过概率密度函数可以描述它们的概率分布情况。
与离散型随机变量类似，连续型随机变量也有期望值和方差这两个重要指标。
离散性随机变量的概念
离散性随机变量的概念知识归纳1．离散型随机变量随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的分布列．X 的分布列也可简记为：P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n .(2)离散型随机变量的两个性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．3．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1,如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B∪C |A )＝5．事件的独立性设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与B 相互独立．4．条件概率 一般地，设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，一般把P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(1)如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(2)如果A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，即事件A 的发生与否不影响事件B 的发生． (3)对于n 个事件A 1、A 2、…、A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件的影响，则这n 个事件A 1、A 2、…、A n 相互独立．如果A 1、A 2、…、A n 相互独立，那么P (A 1A 2…A n )＝6．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响．(2)一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率都为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为则称随机变量X 服从参数为n 、P 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．7．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用．误区警示1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别它们是两个不同的概念，相同点都是对两个事件而言的，不同点是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解 (1)独立重复试验的条件第一：每次试验是在同样条件下进行．第二：各次试验中的条件是相互独立的．第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚． (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等．P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，(其中m 是M ，n 中的最小值，n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *)．称分布列一、解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等． 第三步，运用公式求概率1、 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)小明要去北京旅游，可能乘火车、乘汽车，也可能乘飞机，旅费分别为100元、60元和600元，将他的旅费记为ξ；(2)正方体的骰子，各面分别刻着1、2、3、4、5、6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ； (3)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；(4)电台在每个整点都报时，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ(min)． 2、 (09·广东)已知离散型随机变量X 的分布列如右表，若E (X )＝0，D (X )＝1，，则a ＝______，b ＝______.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则E (ξ)＝ ( )A.1225B.2325C.1350D.4625古典概型P (A )＝mn ；互斥事件P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )； 独立事件P (AB )＝P (A )P (B )；n 次独立重复试验：P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k.3 一次数学摸底考试，某班60名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取一位同学，其分、数是否及格记为ξ，求ξ的分布列．4 从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.(1)求从该批产品中任取一件是二等品的概率p；(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．5某学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动．(1)现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；(2)若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．6 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取1件．试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．7设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．8(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p ，q 的值； (3)求数学期望E (ξ)．9．(2010·甘肃省质检)某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( ) A ．ab －a －b ＋1 B ．1－a －b C ．1－ab D ．1－2ab10．(2010·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝( )A.445B.8310C.72D.9211．(2010·福建福州)在研究性学习的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H，I，J，K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．(1)求甲、乙两人同时承担H任务的概率；(2)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(3)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．12．(2010·云南统考)某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试．该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级．假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.(1)求a＋b的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值．13．(2010·河北唐山)已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．14．(2010·浙江金华十校联考)质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E(ξ)．15．(2010·河南调研)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛进行完七局的概率；(3)记比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．。
第6讲离散型随机变量
第六讲 离散型随机变量
教师：代金辉
第六讲 离散型随机变量 第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量
第一节 随机变量
存在某个数量与随机试验的每个结果相关联。 例1：有些实验结果本生就是数 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，…… (4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +)
X x1 x2 …… xn ……
P
p1
p2 …… pn ……
分布列的基本性质
1
2
。
pk 0, k 1,2, (非负性)
。
p
k 1
k
1.
(正则性)
a 例 1 设随机变量 X 的分布律 P（x=k）= ， N k=1，2，„，N 试确定常数 a
a a 解： P( x k ) N 1 N k 1 k 1 N
例4 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售 量服从参数为 5的泊松分布。为了以95%以上的概 率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品 多少件？ 解 设商店每月销售某种商品X件，月底的进货量为n件，
则当Ｘ ｎ 时就不会脱销，则按题意要求为
5 k 5 P( X n) e 0.95 k 0 k！
X
0
q
1
p
pk
H T
若一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素， {1，我们总能在上定义一个服从（0－1） , 2 } 即 分布的随机变量。
0, 当 1 , X X ( ) 1, 当 2 . 来描述这个随机试验的结果。
离散型随机变量
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表
称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1n
p i ＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为
其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k N －M
C n N
，k ＝0,1,2，…，
m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有下表形式，。
名词解释离散型随机变量
名词解释离散型随机变量
离散型随机变量是指具有有限个值或有限个可能结果中出现的一种变量，它们
具有离散取值，而不是连续变化。
离散型随机变量既可以是定义在连续变量上的变量，也可以是由其他连续随机变量（如随机变量）组成的变量。
离散型随机变量的应用可以追溯到19世纪的统计学家，他们把随机变量分为
连续型变量和离散型变量，以描述发生在概率范畴里的一些事件。
离散型随机变量是一个很强大的数学概念，已被广泛应用于各种科学领域，其中包括金融、经济学、生物统计学等。
离散型随机变量在统计学中可被描述为某一实验，其值依赖于可能观测到的值，本质上是一种概率分布。
它们利用概率论来表示实验结果的不确定性，可用于估计一种实验事件发生的概率。
更重要的是，它可以用来推断概率分布的特性，如正态分布、对数正态分布等，并估计其概率密度函数的参数值。
离散随机变量的另一个重要应用是描述实验结果的统计特性。
比如，使用它们
可以表示实验组与控制组之间的统计频数，识别两者之间的差异，也可以表示实验组间统计频数之间的相关性，同时绘制实验结果的直方图，使用者可清晰地观察不同状态的变化。
离散型随机变量在相关研究中的作用也受到了人们的广泛关注。
它可以用于识
别某一变量和另一个变量之间的相关性，以及可能的关系，这常常可简化研究者在实验中的观察结果，为深入的研究提供必要的信息。
总之，离散型随机变量具有深远的影响力，它们可以用来描述实验结果的统计
特性，估计概率分布的参数，识别不同变量之间的相关性等，因此离散型随机变量当今全球社会中受到的人们的广泛关注和广泛使用，在不断提升社会生活水平的过程中扮演着重要角色。
概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数
4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布， 简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件 的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元 件的总数来说又很小,因而此抽样可近似 当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解： 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
2.2(离散型随机变量)
2.2.2 常用离散型分布
泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！
泊松资料
Siméon Poisson
Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris),
France
B2, B3, TRUE)
▪ 计算例2-8中的概率
【实验2.2】用Excel验证二项分布与泊松分布的关 系．
实验准备：
函数POISSON的使用格式：POISSON(x, mean, cumulative)
功能：返回泊松分布的概率值．其中x为事件数， mean为期望值，cumulative为一逻辑值，确定所 返回的概率形式．如果cumulative为TRUE，函数 POISSON返回泊松累积概率；如果为FALSE，则 返回泊松概率函数值．
2.2.2 常用离散型分布
【例2.7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为 的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格 品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概 率．
解：以X表示铸件的砂眼数，由题意知X～ P(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为
P{ X 1} 0.50 e0.5 0.51 e0.5 0.91
pk =
, k = 0，1，…，n
定义2.5 如果C随nk机pk变(1 量pX)n的k 分布律是
，k = 0，1，…，n
则称PX{服X 从 k二} 项C分nk p布k (，1 记p为)nXk ～ B(n，p)．
2.2.2 常用离散型分布
二项分布与(0 1) 分布的关系.
二 项 分 布 是(0 1) 分 布 的 推 广, 对 于 n 重 伯 努 利
离散型随机变量(优质课课件)
04
离散型随机变量的模拟方法
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛方法是一种基 于概率的数学方法，通 过随机抽样和统计试验 来近似求解数学问题。
在离散型随机变量的模 拟中，蒙特卡洛方法通 过生成大量的随机样本 ，来模拟离散型随机变 量的分布和性质。
蒙特卡洛方法可以用于 求解各种复杂的数学问 题，如积分、微分、概 率等。
接受-拒绝采样法
接受-拒绝采样法是一种基于接受和拒绝思想的 离散型随机变量模拟方法。
接受-拒绝采样法适用于分布复杂、样本数量大 的情况。
它通过接受和拒绝不同的样本，来模拟离散型随 机变量的分布和性质。
在实际应用中，接受-拒绝采样法常常用于估计 难以直接抽样的离散型随机变量的概率质量函数 、累积分布函数等。
参数估计和假设检验
离散型随机变量在统计学中常用于参数估计和假设检验，例如使用二项分布来 估计成功的概率，或者使用泊松分布来检验某事件发生的频率是否符合预期。
在金融学中的应用
风险评估
离散型随机变量在金融学中常用于风 险评估，例如计算投资组合的收益率 和风险，或者评估市场波动对资产价 值的影响。
保险精算
贝叶斯推断的基本思想是将未知参数 看作随机变量，并为其赋予一个先验 分布，然后利用数据来更新该先验分 布，得到后验分布。
大数据中的离散型随机变量
随着大数据时代的到来，离散型随机变量在大数据分析中扮演着越来越重要的角色 。
在大数据分析中，离散型随机变量常常用于描述分类数据、计数数据等，例如用户 点击行为、社交网络中的交互等。
为了更好地处理大数据中的离散型随机变量，需要采用高效的数据处理技术和算法 ，例如分布式计算、云计算等。
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感谢聆听
果出现的概率是相同的，则称这n次试验为伯努利试验。例如抛硬币试
离散型随机变量
图示概率分布
例3 某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02, 独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
泊松资料
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察
与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,
他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子
数X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及
公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
1.
0, x 0,
得
F
(
x)
1 2
,
0 x 1,
1, x 1.
二、常见离散型随机变量及其概率分布
1.退化分布
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
P(X C) 1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~b(1,p) 说明： 两点分布是最简单的一种分布,任何一 个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴 儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽
P{公司亏本} 1 14 e5 5k 0.0002
离散型随机变量
离散型随机变量离散型随机变量是概率论中的一个重要概念，它是指随机变量取值为有限个或可数个的情况。
对于离散型随机变量，我们可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述其取值与相应概率的关系。
下面将对离散型随机变量的定义、特点以及常见的离散型随机变量进行介绍。
一、离散型随机变量的定义离散型随机变量是指其取值为有限个或可数个的随机变量。
具体来说，对于一维离散型随机变量X，其取值集合可以表示为{X1, X2,X3, ... , Xn}，而不是一个连续的区间。
离散型随机变量的特点是，它的每个取值都有一个概率与之相对应，即P(X = Xi)。
这意味着我们可以通过概率质量函数（PMF）来描述离散型随机变量的取值与相应概率的对应关系。
二、离散型随机变量的特点离散型随机变量有几个重要特点，包括有限性、不连续性、可数性和非负性。
1. 有限性：离散型随机变量的取值集合是有限个或可数个，即有限可数。
这与连续型随机变量不同，后者的取值集合是无限个且无法一一列举。
2. 不连续性：离散型随机变量的取值是离散的，即不存在取任意实数的情况。
相应地，其概率质量函数在取值点之间可以是零，而在取值点上为正。
3. 可数性：离散型随机变量的取值集合是可数的，即可以用自然数进行一一对应。
这也意味着我们可以将概率质量函数表示为一个概率分布列。
4. 非负性：离散型随机变量的概率质量函数的取值是非负的，即P(X = Xi) ≥ 0。
这是因为概率是一个非负实数。
三、常见的在概率论与数理统计中，有一些常见的离散型随机变量。
下面将介绍几个常见的离散型随机变量以及它们对应的概率分布。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利变量是最简单的离散型随机变量之一，其概率分布只有两个取值。
伯努利分布常用于表示一次试验只有两个可能结果的情况，如抛硬币、赛马比赛等。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种重要的离散型随机变量，它描述了一系列相互独立的伯努利试验中成功次数的分布情况。
离散随机变量名词解释
离散随机变量名词解释从概率论的角度看，离散型随机变量可分为两大类：第一类是连续型随机变量，即服从正态分布;另一类是离散型随机变量，即服从正态分布或t分布。
下面就是有关这些随机变量的名词解释：1。
离散型随机变量假设对于服从标准正态分布，且均值为1的离散型随机变量X，随机变量的样本均值，即样本均值P(x)通常称为均值或均值函数。
如果设定x(t)为自变量，记作X(t)，则相应的随机变量称为X的函数，记作X。
在统计学中，用Y表示X的函数，是经常采用的简便写法，或者在数学上， Y= X，也能得到统一的结果。
在正态分布理论中，通常假定随机变量的形式服从正态分布，即相应的自变量和因变量均服从正态分布。
1。
离散型随机变量假定变量取值范围为[-1， 1]，而统计上又希望在某一区间([0，1])X(t)的置信水平为1/2时，就说这个变量是离散型随机变量，以下列举了几个例子：(1)样本期望与总体期望；(2)样本方差与总体方差；(3)抽样分布。
从统计学观点出发，所谓离散型随机变量X是指：(1)取值介于[-1， 1]；(2)其概率密度函数为f(x)；(3)服从正态分布或t分布。
2。
离散型随机变量样本的方差与总体方差的比称之为“方差齐性”，若该比值超过100%，说明所考察的变量属于随机变量的离散型随机变量，反之则为连续型随机变量。
这个名词来源于经验，也就是对于总体方差的估计不必事先知道它的绝对值。
在对一个随机变量进行分析时，最好能预测未知参数的值，这就需要假定随机变量服从正态分布或t分布。
当然，也可以把数据分成若干组，每一组对应于某种特定的概率分布，例如按分组资料、非正态总体等等。
这样，就可以用样本方差估计总体方差，而这两个估计值是相等的。
1。
离散型随机变量假定随机变量x，它的总体分布为f(x)时，称之为已知分布，当存在未知分布时，可以先求出它的一个近似分布，将此近似分布代入公式求出。
这样所确定的分布称之为待定分布，可以用待定分布表示所研究的随机变量的数值。
离散型随机变量
离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）是概率论中的重要概念，指的是在一系列离散值中取值的随机变量。
与连续型随机变量不同，离散型随机变量的取值是有限或可数的。
离散型随机变量在很多实际问题中都有广泛的应用，比如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。
在这些问题中，变量的取值只能是确定的几个值，并且每个值的出现概率也可以通过统计得到。
离散型随机变量的特征可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
PMF给出了随机变量取某个值的概率，通常表示为P(X=x)，其中X代表随机变量，x代表其取值。
如果将所有可能的取值及其对应的概率列出来，就得到了离散型随机变量的概率分布表。
举个例子来说明离散型随机变量。
假设我们有一个骰子，骰子有六个面，上面分别标有1到6的数字。
我们掷骰子100次，记录每次掷骰子的点数。
这里的随机变量就是骰子的点数，取值范围为1到6。
通过统计，我们可以得到每个点数出现的次数及其概率。
对于离散型随机变量，我们还可以计算其期望值（Expectation）和方差（Variance）。
期望值表示随机变量的平均值，可以用来描述其集中趋势；方差表示随机变量取值的波动程度，可以用来描述其离散程度。
离散型随机变量在实际问题中的应用非常广泛。
比如在金融领域，股票价格的涨跌、汇率的波动等都可以视为离散型随机变量；在工程领域，电路中的信号传输、网络中的数据包传输等也可以视为离散型随机变量。
总结起来，离散型随机变量是概率论中的重要概念，用来描述在一系列离散值中取值的随机变量。
它可以通过概率质量函数来描述其概率分布，通过期望值和方差来描述其特征。
离散型随机变量在实际问题中有广泛的应用，是概率论和统计学的基础知识之一。
通过了解和掌握离散型随机变量的概念和特征，我们可以更好地理解和分析概率问题，并在实际应用中做出准确的决策和预测。
离散型随机变量
例1 设随机变量 X 分布律为, 0 为常数，试确定 a .
k
( k 0,1, 2, )
k!
例2 用随机变量描述将一枚硬币连抛三次的试验结果， 并写出这个随机变量的分布律和分布函数.
5
二 常见的离散型随机变量的分布 1 （0-1 ）分布 如随机变量 X 的分布律为
n 1 n 1 k n 1 n k
1
(1 p ) C n k 1 p (1 p ) , k 0,1, 2,
23
例10解 设 X :一年中死亡人数， : 参保人在一年内死 A 亡 P ( A ) 0.002 则 X ~ B (2500, 0.002) ,
P X k Pn ( k ) C n p n q n
k k nk
, (qn 1 p )
k
P X k lim C n p n q n
k k n
nk
lim
n
n ( n 1)...( n k 1) 1 k! n n
20
例7解 事件 T
t
在长为t的时间内没有发生故障
(t ) 0!
N ( t )
0 从而
0
P {T t } P N (t ) 0
e
t
e
t
由此得 T 的分布函数为
1 e t , t 0 F (t ) 0, t 0
4
2 分布律的性质
(1) (2)
(3)
pk 0, pk 1
k 1
F (x)
xk x
名词解释离散型随机变量
名词解释离散型随机变量离散型随机变量是指其概率密度服从均匀分布的随机变量。
离散型随机变量的概率密度与数学期望的计算方法有所不同，下面仅就离散型随机变量求数学期望的计算公式进行解释。
(1)二项式定理：设X是一个n维连续型随机向量，当n→∞时，用(X(t)=p(X(t))X(0)))dt 求出其概率密度。
(2)拉普拉斯变换：设X是一个n维连续型随机向量，用拉氏变换的一般形式求出它在一点P的概率密度，然后把这一点P看作新点，记为p(X(P))。
(3)特征函数法：设X是一个n维连续型随机向量，通过它对某个有限值的极限运算而获得的函数F(X)。
离散型随机变量可以分为离散型连续型随机变量，离散型单峰型随机变量和离散型多峰型随机变量。
例如，与X(t)=f(X(t))，有关的问题是：离散型随机变量X(t)=f(X(t))X(0)))dt是否有确定的数学期望值？离散型随机变量离散型随机变量的几个基本性质(1)离散型随机变量可化为与x轴平行的直线，即离散型随机变量X(t)=(f(X(t))X(t))中， f(X(t))是一个常数，当x→∞时，只要有f(X(t))存在， X(t)X(0)))dt也存在，但这两个函数不一定相等。
(2)离散型随机变量x →∞时，其数学期望等于概率密度。
(3)离散型随机变量具有离散型随机变量的全部性质。
(4)离散型随机变量总体上是均匀分布的。
(5)离散型随机变量的概率密度是连续的，也就是说，对任意取值，都有X(t)=f(X(t))X(0)))dt。
二项式定理表明：离散型随机变量可以用两种不同方法求数学期望：(1)用二项式定理；(2)利用拉普拉斯变换。
离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望计算公式为：离散型随机变量的期望公式设X是一个n维连续型随机向量，令G(X)= a X(t)dt(2)，即对X(t)g(X(t))，通过求一次差分dx(t)，使其在x→∞时，一般地， X(t)g(X(t))dt(2)，当x→∞时，若g(X(t))存在，则X(t)g(X(t))dt也存在，并且两者的符号相同。
如何区分离散型和连续性随机变量
如何区分离散型和连续性随机变量
1、离散型
离散型随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。
例如地
区2023年人口的出生数、死亡数，药治疗病病人的有效数、无效数等。
离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。
2、连续型
连续型随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一个
一个列举出来。
例如地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝
炎患者的血清转氨酶测定值等。
有几个重要的连续随机变量常常出现在概
率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。
扩展资料：
随机变量的启前空期望：
离散情形
如果X是离散随机变量，具有概率质量函数p（某），那么X的期望
值定义为E[X]=
换句话说，X的期望是X可能取的值的加权平均，每个值被X取此值
的概率所加权。
连续情形
我们也可以定义连续随机变量的期望值。
如果X是具有概率密度函数f（悄瞎某）的连续随机变量，那么X的期望就定义为E[X]=换句话说，在上均匀分布的随机变量的期望值正是区间的中点。
参考资料：。
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（1）设离散型随机变量X可能取的值为 ，X取每一个值 的概率 ，则表
称为随机变量X的概率分布，简称X的分布列。
离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示，
如图所示。
（2）离散型随机变量的分布列具有以下两个性质：
①；
②
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的。
例1：在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的概率分布。
例2：掷一枚骰子，所掷出的点数为随机变量X：
（1）求X的分布列；
（2）求“点数大于4”的概率；
（3）求“点数不超过5”的概率。
例3：已知随机变量X的概率分布如下：
X
-1
-0.5
0
1.8
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
（2）至少取到1件次品的概率．
例 3．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
三、条件概率
1．条件概率的意义：
例1：选择题
（1）下列式子中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取到新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 ( )
（1）在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少？
（2）在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少？
四、事件的相互独立性
（1）定义：
(2)相互独立事件概率的求法：确定事件是相互独立的；确定事件会同时发生；
先求每个事件发生的概率，再求其积或和。
如果事件 相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
11、某一射手射击所得环数 分布列为
4
5
6
7
8
9
10
0．02
0．04
0．06
0．09
0．28
0． 29
0．22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率
课后作业：
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：________
教师评定：
1、学生上次作业评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差
X
0
1
…
P
…
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X服从超几何分布
例1：从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球个数”，
即 求随机变量X的概率分布。
例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：
(1)取到的次品数X 的分布列；
8、在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为 ， ，两个气象台预报是否准确互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为.
9、事件A、B、C相互独立，如果 ， ， ，则 ，
， 。
10、在一条马路上的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒。某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是。
龙文教育个性化辅导授课案
教师：学生时间：年_月__日__段第__次课
课题
离散型随机变量
考点分析
重点难点
离散型随机变量
授课内容
一、离散型随进变量
1．离散型随机变量
随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示。如果对于随机变量可能取到的值，可以按一定次序一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量。
A． B． C． D．
5、抛掷红、黄两枚骰子，当红色骰子的点数为4和6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率为（ ）
A． B． C． D．
6、把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为.
7、设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为 ，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 ，则事件A发生的概率为，
3、从甲袋中摸出1个红球的概率是 ，从乙袋中摸出1个红球的概率是 ，从两袋中各摸出
1个球，则 等于 （ ）
A．两个球不都是红球的概率B．两个球都是红球的概率
红球的概率
4、一个袋中有3个红球，2个白球；另一个袋中有2个红球，1个白球，从每袋中任取一个球，
则至少取到1个白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
（3）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率 （ ）
A． B． C． D．
例2：一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是多少？（假定生男孩、生女孩是等可能的）
例3：甲、乙两名推销员推销某种产品，据以往经验，两个人在一天内卖出一份产品的概率分别为0.6和0.7，两人在一天内都卖出一份产品的概率为0.5.
X
0
1
P
p
q=1-p
二、两点分布、超几何分布
1、两点分布
如果随机变量X的分布列为：
其中0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布。
2、超几何分布
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为 ,其中 ，
且 ．称分布列
2、学生本次上课情况评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○差
教师签字：________
教师评语:
教务处审核：
教导主任签字：________ 教务主管签字：__________
龙文教育教务处制
a
求: （1）a； （2）P（X<0）；（3）P（-0.5≤X<3）；（4）P（X<-2）；
（5）P（X>1）；（6）P（X<5）
例4：某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外的概率为0.1，落在靶内的各个点是随机的。已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm，20cm，10cm，飞镖落在不同区域的环数如图。设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列。
（3）互斥事件
1、坛子里有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用 表示第一次摸得白球， 表示第二次摸得白球，则 与 是（ ）
A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件
2、两名学生甲、乙通过某种测试的概率分别为 和 ，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是（ ）
A． B． C． D．1