离散型随机变量的期望与方差复习课件.ppt

❖ 离散型随机变量的期望与方差
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❖ 回归课本 ❖ 1.一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
❖ 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望或平均值、 均值，数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值 的平均水平．
❖ (1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由．
❖ (2)求随机变量ξ的期望Eξ.
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[解析] (1)依题意，随机变量 ξ 的取值是 2、3、4、5、6.
因为 P(ξ＝2)＝3822＝694；
P(ξ＝3)＝2×8232＝1684；
P(ξ＝4)＝32＋28×2 3×2＝2614；
P(ξ＝5)＝2×832×2＝1624；
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2．期望的性质 (1)E(C)＝C(C 为常数)． (2)若 ξ 是随机变量，η＝aξ＋b，则 E(aξ＋b)＝aEξ＋b. (3)若 ξ～B(n，p)，则 Eξ＝np. (4)若随机变量 ξ 服从几何分布，且 P(ξ＝k)＝g(k，p)，则 Eξ ＝1p.
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❖ 3．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn，… 且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，设Eξ是随机变 量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn －Eξ)2·pn＋…叫做随机变量ξ的均方差，简称方差．Dξ的算术 平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ.随机变量的方差与标 准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程 度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位．
❖ (1)求他不需要补考就可获得证书的概率；
❖ (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参 加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ.
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❖ 解析：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合 格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B 补考合格”为事件B2.
B．1
❖ C．2
D．4
❖ 解析：由ξ＝2η＋3得Dξ＝4Dη，而Dξ＝4，Dη＝1.故选B.
❖ 答案：B
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5．(2011·安徽蚌埠二中练习)若随机变量 ξ 的分布列为：P(ξ
＝m)＝13，P(ξ＝n)＝a，若 Eξ＝2，则 Dξ 的最小值等于(
)
A．0 B．2
C．4 D．无法计算
解析：由题意得13＋a＝1，m×13＋n×a＝2， a＝23，m＋2n＝6，Dξ＝13×(2－m)2＋23×(2－n)2＝13×(2n－4)2 ＋23×(2－n)2＝2(n－2)2≥0，则 Dξ 的最小值等于 0.故选 A.
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❖ 2．设ξ是随机变量，a、b是非零常数，则下列等式中正确的是
❖( )
❖ A．D(aξ＋b)＝a2Dξ＋b
B．E(aξ)＝a2Eξ
❖ C．D(aξ)＝a2Dξ
D．E(aξ＋b)＝aEξ
❖ 解析：由公式D(aξ＋b)＝a2Dξ知C项正确．
❖ 答案：C
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❖ 3．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下， 且Eξ＝6.3，则a的值为( )
❖ (1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互 独立．
则 P(A1·B1)＝P(A1)×P(B1)＝23×12＝13. 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.
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❖ 探究1：某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩 合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一 次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加 这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为，科目B每次考试 成绩合格的概率为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
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❖ 点评：当ξ的所有可能取值为x1，x2，…，xn这n个值时，若p1＝
p2＝…＝pn＝
，则x1，x2，…，xn的方差就是我们初中学过
的方差．因此，现在学的方差是对初中学过的方差作了进一步
拓展．
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4．方差的性质 (1)D(C)＝0(C 为常数)． (2)D(aξ＋b)＝a2Dξ. (3)Dξ＝Eξ2－(Eξ)2. (4)如果 ξ～B(n，p)，那么 Dξ＝npq.这里 q＝1－p. (5)如果随机变量 ξ 服从几何分布，且 P(ξ＝k)＝g(k，p)，q＝1 －p，那么 Dξ＝pq2.
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❖ 考点陪练 ❖ 1.下面说法中正确的是( ) ❖ A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值 ❖ B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平 ❖ C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平 ❖ D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值 ❖ 答案：C
P(ξ＝6)＝2×82 2＝
4 64.
所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝2614.
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(2)Eξ＝2×694＋3×6148＋4×2614＋5×1624＋6×644＝145.
❖ [点评] 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机 变量分布列的数学期望的求法．问题(1)，对ξ的取值做到不重不 漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原理和排列、组合 数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随 机变量分布列的数学期望公式即可．
ξ4 a 9
P 0.5 0.1 b
❖ A.5
B．6
❖ ห้องสมุดไป่ตู้．7
D．8
❖ 解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4
❖ ∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3
❖ ∴a＝7.故选C.
❖ 答案：C
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❖ 4．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη等于( )
❖ A．0
❖ 答案：A
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❖ 类型一 求离散型随机变量的期望
❖ 解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：
❖ ①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2 ＋…＋xipi＋…，求出期望值．
❖ 【典例1】 (2011·福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有 大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2， 两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第 二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和 为ξ.