离散型随机变量及其分布列PPT课件
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第七章7.2离散型随机变量及其分布列PPT课件(人教版)
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于
√A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射
12345
5.若随机变量X服从两点散布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X －2，则P(Y＝－2)＝__0_.8__. 解析 因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0， 所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)随机变量的概念、特征. (2)离散型随机变量的概念. (3)离散型随机变量的散布列的概念及其性质. (4)两点散布. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：随机变量的取值不明确导致散布列求解错误.
二、求离散型随机变量的散布列
例2 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸 出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
解 一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球，2 个红球，从中摸 出 2 个球，有 C25＝10(种)情况. 设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝C113C0 12＝35， 即摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率为35.
解析 ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一 列出， 因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值， 无法一一列出， 故不是离散型随机变量.
离散型随机变量及其分布列复习PPT优秀课件
【解】 (1)法一：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则 P(A)＝C53CC211C0321C21＝23.
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件．
因为 P(B)＝C51CC12023C81＝13， 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.
第3课时离散型随机变量 及其分布列
基础知识梳理
1．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X可能取的不 同值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每 一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝ xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X2 3 4 5
P
1 30
2 15
3 10
8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
互ห้องสมุดไป่ตู้探究
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布
列，简称X的分布列．有时为了表达简
单…，，也n 表用示等X式的P分(X布＝列x．i)＝pi，i＝1,2，
(2)离散型随机变量分布列的性质
① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
n
②
pi＝1
i＝1
.
③一般地，离散型随机变量在某一
范围内取值的概率等于这个范围内每个
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件．
因为 P(B)＝C51CC12023C81＝13， 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.
第3课时离散型随机变量 及其分布列
基础知识梳理
1．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X可能取的不 同值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每 一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝ xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X2 3 4 5
P
1 30
2 15
3 10
8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
互ห้องสมุดไป่ตู้探究
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布
列，简称X的分布列．有时为了表达简
单…，，也n 表用示等X式的P分(X布＝列x．i)＝pi，i＝1,2，
(2)离散型随机变量分布列的性质
① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
n
②
pi＝1
i＝1
.
③一般地，离散型随机变量在某一
范围内取值的概率等于这个范围内每个
7.2离散型随机变量及其分布列2-课件-数学人教A版选择性必修第三册
m
P ( A)
n
2
学习新知
思考:抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？
X可能的取值有1,2,3,4,5,6
P ( X m)
1
, m 1,2,3,4,5,6.
6
列成表的形式
X
P
1
2
3
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
6
4
5
6
该表不仅列出了随机变量X的所有取值而且列出了X的每一个取值的概率．
2、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的
成功次数，则失败率p等于（ C ）
A.0
讲
课
人
：
邢
启
强
1
B.
2
1
C.
3
2
D.
3
16
例题讲评 例6.已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
P
1
12
分别求出随机变量⑴Y1=
解：⑴由
－1
1
4
1
X
2
0
1
2
3
1
3
1
12
1
6
1
12
(2)Y2=
1
1 = 可得Y1的取值为 1 ，
0.3
1
0.8
2
-0.3
D
X
0
1
2
P
0
0.8
0.2
X
1
2
3
P
0.5
0.4
0.2
2.设随机变量ξ的分布列如下：
离散型随机变量的分布列 课件
次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，k=0,1,2,…,m，其中m=min{M,n}，
CnN
且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*，此时称分布列
X
0
1
…
m
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM
CnN
CnN
…
C C m nm M NM
CnN
为超几何分布列. 如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超 几何分布.
P 1 P 3 P 5 2 8 2 8 .
15 45 9 15
答案：8
15
3.随机变量ξ的可能取值为1，2，3．
当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只
能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有
P 1
C24 C35
3； 5
当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的第二条 性质. 2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率求法 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率的和.即 P(ξ≥xk)=P(ξ=xk)+P(ξ=xk+1)+….
【典例训练】 1.下列各表中可作为随机变量X的分布列的是( ) (A)
0
1
P
1-p
p
如果随机变量X的分布列为上述形式，就称X服从两点分布. (2)称p=P(X=1)为__成__功__概__率__. (3)两点分布又称__0_-_1__分布．由于只有两个可能结果的随机试 验叫伯努利试验，所以还称这种分布为_伯__努__利__分布．
7.2离散型随机变量及其分布列-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第三册课件
p
量有什么共同点?
在上面两个随机实验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X，Y有如下
共同点：（1）取值依赖于样本点，
（2）所有可能取值是明确的.
追问(2)：根据对问题3的分析和归纳，你能类比函数中的对应关系，将样本空间
中的样本点与实数的对应关系用一般化的数学语言表示吗？
一般地，对于随机实验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数 X(ω）与之对
问题3：考察下列随机实验及其引入的变量
实验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X
表示三个元件中的次品数；
实验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数.
这两个随机实验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变
量X，Y有哪些共同的特征？
机变量.
2.离散型随机变量的定义：
可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量，我们称为离散型随机变量.
3.两点散布或0—1散布
ഥ 表示失败，定义 = ቊ, 发生
对于只有两个可能结果的随机实验，用A表示“成功”，
ഥ 发生
,
ഥ )=1-p，X的散布列如下：
如果P（A）=p,则P(
X
0
1
P
1-p
（3）掷一枚硬币，视察出现正、反面的情况.
（4）从装有5个红球、3个白球的袋中依次摸出两球，视察球的颜色.
对于任何一个随机实验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个
取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量
化。因为在随机实验中样本点的出现具有随机性，所以量X的取值也具有随机性。
2台，求这2台电脑中A品牌台数的散布列.
人教版高中数学选修2-3课件：2.1 离散型随机变量及其分布列(共52张PPT)
预习探究
[探究] 以下随机变量是离散型随机变
量的是
.
①某部手机一小时内收到短信的次数
ξ;
②电灯泡的寿命ξ; ③某超市一天中的顾客量ξ; ④将一颗骰子掷两次出现的点数之和
ξ.
⑤连续不断地射击,首次命中目标所需
要的射击次数ξ.
④将一颗骰子掷两次出现点数之和ξ的取
值为2,3,…,12,是离散型随机变量;
三维目标
3．情感、态度与价值观 使学生感悟数学与生活的和谐之美，学会合作探讨，体验成功，提 高学习数学的兴趣．
重点难点
[重点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)离散型随机变量的分布列的概念．
[难点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)求简单的离散型随机变量的分布列．
教学建议
例1 指出下列变量中,哪些是随机变量, 哪些不是随机变量,并说明理由. (1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出 现正面向上的次数; (2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数 (最上面的数字); (3)某个人的属相随年龄的变化; (4)在标准状况下,水在0℃时结冰.
(3)属相是出生时便确定的,不随年龄的变化 而变化,不是随机变量. (4)标准状况下,水在0℃时结冰是必然事件, 不是随机变量.
P
分别求出随机变量η1=2ξ1,η2=ξ2的分布列.
当ξ取-1与1时,η2=ξ2取相同的值,故η2的分布 列为 η2 0 1 4 9
考点类析
例2 指出下列随机变量是不是离散型 随机变量,并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到 10号)中任取1张,被取出的卡片的号数; (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从 中任取3个,其中所含白球的个数; (3)某林场树木最高达30 m,则此林场中 树木的高度; (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与 规定的外径尺寸之差.
2023版高考数学一轮总复习11-2离散型随机变量及其分布列均值与方差课件
例 (2020山东泰安三模)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果),购 入价为300元/袋,并以360元/袋的价格售出,若前8小时内所购进的A水果 没有售完,则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕 (根据经验,2小时内完全能够把A水果低价处理完,且当天不再购进).该水 果批发商根据往年的销量,统计了100天内A水果在每天的前8小时的销售 量,制成如下条形统计图.
+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机
变量X服从超几何分布.
4.离散型随机变量的均值与方差
1)均值的定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散 型随机变量取值的平均水平.
2
3)=P(ξ=-3)= 1 ,P(ξ=1)=P(ξ=-1)= 3,故随机变量|ξ|的分布列为
8
8
|ξ|
1
故E(|ξ|)=1×3 +3× 1= ,3
4
42
D(|ξ|)=1
3 2
2
×
3+
4
3
3 2
2
×
=14
.故3 选B.
4
答案 B
应用 利用均值、方差进行决策 解决均值、方差实际问题的策略 1)把握“1”实质:随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差 反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变 量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据. 2)运用“2”策略: ①当均值不同时,两个随机变量取值的水平有区别,可直接对问题作出判断. ②若两随机变量的均值相同或相差不大,则可通过方差来研究两随机变 量的离散程度或者稳定程度,进行决策.
第五节离散型随机变量及其分布列课件共44张PPT
解：(1)P(A)＝1－CC31340·123＝223490， 所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率 为223490. (2)由题可知X可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝CC34C13006＝310，P(X＝1)＝CC24C13016＝130， P(X＝2)＝CC14C13026＝12，P(X＝3)＝CC04C13036＝16. 所以随机变量X的分布列为
故X的分布列为
X 200
300
400
P
1 10
3 10
3 5
求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2， 3，…，n)． (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi. (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或 某事件的概率是否正确． 提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机 变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数 原理、古典概型等知识．
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的， 从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球 个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析：由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故P(X＝4)＝CC23C13219＝22270.
答案：22270
考点1 离散型随机变量的分布列的性质
1 3
k
，k＝1，
2，3，则a的值为( )
A．1
B．193
C．1113
D．2173
解析：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a
1 3
k
(k＝
1，2，3)，
所以根据分布列的性质有a×13＋a132＋a133＝1，
所以a13＋19＋217＝a×1237＝1.所以a＝2173. 答案：D
【人教B版高中数学选择性必修第二册】离散型随机变量的分布列-课件
3
1
又因4－1 > 0，即 > ，故 ≠ －2.
4
2
1
1
2
所以＝ ，此时4－1＝ ，3 ＋＝ .
3
3
3
所以随机变量的分布列为：
0
1
3
1
2
3
小结
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1) 的各个取值表示的事件是互斥的.
(2)不仅要注意
＝1,2, … , .
＝1，而且要注意 ≥ 0,
3
C3
1
则有 = 3 = 3 =
, =4
C6 20
C11 C42
3
=5 = 3 =
, =6
10
C6
所以随机变量的分布列为
1 2
C1 C3
3
= 3 =
,
20
C6
C11 C52 1
= 3 = .
2
C6
3
4
5
6
1
20
3
20
3
10
1
2
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为
C63 ，事件“＝3”包含的基本事件总数为C33 ，事
件 “ ＝4” 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 C11 C32 ， 事 件
1 2
“ ＝5 ” 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 C1 C4 ， 事 件
1 2
“＝6”包含的基本事件总数为C1 C5 .
4
36P
6
(2) 由 = 10,可得
1
7
<<
= = 1 + = 2 + ( = 3)
1
又因4－1 > 0，即 > ，故 ≠ －2.
4
2
1
1
2
所以＝ ，此时4－1＝ ，3 ＋＝ .
3
3
3
所以随机变量的分布列为：
0
1
3
1
2
3
小结
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1) 的各个取值表示的事件是互斥的.
(2)不仅要注意
＝1,2, … , .
＝1，而且要注意 ≥ 0,
3
C3
1
则有 = 3 = 3 =
, =4
C6 20
C11 C42
3
=5 = 3 =
, =6
10
C6
所以随机变量的分布列为
1 2
C1 C3
3
= 3 =
,
20
C6
C11 C52 1
= 3 = .
2
C6
3
4
5
6
1
20
3
20
3
10
1
2
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为
C63 ，事件“＝3”包含的基本事件总数为C33 ，事
件 “ ＝4” 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 C11 C32 ， 事 件
1 2
“ ＝5 ” 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 C1 C4 ， 事 件
1 2
“＝6”包含的基本事件总数为C1 C5 .
4
36P
6
(2) 由 = 10,可得
1
7
<<
= = 1 + = 2 + ( = 3)
教育12.2离散型随机变量及其分布列均值和方差ppt课件
解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,1 1的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04. (4分) 所以X的分布列为
解法一:∵E(ξ1)=0×(1-p1)+1×p1=p1, 同理,E(ξ2)=p2,又0<p1<p2,∴E(ξ1)<E(ξ2).
D(ξ1)=(0-p1)2(1-p1)+(1-p1)2·p1=p1- p12 , 同理,D(ξ2)=p2- p22 . D(ξ1)-D(ξ2)=p1-p2-( p12 - p22 )=(p1-p2)(1-p1-p2). ∵0<p1<p2< 1 ,∴1-p1-p2>0,∴(p1-p2)(1-p1-p2)<0.
解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望.
(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
P(X=200)= 2 16 =0.2,P(X=300)= 36 =0.4,P(X=500)= 25 7 4 =0.4.
90
90
90
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
最高气温
[10,15)
[15,20)
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就可以使每一个试验结果都用一个确定的数字表示.
也即，试验的结果可以用一个变量表示.
4)在这个对应关系下,变量的值和试验结果有什么关系？ ——该变量的值随着试验结果的变化而变化.
1. 随机变量的概念：
如果随机试验的结果可用一个变量来表示,而这个变量是 随着试验结果的变化而变化的，称这个变量为随机变量.
解: 设他一次罚球得分为X, 则X的分布列为
X
1
0
p
0.7
0.3
注：两点分布是最简单的一种分布,任 何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如 新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽 是否发芽等, 都属于两点分布.
练习1.随机变量ξ的分布列为
ξ -1 0 1 2 3 p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
（1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4)
解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有
0.16 a a2 a 0.3 1
10
5
解得a=-0.9(舍)或a=0.6
(2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.4 2
3) “抽出3件以上次品”如何表示? 解: 1) X的取值: 0,1,2,3,4
X的值域｛: 0,1,2,3,4 2)｛X=0｝表示｝: .“抽出0件次品”
｛X=4｝表示: “抽出4件次品” ｛X<3｝表示: “抽出3件以下次品”
3) “抽出3件以上次品” ｛: X>3｝
4. 随机变量的分类： 1)离散型随机变量：
6. 离散型随机变量的表示
也可用等式P(X=xi)=pi ， i=1,2,…,n表示X的分布列.
或图像(如课本P47图2.1-2)表示.
6.概率分布还经常用图象来表示.可以看出 的取值范
p
围是{1,2,3,4,5,6}，它
0.2
取每一个值的概率都
是 1。
0.1
6
O 1 2 3 4 5 6 78
（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随 机变量所刻画的随机现象。
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
问 题1：
1）抛掷一个骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6 来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可用数字表示呢?
——可以用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. 2）还可以用其他的数字表示这两个试验结果吗?
3）任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗? 可以,只要建立一个从试验结果到实数的对应关系,
对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样 的随机变量叫做离散型随机变量．
2)连续型随机变量:
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机 变量叫做连续型随机变量.
练习二 1.①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为X； ③一天之内的温度为X； ④某市一年内的下雨次数X.
以上问题中的X是离散型随机变量的是（ B ）
A、①②③④ C、①③④
B、①②④ D、②③④
（1）电灯泡的寿命X是离散型随变量吗？
（2）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等 品，寿命在1000到1500小时之间的为二等品，寿 命在1000小时以下的为不合格品。
如果我们关心灯泡是否为合格品，应如何定义随 机变量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等 品，又如何定义随机变量？
列成表的形式 6
6
6
12 34 56
1 11 11 1
P6 6 6 6 6 6
5. 离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X可能取的不同值为
x1，x2，…，xn， X取每一个值xi(i=1,2,…n)的概率P(X= xi)=pi，则称表XΒιβλιοθήκη x1x2…
xi
…
p
p1
p2
…
pi
…
为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
2. 随机变量的表示： 随机变量常用字母：X，Y，ξ，η等表示.
问题2：随机变量与函数有什么联系和区别?
共同点： 随机变量和函数都是一种映射；
区 别:
随机变量把试验的结果映为实数，函数
把实数映为实数；
联 系： 试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当与函数的值域；
3. 所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.
X
0
1
P
1—p
p
1.两点分布列（最简单的类型之一）
如果随机变量的分布列为：
则的分布列称为两点分布列,称随机变
量服从两点分布,而称 p P( 1) 为成功
概率.
又例：抛一枚硬币， 记 ξ=0 表示反面向上， ξ=1表示正面向上.求ξ的分布列.
ξ01 p 0.5 0.5
例：篮球比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分,已 知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他一次罚球得 分的分布列.
（2）函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型 随机变量可以用分布列、等式或图象来表示。
7.离散型随机变量的分布列两个性质：
(1) pi≥0 , i=1,2,3, …n (2) p1+p2+ …+pn=1
练习：若随机变量X的概率分布如下,则表中a的值为 1/3
x
1
2
3
4
p 1/3 1/6 a 1/6
例1： 将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ D ） A、两次出现的点数之和 B、两次掷出的最大点数 C、第一次减去第二次的点数差 D、抛掷的次数
例2. 在含有10件次品的100件产品中,任取 4件,可能含有的次品件数X
1) X的取值为多少?它的值域为多少?
2) ｛X=0｝, ｛X=4｝, ｛X<3｝各表示什么?
问题3：抛掷一枚骰子，所得的点数ξ有哪些值？ξ取 每个值的概率是多少？
解：ξ的取值有1, 2, 3, 4, 5, 6
P( 1) 1 , P( 2) 1 , P( 3) 1 ,
6
6
6
P( 4) 1 , P( 5) 1 , P( 6) 1 ,
练习2:已知随机变量ξ的分布列如下：
-2 -1 0 1 2 3
1 1 1 11 1 P 12 4 3 12 6 12
(1)求P(ξ>0); (2)求随机变量η1=ξ/2的分布列； (3)求随机变量η2=ξ2的分布列.
例 ：在掷一枚图钉的随机试验中,令
X
1, 针尖向上 0, 针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分 布列 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1— p)，于是，随机变量X的分布列是：
也即，试验的结果可以用一个变量表示.
4)在这个对应关系下,变量的值和试验结果有什么关系？ ——该变量的值随着试验结果的变化而变化.
1. 随机变量的概念：
如果随机试验的结果可用一个变量来表示,而这个变量是 随着试验结果的变化而变化的，称这个变量为随机变量.
解: 设他一次罚球得分为X, 则X的分布列为
X
1
0
p
0.7
0.3
注：两点分布是最简单的一种分布,任 何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如 新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽 是否发芽等, 都属于两点分布.
练习1.随机变量ξ的分布列为
ξ -1 0 1 2 3 p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3
（1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4)
解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有
0.16 a a2 a 0.3 1
10
5
解得a=-0.9(舍)或a=0.6
(2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.4 2
3) “抽出3件以上次品”如何表示? 解: 1) X的取值: 0,1,2,3,4
X的值域｛: 0,1,2,3,4 2)｛X=0｝表示｝: .“抽出0件次品”
｛X=4｝表示: “抽出4件次品” ｛X<3｝表示: “抽出3件以下次品”
3) “抽出3件以上次品” ｛: X>3｝
4. 随机变量的分类： 1)离散型随机变量：
6. 离散型随机变量的表示
也可用等式P(X=xi)=pi ， i=1,2,…,n表示X的分布列.
或图像(如课本P47图2.1-2)表示.
6.概率分布还经常用图象来表示.可以看出 的取值范
p
围是{1,2,3,4,5,6}，它
0.2
取每一个值的概率都
是 1。
0.1
6
O 1 2 3 4 5 6 78
（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随 机变量所刻画的随机现象。
第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
问 题1：
1）抛掷一个骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6 来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可用数字表示呢?
——可以用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. 2）还可以用其他的数字表示这两个试验结果吗?
3）任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗? 可以,只要建立一个从试验结果到实数的对应关系,
对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样 的随机变量叫做离散型随机变量．
2)连续型随机变量:
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机 变量叫做连续型随机变量.
练习二 1.①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为X； ③一天之内的温度为X； ④某市一年内的下雨次数X.
以上问题中的X是离散型随机变量的是（ B ）
A、①②③④ C、①③④
B、①②④ D、②③④
（1）电灯泡的寿命X是离散型随变量吗？
（2）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等 品，寿命在1000到1500小时之间的为二等品，寿 命在1000小时以下的为不合格品。
如果我们关心灯泡是否为合格品，应如何定义随 机变量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等 品，又如何定义随机变量？
列成表的形式 6
6
6
12 34 56
1 11 11 1
P6 6 6 6 6 6
5. 离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X可能取的不同值为
x1，x2，…，xn， X取每一个值xi(i=1,2,…n)的概率P(X= xi)=pi，则称表XΒιβλιοθήκη x1x2…
xi
…
p
p1
p2
…
pi
…
为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
2. 随机变量的表示： 随机变量常用字母：X，Y，ξ，η等表示.
问题2：随机变量与函数有什么联系和区别?
共同点： 随机变量和函数都是一种映射；
区 别:
随机变量把试验的结果映为实数，函数
把实数映为实数；
联 系： 试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当与函数的值域；
3. 所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.
X
0
1
P
1—p
p
1.两点分布列（最简单的类型之一）
如果随机变量的分布列为：
则的分布列称为两点分布列,称随机变
量服从两点分布,而称 p P( 1) 为成功
概率.
又例：抛一枚硬币， 记 ξ=0 表示反面向上， ξ=1表示正面向上.求ξ的分布列.
ξ01 p 0.5 0.5
例：篮球比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分,已 知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他一次罚球得 分的分布列.
（2）函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型 随机变量可以用分布列、等式或图象来表示。
7.离散型随机变量的分布列两个性质：
(1) pi≥0 , i=1,2,3, …n (2) p1+p2+ …+pn=1
练习：若随机变量X的概率分布如下,则表中a的值为 1/3
x
1
2
3
4
p 1/3 1/6 a 1/6
例1： 将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ D ） A、两次出现的点数之和 B、两次掷出的最大点数 C、第一次减去第二次的点数差 D、抛掷的次数
例2. 在含有10件次品的100件产品中,任取 4件,可能含有的次品件数X
1) X的取值为多少?它的值域为多少?
2) ｛X=0｝, ｛X=4｝, ｛X<3｝各表示什么?
问题3：抛掷一枚骰子，所得的点数ξ有哪些值？ξ取 每个值的概率是多少？
解：ξ的取值有1, 2, 3, 4, 5, 6
P( 1) 1 , P( 2) 1 , P( 3) 1 ,
6
6
6
P( 4) 1 , P( 5) 1 , P( 6) 1 ,
练习2:已知随机变量ξ的分布列如下：
-2 -1 0 1 2 3
1 1 1 11 1 P 12 4 3 12 6 12
(1)求P(ξ>0); (2)求随机变量η1=ξ/2的分布列； (3)求随机变量η2=ξ2的分布列.
例 ：在掷一枚图钉的随机试验中,令
X
1, 针尖向上 0, 针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分 布列 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1— p)，于是，随机变量X的分布列是：