正弦定理和余弦定理复习课件

2
【答案】直角
5． 在△ABC 中， 如果 A＝60° ， c＝4， a＝ 6， 则三角形解的情况是________．
解析： ∵csin A＝4sin 60° ＝2 3＞ 6， ∴三角形无解．
答案：
无解
利用正弦定理、余弦定理理解三角形 1.解三角形的目标与条件
任意一个三角形中都含有三条边和三个角这六个基本量，解三角 形即是按题设要求，求出这六个基本量中若干个未知的量（或判 断出这样的三角形不存在）.由于任意三角形中，都能由正弦定理 、余弦定理和内角和定理得到相应的三个等式，从而可以看成已 有关于六个基本量的三个方程，因此，当已知一个三角形中的任 意三个基本量（必含一条边）或有关这样的三个量的三个独立条 件时，从解方程组的角度分析，这个三角形就是可解三角形.
π 6
)
π 3
B.
π 4
π 4
C.
π 2
D.
【 解 析 】 由 2 sin B ＝ 2 ， 得 B ＝
a sin B b 2 sin
π ， 由 正 弦 定 理 ， 得 sin A ＝ 4
π 4 1 ，又∵A＜B＝ π ，∴A＝ π . 4 6 2 2
【答案】A
2.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.若 C＝120°，c＝ 2 a， 则( A.a>b ) B.a<b C.a＝b D.a 与 b 的大小关系不能确定
a2 ＋ c 2 － b 2 co s B b 2 ab b 将上式代入 ＝－ 得： · 2 ，整理得： 2 2＝ － co s C 2 ac 2 a＋ c a ＋b －c 2 a＋ c a 2 ＋ c 2 － b 2 ＝ － ac . a 2 ＋ c 2 － b 2 － ac 1 ∴ co s B ＝ ＝ ＝－ . 2 ac 2 ac 2 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π . 3
（2）由正弦定理得
3 ∴sin A＝ . 2 ∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.
a b 3 2 ＝ ， ＝ 。 sin A sin B sin A sin 45
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝
bsin C 6 2 sin B 2
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°
（1)（2014· 杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，若a＝1，c＝4 2，B＝45°，求sin C. （2）在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ ， 2 B＝45°.求角A、C和边c. 【解析】（1)由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－ 8 2 2 ＝25，即b＝5 2 2 4 2 c sin B 4 2 所以sin C＝ b 5 5
即
.则C＝60°或120°，C＝60°时，△ABC为
3 4
1 3 1 sin C 2
，
直角三角形（舍去)；C＝120°时，A＝30°所以S＝
1 ×1×3×sin 2
30°＝
【答案】B
4.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的 形状为三角形. 【解析】由bcos C＋ccos B＝asin A， 得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， 即sin（B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1， 由0<A<π，得A＝ ，所以△ABC为直角三角形.
a2＝________________，
【思考探究】在△ABC中,sin A＞sin B是A＞B的什么条件? 提示：充要条件. 因为sin A＞sin B
a b ＞ a ＞ b A ＞ B 2 R2 R
1.(2013·济南检测)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a ＝ 2 ，b＝2，sin B＋cos B＝ 2 ，则角 A 的大小为( A.
，c＝
bsin C 6- 2 sin B 2
【变式训练】 ＝－ b . 2 a＋ c
1 .在 △ A B C 中 ， a、 b 、 c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 的 对 边 ， 且
co s B co s C
(1 ) 求 角 B 的 大 小 ； (2 ) 若 b ＝ 1 3 ， a ＋ c ＝ 4 ， 求 △ A B C 的 面 积 ． 【解析】 a2 ＋ c 2 － b 2 a2 ＋ b 2－ c 2 (1 ) 由 余 弦 定 理 知 ： co s B ＝ ， co s C ＝ . 2 ac 2 ab
3.7 正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理
余弦定理
c 内容 ＝ sin C _______ ＝2R
a b ＝ sin A sin B ___________
(R为△ABC外 接圆半径)
b2＋c2－2bc· cos A 2＋a2－2ca· 2 c cos B b ＝________________ ， a2＋b2－ c2＝_________ ___________ ． 2ab· cos C
2.可解三角形的基本类型
（1）利用正弦定理可解以下两类三角形：一是已知两角和一 角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他 边角. （2）利用余弦定理可解两类三角形:一是已知两边和它们的夹
角,求其他边角;二是已知三边求其他边角.由于这两种情形下的
三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一的.
【解析】方法一 由余弦定理得 2a2＝a2＋b2－2abcos 120°，
b b b 1 5 b ＋ab－a ＝0，即 1，故 b<a. 1 0, a 2 a a
2 2
2
方法二 由余弦定理得 2a2＝a2＋b2－2abcos 120°，b2＋ab－a2＝0，b2＝a2－ab ＝a(a－b)>0，∴a>b. 方法三 由 c＝ 2 a. ∴sin C＝ 2 sin A.∴sin 120°＝ 2 sin A. ∴sin A＝
6 1 > .又∵A＋B＝60°，∴A>30°.∴A>B. 4 2
【答案】A
3.（2014· 天津联考)在钝角△ABC中，已知AB＝ 3 ， AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积是（)
A.
3 2
3 4
B.
பைடு நூலகம்
3 4
3 C. 2
AC AB sinB sinC
3 D. 4
【解析】由正弦定理得 sin C＝