最新 《数学分析》下册习题集答案
数学分析习题及答案(29)
习 题 场论初步1．设 a 3i 20 j 15k ，对以下数目场 f ( x, y, z) ，分别计算 grad f 和 div ( fa) ：1（1） （2） （3）f (x, y, z) ( x 2 y 2 z 2 ) 2 ； f (x, y, z) x 2 y 2 z 2 ； f (x, y, z) ln( x 2 y 2 z 2 ) 。
解（1） grad f3( x 2y 2 z 2 ) 2 ( xi yjzk ) ，3div ( fa)(x 2 y 2 z 2 ) 2 (3x 20 y 15z) 。
（2） grad f 2( xi yj zk ) ，div ( fa) 2(3x 20 y 15z) 。
（3） grad f 2( x 2 y 2 z 2 ) 1 (xi yj zk ) ，div ( fa) 2(x 2 y 2 z 2 ) 1 (3x 20 y 15 z) 。
2．求向量场 a x 2 i y 2 j z 2 k 穿过球面 x 2 y 2 z 2 1 在第一卦限部分 的通量，此中球面在这一部分的定向为上侧。
解 设 : x 2 y 2 z 2 1 ( x 0, y 0, z 0) ，方向取上侧，则所求通量为x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy ，因为z 2dxdy(1 x2y 2 )dxdy2d13dr ，r48xy同理可得x 2 dydzy 2dzdx，8因此x 2 dydzy 2 dzdx z 2 dxdy 3。
83．设 r xi yj zk ， r | r | ，求：（1）知足 div [ f (r )r ] 0 的函数 f (r ) ； （2）知足 div[grad f (r )] 0 的函数 f (r ) 。
解（1）经计算获得( f ( r ) x)f (r ) f (r ) x2，xr( f (r ) y)f (r )f ( r )y 2 ,yr( f (r ) z)f (r ) f ( r ) z2，zr 因此。
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》 第二版 习题答案ex
⑻
⎧1
⎨ ⎩
n
−1+ n +1
1 n+2
−
+ (−1)n
1
⎫ ⎬
。
2n ⎭
证
（1） ∀ε
(0 < ε
< 2) ，取 N
=
⎡2⎤ ⎢⎣ε ⎥⎦
，当
n
>
N
时，成立
0
<
n +1 n2 +1
<
2 n
<
ε
。
（2）
∀ε
(0
<
ε
<
1)
，取
N
=
⎡ lg ε ⎤
⎢ ⎣
lg
0.99
⎥ ⎦
，当
n
>
N
时，成立
lg ε
(−1)n (0.99)n < (0.99)lg0.99 = ε 。
n
（2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数
3 + 2 = m ，于是 3 + 2 6 + 2 = m2 ， 6 = m2 − 5 ，即 6 是有理数，与
n
n2
2n2 2
（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
A = {x|x ≥ 0}；
>
N
，成立
xn
−a
<
ε
，所以 lim n→∞
xn
=
a
。
5.
设 lim n→∞
x2n
= lim n→∞
x2n+1
数学分析习题集答案13
。再令
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
u u
− +
v v
，则
∂(x, ∂(u,
y) v)
=2，
{ } S = ∫∫ 2dxdy = ∫∫ 4dudv ，其中 D'= (u, v) (u + 2a)2 + 3v2 ≤ 6a2 。
D
D'
（3） (2 − 2)πa 2 ；
（4） 2a2 ，提示： S = ∫∫ a dzdx ， D = {(z, x) − x ≤ z ≤ x, 0 ≤ x ≤ a}。 D a2 − x2
∫∫Σ f (ax + by + cz)dS = ∫∫Σ f ( a2 + b2 + c2 z')dS 。
计算这一曲面积分，令 x' = sin ϕ cosθ ， y' = sin ϕ sinθ ， z' = cosϕ 。
11．需要 100 小时. 提示：设在时刻 t 雪堆的体积为V (t) ，雪堆的侧面积为 S (t) ，
此得到
∫∫
Σ
z ρ(x, y,
dS z)
=
3π 2
。
10. 提示：将 xyz − 坐标系保持原点不动旋转成 x' y' z'− 坐标系，使 z' 轴上的单位
向量为
1
(a,b, c) ，则球面 Σ 不变，面积元 dS 也不变。设球面 Σ 上一
a2 + b2 + c2
点 (x, y, z) 的新坐标为 (x', y', z') ，则 ax + by + cz = a 2 + b2 + c2 z' ，于是
数学分析课本（华师大三版）-习题集与答案解析第十七章
数学分析课本（华师大三版）-习题集与答案解析第十七章第十七章多元函数微分学一、证明题 1. 证明函数=+≠++=0y x 0,0y x ,y x yx y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1yx arctg++≈x+y.5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=()22yx f y-,其中f 为可微函数,验证x 1x Z ??+y 1y Z ??=2yZ. 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:xZsec x + y Z ??secy=1.8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ 之下.()2x f +()2yf 是一个形式不变量,即若g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ). 则必有()2x f +()2yf =()2ug +()2vg .(其中旋转角θ是常数)9.设f(u)是可微函数, F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy yx xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx mk =f t n(x,y,z)(t>0)证明:(1) f(x,y,z)=m k nx Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x fx+()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211'???''?13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数); (3) grsdu v=u grad v+v grsd u; (4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-.16.证明:函数u=()ta 4b x 22eta 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ??=222x u a ??17.证明:函数u=()()22b y a x ln-+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ??+22y u=0.18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:22x u ??+22yu ??=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y+)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+?,证明:x u y x u 2=y u 22x u. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有 f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22yx 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctg xy ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=zy x .2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx; 求f x (x,1). 3. 设=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222 考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在. 5. 考察函数=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分; (1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1);(2) Z=22yx x +在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分; (1) Z=ysin(x+y); (2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctgx y 在点4,1,1π处的切平面方程和法线方程.9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043; (2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续 (1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性? (2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角.15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d= vw算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xyy x 2222e xyyx ++,求x Z ??,yZ ??; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ?; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ??，vZ；(5) 设u=f(x+y,xy),求x u ??,yu; (6) 设u=f ?Z y ,y x ,求x u ??,y u ??,Zu. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数. 19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z)处的梯度以及它们的模.20.设函数u=ln ??r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度.22.设r=222z y r ++,试求: (1)grad r; (2)gradr1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征? 25.求下列函数的高阶偏导数: (1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数; (2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数;(3) Z=xln(xy),y x z 23,23yx z; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u++;(5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式: (1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx在点(1,1)(到三阶为止);(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤；(2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+;(3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明 f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1n n 1n 21n 12n 2221n 21 x x x x x x xx x 1 1 1u ---=证明: (1)∑==??n1k k0;x u(2) ∑=-=??n1k k ku 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数kt)b ht,f(a y k x h dt g(t)d nn n +++??=. 5. 设 22x求x k z h y g y f x ez d zc y b x a z)y,(x,??+++++++++=?. 6. 设 (z )h (z )h (z )h (y )g (y )g (y )g (x )f (x )f (x )f z)y,Φ(x,321321321=求zy x Φ3. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明∑==n1i 0Li0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明1)f m (n 1)n(n f y y x x m+--=???? ?+?? . 10. 对于函数f(x,y)=sinxy,试证my y x x ???? ?+??f=0.。
数学分析(下册)答案-张岩 李克俊-第十章数项级数
习题10-11、讨论下列级数的敛散性，如果收敛，求其和：+⨯+⨯+⨯571351131)1(； （2）22111111232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；∑∞=++1)2)(1(1)3(n n n n ； 1(4)n ∞=-+∑；∑∞=12)5(n n n； ∑∞=++-+11211243)6(n n n n 0(7)sin 6n n π∞=∑； ∑∞=11)8(n nn；解 （1）()()1111212122121n u n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以1111111111123352121221nn k k s u n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，故()()11111lim lim 121212212n n n n s n n n ∞→∞→∞=⎛⎫==-= ⎪+-+⎝⎭∑。
故级数收敛，且其和为12。
（2）22221111111111112323232223331111111112311,11232231123n n n n n nnn n s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦--所以，原式11113lim 11122322n nn →∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-+-=+=⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭。
故级数收敛，且其和为32。
（3）()()()()()1111122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，所以()()()()()11111111212232334112111,2212n n k k s u n n n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑()()111111lim (1)(2)22124n n n n n n n ∞→∞=⎡⎤=-=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦∑。
数学分析习题册答案
习 题 1-11．计算下列极限（1）lim x ax a a x x a→--, 0;a >解：原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1ln aa a a a a --⋅=(ln 1)a a a -（2）sin sin limsin()x a x ax a →--；解：原式sin sin lim x a x ax a→-=-(sin )'cos x a x a ===（3）2lim 2), 0;n n a →∞->解：原式2n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]pn n n→∞+-，0;p >解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -== （5）10100(1tan )(1sin )lim;sin x x x x→+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x→→+---=--=990010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式11lim1x x →=- 1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()()lim h f x h f x f x h h→+-+-. 解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解：1ln ln ()lim[]x a x a f x -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e --→=ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x af x f a x a x a x a e →----='()()f a a f a e=习 题 1-21.求下列极限 （1）lim x →+∞;解：原式lim 1)(1)]0x x x →+∞=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间（2）40cos(sin )cos lim sin x x xx→-;解：原式=40sin (sin )limx x x x ξ→--=30sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3）lim x →+∞解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x xξ-→+∞=⋅+⋅+--5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与11x +之间 （4） 211lim (arctan arctan);1n n n n →+∞-+ 解：原式22111lim ()11n n n n ξ→+∞=-++ 1=，其中其中ξ在11n +与1n 之间 2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦.解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn e e→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习 题 1-31．求下列极限（1）0(1)1lim (1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解：原式0limx x x λλμμ→==（2）0x →;解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x →-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x→++⋅⋅⋅+=- 20cos 1cos 21cos 12lim x x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑ （3）011lim)1xx x e →--（; 解：原式01lim (1)x x x e xx e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x→-=01lim 22x x x →== （4）112lim [(1)]xxx x x x →+∞+-;解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+- 1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞== 2. 求下列极限 （1）2221cos ln cos limsin x x x x xe e x-→----;解：原式222201122lim12x x x x x →+==- （2）0ln()2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--;解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=-- 02lim442x x x xx x x→++==--习 题 1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n n n n→∞-；解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+=（2）求33601lim sin x x e x x→--；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x xx o x x e x x x →→++---=== （3）21lim[ln(1)]x x x x→∞-+；解：原式222111lim[(())]2x x x o x x x →∞=--+12=（4）21lim (1)x xx e x-→+∞+；解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee +--→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.解：因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++ 所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0limlim h h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而 10a b +-= 20a b += 解得：2,1a b ==- 3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-解：原式222200001000220''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h→+++-+-++=22201220''()()()lim h f x h o h o h h→++=0''()f x = 4. 设()f x 在0x =处可导，且20sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x→+. 解 因为 2200sin ()sin ()2lim()lim x x x f x x xf x x x x→→+=+= []22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x→'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以 01()l i mx f x x→+01(0)(0)()l i m x f f x o x x →'+++=02()l i m 2x x o x x →+==习 题 1-51. 计算下列极限(1) limn →∞解：原式limn →∞=2n ==(2)2212lim (1)nn n a a na a na+→∞+++⋅⋅⋅+> 解：原式21lim (1)nn n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2． 设lim n n a a →∞=，求 (1) 1222lim nn a a na n →∞+++ ；解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na a n →∞==- (2) 12lim 111n nna a a →∞+++ ，0,1,2,,.i a i n ≠=解：由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++== ， 所以12lim 111n nna a a a →∞=+++3．设2lim()0n n n x x -→∞-=，求lim n n x n →∞和1lim n n n x x n-→∞-.解：因为2lim()0n n n x x -→∞-=，所以222lim()0n n n x x -→∞-=且2121lim()0n n n x x +-→∞-=从而有stolz 定理2222limlim 022n n n n n x x xn -→∞→∞-==，且212121lim lim 0212n n n n n x x x n ++-→∞→∞-==+ 所以lim 0n n x n →∞=，111lim lim lim 01nn n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-4．设110x q <<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-， 证明：1lim n n nx q→∞=.证明：因110x q<<，所以211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<，所以210x q <<，用数学归纳法易证，10n x q <<。
数学分析习题集答案10
4.
不成立;
lim
n→∞
S
' n
(1)
=
1 2
≠
S '(1) .
5. (1) α < 1. (2) α < 2 . (3) α < 0 .
6. 提示: ∀η > 0 , 证明 {Sn (x)}在 [a + η,b −η]上一致收敛于 S '(x) . 取 0 < α < η ,
则 S '(x) 在 [a + α,b −α ]上一致连续, 即 ∀ε > 0, ∃δ > 0 , ∀x', x"∈ [a + α,b −α ],
x
=
lim
∞
∑
ln⎜⎛1
+
A→+∞ n=0 ⎝
A 2n
⎟⎞ = +∞ . ⎠
第3节
1．（1） R = 1 , 3
D
=
⎢⎣⎡−
1 3
,
1 3
⎟⎞ ⎠
.
（2） R = 1, D = (0,2) .
[ ] （3） R = 2 , D = − 2, 2 .（4） R = 1, D = (− 2,0].
（5） R = +∞ , D = (− ∞,+∞). （6） R = 1, D = [−1,1].
n=1
n=1
∞
∞
∑ (−1)n n−x 与 (−1)k ∑ (−1)n n−x ln k n (k = 1,2,") 在 (0,+∞) 上内闭一致收敛.
n=1
n=1
5.
提示:
证明
∞
∑
数学分析课后习题答案18.3
Fx = 4 x, Fy = 6 y, G x = 6 x, G y = 2 y, g z = −2 x,
所以
∂( F , G) = 28 ， ∂ ( x, y ) (1, −1, 2 ) ∂( F , G) = 32 ∂ ( y, z ) (1, −1, 2 )
∂( F , G) = 40 ∂ ( z , x) (1, −1, 2 )
2 3
解 易见 xt = 1, y t = 2t , z t = 3t
2
设曲线在 t = t 0 处的切线平行于平面 x + 2 y + z = 4 ,则有
1 2 2 (1,2t 0 ,3t 0 ) ⋅ (1,2,1) = 0 , 即 1 + 4t 0 + 3t 0 = 0 . 解之得 t 0 = −1或t 0 = − , 所以所求点为 3 1 1 1 (-1,1,-1)或 ( − , ,− ) 3 9 27
1． 求平面曲线 x
3
2
+y
2
3
2
= a 2 (a > 0) 上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所
2 2
3
截取的线段等长。 解 令 F ( x, y ) = x
3
+y
3
− a 3 ，则
Fx ( x0 , y 0 ) =
2 − 13 2 −1 x 0 , Fy ( x 0 , y 0 ) = y 0 3 。 3 3
7.求函数
u=
x x2 + y2 + z2
2 4
在点 M (1,2,−2) 处沿曲线 x = t , y = 2t , z = −2t 在该点切线方向导数. 解 因曲线过点 (1,2,−2) ,所以 t 0 = 1 ,于是
【最新试题库含答案】数学分析(下册)答案
数学分析(下册)答案：篇一：《数学分析下册》期末考试卷及参考答案数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）1、已知u?则?u?u?，??y?xdu?。
2、设L：x2?y2?a2，则??xdy?ydx?。
L?x=3cost，L：3、设?（0?t?2?），则曲线积分?（x2+y2）ds=。
?y=3sint.L4、改变累次积分?dy?（fx，y）dx的次序为。
2y33x?y?1，则??1)dxdy 。
5、设DD二、判断题（正确的打“O”;错误的打“×”；每题3分，共15分）px0，y0）px0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必存在一fx，y）fx，y）阶偏导数。
( )px0，y0）px0，y0）2、若函数（在点（可微，则函数（在点（连续。
fx，y）fx，y）( )px0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数fxy(x0,y0)和fyx(x0,y0)，则 fx，y）?必有 fxy(x0,y0)fyx(0x,0y) 。
L(B,A)( ) ( ) 4、L(A,B)?f(x,y)dx??f(x,y)dx。
5、若函数（在有界闭区域D上连续，则函数（在D上可积。
( ) fx，y）fx，y）第 1 页共 5 页三、计算题（每小题9分，共45分）1、用格林公式计算曲线积分I??(exsiny?3y)dx?(excosy?3)dy ，?AOAO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆x2?y2?ax上半部分的路线。
其中?、计算三重积分???(xV2?y2)dxdydz，是由抛物面z?x2?y2与平面z?4围成的立体。
第 2 页共 5 页3、计算第一型曲面积分I???dS，S其中S是球面x2?y2?z2?R2上被平面z?a(0?a?R)所截下的顶部（z?a）。
4、计算第二型曲面积分22 I????y(x?z)dydz?xdzdx?(y?xz)dxdy，S其中S是立方体V??0,b???0,b???0,b?的外表面。
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题
有界，由Dirichlet判别法，知 二、解答题
收敛.
1．设 ，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
， 的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列 在有限闭区间 上连续， 在 上等 度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由 在 上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令 取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由 时，有
，
；对于任意的
目 录
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续 第17章 多元函数微分学 第18章 隐函数定理及其应用 第19章 含参量积分
第20章 曲线积分 第21章 重积分 第22章 曲面积分 第23章 向量函数微分学 第二部分 课后习题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即 这里
，由比值判别法知
绝对收敛．
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-函数列与函数项级数(圣才出品)
是单调递减的．
又对任意
故
由狄利克雷判别法知
致收敛．
（3）因为|x|＞r≥1，所以
在
上一
当 r＞1 时，因级数
收敛，所以 在| x |＞r＞1 上一致收敛．
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当 r＝1 时，
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所以级数
上不一致收敛．
（4）因
时．
，而
上不一致收敛． 考虑区间[0，M]时，
所以 在[0，M]上一致收敛且
上内闭一致收敛．
（5）任意给定的
（i）
，考虑区间[－1，1]时，
由（ii）知 在[0，＋∞）
（ii）D＝（－∞，＋∞）时．
故 但由（i）知 在
所以
在（－∞，＋∞）上不一致收敛．
上内闭一致收敛．
2．证明：设
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若对每一个正整数 n 有
证明：必要性
总存在 的一个邻域 和 I 的一个内闭区间[a，b]，使得
所以
而 在[a，b]上一致收敛于 f，因此 在
上一致收敛于 f．
充分性
由已知
使得 在
上一致收敛于
f．从而
当
时
有
显然，当
取遍[a，b]上所有点时，
覆盖[a，b]．由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b]．不妨设
取
，则当 n＞N 时，
证明：不妨设存在 M≥0，对任意
有|g（x）|＜M．因
在 D 上一致收敛于
S（x），故对任意
存在 N＞0，当 n＞N 时，对任意
，均有
从而，对任意
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数学分析(下册)(华东师大第三版)
!!第十二章数项级数内容提要!一!定义给定一个数列!!""#对它的各项依次用$!%号连接起来的表示式!"!!#!&&!"!&&!称为数项级数或无穷级数’也常简称级数(#其中!"称数项级数!的通项#数项级数!记作"$"$"!"或"!"#二!级数收敛的柯西准则级数!收敛的充要条件是)任给!#%#总存在自然数%#使得当&#%和任意的自然数’#都有$!&!"!!&!#!&!!&!’$%!反之#级数!发散的充要条件是)存在某正数!%#对任何自然数%#都存在&%#%和自然数’%#有$!&%!"!!&%!#!&!!&%!’%$&!由此易得)若级数!收敛#则&’()’!$*)+*,三!正项级数收敛性的判别方法"-正项级数!"!!#!&!!"!&&收敛的充要条件是)部分和数列!(""有界#即存在某正数)#对一切自然数"有("%)##-比较判别法.-比较原则的极限形式/-达朗贝尔判别法’或称比较判别法(0-比较判别法的极限形式*!*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#1-柯西判别法’或称根式判别法(2-根式判别法的极限形式3-积分判别法4-拉贝判别法"%-拉贝判别法的极限形式四!一般项级数收敛性的判别方法"-级数"$!"$收敛#则级数"!"绝对收敛#若"!"收敛#"$!"$发散#称级数"!"为条件收敛##-莱布尼兹判别法.-阿贝尔判别法/-狄利克雷判别法典型例题与解题技巧$例!%!设"$"$"*#"收敛#证明)"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#分析!本题主要考查正项级数的判敛#要求灵活运用正项级数的几种判敛法#证明!%%*"!"&)"%"#*#"!""&)#’("易知)"$"$#""&)#"收敛’积分判别法(#又"$"$#*#"收敛#所以"$"$#"#*#"""&)#’("收敛#由比较判别法知"$"$#*"!"&)"收敛’*"#%(#$例"%!设+’,(在点,+%的某一邻域内具有连续的二阶导数#且&’(,’%+’,(,+%#证明)级数"$"$"+’""(绝对收敛#分析!本题考查级数与之前所学知识的综合运用#级数的绝对收敛的判定#证明!由&’(,’%+’,(,+%#又+’,(在,+%的某邻域内具有连续的二阶导数#可推出+’%(+%#!+’-%(+%将+’,(在,+%的某邻域内展成一阶泰勒公式+’,(++’%(!+’-%(,!"#+.’"(,#+"#+.’"(,#!’"在%与,之间(又由题设+’.,(在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续#因此()#%#使$+’.,($)!#于是$+’,($+"#$+.’"($,#)!#,#令,+""#则$+’""($)!#*""##因为"$"$"""#收敛#故"$"$"+’""(绝对收敛#*"*第十二章!数项级数历年考研真题评析!$题!%!’中山大学##%%1年(级数"$"$"*"收敛的充要条件是)对任意的正整数序列/"#/##&#/"#&都有&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%#分析!本题考查对级数收敛的定义的理解程度#证明!必要性!因为"$"$"*"收敛#所以对*!#%#(%#%#当"#%及*0+%#有$*"!"!*"!#!&!*"!’$%!特别地$*"!"!*"!#!&!*"!/"$%!所以&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%充分性!用反证法#若"*"发散#则(!%#%#*%#%#("#%及自然数’#使$*""!"!&!*"!’$&!%特别地%"+"#(""#"及自然数/"使$*"!"!&!*""!/"$&!%%#+(56!""##"#("##%##及自然数/##使$*""!"!&!*"#!/#$&!%&&&&这与&’("’!$’*"!"!*"!#!&!*"!/"(+%的假设矛盾#$题"%!’同济大学##%%1年(证明)级数"$"$"’7"("8’),"*,,%都是条件收敛的#分析!本题考查条件收敛的判断#莱布尼兹判别法与比较判别法的灵活运用#证明!不妨设,#%#则(%,#%#当"#%,时#%%,"%###此时8’),"#%#且8’),!""为单调递减数列#且&’("’!$8’),"+%#由莱布尼兹判别法知"$"$"’7"("8’),"收敛#而当"#%,时#’7"("8’),"+8’),"#%#&’("’!$8’),","+"#又"$"$","发散#由比较判别法知"$"$"8’),"也发散#所以*,,%#级数"$"$"’7"("8’),"都是条件收敛的#课后习题全解!!!9"!级数的收敛性-"-证明下列级数的收敛性#并求其和数)*#*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#’"(""*11"1*""1"""*"11&1"’0"2/(’0"1"(1&+’#(’"#1".(1’"##1".#(1&1’"#"1"."(1&+’.(""$"$""’"1"(’"1#(+’/(""$"$’"1!#2#"1!"1!"(+’0(""$"$#"2"#"-!分析!’"(进行积分和差的转化#’/(以某一项拆分为两项的方式重新组合原式#!解!’"(("$"3$"""’032/(’031"($"0"3$""’"032/2"031"($"0’"2"0"1"(于是($&’("’$("$"0#故级数收敛且其和为"0-’#(("$"3$""’"#31".3($"3$"""#31"3$""".3$"#2"#"1""2"#1".2"."1""2".$.#2"#"2"#4."于是($&’("’$("$.##故级数收敛且其和为.#-’.(("$"3$"""3’31"(’31#($"#"3$"","3’31"(2"’31"(’31#(-$"#,"#2"’"1"(’"1#(-于是($&’("’$("$"/#故级数收敛且其和为"/-’/(("$"3$""’31!#2#31!"1!3($"3$""’31!#231!"(2"3$""’31!"2!3($’"1!#2!#(2’"1!"2"($"2!#1""1!#1"1!"于是("$&’("’$("$"2!##故级数收敛且其和为"2!#-’0(("$#("2("$"3$""#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$#"#32"#32"2"3$""#32"#3$"1"3$""2"##32#"2"#"*$*第十二章!数项级数$"1"2"#"2""2"#2#"2"#"$.2"#"2#2#"2"#"’"&#(于是($&’("’$("$.#故级数收敛且其和为.-.#-证明)若级数"!"发散#5,%#则"5!"也发散-!证明!因为级数"!"发散#即(!%#%#对任何%+:1#总有&%+:1和’%+:1使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&!%所以65!&%1"15!&1#1&15!&%1’%6$6566!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6&656!%于是"5!"亦发散-..-设级数"!"与"7"都发散#试问"’!"17"(一定发散吗.又若!"与7"’"$"###&(都是非负数#则能得出什么结论.!解!若"!"#"7"都发散#则"’!"17"(不一定发散-例如#""和"’2"(是发散的#但"’"1’2"((是收敛的+""和"#是发散的#"’"1#($".亦是发散的-若"!"#"7"都发散且!&%#7"&%#则"’!"17"(发散-由柯西收敛准则#知(!%#!"#%#对任何的%+:1#总存在&%#’%#&"+:1#使6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%6$!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%&!%和67&"1"17&"1#1&17&"1’"6$7&"1"17&"1#1&17&"1’"&!"故6’!&%1"17&%1"(1’!&%1#17&%1#(1&1’!%1’%17&%1’%(6$’!&%1"1!&%1#1&1!&%1’%(1’7&%1"17&%1#1&7&%1’%(&!%即"’!"17"(必发散--/-证明)若数列!*""收敛于*#则级数"$"$"’*"2*"1"($*"2*#!分析!单项收敛则和也收敛#!证明!由已知条件知#数列!*""收敛于*#即&’("’$*"$*#故("$"3$""’*32*31"($*"2*"1"从而($&’("’$("$&’("’$’*"2*"1"($*"2&’("’$*"1"$*"2*-0-证明)若数列!8""有&’("’$8"$$#则’"(级数"’8"1"28"(发散+’#(当8",%时#级数""8"2"8"1’("$"8"-分析!’#(中间项相互抵消即可#证明!’"(因为("$"3$""’831"283($8"1"28"($&’("’$("$&’("’$’8"1"28"($$*%*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#故"’8"1"28"(发散-’#(当8",%时("$"3$"""832"831’("$"8"2"8"1"即($&’("’$("$"8"2&’("’$"8"1"$"8"故级数""8"2"8"1’("收敛于"8"--1-应用第/#0题的结果求下列级数的和)’"(""$"$"’*1"2"(’*1"(+!!!!!!’#(""$"$’2"("1"#"1""’"1"(+’.(""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"--!分析!’"(积化和差将原式拆分#简化了问题#’.(识记&’("’$""#$%#!解!’"(因为""$"$"’*1"2"(’*1"($""$"$"*1"2"2"*1’("而数列"*1"2!""收敛于%#故由第/题的结论#可知""$"$"’*1"2"(’*1"($"*1"2"2%$"*’*,%(’#(因为""$"$’2"("1"#"1""’"1"($""$"$,2’2"(""2’2’2"("1""1"(-而数列2’2"("!""收敛于%#故""$"$’2"("1"#"1""’"1"($2’2"(""2%$"’.(因为""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""$"$,""#1"2"’"1"(#1"-而数列""#1!""收敛于%#故""$"$#"1"’"#1"(,’"1"(#1"-$""#1"2%$"#-2-应用柯西准则判别下列级数的敛散性)’"("8’)#"#"+!!!!’#("’2"("2""##"#1"+’.("’2"(""+’/("""1"!#-分析!’"(运用柯西准则进行判别#’/(注意取"%时#应考虑合适的取法#*&*第十二章!数项级数解!’"(由于!6!&1"1!&1#1&1!&1’6$68’)#&1"#&1"18’)#&1##&1#1&8’)#&1’#&1’6!!%"#&1"1"#&1#1&1"#&1’$"#&2"#&1’%"#&因此#对任意的!#%-取&$&;<#",-!使得当&#%及*’+:1#由上式就有6!&1"1!&1#1&1!&1’6%!成立#故由柯西准则可推出"8’)#"#"收敛-’#(因&’("’$’2"("2""##"#1"$"##"/#故取!%$"/-对任一%+:1#总存在&%#%#和’%$"#有6!&%1"6$’&%1"(##’&%1"(#1"#"/$!%由柯西准则可知"’2"("2""##"#1"发散-’.(由于数列"!""单调减小#故6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6$"&%1"2"&%1#1&1’2"(’2""&%1’%"&%1"%"&%因此#*!#%#取%$",-!1"当&%#%及’+:1时#都有6!&%1"1!&%1#1&1!&%1’6%!成立-由柯西准则可知级数"’2"("""收敛-’/(取!%$"!##*%+:1#及取&%$#%#’%$&%#则当&%#%时#就有"3$"’%"’&%13(1’&%13(!##"3$"’%"#’&%13(!#$"’%3$""!#’&%13(#"3$"’%"!#’&%1&%($"!##由柯西准则知"""1"!#发散-/3-证明级数"!"收敛的充要条件是)任给正数!#存在某正整数%#对一切"#%总有6!%1!%1"1&1!"6%!-!分析!由结论6!%1&1!"6%"的形式推出用柯西准则证明#!证明!必要性!若"!"收敛#则由柯西准则可知*!#%#(%"+:1使得*"#&#%"时有*’*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#6!&1"1!&1#1&1!"6%!取%#%"1"#则*"#%#有6!%1!%1"1&1!"6%!充分性!若*!#%#(%+:1#*"#%#总有6!%1!%1"1&!"6%!/#则*&#%及’+:1有!6!&1"1!&1#1&1!&1’6)6!%1!%1"1&1!&1’616!%1!%1"1&1!&6%!/#1!/#$!由柯西准则知级数"!"收敛-!小结!"/#和"都是表示无穷小的数#形式不一样但含义一样#.4-举例说明)若级数"!"对每个固定的’满足条件&’("’$’!"1"1&1!"1’($%#此级数仍可能不收敛-!解!调和级数"""对每一个固定自然数’#有&’("’$""1"1""1#1&1""1’(’$&’("’$""1"1&’("’$""1#1&1&’("’$""1’$%但该级数""#是发散的-/"%-设级数"!"满足)加括号后级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛’""$%(#且在同一括号的!"31"#!"31##&#!"31"符号相同#证明"!"亦收敛-分析!证明"!"收敛需要证其和表达式("收敛于某数(#证明!因为级数"3$"$’!"31"1!"31#1&1!"31"(收敛#则有&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"31"($%所以*"+:1#总存在3+:1#使"$"319’")9)"31"2"3(时#有("$":$""!"$":$"32"’!":1"1!":1#1&1!":1"(1’!"31"1!"31#1&!"319($(-32"1’!"31"1!"31#1&1!"319(其中(-32"表示加括号级数的前32"项之和-当"’$时#32"’1$#从而有($&’("’$("$&’("’$(-32"1&’("’$’!"31"1!"31#1&1!"319($&’("’$(-32"故"!"收敛#其和不变-小结!此题根据3’1$时和(3与(31"的极限一样得出结论#9#正项级数-"-应用比较原则判别下列级数的敛散性)*(*第十二章!数项级数’"("""#1*#+!!!!!!!!!!’#("#"8’)#."+’.("""1"!#+’/(""$#$"’&)"("+’0("’"2=;8""(+’1(""""!"+’2("’"!*2"(’*#"(+’3(""$#$"’&)"(&)"+’4("’*""1*2""2#(’*#%(-!分析!’"(将原式同""#比较得出结果#’#(考虑8’)#."*#"$#’#.("#’1(识记"""数列是发散的#’2(先做代换;$""#!解!’"(因为%)""#1*#%""#而正项级数"""#收敛#所以级数"""#1*#收敛-’#(因为%%#"8’)#."$#’(#."!’"’$(而正项级数"#’(#."收敛#所以级数"#"8’)#."收敛-’.(因为""1"!#&""1"&%而正项级数"""1"发散#所以级数"""1"!#发散-’/(因为%%"’&)"("%"#"!’"#>#(而正项级数""#"收敛#所以级数""’&)"("收敛-’0(因为"2=;8""$"#"’("#’"’1$(而正项级数""#"#收敛#所以级数""2=;8"’("收敛-’1(因为&’("’$"!"$"#故(%+:1#当"#%时#有"!"%#即"""!"#"#"而正项级数""#"发散-所以级数""""!"发散-’2(因为&’("’$"!*2"""令;$"000000"&’(;’%*;2";$&’(;’%*;&)*"$&)**)*!!数学分析同步辅导及习题全解"下册#而正项级数"""发散#所以级数"’"!*2"(发散-’3(因为"’&)"(&)"$">&)’&)"(&)"$"’>&)"(&)’&)"($""&)’&)"(%""#而正项级数"""#收敛#所以级数""’&)"(&)"收敛-’4(因为&’("’$*""1*2""2#’"#"(#$&’("’$’*"#"2*2"#"(#’"#"(#令;$"#000000"&’(;’%1*;2*2;’(;#$’#&)*(#而正项级数"’"#"(#收敛#所以级数"’*""1*2""2#(收敛--#-用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"("0+!!!’#("’"1"(0"%"+’.("’"#"1"("+’/(""0""+’0(""##"+’1("."*"0""+’2("8*’(""’其中*"’*’"’$(+*"#8#*#%#且#*,8(-分析!’/(运用到&’(,’%’"1,(",$>知识点#’2(根据*18不同取值情况考虑#解!’"(因为!&’("’$!"1"!"$&’("’$"*.*&*’#"1"(’"1"(0*"0"*.*&*’#"2"($&’("’$#"1""1"$#所以由比式判别法知正项级数""*.*&*’#"2"("0发散-’#(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1#(0"%"1"*"%"’"1"(0$&’("’$"1#"%$1$所以由比式判别法知正项级数"’"1"(0"%"发散-’.(因为&’("’$"’"#"1"(!"$&’("’$"#"1"$"#%"所以由根式判别法知正项级数"’"#"1"("收敛-’/(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"(0’"1"("1"*"""0$&’("’$"’"1""("$">%"所以由比式判别法知正项级数""0""收敛-’0(因为&’("’$"!!"$&’("’$""!##$&’("’$’"!"(##$"#%"**!*所以由根式判别法知正项级数""##"收敛-’1(因为&’("’$!"1"!"$&’("’$."1"’"1"(0’"1"("1"*"".""0$&’("’$.’"1""("$.>#"所以由比式判别法知正项级数".""0""发散-’2(因为&’("’$"!!"$&’("’$8*"$8*所以由根式判别法知#当*#8时#正项级数"’8*"("收敛+当*%8时#正项级数"’8*"("发散--.-设"!"和"7"为正项级数#且存在正数%%#对一切"#%%#有!"1"!")7"1"7"-证明)若级数"7"收敛#则级数"!"也收敛+若"!"发散#则"7"也发散-!分析!运用比式判别法进行证明即可#!证明!若"7"收敛#由题意#知当"#%%时#有!"1"!")7"1"7"#即%%!"1"7"1")!"7")&)!%%1"7%%1"故!"1")!%%1"7%%1"*7"1"!’"#%%(而!%%1"7%%1"是常数#所以由比式判别法知正项级数"!"亦收敛-若正项级数"!"发散#同理可证正项级数"7"亦发散-./-设正项级数"*"收敛#证明"*#"亦收敛+试问反之是否成立.!证明!由正项级数"*"收敛可知!!&’("’$*"$%即(%%+:1#当"#%%时#有!!%)*"%"从而%)*#"%*"由比较原则可知#正项级数"*#"收敛#但反之不一定成立#例如正项级数"""#收敛#但正项级数"""发散--0-设*"&%#"$"###&#且!"*""有界#证明"*#"收敛-!分析!注意条件$!"*""有界%#可由此设%)"*"%)再进行证明#!证明!由题意可知()#%#*"+:1#有%)"*"%)*!!*即%)*"%)"从而%)*#"%)#"#而级数"""#收敛#由比较原则可知级数"*#"亦收敛-.1-设级数"*#"收敛#证明"*""’*"#%(也收敛-!证明!对*"#%及任意正整数"#有%%*"")"#*#"1""’(#而"*#"#"""#都收敛#故"*""亦收敛--2-设正项级数"!"收敛#证明级数"!"!"1!"也收敛-!分析!注意运用!*8)"#’*18(#!证明!对!"#%#及任意正整数"#有%)!"!"1!")"#’!"1!"1"(而级数"!"收敛#故由比较原则知级数"!"!"1!"收敛-.3-利用级数收敛的必要条件#证明下列等式)’"(&’("’$""’"0(#$%+!!!’#(&’("’$’#"(0*"0$%!’*#"(-!解!’"(设!"$""’"0(##则正项级数"!"$"""’"0(#是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’"1"("1",’"1"(0-#*’"0(#""$&’("’$""1""1"’(""$%故由柯西准则可知&’("’$!"$&’("’$""’"0(#$%-’#(设!"$’#"(0*"0则正项级数"!"$"’#"(0*"0是收敛的#这是因为&’("’$!"1"!"$&’("’$’#’"1"((0*’"1"(0**"’#"(0$&’("’$’#"1"(’#"1#(*"1"$%故由柯西准则知&’("’$!"$&’("’$’#"(0*"0$%--4-用积分判别法讨论下列级数的敛散性)’"("""#1"+!!!!!!!’#("""#1"+’.(""$."""&)"&)’&)"(+’/(""$.$""’&)"(’’&)&)"(<#!分析!’.(运用积分判别法#’/(分别讨论’1<的不同取值情况#!解!’"(设+’,($",#1"*"!*则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而11$"?,"1,#$#/故由积分判别法知"""#1"收敛-’#(设+’,($,,#1"则+’,(在,"#1$(上为非负递减函数#而&’(,’$,*,,#1"$"由11$",,#1"?,发散#于是由积分判别法知"""#1"发散-’.(设+’,($",&),&)’&),(则+’,(在,.#1$(上为非负递减#而11$.+’,(?,$11$.?,,&),&)’&),($11$&)&).?!!$1$故由积分判别法知""$."""&)"&)’&)"(发散-’/(设+’,($",’&),(’’&)&),(<则+’,(在,.#1$(上非负递减-$(若’$"#这时有11$.?,,&),’&)&),(<$11$&)&).?!!<当<#"时级数收敛#当<)"时级数发散-%(若’,"#这时有11$.?,,’&),(’’&)&),(<$11$&)&).?!>’’2"(!!<对任意的<#当’2"#%时#取;#"#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$%即该积分收敛#当’2"%%时#有&’(!’$!;*">’’2"(!!<$1$即该积分发散-即对任意的<#当’#"时级数收敛+当’%"时级数发散-/"%-设!*""为递减正项数列#证明)级数""$"$*"与"#&*#&同时收敛或同时发散-!分析!首先证明(")="#即可证="收敛2("收敛+证发散也可类似此法#!证明!设正项级数"*"的部分和为("#正项级数"#&*#&的部分和为="#则由于!*""为递减正项数列#即有*#!*("$*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&1*")*"1’*#1*.(1’*/1*01*11*2(1&’*#91&1*#91"2"()*"1#*#1&1#9*#9$=9!’")#9(故若正项级数"#&*#&收敛#则正项级数"*"亦收敛-反之当"	时#则("&*"1*#1’*.1*/(1&1’*#92"1"1&1*#9(#"#’*"1#*#1/*/1&1#9*#9($"#=9故若正项级数"*"收敛#则正项级数"#&*#&亦收敛-发散的情况类似可证-!小结!需要对"的取值分类讨论#.""-用拉贝判别法判别下列级数的敛散性)’"(""*.*&*’#"2"(#*/*&*’#"(*"#"1"+’#(""0’,1"(’,1#(&’,1"(!’,#%(-!解!’"(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$,"2"*.*&*’#"1"(#*/*&*’#"1#(*’#"1.(*#*/*&*’#"(*’#"1"("*.*&*’#"2"(-$&’("’$"’1"10(’#"1#(’#"1.($.##"所以由拉贝判别法知级数收敛-’#(因为!&’("’$""2!"1"!’("$&’("’$""2’"1"(0’,1"(’,1#(&’,1"1"(’,1"(’,1#(&’,1"(",-0$&’("’$",,1"1"$,所以由拉贝判别法知+当,#"时级数收敛+当,)"时级数发散--"#-用根式判别法证明级数"#2"2’2"("收敛#并说明比式判别法对此级数无效-!分析!此题是说明比式与根式判别法并不是在任何地方都有效的例子#!证明!设!"$#2"2’2"("#则&’("’$"!!"$&’("’$"#""#’2"(!"$"#由根式判别法知"!"收敛#但&’("’$!"1"!"$&’("’$#2"1#’2"("不存在#所以比式判别法对此级数无效-*$!*.".-求下列极限’其中’#"()’"(&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’+’#(&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("-!解!’"(因为’#"#"""’收敛-由柯西准则知*!#%#(%+:1#当"#%时#有"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(’%!所以&’("’$"’"1"(’1"’"1#(’1&1"’#"(,-’$%’#(因为’#"#级数""’"收敛#由柯西准则知*!#%#(%+:1使得对一切"#%时#有"’"1"1"’"1#1&1"’#"%!所以&’("’$"’"1"1"’"1#1&1"’#’("$%/"/-设*"#%#证明数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"同时收敛或同时发散-!分析!由题意可知两数列有相同敛散性#只需证明一种即可#!证明!由于数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"&)’"1*"(有相同的敛散性-因而本题只需证"*"和"&)’"1*"(的敛散性相同-这两者之一若收敛#必有&’("’$*"$%且当&’("’$*"$%时&’("’$&)’"1*"(*"$"故由比较原则的推论可知"&)’"1*"(与"*"有相同的敛散性-故数列!’"1*"(’"1*#(&’"1*"("与级数"*"有相同的敛散性-!小结!注意运用比较原则的推论#9.!一般项级数-"-下列级数哪些是绝对收敛#条件收敛或发散的)’"("8’)","0+!!!!!!!’#("’2"("""1"+’.("’2"(""’1""+’/("’2"("8’)#"+’0("’2"("!"1"’("+’1("’2"("&)’"1"("1"+*%!*’2("’2"("#"1"%%."1’(""+’3(""0,’(""-!分析!’.(需要将’分为’2%#%-#’%#"-#’"#1$(三段讨论#’1(通常是先证绝对收敛#再证条件收敛#!解!’"(因为8’)","0)""0而"""0收敛#所以"8’)","0为绝对收敛-’#(因为&’("’$’2"("""1"$",%所以"’2"("""1"发散-’.(当’)%时&’("’$’2"(""’1"",%故这时级数发散-当’#"时#由于’2"(""’1""$""’而"""’收敛#故这时级数绝对收敛-当%%’)"时#令!!!"$""’1""则!"1"!"$"""’"1""(’’"1"(""1"%"""’"1""(’"""1"$"""’"1"(’"1""(’而"1"’("’’>’#"#"""’"1"(’"!’"’$(从而当"充分大时#有!"1"%!"即!!""为单调递减#又有&’("’$!"$%故由定理"#-""’莱布尼茨判别法(可知#级数"’2"(""’1""在%%’)"时条件收敛-’/(因为’2"("8’)#"$#"’"’$(而"""发散#即原级数不是绝对收敛级数#但8’)#!""是单调递减且&’("’$8’)#"$%-所以由莱布尼茨判别法可知"’2"("8’)#"条件收敛-’0(由于"""发散#"’2"(""!"收敛#故"’2"("!"1"’("发散-’1(因为&)’"1"("1"#""1"*&!*。
数学分析习题集答案9
第九章第1节1．（1）43=S .（2）发散.（3）41=S .（4）21=S .（5）发散.（6）2093=S . （7）12+−=S . 提示：1212+−+−+=n n S n .（8）. 提示：设1=S ∑=−=nk k n k S 1312，则∑=−−=n k k n k S 113123∑−=+=10312n k k k ，再两式相减.（9）2cos 21cos 1q q q S +−−=θθ. 提示：由∑∞=−=011n i in n qe e q θθ，利用Euler 公式 θθθsin cos i e i +=，对上式两边取实部.2．（1）.（2）),2()0,(+∞−∞∪)0,(−∞.（3）(]1,1−. 4．∑∞==161n n x . 提示：312211+++−+=n n n x n . 5．(1) 334n n a S =, 其中)1(1+=n n a n . (2) 341=∑∞=n nn a S . 第2节1．（1）21lim =∞→n n x ，5cos 21lim π−=∞→n n x .（2）+∞=∞→n n x lim ，0lim =∞→n n x .（3）−∞=∞→n n x lim ，−∞=∞→n n x lim .（4）231lim +=∞→n n x ，231lim −=∞→n n x . （5）5lim =∞→n n x ，5lim −=∞→n n x .第3节1．（1）收敛.（2）发散.（3）发散.（4）收敛.（5）收敛.（6）收敛.（7）发散.（8）发散.（9）收敛.（10）收敛.（11）收敛.（12）收敛. （13）发散.（14）收敛.（15）收敛.（16）收敛.（17）收敛.3．(1) a x x n n n n =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→1lim 1, 所以当时, 级数收敛，当1>a 10<<a 时, 级数发散；当，1=a 11+=n x n ，级数发散.(2) 13ln 1lim 1>=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→n n n x x n , 级数收敛. (3) 12ln 1lim 1<=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→n n n x x n , 级数发散. 4．(1) 收敛. (2) 发散. (3) 收敛. 8．提示：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤p n pn n x n x 2121；反例：nn x n 2ln 1=. 9．(1) . (2) 提示: )1(f A S −=)1()()(')('0−−=<≤n f n f f n f ξ. 10．提示: 112+=++n a a n n . 11．提示: 证明数列{单调增加, 于是存在}1+n nx 0>α, 使得α≥+1n nx . 12．提示: 设, 令∑∞==1k k n x S 11S y =, ),4,3,2(1 =−=−n S S y n n n .13．提示: 利用不等式nn n n n n n n S S S S S S S x 111112−=−≤−−−. 14. 提示: 注意Fibonacci 数列的性质 11−++=n n n a a a 与 2215lim1<+=+∞→n n n a a(见例2.4.4). 由D’Alembert 判别法可知级数收敛. 设∑∞==12n n na S , 则∑∞=+=122n nn a S ,两式相加得到 ∑∞=++=12123n nn a a S 214a a S −−=.第4节1．（1）发散.（2）条件收敛.（3）当0≠x 时条件收敛; 当0=x 时绝对收敛. （4）发散.（5）条件收敛.（6）条件收敛.（7）当6,6(ππππ+−∈k k x 时绝对收敛; 当6ππ±=k x 时条件收敛; 其他情况下发散.（8）当2πk x =时绝对收敛; 设2πk x ≠, 当 绝对收敛, 当时发散.1>p 1≤p （9）当2<x 时绝对收敛, 当2≥x 时发散.（10）条件收敛. （11）当1<x 时绝对收敛;当时, ;1=x ⎩⎨⎧>=>其他情况或1,11q p p 发散绝对收敛当时, ;1−=x ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<≤=>=>其他情况或或或0,0101,11,11q p p q p q p p 发散条件收敛绝对收敛当1>x 时发散.（12）当时绝对收敛; 当1>a 10≤<a 时条件收敛. 3. 提示: 当∞→n 时,02122→+++<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n n x x x x n. 5.不一定收敛. 反例: ∑∞=1n n y nx n n 1)1(+−=, nny n n 1)1(1+−=+. 6. 不一定收敛. 反例: ∑∞=+−11)1(n n n x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−===121212k n k kn k x n .7. 收敛; 提示: 0lim >=∞→αn n x .8. 提示:∑∞=1n nnx α1(1∑∞=−⋅=n n nnx ααα, 利用Abel 判别法.9. 提示: 令, 则1,==n n n b x a k B k =, 利用Abel 变换得到.∑∑=−=+−−=n k n k k k n k x x k nx x 1111)(10. 提示: 由于收敛,∑∞=1n n y :N ,,,0+∈∀>∀∃>∀p N n N εε<∑++=pn n k ky 1. 由于绝对收敛, 所以收敛,于是可知∑∞=+−21)(n n n x x {}n x 有界. 设A x x n n n =−∑∞=+21,B x n ≤, 令k n n n k y y y B ++++++= 21, 利用Abel 变换得到ε)()(111B A B x x B x y x pn n k kk k p p pn n k k k +<−−=∑∑++=+++=.11. 提示: 首先有,0)0(=f 0)0('=f , 于是⎟⎠⎞⎜⎝⎛n f 1～212)0("n f ⋅.12．提示： 反证法. 令n n x n y )11(+=, 若收敛, 则由Abel 判别法,∑∞=1n n y =∑∞=1n n x ∑∞=+11n n y n n收敛. 13. 提示: 由01lim 1>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→n nn x x n , 可知数列{}n x 当充分大时是单调减少的; 同时存在n 0>>αβ, 当充分大时, 成立n αβ)11(11nn x x n n +>+>+, 这说明数列{}nx n α当n 充分大时也是单调减少的, 于是, 从而数列A xn n≤α{}n x 趋于零.14.2ln 23. 提示: 设 1 +=n b 21+31+ … + n 1- ln n , n n n c n 212111+++++= , ∑∞=+−11)1(n n n 的更序级数 1 +31-21 +51 +71-41 +91 +111-61+ … 的部分和数列为,则有{}n S 2ln 22143+−−=n n n n c b b S . 再利用γ=∞→n n b lim 与2ln lim =∞→n n c .第5节1．（1）收敛.（2）发散.（3）收敛.（4）收敛.（5）当时收敛，当时发散.（6）收敛.（7）当1>x 1≤x 2<x 时收敛，当2≥x 时发散.（8）收敛.（9）收敛. （10）当时收敛，当1)2,min(>q p 1)2,min(≤q p 时发散.2. (1)21; 提示：∏=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n k k 2211n n 121+⋅=. (2)31; 提示：∏=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−n k k k 2)1(21n n 231+⋅=. (3)32; 提示：∏=+−n k k k 23311)1(1322−++⋅=n n n n .3. 提示： 设n n x α−=1cos , 则2210n n x <<α. 4. 提示： 设n n a απ+=+1)4tan(, 则2lim=∞→nnn a α.5．提示：利用发散到的充分必要条件是发散到∏∞=1n n p 0∑∞=1ln n n p ∞−.6. 提示：∏=+nk kq21)1(∏∏==−−=n k knk kqq21212)1()1(∏∏∏==−=−⋅−−=nk nk k knk kq qq11122212)1()1()1(∏∏=−+=−−=nk k nn k kqq112212)1()1(.。
数学分析 第二版 上下册 课后答案 陈纪修
习 题 1.2 映射与函数
1. 设 S = {α , β ,γ }, T = {a,b,c} ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ? 其中
哪些是双射?
解 有 33 = 27 种可能的映射，其中有 3!= 6 种是双射，它们是
⎧α a
⎧α a
⎧α b
⎧α b
⎧α c
⎧α c
f : ⎪⎨β b ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β b 。
证（1）设 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，则 x ∈ A ，并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D 。于是
或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D ，即 x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ；
设 x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ，则或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D 。于是 x ∈ A ，
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
⒈ 证明由 n 个元素组成的集合 T = {a1，a2， ，an }有 2n 个子集。
解
由 k 个元素组成的子集的个数为 Cnk ，
n
∑
C
k n
=
(1 + 1)n
=
2n
。
k =0
⒉ 证明：
(1) 任意无限集必包含一个可列子集；
(2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A ∪ B 也是可列集。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
数学分析课后习题答案1.4
π
2
, tan x 0 = tan(arctan( M + 1) = M + 1 > M
所以 f ( x) = tan x 在 ( − (2)任取 [a , b] ∈ ( −
π π
2 , 2
) 内是无界函数.
π π
2 ,
2
) ,由于 tan x 在 [a , b] 上是严格递增的,从而 tan a ≤ tan x ≤ tan b
1 M +1
∈ (0 ,1) ,使 f ( x0 ) =
1 x0
2
= M +1 > M
1 为 (0,1) 上的无界函数. x2
1 , x ∈ (0 ,1] ⑶设 f ( x) = x .下证 f ( x) 为无界函数 0 , x = 0
∀M > 0 , ∃x0 =
1 ∈ (0 ,1] ,使得 f ( x0 ) = M + 1 > M M +1
x∈D x∈D
(2)同理可证结论成立.
9、 证明:函数 f ( x) = tan x 在 ( − 上有界.
π π
2 , 2
) 内为无界函数,但在 (−
π π
2 , 2
) 内任一闭区间 [a , b]
证: (1)对任意的正数 M ,取 x 0 = arctan(M + 1) , 则−
π
2
< x0 <
1 , x ∈ (0 ,1] 所以 f ( x) = x 是闭区间[0,1]上的无界函数 0 , x = 0
. 3、 证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴ y = 3 x − 1 在 (−∞ , + ∞) 内严格递增;
数学分析课后习题答案
取有理数 r0 ,使得 loga (a x − ε ) < r0 < x .
sup 所以 a x = sup E ,即 a x =
{a r r为有理数}
r<x
≤
−6x
前 一 不 等 式 组 的 解 为 x ∈[3 − 2 2 , 3 + 2 2] ， 后 一 不 等 式 组 解 为
x ∈[−3 − 2 2 ,− 3 + 2 2].
因此原不等式解为 x ∈[−3 − 2 2 ,− 3 + 2 2] [3 − 2 2 ,3 + 2 2]
⑶令 f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) ,则由 a < b < c 知:
x
≥
0
或
x
−
1
−
x
≥
0
前一不等式组的解为 x ≤ 1 ，后一不等式组无解. 2
所以原不等式的解为
x ∈ −
∞
,
1 2
⑵不等式 x + 1 ≤ 6 等价于 − 6 ≤ x + 1 ≤ 6
x
x
x > 0
x < 0
这又等价于不等式组
−
6x
≤
x2
+1
≤
6x
或 6x
≤
x2
+1
§2 数集 确界原理
1、 用区间表示下列不等式的解:
⑴1− x − x ≥ 0;
⑵ x+ 1 ≤ 6; x
⑶ (x − a)(x − b)(x − c) > 0 ( a 、 b 、 c 为常数,且 a < b < c )
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02+03
5
lim x + 3
3 x→0 x + 4 x 2 + 3 1 (9) lim x cos x→0 x 1 1 (11) lim( ) − x →∞ 1 − x 1− x3
(13) lim
1+ x x →∞ 1 − x
2 x →∞
x − cos x x →∞ x 2 x − 2x + 3 (10) lim 2 x →∞ 3x + 4 x + 5 3x 5 − 6 x 3 + 3 (12) lim x →∞ x7 − 2 x +3 (14) lim x →∞ x − 2 lim
存在且相等． 10．若 x1 = a > 0，y1 = b > 0（a > b） x n +1 = 证明： lim x n = lim y n （提示：x n ≤ y n ） ．
n→∞ n→∞
x n y n ， y n +1 =
xn + yn . 2
x1 + x 2 +L + x n =a． n 12．设 {nx n } 非负有界，试证： lim x n = 0 ．
lim lim
( x + x ) sin 2 x x →0 (tan x)3
1+ x −1 x →0 tan 2 x 2x − x lim+ x →0 tan x
sin x sin 2 ( x − 1) (6) lim x →π x − π x →1 x −1 16. 证明：若 lim a n = a ，则 lim a n = a ，逆命题是否成立？
n →∞ n →∞ n→∞ k n →∞
4．试证：若 lim x n = a ，且 x n ≥ 0 ，k 为任意一个自然数，则 lim k x n = 5．应用夹逼性证明：