有限元复习题库
有限元部分复习题
① M 2 = 4iθ 2① ② ③ ④② M 2 = 4iθ 2
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
M 3② = 2iθ 2 Y2② = Y3② 6i θ2 a 6i = θ2 a
Y1① = Y2①
6i θ2 a 6i = θ2 a
取节点2为研究对象，受力如图（ ）， ），列平衡方程 取节点 为研究对象，受力如图（b），列平衡方程 为研究对象
2i 4i 6i l 6i l
6i l 6i l 12i l2 12i l2
6i l θ 6i 1 θ l 2 12i v1 2 l v 12i 2 l2
2单元： 单元： 单元
4i ② M 2 ② 2i M 3 ② = 6i Y2 ② l Y3 6i l
1 M 1 = 2iθ 2 +
6i v a 6i M 32 = 2iθ 2 + 4iθ 3 − v a 6i 6i 12i Y22 = θ 2 + θ 3 − 2 v a a a 6i 6i 12i Y32 = θ 2 + θ 3 − 2 v a a a
2 M 2 = 4iθ 2 + 2iθ 3 −
⑤
6i v=0 a
⑥
联立③ 联立③、④、⑥，解得 pa 2 pa 2 7 pa 2 θ2 = − ,θ3 = ,v = , 32 EI 8EI 96 EI 把 θ 2 , θ 3 , v 代入⑤式，得 代入⑤
Y3 = 5 P 16
方法２ 也可用材料力学方法求 方法２：也可用材料力学方法求。 用材料力学方法
（2）单元分析 ） 单元： ①单元：
4i M 1① ① 2i M 2 ① = Y1 6i ① a Y2 6i a
有限元复习题及答案
1.弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，研究对象要广泛得多。
2.理想弹性体的五点假设？连续性假设，完全弹性假设，均匀性假设，各向同性假定，小位移和小变形的假定。
3.什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？工程实际中，对于一些几何形状、载荷以及约束条件都对称于某一轴线的轴对称体，其体内所有的位移、应变和应力也都对称于此轴线，这类问题称为轴对称问题。
通常采用圆柱坐标系r、θ、z分析。
这是因为，当弹性体的对称轴为z轴时，所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与无θ关。
4.梁单元和杆单元的区别？杆单元只能承受拉压荷载，梁单元那么可以承受拉压弯扭荷载。
具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承当的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元那么根本上适用于各种情况〔除了楼板之类〕，且经过适当的处理〔如释放自由度、耦合等〕，梁单元也可以当作杆单元使用。
5.薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
平面应力问题有三个独立的应力分量和三个独立的应变分量，薄板弯曲问题每个结点有三个自由度，但是只有一个是独立的其余两个可以被它表示。
6.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。
7.有限单元法的收敛性准那么？完备性要求，协调性要求。
完备性要求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，那么有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式，或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项，单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。
有限元考试题
有限元考试题1、名词解释：剪应⼒互等定律：作⽤在两个互相垂直的⾯上并且垂直于该两⾯交线的剪应⼒是互等的。
(⼤⼩相等，正负号也相同)。
位移法：位移法是解决超静定结构最基本的计算⽅法。
虚功原理：弹性⼒学中的虚功原理可表达为：在外⼒作⽤下处于平衡状态的弹性体，如果发⽣了虚位移，那么所有的外⼒在虚位移上的虚功(外⼒功)等于整个弹性体内应⼒在虚应变上的虚功(内⼒功)圣维南原理：对于作⽤于物体局部边界上的⾯⼒⽤另⼀组与之静⼒等效（主⽮和主矩相等）并且作⽤于同⼀⼩块表⾯上的⼒系来代替，则在⼒系作⽤区域的附近，应⼒分布将有显著的改变，但在远处所受的影响可不计。
最⼩势能原理：在满⾜位移边界条件的所有可能位移中，实际发⽣的位移使弹性体的势能最⼩。
即对于稳定平衡状态，实际发⽣的位移使弹性体总势能取极⼩值。
显然，最⼩势能原理与虚功原理完全等价叠加原理：在线弹性(物理线性)和⼩变形（⼏何线性）情况下，作⽤于物体上⼏组荷载产⽣的应⼒和变形的总效应，等于每组荷载单独作⽤效应的总和。
位移模式: 按弹性⼒学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移函数——位移模式。
形函数:等参元: 等参数单元（简称等参元）就是对单元⼏何形状和单元内的参变量函数采⽤相同数⽬的节点参数和相同的形函数进⾏变换⽽设计出的⼀种新型单元。
节点的⾃由度：节点所具有的位移分量的数⽬。
单元⾃由度: ⼀个单元所有节点的⾃由度总和称为单元⾃由度。
刚度集成法结构中的结点⼒是相关单元结点⼒的叠加，整体刚度矩阵的系数是相关单元的单元刚度矩阵系数的集成。
虚功等效：原单元载荷与等效节点载荷在单元任意虚位移上的虚功相等。
2、填空题1．有限元法的实质：将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，化⽆限⾃由度问题为有限⾃由度问题。
将连续场函数的（偏）微分⽅程的求解问题转化为有限个参数的代数⽅程组的求解问题。
2．弹性⼒学的基本假设：（1）(连续性)（2）均匀性（3）(各向同性)（4）完全弹性符合（1）-（4）假定的称为(理想弹性体)。
有限元考试复习资料(含计算题)
有限元考试复习资料（含计算题）1试说明用有限元法解题的主要步骤。
（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。
（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。
（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。
（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。
2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。
P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。
3什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
可以用轴对称单元求解。
4什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。
比例阻尼的特点为具有正交性。
其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。
5何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
②优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
有限元复习试题库完整
有限元复习一、选择题（每题1分，共10分）二、判断题（每空1分，共10分）三、填空题（每空1分，共10分）三、简答题（共44分）共6题四、综述题（共26分）两题一．基本概念1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线性与非线性问题平面应力问题（1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。
一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。
于是只需要考虑x y xy εεγ、、三个应变分量即可。
平面应变问题（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。
（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。
也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可轴对称问题物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。
轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。
在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。
板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。
如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。
杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。
在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。
平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
有限元基础复习题
《有限元基础》复习题1. 有限单元法的解题步骤如何？它和经典Ritz 法的主要区别是什么？ 答：解题步骤：⑴划分单元，输入结点和单元信息；⑵单元分析：、、eeN K P ⑶整体分析：1,T==∑en e eee K GK G 1T ==∑en e e e P G P 引入位移边界条件得到：=Ka P⑷求解方程得到解a⑸对位移a 结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变 有限元法和经典Ritz 法的区别：经典Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。
有限单元法是单元一级的Ritz 法。
2. 单元刚度矩阵和结构刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵[]K 奇异有何物理意义？在求解问题时如何消除奇异性？答：单元刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷平面图形相似、弹性矩阵D 、厚度t 相同的单元，eK 相同⑸eK 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两列，其位置与结点位置对应。
整体刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷稀疏性⑸非零元素呈带状分布。
[]K 的物理意义是任意给定结构的结点位移得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。
为消除[]K 的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。
3. 列式说明乘大数法引入给定位移边界条件的原理？ 答：设：j j a a =，则将 jj jj k k α=j jj j P k a α=即： 111211211212222222122212222222αα⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦jn jn j j jjj n j jj j n n njn n n n k k k k a P kk k k a P k k k k a k a k k k k a P1510α≈修改后的第j 个方程为112222j j jj j j n n jj j k a k a k a k a k a αα+++++=由于得 jj j jj j k a k a αα≈ 所以 j j a a ≈对于多个给定位移()12,,,l j c c c =时，则按序将每个给定位移都作上述修正，得到全部进行修正后的K 和P ，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。
有限元复习题及答案
1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。
平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。
平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。
根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。
外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。
有限元分析 考试复习习题
Y
1
(1)
(3)
2
(2)
3
习题5附图
X
习题6附图
第2章习题
1. 单元形函数有何物理意义、特性？在单元分析中的作用是什么？合理 的形函数须满足什么条件？为什么？
2. 在平面三节点三角形单元中，能否取如下的位移模式，为什么？
u v
a1 a4
a2 a5
x x
2 a3 y a6 y2
或
，
u v
a1x2 a4 x 2
a2xy a3 y2 a5xy a6 y2
3. 三角形单元ABC（尺寸如图），已知材料的弹性模量 E 2*105 MPa，
泊松比 0.3，如A点沿X的位移 uA 2 *105mm，B点沿Y的位移
vB 10 5 mm ，而C点位移为零。计算单元内应力以及节点力。
4. 对图示六节点矩形单元，应取什么样的形状函数来表示位移模式？ 试写出并检验是否满足收敛性条件。
5. 图为局部系 , 表示的8节点矩形单元。写出形函数表示的位移模
63
b
1
a5
2
X
第4题
第5题
Y 4
c
两节点梁单元
e
过度单元
d
四节点单元
1
5
第7题
第9题
3
2 X
第三章 习题
1、常应变四面体单元是如何满足完备性和协调性要求的？ 2、3节点三角形平面单元、轴对称环单元是否均为常应变单
有限元法复习题
《有限元法》复习题一.单选题1.平面刚架单元坐标转换矩阵的阶数为（）A．2⨯2 B．2⨯4 C．4⨯4 D．6⨯62.图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（）A.8⨯8阶矩阵B.10⨯10阶矩阵C.12⨯12阶矩阵D.16⨯16阶矩阵3.坐标转换矩阵可归类为（）A.正交矩阵B.奇异矩阵C.正定矩阵D.对称矩阵4.图示弹簧系统的总体刚度矩阵为（）A111123222444340000k kk k k k kk k k kk k k-⎡⎤⎢⎥-++-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥-+⎣⎦B.11112222444340000k kk k k kk k k kk k k-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥-+⎣⎦C.111123232244343400k kk k k k k kk k k kk k k k-⎡⎤⎢⎥-++--⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥--+⎣⎦D.11112232244343400k kk k k k kk k k kk k k k-⎡⎤⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥--+⎣⎦5.确定已知三角形单元的局部码为1(e),2(e),3(e)，对应总码依次为3，6，4，则其单元的刚度矩阵中的元素k24应放在总体刚度矩阵的( )。
A.1行2列B.3行12列C.6行12列D.3行6列6.对一根只受轴向载荷的杆单元，k12为负号的物理意义可理解为（）A.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相同B.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相反C.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相同D.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相反7.平面桁架中，节点3处铅直方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（）A.第3行和第3列上的所有元素换为大数AB.第6行第6列上的对角线元素乘以大数AC.第3行和第3列上的所有元素换为零D.第6行和第6列上的所有元素换为零8.在任何一个单元内（）A.只有节点符合位移模式B.只有边界点符合位移模式C.只有边界点和节点符合位移模式D.单元内任意点均符合位移模式9.平面应力问题中(Z轴与该平面垂直)，所有非零应力分量均位于（）A.XY平面内B.XZ平面内C.YZ平面内D.XYZ空间内12.刚架杆单元与平面三角形单元（）A.单元刚度矩阵阶数不同B.局部坐标系的维数不同C.无任何不同D.节点截荷和位移分量数不同13.图示平面结构的总体刚度矩阵［Ｋ］和竖带矩阵［K*］的元素总数分别是（）A.400和200B.400和160C.484和200D.484和16014.在有限元分析中，划分单元时，在应力变化大的区域应该（）A.单元数量应多一些，单元尺寸小一些B.单元数量应少一些，单元尺寸大一些C.单元数量应多一些，单元尺寸大一些D.单元尺寸和数量随便确定15.在平面应力问题中，沿板厚方向（）A.应变为零，但应力不为零B.应力为零，但应变不为零C.应变、应力都为零D.应变、应力都不为零16.若把平面应力问题的单元刚度矩阵改为平面应变问题的单元刚度矩阵只需将（）A. E换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ2)B. E换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ)C. E换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ2)D. E换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ)17.图示三角形单元非节点载荷的节点等效载荷为（）A.F yi=-100KN F yj=-50KN F yk=0B. F yi=-80KN F yj=-70KN F yk=0C. F yi=-70KN F yj=-80KN F yk=0D. F yi=-50KN F yj=-100KN F yk=018.半斜带宽矩阵r行s列的元素对应于竖带矩阵元素( )。
有限元基础知识 归纳 复习题
有限元分析的基本步骤
（1）将结构进行离散化，包括单元划分、结点编 号、单元编号、结点坐标计算、位移约束条件确定 （2）等效结点力的计算 （3）刚度矩阵的计算（先逐个计算单元刚度，再 组装成整体刚度矩阵） （4）建立整体平衡方程，引入约束条件，求解结 点位移 （5）应力计算
8 单元位移函数应满足什么条件
9 刚度矩阵具有什么特点
A、 刚度矩阵是对称矩阵，每个元素有明确的物理 意义。刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的， B、 刚度矩阵是一个稀疏矩阵， C、 刚度矩阵是一个奇异阵； 1．
2
单元分析（平面桁架单元、平面梁单元、平面
3 节点三角形单元、平面 4 节点四边形单元、平面 8 节点四边形单元）
u = α1 + α 2 x + α 3 ( Ax + B) v = α 4 + α 5 x + α 6 ( Ax + B)
u = α1 + α 2 x + α3 y 3 节点 三角 形单元的位移函 v = α 4 + α5 x
2.) 插值函数法——即将位移函数表示为各个节 点位移与已知插值基函数积的和。
u = α1 − θ 0 y ， （平动和转动） v = α 4 + θ0 x
而在其他节点上的值为 0。 3) 单元 内 任 一 点的 三 个 形 函数 之和 恒 等 于 1 。
等参单元定义、存在条件及特性
定义：矩形单元比三角形有更高的精度，而三 角 形有较 矩 形单元 更好 的边界 适 应性。实际 工程 中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单 元。等参单元具有此特点。即以规则形状单元（如 正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次 函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所 获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单
有限元课程考试复习资料
r1 q1 2aq3 r2 q2 r3 q1 aq3 r4 q2 r5 q1 r6 q2 r7 q1 r8 q2 aq3
②消去刚体自由度，得到多点约束方程：
r2 r6 r4 r6 r5 r7 r1 r5 2r6 2r8 r3 r5 r6 r8
hAe BT cB 3、过渡单元（拉线法求形函数+载荷移植） 。
关于载荷移植的计算：
4、多点约束方程的计算。 【 PS-1：课本例题】
N|多点约束方程= N|由刚体连接的所有节点的总自由度－ N|刚体的自由度 【 PS-2：课后题】 ①选 3 节点为参考点，且刚体对于节点 3 有运动 q1 、q2 、q3 ，则：
Ah Ah Ah k e BT cB e 1 e 2 e 3 3 3 3 Ae h1 Ae h2 Ae h3 T T k e B cB hAe B cB 3 3 3 同理可得其他几个积分的值，所以：
Ae
N1h1 dA
Ah 1!0!0! 2 Ae h1 e 1 (1 0 0 2)! 3
选择题： 1、空间桁架，整体坐标系中单元刚度矩阵是 6 阶方阵。 2、二维固体中，节点 4 处水平位移为 0，则引入支承时划去总刚中的第 7 行、第 7 列。 3、平面桁架中，坐标转换矩阵 T 的阶数是 2×4；空间桁架中，坐标转换矩阵 T 的阶数是 2×6。 4、3 节点三角形单元，局部编码为 1、2、3，总体编码为 4、6、8，则 k46 在第 12 行、第 16 列。 5、坐标转换矩阵是正交矩阵【T TT=I】 。 6、5 节点 4 个单元组成的平面刚架，总刚矩阵大小为 15×15。 【节点数×自由度（平面刚架 DOF=3） 】 7、与平面刚架单元刚度矩阵有关的材料常数为弹性模量。 8、8 节点六面体单元，每个单元节点位移总量为 24。 【每个节点有 3 个自由度】 9、二维 4 节点四边形单元，每节点的位移总数为 2。 【每个节点自由度 DOF=2，单元自由度总数为 8】 10、满足形函数的点是单元内任意点。 填空题： 1、可将 ke 表示成分块形式，则各子矩阵按节点局部编号排序。 2、总刚矩阵得到之后，即使已知节点载荷仍不能求位移，因为总刚是奇异性的，为此必须施加位移约束。 3、总刚中各矩阵按节点总体编码排序。 4、哈密尔顿原理位移的容许条件：①协调性方程；②本质边界条件或运动边界条件；③在初始刻和末时刻的条件。 5、形函数的性质：①再生性和连续性；②线性无关性；③德尔塔函数性质；④单位分解性；⑤线性场再生性。 6、单刚的性质：对称性、奇异性、分块性；总刚的性质：对称性、奇异性、稀疏性、非零元素的带状分布性。 7、任何载荷可以分为对称载荷和非对称载荷。 8、二维固体中，宽度为 16，最大节点差值为 7。 【带宽=（最大节点差值+1）×自由度】 9、固体力学中，本构方程中各向同性材料涉及的两个材料常数为杨氏模量 E 和泊松比γ。 10、节点总数为 10，带宽为 15 的平面刚架压缩之后，存储单元个数为 450。 【存储单元=节点总数×自由度×带宽】 简答题： 1、强形式和弱形式的区别： 答：①“强”形式相关的场变量要求强的连续性，定义这些场变量的所有函数必须可微，而可微的次数必须等于存 在于强形式的系统方程中的偏微分方程的次数。 ②“弱”形式通常是积分形式，且对场变量要求较弱的连续性，弱形式通常能得到更精确的解。 2、有限元法的步骤： 答：①域的离散； ②位移插值； ③构造形函数； ④坐标变换； ⑤整体有限元方程的组装；⑥位移约束的施加；⑦求解整体有限元方程。 3、平面桁架单元在局部坐标系和整体坐标系中分别有几个自由度？为什么会不同？ 答：①局部坐标系 DOF=2，整体坐标系 DOF=4. ②在局部坐标系中，桁架单元仅仅考虑轴向变形，因此一个节点仅有一个自由度，即轴向位移；整体坐标系用于描 述桁架结构的所有单元，不能保证桁架结构的所有单元坐标轴总是沿着轴向变形的方向，因此，一个节点的自由度 需要 X、Y 两个方向的位移分量来描述，所以在整体坐标系中，一个节点有两个自由度。 4、桁架引入局部坐标系为什么？为什么进行坐标变换？描述一下如何组装。 答：①减少初步计算过程中的自由度数量，使计算变得简单方便。 ②在实际桁架中，由许多不同方向和不同位置的杆件组成，为了把所有的单元方程组合起来构成整体的系统方程， 必须对每个单元进行坐标变换。 ③组装过程就是把与某个节点相连的所有单元的贡献相加。 5、线性矩形单元 h=Ni hi ，me 和 ke 各需要多少个高斯点？ 答：①由单元刚度矩阵 ke 的计算公式 ke=∫VBTcBdV=∫A hBTcBdA，被积函数为 hBTc B. 应变矩阵 B 是和的线性 函数，厚度能用线性形函数和节点处的厚度值得到。因此，在每个方向上被积函数是一个立方函数，只需要 2 个高 斯点就可以计算出含有最高次数为 3 次的多项式刚度矩阵，因此需要 2×2 个高斯点。 T T T ②由质量矩阵的计算公式 me=∫VρN NdV=∫A ρhN NdA， 被积函数为 hN N 。 厚度能用线性形函数和节点处的厚 度值得到。因此，在每个方向上被积函数是一个立方函数，只需要 2 个高斯点就可以计算出含有最高次数为 3 次的 多项式质量矩阵，因此需要 2×2 个高斯点。 6、罚因子法的优缺点： 答：优点：①未知量的总数不变；②系统方程的性能通常很好；③计算效率不会降低； 缺点：只能近似满足约束方程，且正确的罚因子不好选择。
《有限元》复习题
一、填空（共10个空，每空2分，共20分）1、有限元法是近似求解场问题的数值方法。
2、有限元法将连续的求解域，得到有限个单元，单元和单元之间用相连。
3、直梁在外力作用下，横截面上的内力有和两个。
4、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有、和。
5、进行直梁的有限元分析，梁单元上每个节点的节点位移为和。
6、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及局部坐标系x´O´y´下的单元刚度矩阵[K´]e，则单元在整体坐标系xOy下的单元刚度矩阵为。
7、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及整体坐标系xOy下的单元节点力矩阵{p}e，则单元在局部坐标系x´O´y´下的单元节点力矩阵为。
8、在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是关系。
9、弹性力学问题的方程个数有个，未知量个数有个。
10、弹性力学平面问题的方程个数有个，未知量个数有个。
11、把经过物体内任意一点各个上的应力状况叫做的应力状态。
12、形函数在单元节点上的值，具有本点为、它点为零的性质，并且在三角形单元的任一节点上，三个形函数之和为。
13、形函数是单元内部坐标的函数。
14、在进行节点编号时，要尽量使同一单元的相邻节点的尽可能小，以便最大限度地缩小刚度矩阵带宽，节省存储、提高计算效率。
15、三角形单元的位移模式为。
16、矩形单元的位移模式为。
17、在选择多项式位移模式的阶次时，要求与局部坐标系的方位无关的性质称为各向同性。
18、单元刚度矩阵描述了和之间的关系。
19、在选择多项式作为单元的位移模式时，多项式阶次的确定，要考虑解答的收敛性，即要满足单元的和要求。
20、三节点三角形单元内的应力和应变是，四节点矩形单元内的应力和应变是变化的。
21、在矩形单元的边界上，位移是变化的。
22、整体刚度矩阵是一个呈分布的稀疏矩阵。
23、整体刚度矩阵[K]是一个奇异阵，在排除后，它是正定阵。
有限元考试复习题
第1章 杆件结构1.1 单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？答：（1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。
（2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较高。
（3）刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的力的大小。
通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。
通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。
（4）特点：1）对称性。
由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也具有对称性。
2)奇异性。
即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。
3)存在相当数量的零元素。
由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。
1.2 如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点1，2，3上作用有轴向节点载荷1Q 、2Q 、3Q 而平衡。
试写出3个轴向载荷与节点的轴向位移1u 、2u 、3u 之间的矩阵关系。
解：杆件1的单元刚度矩阵为：[]1111111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；杆件2的单元刚度矩阵为：[]2221111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； 结构的整体刚度矩阵为：1111111112112211222122111211222221222222EA EA l l k k EA EA EA EA K k k k k l l l l k k EA EA l l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦而又12l l L ==，所以11112222A A E K A A A A L A A -⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦令节点位移向量为{}123,,Tu u u δ=，节点力为{}123,,TF Q Q Q =，从而可得3个轴向载荷与节点的轴向位移其关系为11112112223223Q A A u E Q A A A A u L Q A A u -⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-+-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎣⎦⎩⎭1.3 如图所示为三角桁架，已知25/101.2mm N E ⨯=，两直边的长度m l 1=，各杆的截面积21000mm A =，求此结构的整体刚度矩阵[]K ，若节点的编号改变后，问[]K 的有无变化？解：杆件的单元刚度矩阵为：[]1111ii iEA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦，从而可得各个单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵为：[]11111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]21111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]31111k -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦平面杆单元坐标转置矩阵：cos sin cos sin T αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而又00012390045ααα===-、和，从而各个单元的坐标转置矩阵分别为：10101T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；21010T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；3222T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢-⎢⎣⎦根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为[][]1111000000101101000101001100010000010101T EA EA k T k T l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[][]2222101010001110000000011100101010000000T EA EA k T k T l l -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][]3333101111101111001111011100111111011111T k T k T --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎡⎤⎡⎤'⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦令节点位移向量为{}112233,,,,,Tu v u v u v δ=，节点力为{}112233,,,,,Tx y x y x y F q q q q q q =，按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得[]1010000100011010000011 EAKl-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦若节点的编号改变后，[]K会发生变化，但是并不影响最终的计算结果。
有限元复习题
有限元法基本原理复习资料1、线性弹性力学中一般哪些基本假设 ?什么是理想弹性体？2、线弹性材料物体内任意一点，一定存在三个相互垂直的主应力σ1、σ2、σ3，假设材料的柏松比为μ，弹性模量为E，则三个应变ε1、ε2、ε3可以表达为：3、弹性力学基本方程的导出，可从三方面分析：通过平衡微分方程建立了应力、体力和面力之间的关系。
通过几何方程建立了应变、位移和边界位移之间的关系。
通过物理方程建立了应变与应力之间的关系。
4、写出并理解弹性力学的基本方程。
a．平衡微分方程：b．几何方程：1. 平面问题中的几何方程：2. 空间问题的几何方程：c、物理方程：或者：为体积应变即：简写成：{σ}=[D]{ε} 式中[D]称为弹性矩阵，它完全由弹性常数E 和μ 决定。
4、请表述如图所示边界条件：5、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应力问题，其不为零的应力分量有：6、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应变问题，其不为零的应变分量有：εx ，εy，γxy7、描述并理解平面问题的基本方程平面应力问题和平面应变问题都只有8 个独立的未知量，它们只是x 和y 的函数，因此统称平面问题。
1. 平面问题的平衡微分方程2. 平面问题中的几何方程：3. a.平面应力问题中的物理方程：记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。
b.平面应变问题中的物理方程：记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。
比较两种平面问题的弹性矩阵，可以发现，将平面应力问题物理方程中的弹性常数E 、μ 换成就可得到平面应变问题物理方程。
8、结构的分类与基本特征（1） 按结构在空间的位置分结构可分为平面结构和空间结构两大类(2) 按结构元件的几何特征分① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。
② 板壳结构③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。
④ 混合结构 (3) 按结构自由度分① 静定结构——自由度为零的几何不变结构。
有限元试题和答案
一。
简答题：1.轴对称体上作用正对称形式的载荷时，沿坐标,,r z θ的三个分量(,,)r P r z θ，z (,,)P r z θ和(,,)P r z θθ有何特点？（P85）(,,)r P r z θ和z (,,)P r z θ是偶函数，傅里叶级数展开式中不含sin k θ，(,,)P r z θθ是奇函数，傅里叶级数展开式中不含cos k θ。
2.某单元的节点上，既有位移自由度又有转动自由度，试述此单元的协调性要求？（P27） 在交界面上满足变形协调条件，变形后既不分裂，也不重叠，从而保证了整个结构的位移连续。
3.用泛函变分求解弹性力学的场问题时，为什么只需要考虑几何边界条件？（P179） 泛函求极值与求满足位移及力边界条件的平衡方程的解是完全等价的。
利用变分求解只需要满足位移边界条件，而力边界条件是在求解泛函的极值中自动满足的。
4.写出用位移梯度表示的格林应变张量和阿尔曼西应变张量，并证明他们的参考变形？（P201）格林应变张量1=+2j i k k ij j i i j u u u u E x x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂（+） 阿尔曼西应变张量1=+2j i k k ij j i i ju u u u e x x x x ∂∂∂∂∂∂∂∂（-） 5.写出接触问题中的运动学条件和动力学条件？（P225）运动学条件：满足不可贯穿条件，对于两个接触物体，可表示为0ABV V ⋂=动力学条件:要求连个物体接触面的合力为零0ABq q += 二、三角形单元的位移为：012012(cos 1)(sin )(sin )(cos 1)u u x x v v x x θθθθ=+-+-=++-式中0u 和0v 分别为1x 和2x 方向的刚体位移，θ为逆时针绕原点的刚体转角。
计算单元的柯西应变和格林应变。
证明此位移为刚体运动。
（P201） 解：柯西应变:11=cos 1u x εθ∂=-∂，22=cos 1v x εθ∂=-∂，12212=+sin sin 0u v x x εθθ∂∂=-+=∂∂ 格林应变：1111111111=+(cos 1cos 1(cos 1)(cos 1)sin sin )022u u u u v v E x x x x x x θθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-+-+--+=∂∂∂∂∂∂（+）=122121121211==+(sin sin (cos 1)(sin )sin (cos 1))022u v u u v v E E x x x x x x θθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-++--+-=∂∂∂∂∂∂（+）=2222222211=+(cos 1cos 1(cos 1)(cos 1)sin sin )022v v u u v v E x x x x x x θθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-+-+--+=∂∂∂∂∂∂（+）=三 周向有集中载荷作用的悬臂梁，弯曲刚度为EI ，（1）建立梁的总势能表达式，（2）假定瑞利-里茨能为2323w C x C x =+，计算梁的挠度表达式。
有限元复习题库.doc
板壳申元
4
3
四面体单元
4
3
3.
有限元法的基本思想：离散、分片插值；其中离散的思想吸收了差分法的启
/J、O
有限元分析的基本步骤：数学建模（问题分析），结构离散（第一次近似）,单元分析（位移函数，单刚方程）（第二次近似），整体分析与求解（总刚度方程,引入约束，解方程组求节点位移，根据节点位移求应力），结果分析及后处理。
杆梁问题
杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。
平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系
平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同吋，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受冇平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同吋体力也平行于横截面并且不沿长度变化。板壳问题的弹性体受乘直于板而的力的作用，板将变成有弯有扭的曲而。
的位移减小。
9.
虚功原理：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的虚刚体位移吋，体系上所有的主动力在虚位移上所作的总功（各力所作的功的代数和）恒等于零。
最小势能原理：表明在满足位移边界条件的所宥可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最，与位移函数有相同的阶次。
2）形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。
3）单元内任一点的形函数之和恒等于1。
4）形函数的值在问变化。
11.
单元刚度矩阵的性质特点：
（1）对称性（2）奇异性，|K|=0（3）主对角线元素恒为正值（4）奇偶行元素之和分别为零（各行或各列元素之和为零）
物理意义：
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有限元复习一、选择题（每题1分，共10分）二、判断题（每空1分，共10分）三、填空题（每空1分，共10分）三、简答题（共44分）共6题四、综述题（共26分）两题一．基本概念1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线性与非线性问题平面应力问题（1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。
一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。
于是只需要考虑x y xy εεγ、、三个应变分量即可。
平面应变问题（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。
（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。
也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可轴对称问题物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。
轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。
在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。
板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。
如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。
杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。
在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。
平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
板壳问题的弹性体受垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
线性问题/非线性问题线性问题：基于小变形假设，应力与应变方程、应力与位移关系方程、平衡方程都是线性的。
非线性问题：材料非线性(非线性弹性、非线性弹塑性)，几何非线性（大变形大应变如金属橡胶，小应变大位移如薄壁结构）2.不同类型单元的节点自由度的理解：3.有限元法的基本思想与有限元分析的基本步骤（5步）有限元法的基本思想：离散、分片插值；其中离散的思想吸收了差分法的启示。
有限元分析的基本步骤：数学建模（问题分析），结构离散（第一次近似），单元分析（位移函数，单刚方程）（第二次近似），整体分析与求解（总刚度方程，引入约束，解方程组求节点位移，根据节点位移求应力），结果分析及后处理。
4.里兹法的基本思想及与有限元法区别里兹法的基本思想：先根据描述问题的微分方程和相应定解条件构造等价的泛函变分形式，然后在整个求解区域上假设一个试探函数（或近似函数），通过求解泛函极值来获得原问题的近似解。
与有限元法的区别：里兹法是整体场函数用近似函数代替，有限元法是离散求解域，分片连续函数来近似整体未知场函数。
5.有限元法的基本定义（节点、单元、节点力、节点载荷）•单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域•节点：单元与单元间的连接点。
•节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力•节点载荷：作用于节点上的外载（等效）。
6.位移函数的构造方法及满足的基本条件构造方法：（1）广义坐标法，按照帕斯卡三角形选择多项式，项数多少由单元的自由度数决定。
（2）插值函数法，表示为形函数和节点位移的乘积表示。
基本条件：（1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；（2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。
7.位移函数的收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性的判断位移函数的收敛性条件（1）位移函数应包含刚体位移（2）位移函数应包含常量应变（反映单元的常应变状态）（3）位移函数在单元内连续，在单元之间的边界上要协调满足1和2称为完备单元，满足1，2，3称为协调单元。
单元协调性的判断以3节点三角形单元为例，位移分量在每个单元中都是坐标的线性函数的话，在公共边界上也会是线性变化的，那么相邻单元在公共边界上的任意一点都具有相同的位移，也就是协调单元。
有限元法中，假设一种位移函数近似表达单元内部的真实位移分布，该位移函数可表示为位移函数和节点位移的线性插值。
8.有限元解的性质有限元解具有下限性质，即有限元的解小于实际的精确解。
这是因为实际结构本来是具有无限自由度的，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集合后，便只有有限个自由度了。
由无限自由度变为有限自由度可以认为是对真实位移函数增加了约束，限制了结构的变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减小。
9.虚功原理、最小势能原理及变分法（里兹法）虚功原理：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的虚刚体位移时，体系上所有的主动力在虚位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒等于零。
最小势能原理：表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。
10.形函数特性1)形函数Ni 为x、y 坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。
2)形函数Ni 在i 节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。
3)单元内任一点的形函数之和恒等于1。
4)形函数的值在0-1 间变化。
11.单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义单元刚度矩阵的性质特点：(1)对称性（2）奇异性，|K|=0（3）主对角线元素恒为正值（4）奇偶行元素之和分别为零（各行或各列元素之和为零）物理意义：单元刚阵[K]的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。
其中分块矩阵[K ij]的物理意义为：当在j节点处产生单位位移而其他节点位移为零时，在i节点上需要作用力的大小。
其中元素K ij表示在第j号自由度上产生单位位移时，其他自由度位移为零时，在i号自由度上所需要施加的力的大小。
单元刚度矩阵的元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。
12.边界条件处理（载荷等效移置集中力/均布力/线性分布力边界位移约束处理固定/指定位移等）载荷等效移置连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解)，而成为节点载荷。
载荷移置的原则：能量等效（或静力等效原则），即单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。
集中力，移置到两端节点，使得F1 L1 =F2 L 2，F1 +F2=F均布力，移置到两端节点，F1 =F2=0.5qL线性分布力，F1=1/3 0.5qL ，F2=2/3 0.5qL边界位移约束一．绝对位移约束刚性支座（活动铰支，固定铰支，固接支座）——固定位移弹性支座（线弹性制作，非线性支座）——可变位移强迫约束——指定位移用载荷等效，装配应力+整体应力二．相对位移约束（如两接触面）1.约束等式2.耦合约束（连接重合节点，模拟滑动边界连接，施加周期对称边界条件）常见的位移约束问题处理约束不足的处理(1)利用对称性引进约束（取1/n后，在对称面上施加位移约束）(2)转换载荷为位移约束（受平衡载荷作用，将一部分载荷用位移约束代替）(3)人为增加约束（约束点应尽量远离重要部位，约束点变形要相对小）其他，杆离散为多个杆单元时，须在连接节点增加约束，只允许产生轴向位移。
轴对称结构，施加轴向约束。
过约束的处理有时需要施加过约束，有时需要释放过约束。
引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的奇异性。
13.总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点总体刚度矩阵组装原则：1.在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移。
2.整体离散结构各节点应满足平衡条件。
即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷R i。
总刚度矩阵特点：除了具有单元刚阵的特点外，还有1.稀疏性，是指总刚矩阵的绝大多数元素都是零，非零子块只占一小部分。
2.带状性，是指总刚矩阵中非零子块集中在主对角线两侧，呈带状分布。
（附，半带宽B=（相关节点号最大差值+1）*节点自由度数）二建模与结果分析1.影响有限元分析精度和成本的因素影响有限元解的误差：1）离散误差2）位移函数误差分析精度：A、单元阶次B、单元数量C、划分形状规则的单元D、建立与实际相符的边界条件E、减小模型规模F、避免出现“病态”方程组，当总刚矩阵元素中各行或各列的值相差较大时，则总刚近似奇异。
2.有限元模型的基本构成（节点数据、单元数据、边界条件等）节点数据：节点编号、坐标值、坐标参考系代码、位移参考系代码、节点数量、单元编号单元数据：单元节点、编号单元、材料特性码、单元物理特性值码、单元截面特性、相关几何数据边界条件数据：位移约束数据、载荷条件数据、热边界条件数据、其他边界条件数据归纳起来，网格划分生成节点和单元的过程主要包括定义单元属性、定义网格生成控制和生成网格三个步骤。
3.有限元建模的常用方法理解及应用（如细节处理、分步计算、局部计算、子结构法、对称性简化等）细节处理也称为小特征处理，即删除或抑制对结构力学性能影响不大的细小结构。
分步计算，如果结构的局部存在相对尺寸非常小的细节，且又不能进行细节处理，可采用分步计算来控制有限元模型的规模。
局部处理就是从所建立的力学模型中抽取一部分出来进行分析，该部分通常是研究者最关心的的危险区域。
子结构法是先将大型结构分解为若干个结构区域，每个区域作为一个子结构。
子结构被进一步细分为单元，并人为地将子结构上的节点划分为边界节点和内部节点两类.对称性简化，对称性分为反射对称和周期对称（1）反射对称，受对称载荷作用则对称面上的位移条件为①垂直于对称面的移动位移分量为零。
②绕平行于对称面的两相互垂直的轴的转动位移分量均为零。
（2）反射对称，受反对称载荷作用则对称面上的位移条件为①平行于对称面的移动位移分量为零；②绕方向矢量垂直于对称面的轴的转动位移分量为零。
（3）对称结构受任意载荷作用（迭加原理）（4）周期对称的位移条件，周期对称边界上的对应点有相同的位移状态4.边界约束条件的处理（见前）。
5.单元类型选择的一般原则选择原则：同一问题所选单元应使计算精度高、收敛速度快、计算量小。
1、杆系结构：a、铰接连接时，选杆单元；b、刚性连接时，选刚架单元。