第二节 投影定理

y)
x
2
2
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•
0 y y0 2 42 42 0
• 因而 y y0 0 , 即 y y0 .这就证明了唯一性.证毕.
• 评注: 极小化向量定理是内积空间的一个基本定理,他在微分方程,
•
现代控制论和逼近论中有重要应用.
• 推论1 设X是内积空间,M是X的完备子空间,则 对每一个 x X ,存在唯一的 y M , 使
( 1)
如果存在这样的y,是否唯一?
主要定义:
• 定义(1)设X是线性空间, x,y 是X中的两点, 称集合
z x (1 )y | 0 1
• 为X中连接x和y的线段,记为[x,y].如果M是X的子集,对
• M中的任何两点x,y,必有[x,y],则称M为X中的凸集.
•
• 定义(2)设X是内积空间,则
第二节 投影定理
提示：
• （1）重点：投影定理
• （2）难点：对定理的
•
理解和应用
• • •
概念一 设X是度量空间,M是X的非空子集,x是X中的一点, 称
inf d(x, y) ,为点x到M的距离,记为 d(x, M)
yM
在赋范线性空间中,d(x, M) inf x y yM
引入问题1:
是否存在 y M,使得 d(x, M) x y ?
• 上的正交投影,简称为投影.
• 定义(6) 对任一 x X,令 Px y ,
•
其中y是x在Y上的投影,称P为X到Y上的投影算子
重要性质
• 1. P是X到Y上的有界线性算子,且当 Y {0} 时, P 1
• 2. PX Y, PY Y, PY {0} • 3. P2 P, 其中P2 P P
• 有(4)式知,是M中柯-(2西)点2 列2(,n单 Mm按) 内,积导出的距离完备,
• 因而存在 y M,使 yn y(n ) ,
• 因为 y M ,所以, x y ，但是
•
x y x - yn y yn
n yn y
• 上面不等式右端当时 n ,极限为 ,所以得到
作业:
• (1) 考虑投影算子在迭代中的应用. • (2) P264-265 第6,12题
• x y .若又有 y0 M ,使得 x y0 ,
•
y y0 2 ( y x) ( y0 x) 2
•
2 y - x 2 2 y0 - x 2 (y - x) (y0 - x) 2
2
2
2
2
4
1 2
(y
y0 )
x
2
.
•
有M的凸性,
1 2
(y0
y)
M,
所以
,因此 1
2 (y0
证明：令 d x, M ,由下确界定义，存在yn M ,
n 1,2,3,,使
vn vm
yn ym 2x
2
1 2
yn
ym
x
,
因为M是凸集，所以
1 2
yn
ym
M，由此可得
vn
vm
2
又因为yn ym vn vm，有平行四边形法则，有
• 有,
yn ym 2 vn vm 2
- vn vm 2 2( vn 2 vm 2 )
y1 y Y , z1 - z Y , y1 y z1 - z Y Y {0}
因此, y1 y, z1 z ,这就证明了 X Y Y .证毕.
• 定义(4) 当X=Y+Z，且Y垂直Z时，称X是Y和Z的正交和，记
•
为 XYZ .
• 下面给出正交投影的概念
• 定义(5) 当Y是Hilbert空间X的闭子空间时,对每个x X, • 存在唯一的 y Y 及 z Y ,使 x y z .称y为x在空间Y
• 定理2(投影定理) 设Y是Hilbert空间的闭子空间
•
那么成立 X Y Y .
• 证明: 因为Y是X的闭子空间,所以Y是X的完备子 空间,由推论1及引
理1,对于任何 x X, 存在唯一的 y Y 及 z Y , 使 x=y + z
若另有 y1 Y 及 z1 Y ,使 x y1 z1,则y1 - y z1 - z , 因为
•
x, y X, x y x, y 0
A X, x A x,a 0,a A
B X, A B a, b 0,a A, b B
(极小化定理)设X是内积空间，M是X中非空凸集，并 且按X中由内积导出的距离完备，那么对每个 x X，存在 唯一的 y M ,使得
x y dx, M .
•
x y d(x, M)
.
• 引理1 设X是内积空间,M是X的线性子空间,则对
•
每一个 x X ,存在唯一的 y M ,使得
•
x y d(x,M) ,那么,x y M .
•
• 定义(3) 设X是内积空间,M是X的子集,称集合 M 为M
•
在X中的正交补,其中 M x X | x M .