【市级联考】福建省泉州市2021届九年级(上)期末数学试卷
福建省泉州市2020~2021学年九年级上学期质量检测期末数学试题及参考答案
学校：______姓名：______考生号：______2020-2021学年度上学期泉州市初中教学质量监测初三数学(满分：150分；考试时间：120分钟)友情提示：请认真作答，把答案准确地填写在答题卡上．(第I 卷选择题共40分)一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 1．下列x 的值能使二次根式1-x 有意义的是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 2．若23=b a ，则a b a -的值为( )A ． 31B ．21C ．32D ．433．与2是同类二次根式的是( )A ．41B ．21 C ．4 D ．64．“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是( )A ．必然事件B 随机事件C 不可能事件D 确定事件 5．用配方法解方程x 2－4x +2=0时，配方结果正确的是( ) A ．(x +2)2=－2 B ．(x +2)2=2 C ．(x －2)2=－2 D ．(x －2)2=2 6．若△ABC ∽△AB'C ，且面积比为4：9，则其对应边上的高的比为(( )A ．8116B ．94C ．32D ．317．如图，点G 是△ABC 的重心，过点G 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，则DG 与GE 的关系为( )A ．DG=GEB ．DG ＞GEC ．DG ＜GED ．DG=32GE8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列选项正确的是( )A ．sin A +sin ＜1B ．sin A +sin ＜1C ．sin A +sin B ＝1D ．sin A +sin B ≤1 9．我国古代数学著作(九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门．.出东门一十五步有木，问出南门几何步而见木？” 大意是：今有正方形小城ABCD的边长BC 为200步，如图，各边中点分别开一城门，走东门E 15步外有树Q ．问出南门F 多少步能见到树Q （即求点F 到点P 的距离）（注：步古代的第7题 QP O E DCB A 第9题计量单位）答：( )A ．36632步B ．46632步C ．56632步D ．66632步10．已知a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x －n +1=0的两个根，若a 、b 、5为等腰三角形的边长，则n 的值为( ) A ．－4 B ．8 C ．－4或－8 D ．4或－8(第Ⅱ卷非选择题共110分)二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置 11．计算：2cos45°=_______．12．一元二次方程x 2－16=0的根是_______．13．已知某斜坡AB 的坡度i =1：3，则斜坡AB 的坡角 的大小为_______．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 是以点C 为位似中心的位似图形，则其相似比是_______．15．将一副直角三角尺按如图所示放置，∠A =60°，∠CBD =45°，AC =2，则BD 的长为_______．16．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，以AC 为边作正△ACD ，直线CD 与直线AB 相交于点E ，则BEAB=_______． 三、解答题（本题共9小题，共86分，把答案填在答题卡的相应位置17．(8分)计算：8×6－224＋(3＋1)(3－1)．18．(8分)解方程：2x 2－5x －2=0．19．(8分)如图所示，一幅长与宽之比为4：1的矩形山水画，欲在其周围镶上一圈宽度为1dm 的边框，经测算，镶边后的图画（含白纸边框）的面积为504dm 2，求原矩形山水画的面积．yxB 1A 1O CBA DCBA 第15题20．(8分)如图是某动车站出口处自动扶梯示意图，自动扶梯AB 的倾斜角为31°，在自动扶梯下方地面外测得扶梯顶端A 的仰角为62°，B 、D 之间的距离为6m ．求自动扶梯的垂直高度AC ．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，精确到0.1 m ）21．(8分)如图，A 、B 、C 三点均在边长为1的小正方形网格的格点上． （1）请在BC 上标出点D ，连接AD ，使得△ABD ∽△CBA ； （2）试证明上述结论：△ABD ∽△CBA ．22．(10分)已知关于x 的一元二次方程x 2－(m +2)x +3(m －1)=0． （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m 的取值范围．23．(10分)在数轴上有一动点M ，其平移的方向和距离由以下规则决定：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“5”、“－3”、“－3”，它们除数字不同外没有任何区别．试验者先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，并将两球标注的数字之和m 作为本次试验的结果．当m >0时，动点M 沿数轴正方向平移m 个单位；当m <0时，动点M 沿数轴负方向平移│m │个单位． （1）试用画树状图或列表法，求每次试验时动点M 平移的方向为数轴正方向的概率； （2）若动点M 从原点出发，按以上规则连续平移，且以每次平移结束的位置作为下一次平移的起始位置．当试验次数足够多时，请以试验结果m 的平均数为依据判断：动点M 更可能位于原点的左侧或右侧?并说明理由．62°31°6mD C B AC B A24．(13分)在平面直角坐标系中，直线y =－2x +4与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，C 为AB 的中点，点D 在线段OB 上(BD <OD )，连接CD ，将△BCD 绕点C 逆时针旋转得到△BCD ，旋转角为α(0°<α<180°)，连接BB′、B′D ． （1）求AB 的长；（2）如图，当点D′ 恰好落在y 轴上时，B′C 交y 轴于点E ，求证：△BEB′∽△CED′； （3）当点D 的坐标为(0，3)，且∠ODB′=∠OBA 时，求点B ′的坐标．25．(13分)如图，在△ABC 中，AB =3，点E 、D 分别是AB 边上的三等分点，CD ⊥AB 于点D ，点P 是AC 边上的一个动点，连接PE 、EC ，作△EPC 关于AC 的轴对称图形△FPC ．（1）当PE ∥BC 时，求ACAP的值；（2）当F 、P 、B 三点共线时，求证上：AP ⋅AC ＝3；（3）当CD =2，且AP >PC 时，线段PE 的中垂线GQ 分别交线段PE 、CD 于点G 、Q ，连接PQ 、EQ ，求线段PQ 的最小值．备用图P E D A C B P E D F A C B。
2021-2022学年福建省泉州市晋江市九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年福建省泉州市晋江市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.要使二次根式√x−3有意义，x的值可以是()A. 4B. 2C. 0D. −12.若ab =35，则a+b2a的值为()A. 43B. 83C. 34D. 453.下列二次根式中，是最简二次根式的是()A. √27B. √18C. √15D. √94.下列事件中，属于不可能事件的()A. 经过红绿灯口，遇到绿灯B. 射击运动员连续射击10次，均命中靶心C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天D. 从一个只装有黄球和红球的袋中摸球，摸出白球5.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(1,2)、B(2,0)，以原点O为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点D坐标为(5,0)，则点C的坐标为()A. (2,5)B. (2.5,5)C. (3,5)D. (3,6)6.方程x2−7x+10=0的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为()A. 9B. 10C. 12D. 9或127.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，AB=8，D、E分别是AB与AC的中点，则DE的长为()A. 5B. 4C. 2√3D. 28.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED=1：2，BE与AC相交点F，则AF的值为()OCA. 13B. 12C. 23D. 349.已知一元二次方程x2−3x+1=0的两根为m，n，则m2−5m−2n的值为()A. −7B. −3C. 2D. 510.如图，在△ABC中，∠ACB=90°.边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(−1,3)和(5,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移．当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (3,1)B. (2,1)C. (1,1)D. (0,1)二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.√18−√8=______．12.河堤横断面迎水坡的坡度i=1：√3，若水平宽度为18米，则铅垂高度为______米．13.学校招募运动会广播员，从2名男生和1名女生共3名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是______．14.如图，已知△DEF与△ABC位似，位似中心为点O，且△DEF与△ABC面积之比为5：2，则OC的值为______．OF15.已知α是锐角，tan(α−15°)=√3，则sinα的值为______．316.如图，已知△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，连接CD，点F是CD中点，连接AF分别交BC、CE于G、H两点，给出下列结论：①AG：AF=CG：CB；②CD=2CE；③∠ACB=2∠BCD；④tan∠BCE=tan∠BCD.则以上结论正确的是______(填写正确结论的序号)三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.计算：√6×√3−√8÷√2+|√2−2|.18.先化简，再求值：(2x−1)(2x+1)−(x−3)2−6x，其中x=−√3．19.解方程：(x−1)(x−3)=7．20.数学爱好小组要测量5G信号基站高度，一名同学站在距离5G信号基站30m的点E处，测得基站顶部的仰角∠ACD=52°，已知测角仪的高度CE=1.5m.求这个5G信号基站的高AB(精确到1m).(参考数据：sin52°=0.79，cos52°=0.62，tan52°=1.28)21.某区大力发展绿色农产品，有一种有机水果A特别受欢迎，某水果批发商以市场价每千克10元的价格收购了6000千克水果A，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题：①水果A的市场价格预计每天每千克上涨0.1元；②这批水果平均每天有10千克损坏，不能出售；③每天的冷藏费用为300元；④该水果最多保存110天；将这批水果A存放x天后按当天市场价一次性出售，(1)x天后这批水果的销售价格为每千克______元；(2)若x天后一次性出售所得利润为9600元，求x的值．22.为了监控一条生产线上某种零件的生产质量，检验员每隔25分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：毫米).下表是检验员在一天内抽取的20个零件尺寸的数据统计：零件尺寸的数据为x，按照生产标准，需对超标零件进行整改，整改费用如表：(1)求所抽取的20个零件出现超标零件的频率；(2)若从超标零件中随机抽取两件进行整改，求整改费用最低的概率．23.如图，已知在矩形ABCD中，sin∠CAD=3，AB=6√5，4点Q是对角线AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB于点P．(1)求线段BQ长度的取值范围；(2)当AP的长为多少时，△BQA为等腰三角形？24.关于x的方程(a−1)x2+2bx+(c−a+3)=0为一元二次方程(a,b,c均为整数)．(1)当a，b，c满足a−b=2，2a−c=6时，①证明方程(a−1)x2+2bx+(c−a+3)=0必有两个不相等的实数根；②若方程(a−1)x2+2bx+(c−a+3)=0的两根均为负整数，求整数b的值；(2)当0<a<3时，方程(a−1)x2+2bx+(c−a+3)=0有两个实数根x1、x2，且满足x12−x22+2b(x1−x2+b)−c=5，试证明：|b|≤2．25.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，动点E在∠ABC内部，且∠ABC=2∠AEC．(1)利用尺规作图在图1中作出一个符合题意的点E；(不写作法，保留作图痕迹)(2)如图2，若F是AC的中点，线段BE与线段EF的长度存在怎样的等量关系？请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：要使二次根式√x−3有意义，则x−3≥0，解得：x≥3，故x的值可以是4．故选：A．直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：∵ab =35，∴设a=3k，b=5k，∴a+b2a =3k+5k6k=8k6k=43，故选：A．利用设k法进行计算即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：A选项，√27=3√3，故该选项不符合题意；B选项，√18=3√2，故该选项不符合题意；C选项，√15是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，√9=3，故该选项不符合题意；故选：C．根据最简二次根式的定义判断即可．本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、经过红绿灯口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；B、射击运动员连续射击10次，均命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；D、从一个只装有黄球和红球的袋中摸球，摸出白球是不可能事件，故本选项符合题意；故选：D．根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义结合具体的情景逐项进行判断即可．本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．5.【答案】B【解析】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段AB放大得到线段CD，∴B点与D点是对应点，∵B点的对应点D的坐标为(5,0)，∴位似比为：2.5：1，∵A(1,2)，∴点C的坐标为：(2.5,5)．故选：B．利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．6.【答案】C【解析】解：x2−7x+10=0，(x−5)(x−2)=0，x−5=0或x−2=0，所以x1=5，x2=2，因为2+2=4<5，所以等腰三角形的腰长为5，底边长为2，所以等腰三角形的周长为5+5+2=12．故选：C．先利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=2，再利用三角形三边的关系可判断等腰三角形的腰长为5，底边长为2，然后计算等腰三角形的周长．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．7.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴AC=12AB=12×8=4，由勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√82−42=4√3；∵D、E分别是AB与AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=2√3，故选：C．根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，OA=OC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC =AFFC，∵AE：ED=1：2，∴AE：AD=1：3，∴AEBC =13，∴AF：CF=1：3，∵OA=OC，∴AFOC =12，故选：B．根据矩形的性质得AD//BC，AD=BC，OA=OC，则△AEF∽△CBF，有AEBC =AFFC，再根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，从而解决问题．本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△AEF∽△CBF是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：∵m为方程x2−3x+1=0的根，∴m2−3m+1=0，∴m2=3m−1，∵一元二次方程x2−3x+1=0的两根为m，n，∴m+n=3，∴m2−5m−2n=3m−1−5m−2n=−1−2(m+n)=−1−2×3=−7．故选：A．先利用一元二次方程的定义得到m2=3m−1，则m2−5m−2n=−1−2(m+n)，然后利用根与系数的关系进行计算即可．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．10.【答案】B【解析】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为(−1,3)和(5,0)．∴AC=3，OC=1，OB=5，∴BC=6，∵四边形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=1，∴O′E′=O′C′=1，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′//AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴E′O′AC =BO′BC，∴13=BO′6，∴BO′=2，∴OC′=5−2−1=2，∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2,1)，故选：B．根据已知条件得到AC=3，OC=1，OB=5，求得BC=6，根据正方形的性质得到DE= OC=OE=1，求得O′E′=O′C′=1，根据相似三角形的性质得到BO′=2，于是得到结论．本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，证得△BO′E′∽△BCA是解题的关键．11.【答案】√2【解析】解：原式=3√2−2√2=√2，故答案为：√2．先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和法则．12.【答案】6√3【解析】解：∵迎水坡的坡度i=1：√3，水平宽度为18米，∴铅垂高度为：√3=6√3(米)，故答案为：6√3．根据坡度的概念计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度ℎ和水平宽度l的比是解题的关键．13.【答案】23【解析】解：列表如下：由表知，共有6种等可能结果，其中两人恰好是一男一女的有4种结果，所以两人恰好是一男一女的概率为46=23，故答案为：23．列表展示所有等可能的结果数，再找出恰好为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．14.【答案】√105【解析】解：∵△DEF与△ABC位似，∴△DEF∽△ABC，AC//DF，∵△DEF与△ABC面积之比为5：2，∴△DEF与△ABC相似比为√5：√2，即ACDF =√2√5=√105，∵AC//DF，∴△AOC∽△DOF，∴OCOF =ACDF=√105，故答案为：√105．根据位似变换的性质得到△DEF∽△ABC，AC//DF，根据相似三角形的性质得到ACDF=√2√5=√105，根据相似三角形的性质解答即可．本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．15.【答案】√22【解析】解：∵α是锐角，tan(α−15°)=√33，∴α−15°=30°，∴α=45°，∴sinα=sin45°=√22．故答案为：√22．利用特殊角的三角函数值得到α−15°=30°，所以α=45°，然后利用45°的正弦值求解．本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．16.【答案】①②④【解析】解：如图，连接BF，∵BD=AB，∴B为AD的中点，又∵F为CD的中点，∴BF为△ACD的中位线，∴BF//AC，BF=12AC，∴∠ACG=∠GBF，∠CAG=∠GFB，∴△ACG∽△FBG，∴GBGC =FGAG，∴GBBC =GFAF，即AG：AF=CG：CB，故①正确；延长CE到点M，使EM=CE，连接BM，∵CE为AB的中线，∴AE=BE，又∵∠AEC=∠BEM，EM=EC，∴△EBM≌△EAC(SAS)，∴BM=AC=AB=BD，∠EBM=∠EAC，∴∠MBC=∠MBE+∠EBC=∠A+∠ACB，又∵∠DBC=∠A+∠ACB，∴∠MBC=∠DBC，∵MB=BD，BC=BC，∴△MBC≌△DBC(SAS)，∴CD=CM=2CE，∠MCB=∠DCB，故②正确；∴tan∠BCE=tan∠BCD，故④正确；由CE为AB的中线，但得不到CE为∠ACB的角平分线，∵∠BCD=∠BCE，只有∠ACE=∠BCE，∠ACB才等于2∠BCD，但得不到CE为∠ACB的角平分线，故③错误，故答案为：①②④．连接BF，可知BF为△ACD的中位线，得BF//AC，BF=12AC，可证△ACG∽△FBG，得GB GC =FGAG，可说明①正确；延长CE到点M，使EM=CE，连接BM，利用SAS证明△EBM≌△EAC，得BM=AC=AB=BD，∠EBM=∠EAC，在利用SAS证明△MBC≌△DBC，得CD=CM=2CE，故②④正确；由CE为AB的中线，但得不到CE为∠ACB的角平分线，可判断③错误．本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．17.【答案】解：原式=3√2−2+2−√2=2√2．【解析】先计算二次根式的乘除法、去绝对值符号，再计算加减即可．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．18.【答案】解：原式=4x2−1−(x2−6x+9)−6x=4x2−1−x2+6x−9−6x=3x2−10，当x=−√3时，原式=3×(−√3)2−10=3×3−10=9−10=−1．【解析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键．19.【答案】解：方程整理为一般式，得：x2−4x=4，x2−4x+4=4+4，(x−2)2=8，∴x−2=±2√2，∴x1=2+2√2，x2=2−2√2．【解析】整理后，再利用配方法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.则四边形CEBD是矩形，BD=CE= 1.5m，在Rt△ACD中，CD=EB=30m，∠ACD=52°∵tan∠ACE=AD，CD∴AD=CD⋅tan∠ACD≈20×1.28=25.6(m)．∴AB=AD+BD=25.6+1.5≈27(m)．答：这个5G信号基站的高AB约为27m．【解析】在Rt△ACD中，求出AD，再利用矩形的性质得到BD=CE=1.5，由此即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是通过添加辅助线，构造直角三角形解决问题．21.【答案】(10+0.1x)【解析】解：(1)依题意得：x天后这批水果的销售价格为(10+0.1x)元．故答案为：(10+0.1x)．(2)依题意得：(10+0.1x)(6000−10x)−300x−10×6000=9600，整理得：x2−200x+9600=0，解得：x1=80，x2=120(不合题意，舍去)．答：x的值为80．(1)利用销售价格=10+0.1×储存的时间，即可用含x的代数式表示出x天后这批水果的销售价格；(2)利用利润=销售单价×销售数量−300×储存的时间−总成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该水果最多保存110天，即可得出x的值为80．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】解：(1)所抽取的20个零件出现超标零件的个数有4个，即107.5、110.2、107.8、110.4，∴所抽取的20个零件出现超标零件的频率为420=15；(2)把零件尺寸为107.5毫米、110.2毫米、107.8毫米、110.4毫米的4个零件分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，整改费用最低的结果有2种，即BD、DB，∴整改费用最低的概率为212=16．【解析】(1)找出所抽取的20个零件出现超标零件的个数，即可求解；(2)画树状图，共有12种等可能的结果，整改费用最低的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查了树状图法求概率以及频数分布表等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】解：(1)当Q与A重合时，BQ最长，此时BQ=AB=6√5，当BQ⊥AC，即P与B重合时，BQ最短，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6√5，∠D=90°，∵sin∠CAD=34，∴CDAC =34，即6√5AC=34，∴AC=8√5，∴BC=AD=√AC2−CD2=2√35，∵2S△ABC=AC⋅BQ=AB⋅BC，∴BQ=AB⋅BCAC =6√5×2√358√5=3√352，∴点Q是对角线AC上的一个动点时，线段BQ长度的取值范围是3√352≤BQ≤6√5；(2)当AQ=AB时，如图：∴AQ=AB=6√5，∵∠PAQ=∠CAB，∠AQP=∠ABC=90°，∴△APQ∽△ACB，∴AQAB =APAC，即6√56√5=AP8√5，∴AP=8√5，当AQ=BQ时，过Q作QH⊥AB于H，如图：∵AQ=BQ，QH⊥AB，∴AH=BH=12AB=3√5，∵QH⊥AB，∠ABC=90°，∴QH//BC，∴QH是△ABC的中位线，∴AQ=12AC=4√5，∵∠QAH=∠PAQ，∠QHA=∠PQA=90°，∴△AQH∽△APQ，∴AQAP =AHAQ，即4√5AP=√54√5，∴AP=16√53，综上所述，AP的长为8√5或16√53时，△BQA为等腰三角形．【解析】(1)当Q与A重合时，BQ最长为6√5，当BQ⊥AC，BQ最短，由2S△ABC=AC⋅BQ=AB⋅BC，可得BQ最短为3√352，即可得线段BQ长度的取值范围；(2)分两种情况：当AQ=AB时，由△APQ∽△ACB，有AQAB =APAC，可得AP=8√5，当AQ=BQ时，过Q作QH⊥AB于H，由△AQH∽△APQ，可得AP=16√53．本题考查矩形中的相似三角形性质与判定，解题的关键是分类画出图形，利用相似三角形对应边成比例列方程解决问题．24.【答案】(1)解：①∵a−b=2，2a−c=6，∴b=a−2，c=2a−6，将b=a−2，c=2a+6代入(a−1)x2+2bx+(c−a+3)=0得(a−1)x2+2(a−2)x+(a−3)=0，∵Δ=[2(a−2)]2−4(a−1)(a−3)=4>0，∴方程(a−1)x2+2bx+(c−a+3)=0必有两个不相等的实数根．②由①Δ=4，(a−1)x2+2bx+(c−a+3)=(a−1)x2+2(a−2)x+(a−3)=0，∵方程两根为负整数，∴x1+x2=−2(a−2)a−1=−2+2a−1为负整数，∵a为整数，∴a=0或a=−1，∵方程两根为负整数，∵x1⋅x2=a−3a−1为正整数，∴a=0时x1⋅x2=3满足题意，a=−1时x1⋅x2=2满足题意．∴b=a−2=−2或−3．(2)证明：∵0<a<3且a为整数，∴a=1或a=2．∵a−1≠0，∴a≠1，即a=2，∴(a−1)x2+2bx+(c−a+3)=0可整理为x2+2bx+(c+1)=0，∴x1+x2=−2b∵x12−x22+2b(x1−x2+b)−c=5，∴(x1+x2)(x1−x2)+2b(x1−x2)+2b2−c=5，∴(x1−x2)(x1+x2+2b)=5+c−2b2，即5+c−2b2=0，∴c=2b2−5，在方程x2+2bx+(c+1)=0中，Δ=(2b)2−4(c+1)=(2b)2−4(2b2−5+1)≥0，解得b2≤4，∴|b|≤2．【解析】(1)①由a−b=2，2a−c=6可得b与c和a的关系，然后通过判别式Δ>0求解．②由根与系数的关系可得x1+x2为负整数，x1⋅x2为正整数，进而求解．(2)由0<a<3且a为整数可得a=2，由根与系数的关系可得x1+x2=−2b，由x12−x22+2b(x1−x2+b)−c=5可得5+c−2b2=0，再由判别式Δ>0可得|b|≤2．本题考查一元二次方程的根，解题关键是掌握一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系．25.【答案】解：(1)作线段AC的垂直平分线BP，交AC于点D；在线段BD的延长线上截取DO=BD；以点O为圆心，OA为半径画圆，在优弧AEC上任意取一点(不含端点)即为所求作的一个符合题意的点E；理由如下：如图，连接OA，OC，由作法可知：AC，OB互相垂直平分，∴四边形ABCO是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCO是正方形，∴∠AOC=90°=∠ABC，OA=OC，∴点C在圆O上，∵∠AOC=2∠AEC，∴∠ACB=2∠AEC；(2)BE=√2EF，理由如下：如图，连接OE，OB，∵四边形ABCO是正方形，F是AC的中点，OA=OC，∴OB经过点F，∠BCO=90°，∠CBO=∠OCA=45°，OF⊥AC，在Rt△OBC中，OC OB =sin∠OBC=√22，在Rt△OFC中，OF OC =sin∠OCA=√22，∴OCOB =OFOC=√22，∵OE=OC，∴OEOB =OFOE=√22，∵∠EOF=∠BOE，∴△EOF∽△BOE，∴EFBE =OFOE=√22，∴BE=√2EF．【解析】(1)作线段AC的垂直平分线BP，交AC于点D；在线段BD的延长线上截取DO= BD；以点O为圆心，OA为半径画圆，在优弧AEC上任意取一点(不含端点)即为所求作的一个符合题意的点E；(2)结合(1)的图形连接OE，OB，根据正方形的性质证明△EOF∽△BOE，进而可以解决问题．本题属于几何综合题，考查了作图−复杂作图，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与学习者，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是得到△EOF∽△BOE．。
2021-2022学年福建省泉州市九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若二次根式√x−3有意义，则x的取值范围是()A. x<3B. x≠3C. x≤3D. x≥32.如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=6，AB=8，则sinC的值为()A. 43B. 34C. 35D. 453.已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为30和15，且BC=6，则EF的长为()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列运算正确的是()A. √4=±2B. √(−5)2=−5C. √5−√3=√2D. √12÷√3=25.下列事件中，是必然事件的是()A. 掷两次般子，点数和为10B. 一元二次方程有两个相等的实数根C. 相似三角形对应高的比等于相似比D. 汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯6.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：√3.坝高BC为4m，则AB的长度为()A. 4√3mB. 8mC. 8√3mD. 16m7.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》有题目：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)与长共六十步，问阔(宽)及长各几步．设阔(宽)有x步，那么下面所列方程正确的是()A. x(x+60)=864B. x(60−x)=864C. x(x−60)=864D. x2−60x−864=08.如图，在△ABC中，AB=10，BC=16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB=90°，则线段EF的长为()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知点A(2,y1)、B(3,y2)、C(−1,y3)均在抛物线y=ax2−4ax+c(a>0)上，则y1，y2，y3的大小关系为()A. y1<y2<y3B. y1<y3<y2C. y2<y1<y3D. y2<y3<y110.若已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，(2,0)，则关于x的一元二次方程a(x+1)2+bx=−b−c的解为()A. x=−1B. x=−2C. x=−2或x=1D. x=2或x=0二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.化简：√1=______．312.二次函数y=(x−2)2+3的顶点坐标是______．13.在不透明的袋子中装有3个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机提出1个球，是红球的概率为______．14.关于x的一元二次方程x2+3x−m=0的一个根是3，则另一个根是______．15.如图，点E是△ABC的重心，△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形，则△EFG与△ABC的面积之比为______．16.如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，且DE=2CE，BE⊥AC于F，连结DF，有下列四个结论：①△CEF∽△ACB；②AF=2CF；③DF=AF；④tan∠ACD=√3.其中正确的3结论有______(填写序号即可)．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.计算：√12÷√6−√3×√6+2sin45°．18.解方程：x2−2√2x−2=0．19.已知关于x的一元二次方程x2−4x+m+2=0有两个不相等的实数根，(1)求m的取值范围；(2)当m=−2时，求出此时方程的两个根．20.某景区检票口有A，B，C共3个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票．(1)求甲选择A检票通道的概率；(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率．21.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，DE⊥AB，AD=2DE．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)求sinB的值．22.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∠C=120°．(1)求作点E，使得四边形ABED为菱形(要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法)；(2)在(1)的作图条件下，延长DC、AB交于点F，求证：直线EF、AD、BC相交于同一点．23.鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．2018年年底小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷，到2020年底“熟客”们采购了7200箱．(1)求小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；(2)2020年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的4，由于鱼卷5受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调1至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在今年年底能获得的最大利润是多少元？24.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F．(1)求证：BC平分∠ABF；(2)求证：BC2=2BF⋅BD；(3)过点A作AG//CE交FB的延长线于点G，连结CG，当BG=365，sin∠E=35时，求CG的长．25.已知直线y=kx+k+1与抛物线y=ax2+2ax交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与抛物线的对称轴交于点P，点P与抛物线顶点Q的距离为2(点P在点Q的上方)．(1)求抛物线的解析式；(2)直线OP与抛物线的另一个交点为M，抛物线上是否存在点N，使得tan∠NMO=13；若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的平行线交抛物线于点C，请说明直线BC过定点，并求出定点坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型.根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x−3≥0，∴x≥3．故选D．2.【答案】D【解析】解：∵∠A=90°，AC=6，AB=8，∴BC=√62+82=10，∴sinC=ABBC =810=45．故选：D．先利用勾股定理计算出BC，然后根据正弦的定义求解．本题考查了锐角三角函数的定义：锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边除以斜边=ac．3.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长分别为30和15，∴△ABC和△DEF的相似比为2：1，∵△ABC∽△DEF，BC=6，30∴3015=6EF，解得，EF=3，故选：B．根据相似三角形的周长比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、原式=2，故A不符合题意．B、原式=5，故B不符合题意．C、√5与√3不是同类二次根式，故C不符合题意．D、原式=√4=2，故D符合题意．故选：D．根据二次根式的性质以及二次根式的减法、除法运算法则即可求出答案．本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．5.【答案】C【解析】解：A.掷两次般子，点数和为10，是随机事件，故A不符合题意；B.一元二次方程有两个相等的实数根，是随机事件，故B不符合题意；C.相似三角形对应高的比等于相似比，是必然事件，故C符合题意；D.汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，故D不符合题意；故选：C．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．本题考查了随机事件，根的判别式，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1：√3，∴BCAC =√3，∵BC=4m，∴AC=4√3m，由勾股定理得：AB=√BC2+AC2=√42+(4√3)2=8(m)，故选：B．根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：设阔(宽)有x步，则长有(60−x)步，依题意得：x(60−x)=864．故选：B．设阔(宽)有x步，则长有(60−x)步，利用矩形的面积计算公式，结合直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC=16，BC=8．∴DE=12∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=10，AB=5，∴DF=12∴EF=DE−DF=8−5=3．故选：B．BC.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得利用三角形中位线定理得到DE=12AB.所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．到DF=12本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．9.【答案】A【解析】解：∵y=ax2−4ax+c(a>0)，=2，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=−−4a2a∴x≥2时，y随x的增大而增大，∴C(−1,y3)关于直线x=2的对称点是(5,y3)，∵2<3<5，∴y1<y2<y3，故选：A．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=2，根据x≥2时，y随x 的增大而增大，即可得出答案．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，(2,0)，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=−1，x2=2，∵a(x+1)2+bx=−b−c，∴a(x+1)2+b(x+1)+c=0，∴x+1=−1或x+1=2，∴x=−2或x=1．故选：C．根据抛物线与x轴的交点问题得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=−1，x2=2，再把a(x+1)2+bx=−b−c看作关于(x+1)的一元二次方程，则x+1=−1或x+1=2，然后解两个一次方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11.【答案】√33【解析】解：原式=√1×33×3=√3√9=√33，故答案为√33．将被开方数的分子与分母同乘以3即可得出答案．本题考查了二次根式的性质与化简，是基础知识比较简单．12.【答案】(2,3)【解析】【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标为(ℎ,k)，注意符号问题．【解答】解：二次函数y=(x−2)2+3的图象的顶点坐标是(2,3)．故答案为(2,3)13.【答案】25【解析】解：∵共有5个球，其中红球有2个，∴P(摸到白球)=25，故答案为：25．用白球的个数除以所有球的个数即可求得抽到白球的概率．此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】−6【解析】解：设方程的另一个根是x1，依题意得：x1+3=−3，解得：x1=−6．故答案为：−6．设方程的另一个根是x1，根据两根之和等于−ba，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出x1，此题得解．本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于−ba是解题的关键．15.【答案】19【解析】解：∵点E是△ABC的重心，∴EA=2ED，∴EDAD =13．∵△EFG和△ABC是以点D为位似中心的位似图形，∴△EFG∽△ABC，EF//AB，∴△DEF∽△DAB，∴EFAB =EDAD=13，∴S△EFGS△ABC =(EFAB)2=19，故答案为：19．根据三角形重心的性质可得EDAD =13，根据位似图形的概念得到△EFG∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可求解．本题考查的是三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了位似变换的概念和性质，掌握重心的性质、位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．16.【答案】①④【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC//AB，∠ABC=90°，∴∠ECA=∠CAB，∵BE⊥AC，∴∠EFC=90°，∴∠EFC=∠ABC=90°，∴△CEF∽△ACB，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，∵DE=2CE，∴CECD =13，∴CEAB =13，∵∠ECA=∠CAB，∠CFE=∠AFB，∴△CEF∽△ABF，∴CEAB =CFAF=13，∴AF=3CF，故②错误；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DAB=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠CAB=90°，∵FD≠CF，∴∠CDF≠∠DCF，∵∠ECA=∠CAB，∴∠CDF≠∠CAB，∴∠ADF≠∠DAF，∴DF≠AF，故③错误；∵DE=2CE，∴设CE=a，DE=2a，∴CD=DE+CE=3a，设AD=b，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠DCB=90°，AD=BC=b，∴∠DCA+∠ACB=90°，∵∠BFC=90°，∴∠ACB+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠DCA，∴△ADC∽△ECB，∴ADEC =DCCB，∴ba =3ab，∴b2=3a2，∴b=√3a，∴tan∠ACD=ADDC =b3a=√3a3a=√33，故④正确；所以，正确的结论有：①④，故答案为：①④．①利用矩形的性质可得AB//CD，∠ABC=90°，从而可得∠ECA=∠CAB，然后利用两角相等的两个三角形相似证明即可解答；②根据已知可得CECD =13，利用8字型相似证明△CEF∽△ABF即可解答；③要判断DF=AF，只要判断出∠DAF=∠ADF，进而只要判断出∠CDF=∠CAB即可解答；④先设CE=a，DE=2a，设AD=b，然后证明△ADC∽△ECB，利用相似三角形的性质找到a，b的关系，最后求出tan∠ACD的值即可．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】解：原式=√2−3√2+2×√22=√2−3√2+√2=−√2．【解析】根据特殊角的锐角三角函数、二次根式的加减运算以及乘除运算法则本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．18.【答案】解：x2−2√2x−2=0，这里a=1，b=−2√2，c=−2，∴Δ=(−2√2)2−4×1×(−2)=16>0，∴x=−b±√b2−4ac2a =2√2±42=√2±2，∴x1=√2+2，x2=√2−2．【解析】利用公式法求解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．19.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(−4)2−4(m+2)>0，解得m<2；(2)当m=−2时，方程变形为x2−4x=0，x(x−4)=0，x=0或x−4=0，所以x1=0，x2=4．【解析】(1)利用判别式的意义得到Δ=(−4)2−4(m+2)>0，然后解关于m的不等式即可；(2)当m=−2时，方程变形为x2−4x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．20.【答案】解：(1)∵检票口有A，B，C共3个检票通道，∴甲选择A检票通道的概率是13．(2)根据题意画树状图为：共有9种等可能的情况数，其中甲乙两人选择的检票通道恰好不同的有6种情况，则甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率是69=23．【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；(2)画树状图展示所有9种等可能的情况数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；(2)解：∵AD=2DE，∠ADE=90°，∴AE=√AD2+DE2=√5DE2=√5DE，∴sin∠AED=ADAE =√5DE=2√55，∵△ADE∽△ACB，∴∠B=∠AED，∴sinB=2√55．【解析】(1)利用两角相等的两个三角形相似证明，即可解答；(2)先利用勾股定理求出AE=√5DE，然后求出sin∠AED的值，最后利用(1)的结论即可解答．本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】(1)解：如图所示：点E即为所求；(2)证明：如图，延长AD，BC交于点G，连接GE，BC与DE交于点H，∵四边形ABED为菱形，∴AB=AD，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，∴∠BDG=120°=∠DBF，∵∠BCD=120°．∴∠BCF=60°，∴∠CDB+∠CBD=60°，∵∠CDB+∠AFD=∠ABD=60°，∴∠CBD=∠AFD，∴△BDG∽△FBD，∴BDFB =DNBD，同理：BD=DE=BE，∠DEB=60°，∴BEFB =DNDE，∵四边形ABED为菱形，∴AD//BE，DE//AB，∴∠GDE=∠A=60°，∠EBF=∠A=60°，∴∠GDE=∠EBF，∴△GDE∽△EBF，∴∠GED=∠EFB，∴∠EBF+∠EFB+∠BEF=60°+∠EFB+∠BEF=180°，∴∠DEG+∠DEB+∠BEF=180°，∴N，E，F三点共线，∴直线EF、AD、BC相交于同一点G．【解析】(1)分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于E；(2)延长AD，BC交于点G，连接GE，BC与DE交于点H，根据(1)证明△ABD是等边三角形，然后证明△BDG∽△FBD，BDFB =DNBD，得BEFB=DNDE，然后证明△GDE∽△EBF，可得∠GED=∠EFB，所以得∠DEG+∠DEB+∠BEF=180°，可得N，E，F三点共线，进而可得直线EF、AD、BC相交于同一点G．本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，作图−复杂作图，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDG∽△FBD．23.【答案】解：(1)设小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a，则5000(1+a)2=7200，整理得：(1+a)2=3625，解得：x1=20%.x2=−115(负根不合题意舍去)，答：小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为20%；(2)∵2020年底小张熟客们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的45，∴2020年小张年总销量为：7200÷45=9000(箱)，设今年总利润为w元，价格下调x元，则w=(15−x)(9000+1000x)=−1000x2+6000x+135000=−1000(x−3)2+ 144000，∵a=−1000<0，1≤x≤5，∴当x=3时，w有最大值，最大值为14400，所以小张在今年年底能获得的最大利润是144000元．【解析】(1)设小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a，则可得方程5000(1+a)2=7200，再解方程即可；(2)先求解今年的总的销量为9000箱，设今年总利润为w元，价格下调x元，则可建立二次函数为w=(15−x)(9000+1000x)，再利用二次函数的性质求解最大值即可．本题考查的是二次函数的应用，确定相等关系建立二次函数解析式是解题关键．24.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴CD=BD，∴∠DCB=∠DBC，∵DC⊥CE，BF⊥CE，∴DC//BF，∴∠DCB=∠CBF，∴∠DBC=∠CBF，∴BC平分∠ABF；(2)由(1)知，∠ABC=∠CBF，∵BF⊥CE，∴∠ACB=∠CFB=90°，∴△ACB∽△CFB，∴BCAB =BFBC，∴BC2=BF⋅AB，∵AB=2BD，∴BC2=2BF⋅BD；(3)过点A作AG//CE交FB的延长线于点G，连结CG，∵AG//CE，∴∠BAG=∠E，∵BF⊥CE，∴AG⊥FG，∵sin∠E =35，BG =365， ∴sin∠BAG =BG AB =35， ∴AB =12，∴AD =DB =6=DC ，∴sin∠E =CD DE =6DE =35， ∴DE =10，∴BE =DE −BD =10−6=4，Rt △BEF 中，BF BE =sin∠E =35，∴BF =125，∴EF =√BE 2−BF 2=√42−(125)2=165，Rt △CDE 中，CE =√BE 2−CD 2=8，∴CF =8−165=245，∴GF =GB +BF =365+125=485，Rt △CFG 中，CG =√GF 2+CF 2=√(485)2+(245)2=24√55．【解析】(1)根据平行线的判定和性质解答即可；(2)根据相似三角形的判定和性质解答即可；(3)根据三角函数和勾股定理解答即可．此题考查相似三角形综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理和三角函数解答．25.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+2ax 的对称轴为直线x =−2a 2a =−1， ∴P(−1,1)，∵点P 与抛物线顶点Q 的距离为2(点P 在点Q 的上方)．∴Q(−1,−1)，把Q(−1,−1)代入y =ax 2+2ax ，得：−1=a −2a ，解得：a =1，∴抛物线的解析式为y =x 2+2x ；(2)抛物线上存在点N ，使得tan∠NMO =13． 如图1，在坐标系中取点E(−32,0)，F(0,32)，连接EF ，交OM 于点D ，设直线EF 的解析式为y =k 1x +b 1，把E(−32,0)，F(0,32)代入，得：{−32k 1+b 1=0b 1=32， 解得：{k 1=1b 1=32， ∴直线EF 的解析式为y =x +32，设直线OP 的解析式为y =k 2x ，把P(−1,1)代入，得：−k 2=1，解得：k 2=−1，∴直线OP 的解析式为y =−x ，联立方程组{y =−xy =x +32，解得：{x =−34y =34， ∴D(−34,34)，∵k 1⋅k 2=−1，∴EF ⊥OP ，∴∠MDE =∠MDF =90°，∵OE =OF =32， ∴∠OED =∠OFD =45°，∴△ODE 与△ODF 均为等腰直角三角形，∴∠EOD =∠FOD =45°，∴DE =DF =12EF =OD ，在Rt △OEF 中，EF =√2OF =3√22， ∴DE =DF =OD =3√24， 联立方程组{y =−x y =x 2+2x，解得：{x =0y =0或{x =−3y =3， ∴M(−3,3)，∴OM =√32+32=3√2， ∴DM =OM −OD =3√2−3√24=9√24， ∴tan∠EMD =tan∠FMD =13； 设直线ME 的解析式为y =mx +n ，把M(−3,3)，E(−32,0)代入，得：{−3m +n =3−32m +n =0，解得：{m =−2n =−3， ∴直线ME 的解析式为y =−2x −3，联立方程组，得：{y =−2x −3y =x 2+2x， 解得：{x =−3y =3或{x =−1y =−1， ∴N 1(−1,−1)；设直线MF 的解析式为y =m 1x +n 1，把M(−3,3)，F(0,32)代入，得：{−3m 1+n 1=3n 1=32， 解得：{m 1=−12n 1=32， ∴直线MF 的解析式为y =−12x +32，联立方程组，得：{y =−12x +32y =x 2+2x， 解得：{x =−3y =3或{x =12y =54， ∴N 2(12,54)；综上所述，点N 的坐标为N 1(−1,−1)，N 2(12,54)；(3)如图2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵过点A 作x 轴平行线交抛物线于点C ，∴C(−2−x 1,y 1)，∵y =kx +k +1，y =x 2+2x ，∴x 2+(2−k)x −k −1=0，∴x 1+x 2=k −2，x 1x 2=−k −1，设直线BC 的解析式为y =ex +f ，把B(x 2,y 2)，C(−2−x 1,y 1)代入，得：{x 2e +f =y 2(−2−x 1)e +f =y 1， ∴y 2−y 1=(x 1+x 2+2)e ，即k(x 2−x 1)=(k −2+2)e ，∴e =x 2−x 1，∵(x 2)2+2x 2=(x 2−x 1)⋅x 2+f ，∴f =2x 2+x 1x 2=2x 2−k −1，∴直线BC 的解析式为y =(x 2−x 1)x +2x 2−k −1，当x =−1时，y =(x 2−x 1)×(−1)+2x 2−k −1=x 1+x 2−k −1=k −2−k −1=−3，∴当k 变化时，直线BC 一定经过定点K(−1,−3)．【解析】(1)先求出抛物线的对称轴，得出P(−1,1)，进而可得Q(−1,−1)，再运用待定系数法即可求得答案；(2)如图1，在坐标系中取点E(−32,0)，F(0,32)，连接EF ，交OM 于点D ，利用待定系数法求出直线EF 、直线OP 的解析式，联立方程组可得出D(−34,34)，根据两直线的一次项系数乘积为−1，判断EF ⊥OP ，再运用勾股定理和三角函数定义可得tan∠EMD =tan∠FMD =13，运用待定系数法求出直线ME 、直线MF 的解析式，通过联立方程组即可求得对应的点N 的坐标；(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得：C(−2−x 1,y 1)，设直线BC 的解析式为y =ex +f ，运用待定系数法和根与系数的关系可求得：e =x 2−x 1，f =2x 2−k −1，即可得出直线BC 一定经过定点K(−1,−3)．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，三角函数定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根与系数的关系等，解题关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，运用方程思想解决问题．。
福建省泉州市晋江市季延中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
福建省泉州市晋江市季延中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列二次根式是最简二次根式的是( )A B C D 2．成语“守株待兔”所描述的事件是（ ）A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定 3．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，则sin A 的值为（ ） A ．512 B ．1213 C ．513 D ．1254．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A ．∠C ＝∠AEDB ．∠B ＝∠DC ．AB BC AD DE = D ．AB AC AD AE = 5．某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．3.2+x ＝6B ．3.2x ＝6C ．3.2（1+x ）＝6D ．3.2（1+x ）2＝66．如图，∠ABC 与∠A ′B ′C ′是位似图形，O 是位似中心，若∠ABC 与∠A ′B ′C ′的面积之比为1：4，则CO ：C ′O 的值为（ ）7．对于函数()235y x =--的图象，下列说法不正确的是（ ）A ．开口向下B ．5x >时，y 随x 增大而增大C ．最大值为0D ．与y 轴交点在x 轴下方 8．如图，在ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，32B =︒∠．现将ADE 沿DE 折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A '，则BDA '∠的度数为（ ）A ．58︒B ．116︒C ．122︒D ．148︒9．已知,m n 是方程2210x x --=的两根，则2m m n -+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，正方形ABCD 中，E 为AD 中点，3BF =，4DG =，45FEG ∠=︒，则FG 长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题11．若35a b =，则2a b b+=______． 12x 的取值范围是_____．13．已知一个斜坡的坡度i =______．14．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tanB 的值为_____．15．已知ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点G 为ABC 重心，GE AC ，若ABC的面积为6，则BGE △的面积是______．16．对于二次函数2y ax =与2y bx =，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知m =______，d c -=______三、解答题17．计算：2cos301-︒+． 18．解方程：()3122x x x -=-．19．如图，在ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD AB =，DEC B ∠=∠．求证：AED ADC △△∽20．肖红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作，根据社区的安排，志愿者被随机分到A 组（体温检测）、B 组（便民代购）、C 组（环境消杀）．(1)肖红的爸爸被分到B 组的概率是______(2)我校林老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求林老师和肖红爸爸被分到同一组的概率是多少？21．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒．（1）求作点D ，使四边形ABCD 是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BD ，若13,tan 3AB BAC =∠=，求BD 的长． 22．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点4米的B 处发现球在自己头部的正上方达到最高点M ，距地面5米高，球落地为C 点．（1）求足球轨迹的解析式；（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？23．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．(1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？(2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m 元（m 为整数，且15m ≤≤），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m 的值．24．已知点A 是二次函数y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋2m ＋1图象的顶点．(1)请判断该二次函数图象与x 轴的交点个数；(2)以A 为一个顶点作该抛物线的内接正∠ABC （B ，C 两点在抛物线上），请问：∠ABC 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)过点A 作AD∠x 轴于点D ，在直线x ＝1上存在一点P ，使得AD －AP ＝74，求点P 的坐标．25．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且2OA OB OC OD ====，OC 平分BOD ∠，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：//OC AD ；（2）如图2，若DE DF =，求AE AF的值； （3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DE DF 的值．参考答案：1．D【解析】【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.【详解】A. =，故A选项不符合题意；B. ，故B选项不符合题意；C. =C选项不符合题意；D.故选D.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.2．B【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【详解】“守株待兔”是随机事件．故选B．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．C【解析】【分析】先画图，再利用正弦的定义直接可得答案.【详解】解：如图，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，5sin ,13BC A AB ∴== 故选：C 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的定义，掌握“直角三角形中，锐角的正弦等于这个锐角的对边与斜边的比”是解题的关键.4．C【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∠∠1＝∠2∠∠DAE ＝∠BAC∠A ，B ，D 都可判定△ABC ∠∠ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：∠如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；∠如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；∠如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5．D【解析】【分析】设这两年投入资金的年平均增长率为x ，根据题意可得，2015的投入资金×（1+增长率）2＝2017年的投入资金，据此列方程即可．【详解】解：设这两年投入资金的年平均增长率为x，由题意得，3.2（1+x）2＝6．故选D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．6．A【解析】【分析】根据位似图形的性质知：BC∠C′B′，则∠BCO∠∠B′C′O′，根据该相似三角形的对应边成比例得到答案．【详解】解：如图，∠ABC与∠A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若∠ABC与∠A′B′C′的面积之比为1：4，则∠ABC与∠A′B′C′的相似比为1：2．∠∠ABC与∠A′B′C′是位似图形，∠BC∥C′B′，∠∠BCO∠∠B′C′O′．∠CO：C′O=BC：B′C′=1：2．故选：A．【点睛】本题考查了位似图形的性质：两个图形的对应边平行，面积的比等于位似比的平方． 7．B【解析】【分析】由二次函数解析式中a 的符号结合函数图象逐一分析A ，B ，C ，再把0x =代入解析式求解与y 轴交点坐标，可判断D ，从而可得答案.【详解】 解： ()235y x =--，30,a ∴=-＜ 函数图象的开口向下，函数有最大值0，故A ，C 不符合题意； 而函数()235y x =--的对称轴方程为：5,x =当5x ＞时，y 随x 增大而减小，故B 符合题意；当0x =时，()23575,y =-⨯-=-所以与y 轴交点坐标为()0,75-，在x 轴下方，故D 不符合题意；故选：B【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟悉二次函数的开口方向，对称轴方程，顶点坐标，增减性，函数的最值是解题的关键.8．B【解析】【分析】如图，证明=ADE A DE '∠∠，证明DE ∠BC ，得到∠ADE =∠B =32°，即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠ADE =∠A ′DE ；∠D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∠DE 是∠ABC 的中位线，∠DE∥BC ，∠32ADE A DE B '===∠∠∠，∠180=116BDA ADE A DE ''=--∠∠∠ ．故选B ．【点睛】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．9．C【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2210m m --=，即221m m =+，代入2m m n -+得到2211m m n m m n m n -+=+-+=++，再根据根与系数的关系得到2m n +=，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：m 是方程2210x x --=的根，2210m m ∴--=，221m m ∴=+，2211m m n m m n m n ∴-+=+-+=++， m ，n 是方程2210x x --=两根，2m n ∴+=，21213m m n m n ∴-+=++=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程解的定义． 10．C【解析】【分析】首先证明FEG FDE 得出2.EF FD FG =⋅，设AE DE x ==，则2AB AD x ==，可得2213)82EF x =--=-+，过点E 作EH ∠DF 于点H ，根据勾股定理得222FH EH EF +=，可得方程2223))821x x -+=-+，整理求解后即可得到结论．【详解】解：∠四边形ABCD 是正方形，∠90ADC ∠=︒ ，AB =AD∠BD 是对角线，∠45ADB ∠=︒∠45FEG ∠=︒∠FEG ADB ∠=∠又EFG DFE ∠=∠∠FEG FDE ∠FE FG FD FE= ∠2.EF FD FG =⋅∠E 是AD 的中点，∠AE =DE设AE DE x ==，则2AB AD x ==由勾股定理得，BD ==∠FG BD BF DG =-- ∠347FG =--=-∠743FD FG GD =+=-+=-∠2213)82EF x =--=-+过点E 作EH ∠DF 于点H ，如图，∠45ADB ∠=︒∠DEH ∆为等腰直角三角形∠FH DH === ∠FH DF DH =-∠33FH x =-=- 在Rt EFH ∆中，222FH EH EF +=∠2223))821x x -+=-+整理得，23120x -+=解得，1x =2x =∠70.FG =->∠x >∠x ∠x =∠71275FG ==-=故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及解一元二次方程等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造相似三角形，是解决本题的关键． 11．115【解析】【分析】 由35a b =，设()30,a k k =≠ 则5,b k = 再代入求值即可. 【详解】 解： 35a b =， 设()30,a k k =≠ 则5,b k =∴2651111,555a b k k kb k k++===故答案为：115．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数，再代入求比值”是解题的关键. 12．x2≥【解析】【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，x20x2-≥⇒≥.故答案为x2≥13．30【解析】【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．【详解】解：∠tanα=∠坡角=30°．【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．14．34##0.75【解析】【详解】如图，在∠ABD中，AD=3，BD=4，则tanB=34．故答案为34．15．43##113【解析】【分析】 先由三角形的重心的性质可得：11,,32DGDG AD AG 再求解163,2ABD ACD S S 再利用相似三角形的性质求解21,9DEG DAC S DG S DA 从而可得113,93DEG S 再利用两个三角形等高求解131,3BDG S 从而可得答案. 【详解】 解： 点G 为ABC 重心， 11,,32DGDG ADAG ABC 中，AD 是BC 边上的中线， ABC 的面积为6，163,2ABD ACD S S ,GE AC ∥,DGE DAC ∽ 21,9DEG DAC S DG S DA 113,93DEG S 1,3,2ABD DG S AG131,3BDG S141.33BGE BDG DGE SS S 故答案为：43【点睛】本题考查的是三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”是解题的关键.16． 1 3【解析】【分析】根据二次函数的性质可知m =1，将d 用含c 的式子表示出来即可．【详解】解由二次函数的性质可得2y ax =的对称轴为y 轴，故由表可得(1)=02m +-， ∠m =1；∠二次函数2y bx =的对称轴为y 轴，∠d=c +3，∠d c -=3，故答案为：1，3．【点睛】此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．1【解析】【分析】原式根据特殊角三角函数值、绝对值的代数意义以及二次根式的除法法则代简各式后，再合并即可得到答案．【详解】解：2cos301-︒+=21-=12+=1【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角函数值是解答本题的关键．18．1221,3x x ==【解析】【分析】 先移项，再把方程的左边分解因式化为：()()1320,x x --=再解方程即可.【详解】解：()3122x x x -=-()()31210,x x x ∴---=()()1320,x x ∴--=10x ∴-=或320,x -= 解得：1221,3x x ==【点睛】 本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握把一元二次方程化为：0ab =的形式是解题的关键.19．见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质由AB =AD 推出根B ADB ∠=∠，由题意可知AED ADC ∠=∠，进而根据相似三角形的判定定理进行证明即可．【详解】∵AB ＝AD∴∠B ＝∠ADB∵∠DEC ＝∠B∴∠ADB ＝∠DEC∴∠AED ＝∠ADC又∵∠DAE ＝∠CAD∴AED ADC △△∽【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是结合图形找到使AED ADC △△∽的条件：∠AED＝∠ADC，∠DAE＝∠CAD．20．(1)1 3(2)1 3【解析】【分析】（1）根据概率公式直接计算可得；（2）列树状图解答．(1)解：肖红的爸爸被分到B组的概率是13，故答案为：13；(2)解：列树状图如下，共有9种等可能的情况，其中林老师和肖红爸爸被分到同一组的有3种情况，∠P（林老师和肖红爸爸被分到同一组）=31=93．【点睛】此题考查了求事件的概率，掌握概率的计算公式、会列树状图或列表求事件的概率是解题的关键．21．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）分别以点A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，交于一点D，然后连接即可；（2）由题意易得1BC ，然后根据矩形的性质及勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图所示，四边形ABCD 就是所求作的矩形；（2）在Rt ABC △中，13,tan 3AB BAC =∠=， 1BC ∴=，AC ∴=四边形ABCD 是矩形，BD AC ∴==【点睛】本题主要考查矩形的性质及三角函数，熟练掌握矩形的性质及三角函数是解题的关键．22．（1）()21454y x =--+；（2）4+【解析】【分析】（1）得出抛物线的顶点是M （4，5），利用顶点式，将A 点坐标代入，求出解析式即可； （2）令y =0，求出图象与x 轴交点坐标即可得出答案．【详解】解：（1）由题意可知：A （0，1），M （4，5），则顶点坐标为M ，设解析式为()245y a x =-+，将A （0，1）代入，得()21045a =-+， 解得：14a =-， ∠解析式为()21454y x =--+；（2）令y =0，则()214504x --+=，解得：x =4-x =4+所以，第一次落地点C 距守门员约4+【点睛】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，正确建立坐标系得出解析式是解题关键．23．(1)降价20元(2)3或4或5【解析】【分析】（1）设每顶头盔应降价x 元，根据题意列出方程求解即可；（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意列出函数求解即可；(1)解：设每顶头盔应降价x 元． 根据题意，得(10040)(6840)40002x x +⨯--=． 解得123,20x x ==．当3x =时，68365-=；当20x 时，682048-=；每顶售价不高于58元，∠每顶头盔应降价20元．(2)设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意，得1[10040(68)](40)2w a a m =+⨯⨯--- 220(202260)1460(40)a m a m =-++-+ 抛物线对称轴为直线1132m a +=，开口向下， 当58a 时，利润仍随售价的增大而增大，113582m +∴≥，解得3m ≥． 15m ，∴35m ≤≤ m 为整数，3m ∴=或4或5．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，结合一元二次方程的求解是解题的关键．24．(1)2个；(2)ABC S =(3)P （1，94-）. 【解析】【分析】（1）理由根的判别式，判定根的情况．△=4（m+2）2-4(2m+1)=4(m+1)2+8＞0，有两个不相等的实根，即该二次函数图象与x 轴的交点有2个． （2）S △ABC =12BC·AP ，设B （a ，b ）通过求解得BP=a-m-2，AP=（a-m-2）2， 进一步求得PB=AP=3，所以S △ABC =12BC·AP=12⨯m 没有关系． (3) 设P （1，y ），A （m+2，-m 2-2m-3），AD 、AP 可表示为：AD=m 2+2m+3，AP=AD-AP=74中，整理化简得 ()2222923234y m m m m ⎛⎫+++=++- ⎪⎝⎭,解得y=94-，所以即可求出P （1，94-）． 【详解】(1)∠△=4（m+2）2-4(2m+1)=4(m+1)2+8＞0∠该二次函数图象与x 轴的交点有2个.(2)根据抛物线和正三角形的对称性，可知BC∠y 轴，设抛物线的对称轴与BC 交于点P ，，设B （a ，b ），∠BP=a-m-2．又AP=y P -y A =b-（-m 2-2m-3）=a 2-2（m+2）a+2m+1-（-m 2-2m-3）=（a-m-2）2，∠（a-m-2）2=a-m-2），AP=3，∠S △ABC =12BC·AP=12⨯. (3)设P （1，y ），因为A （m+2，-m 2-2m-3），所以AD=m 2+2m+3，所以根据AD-AP=74可得：（m 2+2m+3）74，整理可得()22229y m 2m 3m 2m 34⎛⎫+++=++- ⎪⎝⎭, 解得y=94-， 所以P （1，94-）. 【点睛】本题利用考查了二次函数与图形的结合，利用数形解决问题，更加直观明了．将二次函数、勾股定理、解直角三角形结合，该题具有综合性．25．（1）见详解；（2（3【解析】【分析】（1）先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA ，然后根据OA=OD ，OC 平分∠BOD 得出∠DAO=∠ODA ，∠COD=∠COB ，可得∠COD=∠ODA ，即可证明；（2）先证明∠BOG∠∠DOG ，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明∠AFO∠∠AED ，得出∠AOD=∠ADB=90°，AD AE AO AF=，根据勾股定理得出（3）先设AD=2x ，OG=x ，则CG=2-x ，=CD ，然后得出四边形ABCD 的周长，即x=2-t 2，可得四边形ABCD 的周长=-2（t-1）2+10，得出x=2-t 2=1，即AD=2，然后证明∠ADF∠∠COF ，得出DF=OF=12OD=1，根据∠ADO 是等边三角形，得出∠DAE=30°，可得3tan 303DE DA == 【详解】（1）由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA ，∠OA=OD ，∠∠DAO=∠ODA ，∠OC 平分∠BOD ，∠∠COD=∠COB ，∠∠COD=∠ODA ，∠OC∠AD ；（2）∠OC 平分BOD ∠，∠∠COD=∠COB ，在∠BOG 与∠DOG 中OB OD BOG DOG OG OG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠BOG∠∠DOG ，∠∠BGO=∠DGO=90°，∠AD∠OC ，∠∠ADB=∠OGB=90°，∠DAC=∠OCA ，∠OA=OC ，∠∠OAC=∠OCA ，∠∠DAC=∠OAC ，∠DE=DF ，∠∠DFE=∠DEF ，∠∠DFE=∠AFO ，∠∠AFO=∠DEF ，∠∠AFO∠∠AED ，∠∠AOD=∠ADB=90°，AD AE AO AF=， ∠OA=OD=2，∠根据勾股定理可得∠AD AE AO AF =（3）∠OA=OB ，OC∠AD ，∠根据三角形中位线可设AD=2x ，OG=x ，则CG=2-x ，，∠四边形ABCD 的周长=AB+AD+DC+BC，即x=2-t 2，∠四边形ABCD 的周长=4+2（2-t 2）+4t=-2t 2+4t+8=-2（t-1）2+10，当t=1时，四边形ABCD 的周长取得最大值，最大值为10，此时x=2-t 2=1，∠AD=2，∠OC∠AD ，∠∠ADF=∠COF ，∠DAF=∠OCF ，∠AD=OC=2，∠∠ADF∠∠COF ∠DF=OF=12OD=1，∠AD=OC=OA=OD ，∠∠ADO 是等边三角形，由（2）可知∠DAF=∠OAF ，∠ADE=90°，∠在Rt∠ADE 中，∠DAE=30°， ∠3tan 303DE DA ==∠DE DF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识点是解题关键．。
福建省泉州市九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共分）1. 以下各数中，能使x-5 存心义的是（）A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下二次根式中，与 2 是同类二次根式的是（）A. 8B. 10C. 12D. 273. 若 ab=53，则 a-ba 的值为（）A. 23B. 25C. 35D.- 234. 用配方法解方程x2-6x+1=0 ，以下配方正确的选项是（）A. (x+3)2=8B. (x-3)2=8C. (x+3)2=9D. (x-3)2=95. 以下事件为不行能事件的是（）A.掷一枚质地平均的正方体骰子，掷得的点数不是奇数就是偶数B.从一副扑克牌中随意抽出一张，花色是黑桃C.抛一枚一般的硬币，正面向上D.从装满红球的袋子中摸出一个白球6.若三角形的各边长分别是 8cm、 10cm 和 16cm，则以各边中点为极点的三角形的周长为（）A. 34cmB. 30cmC. 29cmD. 17cm7. 从一个由 4 个男生、 3 个女生构成的学习小组中，随机选出 1 人担当小组长，则选出“男生”为小组长的概率是（）A. 14B. 12C. 37D. 478. 某斜坡的坡度i=1： 33 ，则该斜坡的坡角为（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°9.如图，在△ABC 中，点 G 为△ABC 的重心，过点 G 作 DE∥BC，分别交 AB 、AC 于点 D、 E，则△ADE 与四边形 DBCE 的面积比为（）A. 23B. 34C. 45210. 若对于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0（ ac≠0）有一根为次方程 cy2+by+a=0（ac≠0）必有一根为（）A. 12019B. - 12019C. 2019二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）D.49x=2019，则对于 y 的一元二D. - 2019211.计算：（32）=______．12.方程x2-3x=0的解是______．13. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90 °， BC=3， AC=4 ，则 sin A=______．EF=______．15.我国古代数学著作《九章算术》中有题以下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其粗心译为：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12 ，四边形 CDEF 是 Rt△ABC 的内接正方形，点 D、 E、 F 分别在边BC、 AB、AC 上，则正方形 CDEF 边长为 ______．16. 若在△ABC 内有一点 D，使得∠ADB=∠ADC， AD =a，CD =b，则当 BD=______时，△ABD 与△ACD 相像．三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分）17. 已知 x1、 x2是对于 x 的一元二次方程 x2+3x+k-3=0 的两个实数根．（ 1）求 k 的取值范围；（ 2）若 x1 2+2x1+x2+k=3，试求 k 的值．四、解答题（本大题共8 小题，共76.0 分）× -248 +2cos30 °18. 计算： 6 2 ．19.小玲为毕业联欢会设计了一个“配橙色”的游戏，使用的是以下图两个能够自由转动的转盘，每个转盘被分红面积相等的若干个扇形，不一样扇形分别填涂颜色，分界限可忽视，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，如有一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向黄色，则“配橙色”游戏成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法或画树状图说明）20.如图，在8×8的网格图中，△ABC三个极点坐标分别为A（0， 2）、 B（ -1， 0）、 C（ 2， -1）．（1）以 O 为位似中心，将△ABC 放大为△A′B′C′，使得△A′B′C′与△ABC 的位似比为 2： 1，请在网格图中画出△A′B′C′；（ 2）直接写出（ 1）中点 A′、B′、 C′的坐标．21.如图，一架遥控无人机在点A 处测得某高楼极点 B 的仰角为 60°，同时测得其底部点 C 的俯角为 30°，点 A 与点 B 的距离为 60 米，求这栋楼高 BC 的长．22.某钢铁厂第一个月生产钢铁100 万吨，从第二个月起改良技术增大产量，第三个月生产钢铁132 万吨，若钢铁产量第三个月增加率是第二个月增加率的 2 倍，求第二个月钢铁产量的增加率．23.求证：相像三角形对应高的比等于相像比．（请依据题意画出图形，写出已知，求证并证明）24. 如图，已知直线 y=34x+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 B 、A ，点 P 是 y 轴上一动点， PQ ⊥AB 于点 Q ，点 A 的坐标为（ 0， 3）．（Ⅰ）求直线 AB 的分析式；（Ⅱ）若 AQAB=45 ，求点 P 的坐标； （Ⅲ）当 P 在 y 轴负半轴时，连结BP 、 OQ ，分别取BP 、OQ 的中点 E 、F ，连结 EF 交 PQ 于点 G ，当 OQ ∥BP 2时，求证：PB=2PG?PQ ．25. 如图，在正方形 ABCD 中， AB=4，点 P 、 Q 分别是 AD 、AC 边上的动点．（ 1）填空： AC=______ ；（ 2）若 AP=3 PD ，且点 A 对于 PQ 的对称点 A ′落在 CD 边上，求 tan ∠A ′QC 的值；（ 3）设 AP =a ，直线 PQ 交直线 BC 于点 T ，求△APQ 与 △CTQ 面积之和 S 的最小值．（用含 a 的代数式表示）答案和分析1.【答案】D【分析】解：若存心义则， x-5≥0，因此 x≥5，应选：D．依据二次根式存心义的条件列出不等式，解不等式即可．本题考察的是二次根式存心义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的重点．【答案】 A2.【分析】解：A 、与被开方数同样，是同类二次根式；B、与被开方数不一样，不是同类二次根式；C、与被开方数不一样，不是同类二次根式；D、与被开方数不一样，不是同类二次根式．应选：A ．依据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为 2 者即可．要判断几个根式是否是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，而后判断．3.【答案】B【分析】解：由设， a=5x，b=3x，把 a=5x，b=3x 代入，应选：B．依据比率的性质进行解答．本题考察比率的性质，重点是依据比率的性质解答．4.【答案】B【分析】解：x 2-6x=-1，x 2-6x+9=8，2（x-3）=8．应选：B ．把常数项移到方程右 侧，再把方程两边加上 9，而后把方程左边写成完整平方的形式即可．题查2本 考认识一元二次方程 -配方法：将一元二次方程配成（x+m ）=n 的形式，再利用直接开平方法求解， 这类解一元二次方程的方法叫配方法．5.【答案】 D【分析】解：A 、掷一枚质地平均的正方体骰子， 掷得的点数不是奇数就是偶数，是必然事件，错误；B 、从一副扑克牌中随意抽出一 张，花色是黑桃，是随机事件，错误；C 、抛一枚一般的硬币，正面向上，是随机事件，错误；D 、从装满红球的袋子中摸出一个白球是不行能事件，正确；应选：D ．依据必定事件，不行能事件，随机事件的定 义对各小题剖析判断即可得解．本题考察了随机事件，解决本 题需要正确理解必定事件、不行能事件、随机事件的观点．必定事件指在必定条件下必定 发生的事件．不行能事件是指在必定条件下，必定不 发生的事件．不确立事件即随机事件是指在必定条件下，可能发生也可能不 发生的事件．6.【答案】 D【分析】解：∵D 、E 分别为 AB 、BC 的中点，∴DE= AC=5 ，同理，DF= BC=8，FE= AB=4 ，∴△DEF 的周长 =4+5+8=17（cm），应选：D．依据三角形中位线定理分别求出 DE、EF、DF，依据三角形的周长公式计算即可．本题考察的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半．7.【答案】D【分析】解：∵一个学习小组有 4 个男生、3 个女生，共 7 人，∴选出“男生”为小组长的概率是，应选：D．由一个学习小组有 4 个男生、3 个女生，现要从这 7 名学生中选出一人担当组长，直接利用概率公式求解即可求得答案．本题考察了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所讨状况数与总状况数之比．8.【答案】B【分析】解：∵tan α=1：=，∴坡角 =60 °．应选：B．坡度 =坡角的正切值，据此直接解答．本题主要考察学生对坡度及坡角的理解及掌握，关键是坡度 =坡角的正切值解答．．9.【答案】C【分析】解：连结 AG 并延伸交 BC 于 H，∵G 为 △ABC 的重心，∴AG=2GH ， ∵DE ∥BC ，∴== ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，相像比为，∴△ADE 与△ABC 的面积之比为 ，∴△ADE 与四边形 DBCE 的面积比为 ，应选：C ．连结 AG 并延伸交 BC 于 H ，依据重心的观点获得 AG=2GH ，依据平行线的性质、相像三角形的性质计算即可．本题考察的是三角形的重心的观点、相像三角形的判断和性质，三角形的重心是三角形三条中 线的交点，且重心到极点的距离是它到 对边中点的距离的2 倍．10.【答案】 A【分析】解：把x=2019 代入方程 ax 2+bx+c=0 得 20192a+2019b+c=0，因此 c+ b+a=0，因此为 方程 cy 2+by+a=0（ac ≠0）一根． 应选：A ．利用一元二次方程根的定 义获得 20192a+2019b+c=0，两边除以 20192获得c+b+a=0，进而可判断为方程 cy 2+by+a=0（ac ≠0）一根．本题考察了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两 边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11.【答案】 34【分析】2解：（ ）= ．故答案为： ．直接利用二次根式的乘法运算法 则求出即可．本题主要考察了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法 则是解题重点．12.【答案】 x 1=0 ， x 2=3【分析】解：原式为 x 2-3x=0，x （x-3）=0，x=0 或 x-3=0，x 1=0，x 2=3．∴方程 x 2-3x=0 的解是 x 1=0，x 2=3．x 2-3x 有公因式 x 能够提取，故用因式分解法解 较简易．本题考察简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程 时应该注意要依据实质状况选择最适合快捷的解法． 13.【答案】 35【分析】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4， ∴AB= ==5，∴sinA== ．故答案为 ．先依据勾股定理 计算出 AB= ==5，而后依据正弦的定 义获得 sinA== ．本题考察了正弦的定 义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于 这个角的对边与斜边的比值．也考察了勾股定理．14.【答案】 103【分析】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴=，∵AB=3 ，BC=5，DE=2，∴EF= ．故答案为．已知直线 l 1∥l 2∥l 3，依据平行线分线段成比率定理，可获得一个含有EF 与已知线段的比率式，进而可求得 EF 的长．本题考察的是平行线分线段成比率定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率是解题的重点．15.【答案】6017【分析】解：∵四边形 EFCD 是正方形，∴EF∥CD，EF=FC=CD=DE，设 EF=x．∴△AFE ∽△ACB ，∴=，∴ = ，解得 x= ，∴EF= ，故答案为．设 EF=x．由△AFE ∽△ACB ，可得= ，由此建立方程即可解决问题．本题考查相像三角形的应用，正方形的性质等知识题键是学会利用，解的关参数，建立方程解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】b或a2b【分析】解：如图，∵∠ADB= ∠ADC ，∴当∠BAD= ∠DAC 时，∵AD=AD ，∴△ADB ≌△ADC （ASA ），∴BD=CD=b ，当∠BAD= ∠ACD 时，∴△ADB ∽△CDA ，∴=，∴BD=，故答案为 b 或 b=．分两种情况分别求解即可．本题考察相像三角形的判断和性 质，解题的重点是学会用分 类议论的思想思考问题，属于中考常考题型．17.【答案】 解：（ 1） ∵对于 x 的一元二次方程 x 2+3x+k-3=0 有两个实数根，∴△=32-4（ k-3 ≥0k ≤ ，） ，解得 214 x 2∴当 k ≤ 时，对于 x的一元二次方程 +3x+k-3=0 有两个实数根； 214 （ 2） ∵x 1 是对于 x 的一元二次方程 x 2+3x+k-3=0 的根，22=-3x 1-k+3 ．∴x 1 +3 x 1+k-3=0 ，即 x 12∵x 1 +2 x 1+x 2+k=3，∴x 1=x 2；2∴△=3 -4（ k-3） =0，【分析】（1）由于方程有两个 实数根，获得△≥0，由此可求 k 的取值范围；（2）由一元二次方程的解的定 义得出，x 12=-3x 1-k+3，将它代入x 12+2x 1+x 2+k=3，得出 x 1=x 2；那么△=32-4（k-3）=0，即可求出 k 的值．本题考察了根的判 别式，一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有以下关系：① 当△＞ 0 时，方程有两个不相等的 实数根；② 当△=0 时，方程有两个相等的 实数根；③ 当△＜ 0 时，方程无实数根．上边的结论反过来也建立．也考察了一元二次方程的解的定 义．18.【答案】 解：原式 =6×2-248 +2×32=2 3-3+3 =2 3． 【分析】依据二次根式的乘除法则和特别角的三角函数值进行计 算．本题考察了二次根式的混淆运算：先把各二次根式化 简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再归并即可．在二次根式的混淆运算中，如能联合题目特色，灵巧运用二次根式的性质，选择适合的解题门路，常常能事半功倍．19.【答案】解：用表格来说明红色黄色红1 （红1，红）（红1，黄）红 2 （红 2，红）（红 2，黄）黄色（黄，红）（黄，黄）由表知共有 6 种等可能结果，此中能“配橙色”的有3种结果，因此游戏者获胜的概率为36 =12．【分析】依照题意先用列表法或画树状图法剖析全部等可能的出现结果，而后依据概率公式求出该事件的概率．本题考察的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法能够不重复不遗漏地列出全部可能的结果，适合于两步达成的事件．用到的知识点为：概率 =所讨状况数与总状况数之比．20.【答案】解：（1）以下图，△A′B′C′即为所求．（2）点 A′的坐标为（ 0， 4）、 B′的坐标为（ -2，0）、 C′的坐标为（ 4， -2）．【分析】（1）依据位似变换的定义和性质作出点 A ，B，C 的对应点，再首尾按序连结即可得；（2）由（1）可得点A′、B′、C′的坐标．本题主要考察了作图-位似变换，依据位似变换的定义和性质得出对应点位置是解题重点．21.【答案】解：由已知条件得：∠ABC=30°，∠BAC=60 °+30 °=90 °，在 Rt△ABC 中， cos∠ABC=ABBC，∴BC=ABcos ∠ ABC=ABcos30 ° =6032=403（米），答：这栋楼高 BC 的长为 403 米．【分析】依据解直角三角形的知识进行解答即可．本题考察仰角俯角的定义，要修业生能借助仰角俯角结构直角三角形并解直角三角形，难度一般．22.x，则第三个月的增加率为2x，【答案】解：设第二个月钢铁产量的增加率为依据题意得： 100（1+x）（ 1+2x） =132，整理得：50x2+75x-8=0 ，解得： x1 =0.1=10% ， x2（舍去）．答：第二个月钢铁产量的增加率为10%．【分析】设第二个月钢铁产量的增加率为 x，则第三个月的增长率为 2x，依据该钢铁厂一月份及三月份的产量，即可得出对于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考察了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．23.【答案】已知：△ABC∽△A′B′C′，相像比为k，AD是△ABC的高，A′D′是△A″B″C″的高，求证： ADA′D′=k，证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′，∵AD 是△ABC 的高， A′D′是△A″B″C″的高，∴∠ADB=∠A′D ′B′=90 °，∴△ABD∽△A′B′D′，∴ADA′=DABA′′B=k′．【分析】先依据题意画出图形，写出已知，求证，再证明即可．本题考察了相像三角形的性质和判断，能娴熟地运用定理进行推理是解此题的重点．24.【答案】解：（Ⅰ）∵直线y=34 x+b经过点A（0，3），∴b=3，∴直线 AB 的分析式为：y=34 x+3；（Ⅱ）在y=34 x+3 中，令 y=0，可得： x=-4 ，∴B（ -4， 0），由（Ⅰ）得：A（0， 3）， OA=3，在 Rt△OAB 中，由勾股定理得：AB=42+32=5，∵AQAB=45 ，∴AQ=45AB=45 × 5=4 ，①当点 Q 在 y 轴的左边时，如图1，∵PQ ⊥AB， OB⊥OA，∴∠PQA=∠AOB=90 °，∵∠BAO=∠PAQ，∴△PAQ∽△BAO，∴AQAO=APAB ，∴43=AP5 ，解得： AP=203 ，∴OP=203-3=113，∴点 P 的坐标为（ 0， -113 ），②当点 Q 在 y 轴的右边时，同①可得： AP=203 ，∴OP=203+3=293，∴点 P 的坐标为（ 0， 293 ），综上所述，点P 的坐标为（ 0， - 113 ）或（ 0， 293 ）；（Ⅲ）如图2，连结 QE， OE，在 Rt△BPQ 中， EQ 是 Rt△BPQ 斜边 BP 边上的中线，∴EQ=12 BP，同理， EO=12BP，∴EQ=EO，即△EQO 是等腰三角形，∵EF 是△EQO 的中线，∴EF ⊥OQ ，∴∠QFE=90 °，∵OQ ∥BP，∴∠GEP=∠QFE =90 °，∵∠BPQ=∠GPE，∴△BPQ∽△GPE，∴PGPB=PEPQ，∴PE?PB=PG?PQ，∵PE=12PB，∴12 PB?PB=PG?PQ，2【分析】（Ⅰ）依据待定系数法得出分析式即可；（Ⅱ）分两种状况，利用相像三角形的判断和性质解答即可；（Ⅲ）连结 QE，OE，利用相像三角形的判断和性质解答即可．本题考察了一次函数的综合题，重点是依据相像三角形的性质和判断，用待定系数法求一次函数的分析式等知识点进行解答，主要考察学生综合运用性质进行计算的能力，题目综合性比较强，有必定的难度．25.【答案】42【分析】解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形，且 AB=4 ，∴AB=BC=4 ，∠BAC= ∠ACB=45°，∴AC===4，故答案为：4；（2）如图 1，∵点 A 与点 A′对于 PQ 对称，∴△APQ 与△A′ PQ对于 PQ 对称，∴∠DAC= ∠QA′ P=∠QCD=45°，AP=PA′，∵∠QA′ D=∠QA′ P+∠PA′D，∠QA′ D=∠QCD+∠A′ QC，∴∠PA′ D=∠A′ QC，∵AB=4 ，AP=3PD，∴PD=1，AP=PA′ =3，在 Rt△PDA′中，由勾股定理得 A′D=2，则 tan∠A′QC=tan∠PA′D==；（3）如图 2，过点 Q 作直线 MN ⊥AD 于点 M ，交 BC 于点 N，则 MN ⊥BC ，∵AP∥CT，∴△APQ∽△CTQ，∴=，设 QM=h ，则 QN=4-h，∴= ，解得 CT= ，∴S= ah+ ? ?（4-h）= ah+ ，ah2-（4a+S）h+8a=0，整理得：∵此对于 h 的方程有实数根，2 2 2≥ 32a，∴△=（4a+S）-4?a?8a≥0，即（4a+S）又 4a+S＞0，∴4a+S ≥4 a，∴S≥（4 -4）a，当 S=（4 -4）a时，由方程可得h=2 ，知足题意；故当 h=2 时，△APQ 和△CTQ 面积之和 S 的最小值为（4 -4）a．质对角线的长；（1）由正方形的性可得（2）由点A 与点 A ′对于 PQ 对称知 △APQ 与 △A ′PQ 对于 PQ 对称，再证∠PA ′ D=∠A ′ QC ，由AB=4 ，AP=3PD 得 PD=1，AP=PA ′ =3，A ′ D=2 ，利用正切函数的定 义即可得答案；过 线 则 证 （3） 点 Q 作直MN ⊥AD 于点 M ，交BC 于点 N ， MN ⊥BC ， △APQ ∽△CTQ 得 设 则 QN=4-h ，CT= 继=， QM=h ， ，而知S= ah+ ??（4-h ），整理得ah 2-（4a+S ）h+8a=0，依据方程有实数根得22 结知 S ≥（4 -4）a ，最后依据 S=（4 -4）a 时可得 （4a+S ）≥ 32a ， 合 4a+S ＞0 h=2 ．本题是四边形的综合问题，解题的重点是掌握正方形性 质和轴对称的性质及相像三角形的判断与性 质、一元二次方程根的判 别式等知识点．。
【初三数学】泉州市九年级数学上期末考试检测试题(解析版)
最新九年级上学期期末考试数学试题(含答案)一、选择题1．下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )A．4 B．5 C．6 D．8第2题图第3题图第5题3．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A.55 B.255 C.12 D．24．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x ﹣2）2﹣15．反比例函数y＝kx(k＞0)的图象经过点A(1，a)、B(3，b)，则a与b的关系正确的是( )A．a＝b B．a＝－b C．a＜b D．a＞b6．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0）20米的A 处，则小明的影长为（ ）米．A ．4B ．5C ．6D ．77．已知扇形的弧长为3πcm ，半径为6cm ，则此扇形的圆心角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．若抛物线y=x 2﹣3x+c 与y 轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下 B ．抛物线与x 轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C ．当x=1时，y 有最大值为0D ．抛物线的对称轴是直线x= 9．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于 点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=6，则△PCD 的周长为（ ）A ．8B ．6C ．12D ．1010．如图，矩形ABCD 中，AB=2AD=4cm ，动点P 从点A 出发，以lcm/s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm/s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题11．平面直角坐标系中，点P （1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．12．在△ABC 中，∠B ＝45°，cosA ＝12，则∠C 的度数是________．13．如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠COB=150°，则∠A= °． 14．如图，A 、B 两点在双曲线y=上，分别经过A 、B 两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S 1+S 2= ．第13题 第14题 第15题 第16题15．如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转60︒至△COD ，若OA=3，则点A 旋转到点C 的路径长为 ．16．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a ，a ）．如图，若曲线与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是 ． 三、解答题17．（1）解方程：x 2+x-2=0 （2）计算：（sin30°）﹣1﹣（sin45°﹣π）0+tan60°cos30°18．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，求线段AC 的长.19．如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援对利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）．20．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C、D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠OAB=，OB=6，CE⊥x轴于点E且OE=3．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数的值大于一次函数的值时，自变量x的取值范围．21.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果．求的值．22.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-35x2＋3x+1的一部分，如图.（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.图5 C BA第22题图九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，1-8题，每小题3分，9-12题，每小题3分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请把答案填在下表相应的位置上）1．（3分）方程x2=2x的解是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=2，x2=0 D．x1=，x2=0【解答】解：移项得，x2﹣2x=0，提公因式得x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，x 1=0，x2=2，故选：C．2．（3分）下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．3．（3分）在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有（）A．12个B．14个C．18个D．28个【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得： =0.30，解得：x=12，即布袋中黄球可能有12个，故选：A．4．（3分）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．πB．2π C．3π D．4π【解答】解：依题意知母线长为：2，底面半径r=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．故选：B．5．（3分）若抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x=1时，y有最大值为0D．抛物线的对称轴是直线x=【解答】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，A选项错误；B、∵抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），∴c=2，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x+2．当y=0时，有x2﹣3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（2，0），B选项错误；C、∵抛物线开口向上，∴y无最大值，C选项错误；D、∵抛物线的解析式为y=x2﹣3x+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣=，D选项正确．故选：D．6．（3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A．10m B． m C．15m D． m【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，即tan∠BAC===，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10m，故选：A．7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．10【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=6+6=12，即△PCD的周长为12，故选：C．8．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0）20米的A处，则小明的影长为（）米．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由题意可得：OC∥AB，则△MBA∽△MCO，故=，即=，解得：AM=5．故选：B．9．（4分）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，∴α2+3α=6，由根系数的关系可知：α+β=﹣3，∴α2﹣3β=α2+3α﹣3α﹣3β=α2+3α﹣3（α+β）=6﹣3×（﹣3）=15故选：B．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，BC为⊙A的直径，点C在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，若△OAB的面积为，则k的值为（）A．5 B．C．10 D．15【解答】解：如图连接OC，∵BC是直径，‘∴AC=AB，∴S△ABO =S△ACO=，∴S△BCO=5，∵⊙A与x轴相切于点B，∴CB⊥x轴，∴S△CBO=，∴k=10，故选：C．11．（4分）如图，正方形ABCD的边AB=2，和都是以2为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．π﹣2 B．2π﹣4 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=2S扇形﹣S正方形=2×﹣22=2π﹣4，故选：B．12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a+4c=10b；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m （am﹣b）；其中所有错误的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），当x=﹣时，y=0，即a（﹣）2+b×（﹣）+c=0，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；∵b=2a，a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，即3b+2c＜0，故④错误；∵x=﹣1时，函数值最大，∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠﹣1），∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；故选：B．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4分）已知：是反比例函数，则m= ﹣2 ．【解答】解：因为是反比例函数，所以x的指数m2﹣5=﹣1，即m2=4，解得：m=2或﹣2；又m﹣2≠0，所以m≠2，即m=﹣2．故答案为：﹣2．14．（4分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AN垂直于点D，且AB=16，OC=10，则CD的长是 4 ．【解答】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=10，∴OD=10﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=16，由勾股定理可知：102=82+（10﹣x）2∴x=4，∴CD=4，故答案为：415．（4分）（sin30°）﹣1﹣（sin45°﹣π）0+tan60°cos30°= ．【解答】解：原式=（）﹣1﹣1+×=2﹣1+=．故答案为：．16．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PH•CD；④=，其中正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）．【解答】解：∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，故①正确；∵∠DCF=90°﹣60°=30°，∴tan∠DCF==，∵△DFP∽△BPH，∴==，∵BP=CP=CD，∴==，故②正确；∵PC=DC，∠DCP=30°，∴∠CDP=75°，又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，∴△DPH∽△CPD，∴，即PD2=PH•CP，又∵CP=CD，∴PD2=PH•CD，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，∵S△BPD =S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4 =4+4﹣8=4﹣4，∴=，故④错误；故答案为：①②③．三、解答题（本题共6小题，共64分）17．（8分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.5亿元？【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解得 x1 =0.2=20%，x2=﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%；（2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＜3.5答：该企业2018年的利润不能超过3.5亿元．18．（10分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【解答】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=．（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数；其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率=小明和小红都没有抽到“三字经”的概率==19．（10分）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援对利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）．【解答】解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵AB=4米，∠CBD=45°，∠CAD=30°，∴AD=，BD=，∴AB=AD﹣BD=﹣，即4=﹣CD，解得，CD=2+2≈5.5米，答：生命所在点C的深度约是5.5米．20．（10分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C、D 两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠OAB=，OB=6，CE⊥x轴于点E且OE=3．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数的值大于一次函数的值时，自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵OB=6，OE=3，∴BE=6+3=9．∵CE⊥x轴于点E，tan∠OAB=tan∠ECB===，∴OA=4，CE=6．∴点A的坐标为（0，4）、点B的坐标为（6，0）、点C的坐标为（﹣3，6）．∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，∴，解得：．故直线AB的解析式为：y=﹣x+4．∵反比例函数y=的图象过C，∴6=，∴解得：k=﹣18．∴该反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，可得交点D的坐标为（9，﹣2），则△BOD的面积=×6×2=6，△BOC的面积=×6×6=18，∴△OCD的面积为6+18=24；（3）由图象得，反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围：x＞9或﹣3＜x＜0．21．（12分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC；（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，AF=5，求BD长．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线；（2）∵=，∴∠DBF=∠DAB，又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴，即DB2=DF•DA，∵DF=2，AF=5∴DA=DF+AF=7∴DB2=DF•DA=14∴DB=．22．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A 向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE 折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物细的解析式及顶点坐标；（2）N为抛物线上的点（点N不与点C重合）且满足S△NAB =S△ABC，直接写出N点的坐标；（3）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求处t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+2中，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+2，∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，∴顶点坐标为：（﹣，）；（2）∵抛最新九年级上学期期末考试数学试题(含答案)一、选择题1．下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )A．4 B．5 C．6 D．8第2题图第3题图第5题3．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A.55 B.255 C.12 D．24．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x ﹣2）2﹣15．反比例函数y＝kx(k＞0)的图象经过点A(1，a)、B(3，b)，则a与b的关系正确的是( )A．a＝b B．a＝－b C．a＜b D．a＞b6．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0）20米的A处，则小明的影长为（）米．A．4 B．5 C．6 D．77．已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．若抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下 B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x=1时，y有最大值为0 D．抛物线的对称轴是直线x=9．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．1010．如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x （s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A． B． C．D．二、填空题11．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．12．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝12，则∠C的度数是________．13．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，若∠COB=150°，则∠A= °．14．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S 1+S2= ．第13题第14题第15题第1615．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60︒至△COD，若OA=3，则点A旋转到点C的路径长为．16．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）．如图，若曲线与此正方形的边有交点，则a的取值范围是．三、解答题17．（1）解方程：x2+x-2=0 （2）计算：（sin30°）﹣1﹣（sin45°﹣π）0+tan60°cos30°18．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，求线段AC的长.19．如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援对利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）．20．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C、D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠OAB=，OB=6，CE⊥x轴于点E且OE=3．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数的值大于一次函数的值时，自变量x的取值范围．21.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果．求的值．22.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-35x2＋3x+1的一部分，如图.（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.图5 C BA第22题图九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，1-8题，每小题3分，9-12题，每小题3分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请把答案填在下表相应的位置上）1．（3分）方程x2=2x的解是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=2，x2=0 D．x1=，x2=0【解答】解：移项得，x2﹣2x=0，提公因式得x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，x 1=0，x2=2，故选：C．2．（3分）下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．3．（3分）在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有（）A．12个B．14个C．18个D．28个【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得： =0.30，解得：x=12，即布袋中黄球可能有12个，故选：A．4．（3分）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．πB．2π C．3π D．4π【解答】解：依题意知母线长为：2，底面半径r=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．故选：B．5．（3分）若抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x=1时，y有最大值为0D．抛物线的对称轴是直线x=【解答】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，A选项错误；B、∵抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），∴c=2，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x+2．当y=0时，有x2﹣3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（2，0），B选项错误；C、∵抛物线开口向上，∴y无最大值，C选项错误；D、∵抛物线的解析式为y=x2﹣3x+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣=，D选项正确．故选：D．6．（3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A．10m B． m C．15m D． m【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，即tan∠BAC===，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10m，故选：A．7．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．10【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=6+6=12，即△PCD的周长为12，故选：C．8．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0）20米的A处，则小明的影长为（）米．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由题意可得：OC∥AB，则△MBA∽△MCO，故=，即=，解得：AM=5．故选：B．9．（4分）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，∴α2+3α=6，由根系数的关系可知：α+β=﹣3，∴α2﹣3β=α2+3α﹣3α﹣3β=α2+3α﹣3（α+β）=6﹣3×（﹣3）=15故选：B．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，BC为⊙A的直径，点C在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，若△OAB的面积为，则k的值为（）A．5 B．C．10 D．15【解答】解：如图连接OC，∵BC是直径，‘∴AC=AB，∴S△ABO =S△ACO=，∴S△BCO=5，∵⊙A与x轴相切于点B，∴CB⊥x轴，∴S△CBO=，∴k=10，故选：C．11．（4分）如图，正方形ABCD的边AB=2，和都是以2为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．π﹣2 B．2π﹣4 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=2S扇形﹣S正方形=2×﹣22=2π﹣4，故选：B．12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a+4c=10b；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m （am﹣b）；其中所有错误的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），当x=﹣时，y=0，即a（﹣）2+b×（﹣）+c=0，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；∵b=2a，a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，即3b+2c＜0，故④错误；∵x=﹣1时，函数值最大，∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠﹣1），∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；故选：B．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4分）已知：是反比例函数，则m= ﹣2 ．【解答】解：因为是反比例函数，所以x的指数m2﹣5=﹣1，即m2=4，解得：m=2或﹣2；又m﹣2≠0，所以m≠2，即m=﹣2．故答案为：﹣2．14．（4分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AN垂直于点D，且AB=16，OC=10，则CD的长是 4 ．【解答】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=10，∴OD=10﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=16，由勾股定理可知：102=82+（10﹣x）2∴x=4，∴CD=4，故答案为：415．（4分）（sin30°）﹣1﹣（sin45°﹣π）0+tan60°cos30°= ．【解答】解：原式=（）﹣1﹣1+×=2﹣1+=．故答案为：．16．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PH•CD；④=，其中正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）．【解答】解：∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，故①正确；∵∠DCF=90°﹣60°=30°，∴tan∠DCF==，∵△DFP∽△BPH，∴==，∵BP=CP=CD，∴==，故②正确；∵PC=DC，∠DCP=30°，∴∠CDP=75°，又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，∴△DPH∽△CPD，∴，即PD2=PH•CP，又∵CP=CD，∴PD2=PH•CD，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，∵S△BPD =S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4 =4+4﹣8=4﹣4，∴=，故④错误；故答案为：①②③．三、解答题（本题共6小题，共64分）17．（8分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.5亿元？【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解得 x1 =0.2=20%，x2=﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%；（2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＜3.5答：该企业2018年的利润不能超过3.5亿元．18．（10分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【解答】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=．（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数；其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率=小明和小红都没有抽到“三字经”的概率==19．（10分）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援对利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）．【解答】解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵AB=4米，∠CBD=45°，∠CAD=30°，∴AD=，BD=，∴AB=AD﹣BD=﹣，即4=﹣CD，解得，CD=2+2≈5.5米，答：生命所在点C的深度约是5.5米．20．（10分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于C、D 两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠OAB=，OB=6，CE⊥x轴于点E且OE=3．（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数的值大于一次函数的值时，自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵OB=6，OE=3，∴BE=6+3=9．∵CE⊥x轴于点E，tan∠OAB=tan∠ECB===，∴OA=4，CE=6．∴点A的坐标为（0，4）、点B的坐标为（6，0）、点C的坐标为（﹣3，6）．∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，∴，解得：．故直线AB的解析式为：y=﹣x+4．∵反比例函数y=的图象过C，∴6=，∴解得：k=﹣18．∴该反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，可得交点D的坐标为（9，﹣2），则△BOD的面积=×6×2=6，△BOC的面积=×6×6=18，∴△OCD的面积为6+18=24；（3）由图象得，反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围：x＞9或﹣3＜x＜0．21．（12分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC；（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，AF=5，求BD长．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线；（2）∵=，∴∠DBF=∠DAB，又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴，即DB2=DF•DA，∵DF=2，AF=5∴DA=DF+AF=7∴DB2=DF•DA=14∴DB=．22．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A 向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE 折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物细的解析式及顶点坐标；（2）N为抛物线上的点（点N不与点C重合）且满足S△NAB =S△ABC，直接写出N点的坐标；（3）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求处t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+2中，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+2，∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，∴顶点坐标为：（﹣，）；（2）∵抛最新九年级上学期期末考试数学试题(含答案)一、选择题1．下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )A．4 B．5 C．6 D．8第2题图第3题图第5题3．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A.55 B.255 C.12 D．24．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x ﹣2）2﹣15．反比例函数y＝kx(k＞0)的图象经过点A(1，a)、B(3，b)，则a与b的关系正确的是( )A．a＝b B．a＝－b C．a＜b D．a＞b6．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0）20米的A处，则小明的影长为（）米．A．4 B．5 C．6 D．77．已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．若抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下 B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x=1时，y有最大值为0 D．抛物线的对称轴是直线x=9．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．1010．如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x （s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A． B． C．D．二、填空题11．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．12．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝12，则∠C的度数是________．13．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，若∠COB=150°，则∠A= °．14．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S 1+S2= ．第13题第14题第15题第16。
2020-2021学年福建省九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年福建省九年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知∠A为锐角，且sinA=√3，那么∠A等于()2A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°2.下列标志中不是轴对称但是中心对称的图形是()A. B. C. D.3.如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是()A.B.C.D.4.下列事件中，必然事件是()A. 掷一枚硬币，正面朝上B. a是实数，|a|≥0C. 打开电视，正在播放新闻联播D. 买了一张彩票，中了一等奖．5.已知x=−1是一元二次方程x2−m=0的一个解，则m的值是()A. 1B. −2C. 2D. −16.抛物线y=x2+2x+2的顶点坐标是()A. (−1,1)B. (1,−1)C. (−2,2)D. (2,−2)7. 某学生用已知线段a ，b(a >b ，且√2b ≠a)，根据下列步骤作△ABC ，则该学生所作的三角形是( ) 步骤：①作线段AB =a ；②作线段AB 的垂直平分线MN ，交AB 于点O ；③以点B 为圆心，线段b 的长为半径画弧，交⊙O 于点C ，连接BC ，AC ．A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形8. 甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为S 甲2=3，S 乙2=2.8，S 丙2=2.5，S 丁2=2，则成绩最稳定的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9. 若△ABC∽△DEF ，相似比为4：3，则对应面积的比为( )A. 4：3B. 3：4C. 16：9D. 9：1610. 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数ℎ=3.5t −4.9t 2(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( )A. 0.71sB. 0.70sC. 0.63sD. 0.36s二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 若函数y =kx 的图象在第二、四象限，则函数y =kx −1的图象经过第______ 象限． 12. 若是关于的一元二次方程的一根，则= ．13. 如图，半圆形纸片AB 是直径，AC 是弦，∠BAC =15°，将半圆形纸片沿AC 折叠，弧AC 交直径AB 于点D ，若AD =6，则DB 的长为______．14. 如图，在四边形BCDE 中，BC ⊥CD ，DE ⊥CD ，AB ⊥AE ，垂足分别为C ，D ，A ，BC ≠AC ，点M ，N ，F 分别为AB ，AE ，BE 的中点，连接MN ，MF ，NF.当BC =4，DE =5，∠FMN =45°时，则BE 的长为______ ．15.如图，用一个边长为6cm的等边三角形纸片制作一个最大的正六边形，则这个正六边形的边心距是______ cm．16.已知反比例函数的图象经过点P(4,−5)，则在每个象限中，其函数值y随x的增大而______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.某商场统计了今年1−5月A、B两种品牌冰箱的销售情况，并将获得的数据绘制成如图折线统计图：(1)根据图中数据填写表格．1月2月3月4月5月中位数平均数A1517161314B1014151615(2)通过计算该商场这段时间内A、B两种品牌冰箱月销售量的方差，比较这两种品牌冰箱月销售量的稳定性．四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）18. (1)计算：(−1)2020+√−83−|−√2|+(π−2019)0(2)解方程组：{2x +y =2x −3y =819. 已知关于x 的二次函数y =x 2−(2m −1)x +m 2+3m +4．(1)求m 取何值时，该二次函数的图象与x 轴有两个交点；(2)设二次函数的图象与x 轴的交点为A(x 1,0)，B(x 2,0)，且x 12+x 22=5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，①求该二次函数的表达式，②求直线CM 的函数解析式．20. 如图，AB 是圆O 的弦，过圆心O 作OD ⊥AB 于点D ，交圆O 于点C ，E ，连接AC ，BC ，OB ． (1)求证：∠BOE =∠ACB ；(2)若AB =4，cos∠ACB =13求圆O 的半径．21.国庆期间电影《我和我的祖国》上映，在全国范围内掀起了观影狂潮．小王一行5人相约观影，由于票源紧张，只好选择3人去A影院，余下2人去B影院，已知A 影院的票价比B影院的每张便宜5元，5张影票的总价格为310元．(1)求A影院《我和我的祖国》的电影票为多少钱一张；(2)次日，A影院《我和我的祖国》的票价与前一日保持不变，观影人数为4000人．B影院为吸引客源将《我和我的祖国》票价调整为比A影院的票价低a%但不低于50元，结果B影院当天的观影人数比A影院的观影人数多了2a%，经统计，当日A、B两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，求a的值．22.如图，正方形ABCD的边长是3，延长AB至点P、延长BC至点Q，使BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，相Q交CD于点F，DP交BC于点E，连接AE．(1)求证：AQ⊥DP；(2)求证：S△AOD=S四边形OECF；(3)当BP=1时，请直接写出OE：OA的值．23.如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF=30cm，CE：CD=1：3，∠DCF=45°，∠CDF=30°．请根据以上信息，解决下列问题；(1)求AC的长度(结果保留根号)；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留到1cm)．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．24.如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T(不与A、B重合)，DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．(Ⅰ)求证：DT⋅DM=DO⋅DC；(Ⅱ)若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．25.已知抛物线y1=ax2−2amx+am2+4，直线y2=kx−km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．(1)抛物线的顶点坐标是______，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点(说明理由)；(2)若a<0，m=2，t≤x≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；(3)抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ(不包括端点)上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．答案和解析1.【答案】D，∠A为锐角，【解析】解：∵sinA=√32∴∠A=60°．故选：D．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】B【解析】本题考查立体图形的三视图，难度中等．4.【答案】B【解析】解：A，C，D选项中，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意；当a是实数，|a|≥0，是必然事件，符合题意．故选B．5.【答案】A【解析】解：将x=1代入x2−m=0，∴m=1，故选：A．将x =−1代入方程即可求出m 的值．本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：∵y =x 2+2x +2=(x +1)2+1， ∴抛物线的顶点坐标为(−1,1)， 故选：A ．利用配方法即可解决问题．本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y =a(x −ℎ)2+k ，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x =ℎ．7.【答案】C【解析】解：如图所示：△ABC 是直角三角形．故选：C ．根据题意作出线段AB 的垂直平分线，进而作出⊙O ，进而结合圆周角定理得出答案． 此题主要考查了复杂作图，根据题意正确作出图形结合圆周角定理分析是解题关键．8.【答案】D【解析】解：∵S 甲2=3，S 乙2=2.8，S 丙2=2.5，S 丁2=2， ∴S 丁2<S 丙2<S 乙2<S 甲2，∴成绩最稳定的是丁， 故选：D ．根据方差的意义求解可得．本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．9.【答案】C【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3，∴它们的面积的比为16：9．故选：C．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．10.【答案】D【解析】解：ℎ=3.5t−4.9t2=−4.9(t−514)2+58，∵−4.9<0∴当t=514≈0.36s时，h最大．故选D．找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答．本题考查了二次函数的一般式化为顶点式，及顶点式在解题中的作用．11.【答案】二、三、四【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的性质，得出k的取值范围是解题关键.直接利用反比例函数图象的性质得出k的取值范围，进而得出一次函数经过的象限．【解答】解：∵函数y=kx的图象在第二、四象限，∴k<0，∴函数y=kx−1的图象经过第二、三、四象限．故答案为二、三、四．12.【答案】1【解析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，关键是得出一个关于m的方程．根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程得到关于m的一元二次方程，然后解此方程即可得到m的值．解：把x=1代入方程x2−2mx+m2=0得1−2m+m2=0，解得m=1．故答案为1．13.【答案】4√3−6【解析】解：设圆心为O，连接AC，OC，BC，CD，过C作CH⊥BD于H，∵将半圆形纸片沿AC折叠，⏜，∴AC⏜=ADC∴∠ABC=∠CAB+∠ACD，∵∠CDB=∠ACD+∠CAD，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，∴BD=2BH，∵∠BAC=15°，∴∠BOC=30°，∴CH=1OC，2∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CHB=90°，∴∠HCB=∠CAB，∴△ACH∽△CBH，∴AHCH =CHBH，即CH2=AH⋅BH，设DH=BH=x，则AB=2x+6，OC=x+3，∴CH=12(x+3)，∴14(x+3)2=x(x+6)，解得x=−3+2√3，负值舍去，∴BD=2BH=4√3−6．故答案为：4√3−6．设圆心为O，连接AC，OC，BC，CD，过C作CH⊥BD于H，根据圆周角定理得到∠BOC= 30°，解直角三角形得到，根据折叠的性质得到AC⏜=ADC⏜，推出∠CDB=∠CBD，根据等腰三角形的性质得到DH=BH，证明△ACH∽△CBH，得CH2=AH⋅BH，设DH=BH=x，则AB=2x+6，OC=x+3，求出CH=12(x+3)，可得关于x的方程14(x+3)2=x(x+6)，解方程即可得解．本题考查了翻折变换(折叠问题)，垂径定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用圆的性质．14.【答案】√82【解析】解：∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，∴MF，MN都是△ABE的中位线，∴MF//AE，MN//BE，∴四边形EFMN是平行四边形，∴∠AEB=∠NMF=45°，又∵AB⊥AE，∴∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∵BC⊥CD，DE⊥CD，又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EAD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠EAD，∵∠C=∠D=90°，∴△ABC≌△EAD(AAS)，∴BC=AD=4，CA=DE=5，∴Rt△ABC中，AB=√42+52=√41，∴等腰Rt△ABE中，BE=√(√41)2+(√41)2=√82，故答案为：√82．先判定四边形EFMN是平行四边形，即可得到∠AEB=∠NMF=45°，进而得出△ABE是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质以及勾股定理，即可得到AB的长，进而得出BE的长．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是判定全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出有关结论．15.【答案】2【解析】解：∵正三角形的边长为6cm，∴3个边长都相等，又∵截去三个小等边三角形，∴各个小三角形的边长也相等，∴正六边形的边长为：2．故答案为2．本题需先根据已知条件得出大三角形的各边长相等，再根据截去的三角形也是等边三角形，即可求出正六边形的边长．本题主要考查了等边三角形的性质，在解题时要根据等边三角形的性质进行分析是本题的关键．16.【答案】增大(k≠0)，【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx∵反比例函数图象过点(4,−5)，∴把(4,−5)代入得−20=k<0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而增大，故答案为：增大．首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．此题考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：(1)当k >0时，反比例函数的图象位于一、三象限；(2)当k <0时，反比例函数的图象位于二、四象限．17.【答案】解：(1)A 品牌的销售量由小到大排列为：13，14，15，16，17，A 品牌的中位数为15，平均数为13+14+15+16+175=15，B 品牌的销售量由小到大排列为：10，14，15，16，20，B 品牌的中位数为15，平均数为10+14+15+16+205=15，填表A 行：15，15，；B 行：20，15；(2)A 品牌的方差=15[(13−15)2+(14−15)2+(15−15)2+(16−15)2+[(17−15)2]=2,B 品牌的方差=15[(10−15)2+(14−15)2+(15−15)2+(16−15)2+[(20−15)2]=10.4,因为10.4>2，所以A 品牌的销售量较为稳定．【解析】(1)先把A 、B 品牌的销售量由小到大排列，然后根据中位数和平均数的定义求解；(2)先利用方差公式分别计算出A 、B 品牌的方差，然后根据方差的意义判断这两种品牌冰箱月销售量的稳定性．本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．(2)特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了中位数和方差．18.【答案】解：(1)原式=1−2−√2+1=−√2；(2){2x +y =2 ①x −3y =8 ②， ①×3+②得：7x =14，解得：x =2，把x =2代入①得：y =−2，则方程组的解为{x =2y =−2．【解析】(1)原式利用乘方的意义，立方根定义，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值；(2)方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．19.【答案】解：(1)△=(2m −1)2−4(m 2+3m +4)=−16m −15>0， 解得：m <1516；(2)①x 2−(2m −1)x +m 2+3m +4，则x 1+x 2=2m −1，x 1x 2=m 2+3m +4， x 12+x 22=5=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(2m −1)2−2(m 2+3m +4)， 解得：m =6或−1(舍去6)，抛物线的表达式为：y =x 2+3x +2；②点C(0,2)，点M(−32,−14)，将点C 、M 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：直线CM 的表达式为：y =−32x +2．【解析】(1)△=(2m −1)2−4(m 2+3m +4)=−16m −15>0，即可求解；(2)①x 12+x 22=5=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(2m −1)2−2(m 2+3m +4)，即可求解；②点C(0,2)，点M(−32,−14)，将点C 、M 的坐标代入一次函数表达式，即可求解．本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 20.【答案】(1)证明：∵OD ⊥AB ，∴AE⏜=BE ⏜， ∴∠ACE =∠BCE ，∵∠BOE =2∠BCE ，∴∠BOE =∠ACB ；(2)解：∵AB =4，cos∠ACB =13，∴BD =12AB =2，cos∠BOE =13，在Rt△BOD中，cos∠BOD=ODOB =13，设OD=x，则OB=3x，∴BD=√(3x)2−x2=2√2x，∴2√2x=2，解得x=√2，∴OB=3√2，即圆O的半径为3√2．【解析】(1)利用垂径定理得到AE⏜=BE⏜，再根据圆周角定理得到∠ACE=∠BCE，∠BOE=2∠BCE，从而得到结论；(2)利用(1)中的结论得到BD=12AB=2，cos∠BOE=13，根据余弦的定义得到cos∠BOD=ODOB =13，设OD=x，则OB=3x，利用勾股定理得到BD=2√2x，所以2√2x=2，然后解方程求出x即可得到圆O的半径．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．21.【答案】解：(1)设A影院《我和我的祖国》的电影票为x元一张，由题意得：3x+2(x+5)=310∴3x+2x=300∴x=60答：A影院《我和我的祖国》的电影票为60元一张；(2)由题意得：60×4000+60(1−a%)×4000(1+2a%)=505200化简得：2400(1−a%)(1+2a%)=2652设a%=t，则方程可化为：2t2−t+0.105=0解得：t1=15%，t2=35%∵当t1=15%时，60×(1−15%)=51>50；当t2=35%时，60×(1−35%)=39<50，故t1=15%符合题意，t2=35%不符合题意；∴当t1=15%时，a=15．答：a的值为15．【解析】(1)设A影院《我和我的祖国》的电影票为x元一张，由5张影票的总价格为310得关于x的一元一次方程，求解即可；(2)当日A、B两个影院《我和我的祖国》的票房总收入为505200元，得关于a的方程，再设a%=t，得到关于t的一元二次方程，解得t，然后根据题意对t的值作出取舍，最后得a的值．本题考查了一元一次方程和一元二次方程在实际问题中的应用，明确题意正确列式并对一元二次方程采用换元法求解，是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP与△ABQ中，{AD=AB∠DAP=∠ABQ AP=BQ，∴△DAP≌△ABQ(SAS)，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；(2)证明：在△CQF与△BPE中，{∠FCQ=∠EBP ∠Q=∠PCQ=BP，∴△CQF≌△BPE(ASA)，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF与△DCE中，{AD=CD∠ADC=∠DCE DF=CE，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，∴S△AOD=S四边形OECF；(3)解：∵BP=1，AB=3，∴PA=4，∵△PBE∽△PAD，∴PBBE =PADA=43，∴BE=34，∴QE=CQ+BC−CE=1+3−34=134，∵AD//QE，∴△QOE∽△PAD，∴OQPA =OEAD=QEPD=1345，∴OQ=135，OE=3920，∴AO=5−OQ=5−135=125，∴OEOA =3920125=1316．【解析】(1)由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；(2)证明△CQF≌△BPE，根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；(3)证明△PBE∽△PAD，根据相似三角形的性质得到BE=34，由三角函数的定义，求出QE=134，OQ=135，OE=3920，即可求出OE：OA的值．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)过F作FH⊥DE于H.∴∠FHC=∠FHD=90°．∵∠FDC=30°，DF=30，∴FH=12DF=15，DH=√32DF=15√3，∵∠FCH=45°，∴CH=FH=15，∴CD=CH+DH=15+15√3，∵CE：CD=1：3，∴DE=43CD=20+20√3，∵AB=BC=DE，∴AC=(40+40√3)cm；(2)过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，∵∠ACG=45°，∴AG=√22AC=20√2+20√6=20×1.41+20×2.45=77.2≈77(cm)答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．【解析】(1)过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；(2)过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．24.【答案】(Ⅰ)证明：∵MD与圆O相交于点T，∴由切割线定理得：DN2=DT⋅DM，DN2=DB⋅DA，∴DT⋅DM=DB⋅DA，设半径OB=r，∵BD=OB，且BC=OC=r2，则DB′DA=r⋅3r=3r2，DO⋅DC=2r⋅3r2=3r2，∴DT⋅DM=DO⋅DC；(Ⅱ)解：由(1)可知，DT⋅DM=DO⋅DC，且∠TDO=∠CDM，∴△DTO∽△DCM，∴∠DOT=∠DMC，根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，∴∠BMC=30°．【解析】(Ⅰ)可证△DCN与△DNO相似，得DN2=DB⋅DO，由切割线定理可得DN2= DT⋅DM，即可得证；(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形；证明三角形相似是解决问题的关键．25.【答案】(m,4)【解析】解：(1)∵y1=ax2−2amx+am2+4=a(x−m)2+4，∴顶点坐标为(m,4)，∵y2=kx−km+4=k(x−m)+4，当x=m时，y2=4，∴直线y2=kx−km+4恒过点(m,4)，∴抛物线与直线都经过同一点(m,4)，故答案为(m,4)；(2)当m=2时，y1=a(x−2)2+4，∵a<0，∴当x=2时，y1有最大值4，又∵t≤x≤t+2，y1的最大值为4，∴{t≤2t+2≥2，∴0≤t≤2；(3)令y1=y2，则有ax2−2amx+am2+4=kx−km+4，解得x1=m，x2=m+ka，∵线段PQ上至少存在两个横坐标为整数的点，k>0，∴当a>0时，m+ka−m>2，∴2a<k，又∵1≤k≤4，∴2a<1，即a<12，∴0<a<12；同理当a<0时，可求得−12<a<0，综上所述：0<a<12或−12<a<0．(1)由抛物线y1=ax2−2amx+am2+4=a(x−m)2+4，可得顶点坐标，由x=m时，可得y2=4，即直线y2=kx−km+4恒过点(m,4)，即可求解；(2)由二次函数的性质可得当x=2时，y1有最大值4，结合t≤x≤t+2，y1的最大值为4，列出不等式组，可求解；(3)先求出点Q的横坐标，结合“1≤k≤4，线段PQ(不包括端点)上至少存在两个横坐标为整数的点”，分两种情况，列出不等式可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用，一次函数的应用，求出抛物线和直线的交点Q的横坐标是本题的关键．第21页，共21页。
泉州市2021版九年级上学期数学期末考试试卷(I)卷
泉州市2021版九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015八下·洞头期中) 二次根式中字母x的取值范围是（）A . x＜1B . x≥1C . x≤0D . x≥02. （2分）一元二次方程x2-1=0的根是（）．A . x=1B . x=-1C . x1=1，x2=0D . x1=1，x2=-13. （2分） (2019九上·台州期末) 下列事件属于随机事件的是（）A . 任意画一个三角形，其内角和为180°B . 掷一次骰子，向上一面点数是 7C . 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D . 明天的太阳从东方升起4. （2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB：AC=2：1，则∠A的度数是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°5. （2分）如果=，那么的值是（）A .B .C .D .6. （2分）已知抛物线的解析式为y=﹣（x+3）2+1，则它的顶点坐标是（）A . （﹣3，1）B . （3，1）C . （3，﹣1）D . （1，3）7. （2分） (2017九上·寿光期末) 下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A . ∠C=∠F=90°，∠A=55°，∠D=35°B . ∠C=∠F=90°，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C . ∠C=∠F=90°，D . ∠B=∠E=90°， =8. （2分） (2019七下·邓州期末) 若x=-2是方程ax-b=1的解，则代数式4a+2b+7的值为（）A . -5B . -1C . 1D . 59. （2分） (2019七下·福田期末) 已知三角形三边的长度分别是6cm，10cm和xcm，若x是偶数，则x可能等于（）A . 8cmB . 16cmC . 5cmD . 2cm10. （2分） (2020八下·柯桥期末) 如图，要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离，可以取一个能直接到达A、B的点C，连结CA、CB，分别在线段CA、CB上取中点D、E，连结DE，测得DE＝35m，则可得A、B之间的距离为（）A . 30mB . 70mC . 105mD . 140m11. （2分）(2017·桂平模拟) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图③所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b=0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2 ，且x1＜x2 ，则x1＜﹣1＜5＜x2 ．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分）(2020·福田模拟) 如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM。
【全国市里联考】福建省泉州市2021年初中学业质量检查数学试题
4．一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是()
A．8B．14C．16D．20
5．不等式组 的整数解的个数为( )
A．0个B．2个C．3个D．无数个
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（ ）
A．AO=OCB．AC=BDC．AC⊥BDD．BD平分∠ABC
试题分析：根据三视图的法则可得：A为主视图，B为俯视图，D为左视图.
4．C
【分析】
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论．
【详解】
∵正多边形的每个内角为135°，
22．某学校在“校园读书节”活动中，购买甲、乙两种图书共100本作为奖品，已知乙种图书的单价比甲种图书的单价高出50%．同样用360元购买乙种图书比购买甲种图书少4本.
(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元；
(2)如果购买图书的总费用不超过3500元，那么乙种图书最多能买多少本？
23．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是边 的中点，且 ， ．
7．在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．最高分90B．众数是5C．中位数是90D．平均分为87.5
8．如图，在 中，点 分别是边 ， 上的点，且 ∥ ，若 ， ，则 的长度是( )
A．6B．8C．9D．10
9．实数 ， ， ， 在数轴上的对应点从左到右依次是 ， ， ， ，若 ，则 的值( )
∴每个外角是180°-135°=45°，
福建省泉州市2021年九年级上学期数学期末考试试卷C卷
福建省泉州市2021年九年级上学期数学期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，∠AOB=50°，则∠AOD等于（）A . 20°B . 25°C . 30°D . 35°2. （2分） (2019九上·东台月考) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A . 15B . 28C . 29D . 343. （2分）下列事件中，是随机事件的是（）A . 将石子抛入水中，石子会沉入水底B . 傍晚的太阳从东方落下C . 用长度为厘米厘米、厘米的三根小木棒（不能折断），首尾顺次相接可以搭成一个三角形D . 打开电视机，正在播放篮球比赛4. （2分） (2020九上·诸暨期末) 用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（）A .B .C .D .5. （2分）如图坐标平面上有一透明片，透明片上有一拋物线及一点P ，且拋物线为二次函数y=x2的图形，P的坐标(2，4)。
若将此透明片向右、向上移动后，得拋物线的顶点坐标为(7,2)，则此时P的坐标为（）A . (9，4)B . (9，6)C . (10，4)D . (10，6)6. （2分）(2020·梅列模拟) 如图，点 A.B.P是⊙O上的三点，若＝50°，则的度数为（）A . 100°B . 50°C . 40°D . 25°7. （2分）抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是（）A . 直线x＝B . 直线x＝－C . 直线x＝2D . 直线x＝08. （2分）(2020·淅川模拟) 如图，在菱形中，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·龙海模拟) 如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则AE的长度为（）A .B .C .D . 410. （2分）如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A . 2B . 4-πC . πD . π-111. （2分）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A . 无解B . x=1C . x=﹣4D . x=﹣1或x=412. （2分）(2019·凤庆模拟) 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2018九上·江阴期中) 把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为________．14. （1分）(2019·鞍山) 一个不透明的口袋中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同.进行大量的摸球试验（每次摸出1个球）后，发现摸到黑球的频率在0.6附近摆动，据此可以估计黑球为________个.15. （1分）(2018·河池模拟) 在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为45m，那么这栋楼的高度为________m．16. （1分） (2019八下·邳州期中) 菱形中，，其周长为，则菱形的面积为________.17. （1分）(2019·邵阳模拟) 一个扇形的圆心角是120°，它的半径是3cm，则扇形的弧长是________ 。
福建省泉州市2021届九年级上学期数学期末考试试卷
福建省泉州市2021届九年级上学期数学期末考试试卷一、单选题1.（2021九上·泉州期末）下列x 的值能使二次根式 √x −1 有意义的是（ ）A. －2B. －1C. 0D. 1【答案】 D【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得 x-1≥0，解得x≥1.故答案为：D.【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数≥0，由此建立关于x 的不等式，求出不等式的解集. 2.（2021九上·泉州期末）若 a b =32 ，则a−b a 中的值为（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 34【答案】 A【考点】比例的性质【解析】【解答】解：∵ a b =32∴设 a =3k ， b =2k ，代入 a−b a 得，a −b a =3k −2k 3k =13故答案为：A.【分析】利用已知条件，设a=3k ，b=2k ，然后代入代数式进行计算.3.（2021九上·泉州期末）与 √2 是同类二次根式的是（ ）A. √14B. √12C. √4D. √6 【答案】 B【考点】同类二次根式【解析】【解答】解： √2 的被开方数是2.A 、 √14=12 ， 12 是有理数，不是二次根式，故本选项错误； B 、 √12=√22，被开方数是2，所以与 √2 是同类二次根式，故本选项正确； C 、 √4 =2，2是有理数，不是二次根式，故本选项错误；D 、 √6 被开方数是6，所以与 √2 不是同类二次根式，故本选项错误.故答案为：B.【分析】先将各选项的二次根式化成最简二次根式，若被开方数是2的二次根式， 则与 √2 是同类二次根式，由此可得答案.4.（2021九上·泉州期末）“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是（ ）A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件【答案】 B【考点】随机事件【解析】【解答】解：“翻开华东师大版数学九年级上册，恰好翻到第50页”，这个事件是随机事件， 故答案为：B.【分析】根据在一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件，据此对各选项逐一判断，可得正确的选项.5.（2021九上·泉州期末）用配方法解方程 x 2−4x +2=0 时，配方结果正确的是（ ）A. (x +2)2=−2B. (x +2)2=2C. (x −2)2=2D. (x −2)2=−2【答案】 C【考点】配方法解一元二次方程【解析】【解答】解： x 2−4x +2=0 ，移项得 x 2-4x=-2，两边加4得， x 2−4x +4=2 ，即， (x −2)2=2故答案为：C.【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边写成完全平方式，右边合并同类项，由此可得答案.6.（2021九上·泉州期末）若 △ABC ∼△A ′B ′C ′ ，且面积比为 4:9 ，则其对应边上的高的比（ ） A. 1681 B. 49 C. 23 D. 13【答案】 C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，∴相似比是2：3，又∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴对应边上高的比为2：3.故答案为：C.【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出相似比，再根据相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，可求出结果.7.（2021九上·泉州期末）如图，点G 是 △ABC 的重心，过点G 作 DE//BC ，分别交 AB 、 AC 于点D 、E ，则 DG 与 GE 的关系为（ ）A. DG=GEB. DG>GEC. DG<GED. DG=23GE 【答案】A【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的重心及应用【解析】【解答】解：连接AG，并延长交BC于F，∵DE//BC，∴△ADG∼△ABF，△AEG∼△ACF，∴DGBF =AGAF，GECF=AGAF，∴DGBF =GECF，∵点G是△ABC的重心，∴BF=CF，∴DG=GE.故答案为：A.【分析】连接AG，并延长交BC于F，利用DE∥BC，可证得△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，再利用相似三角形的对应边成比例可证得DGBF =AGAF=GECF，再利用三角形的重心可得到BF=FC，由此可证得DG与GE的数量关系.8.（2021九上·泉州期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列选项正确的是（）A. sinA+sinB<1B. sinA+sinB>1C. sinA+sinB=1D. sinA+sinB≤1【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=BCAB,sinB=ACABsinA+sinB=BCAB+ACAB=BC+ACAB∵BC+AC>AB∴BC+ACAB>1∴sinA+sinB>1故答案为：B.【分析】利用锐角三角函数的定义，分别表示出sinA和sinB，再求出sinA+sinB，然后利用三角形的三边关系定理，可证得sinA+sinB>1.9.（2021九上·泉州期末）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门.出东门一十五步有木.问出南门几何步而见木？”大意是，今有正方形小城ABCD的边长BC为200步，如图，各边中点分别开一城门，走出东门E15步处有树Q.问出南门F多少步能见到树Q（即求从点F到点P的距离）？（注：步是古代的计量单位）（）A. 36623步 B. 46623步 C. 56623D. 66623步【答案】 D【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：CE＝100，CF＝100，EQ＝15，∵QE∥CF，∴∠PCF＝∠Q，而∠PFC＝∠QEC，∴△PCF∽△CQE，∴PFCE =CFQE，即PF100=10015，∴PF＝66623（步）；答：出南门F 66623步能见到树Q，故答案为：D.【分析】利用已知条件可得到CE，CF，EQ的长，利用平行线的性质可证得∠PCF＝∠Q，再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△PCF∽△CQE，然后利用相似三角形的对应边成比例，建立关于PF的方程，解方程求出PF的值.10.（2021九上·泉州期末）已知a、b是关于x的一元二次方程x2−6x−n+1=0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（）A. －4B. 8C. －4或－8D. 4或－8【答案】C【考点】一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，∴a+b＝6，ab=﹣n+1，又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5.当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4.故答案为：C.【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b，ab的值，再利用等腰三角形的性质，分情况讨论：a＝b＝3或a，b两数分别为1，5分别求出n的值.二、填空题11.计算：2cos45°＝________ ．【答案】1【考点】特殊角的三角函数值=√2．【解析】【解答】2cos45°=2×√22故答案是√2．【分析】考查特殊角的三角函数．12.（2017九上·澄海期末）一元二次方程x2﹣16=0的解是________．【答案】x1=﹣4，x2=4【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】解：方程变形得：x2=16，开方得：x=±4，解得：x1=﹣4，x2=4．故答案为：x1=﹣4，x2=4【分析】方程变形后，开方即可求出解．13.（2021九上·泉州期末）某水库大坝，其坡面AB的坡度i=1∶√3，则斜坡AB的坡角的度数为________°. 【答案】30【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解：∵tanA=i=√3=√33，∴∠A=30°.故答案为：30.【分析】利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡AB的坡角的度数.14.（2021九上·泉州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比为________.【答案】2：1【考点】位似变换【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C是以点C为位似中心的位似图形，∴△ABC∼△A1B1C相似比为AB:A1B1=√22+42:√12+22=2√5:√5=2:1，故答案为：2:1.【分析】利用位似图形就是相似图形，可得△ABC∽△A1B1C，利用勾股定理求出AB，A1B1的长，然后求出两三角形的相似比.15.（2021九上·泉州期末）将一副直角三角尺按如图所示放置，∠A=60°，∠CBD=45°，AC= 2，则BD的长为________.【答案】√6【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：在R t△ABC中，∠A=60°，AC=2tan∠A=BC ACtan60°=BC 2∴BC=2√3在R t△CBD中，∵∠CBD=45°∴cos∠CBD=BD BC∴BD=BC⋅cos∠CBD=√22BC=√22×2√3=√6故答案为：√6.【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出BD 的长.16.（2021九上·泉州期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以AC为边作等边三角形ACD，直线CD与直线AB相交于点E，则ABBE=________.【答案】√3±1【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：①当点D与点B在AC的同侧时，作EN⊥BC交CE于N，如图1，∵AC=BC，∴∠ABC=45°，∴BN=NE，设BN=NE=x∵∠ACB=90∘，∴EN//AC，∴△BEN~△BAC，∴ENAC =BEAB.∵△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，∴∠BCE=30∘，∵tan30°= ENCN，∴CN=√3x，∴AC=BC=CN+BN= √3x+x，∴ENAC =√3x+x，∴ACEN=√3+1，∴ABBE=√3+1.②当点D与点B在AC的两侧时，作BM⊥BC交CE于M，如图2，∵∠ACB=90∘，∴BM//AC，∴△BEM~△AEC，∴BMAC =BEAE.∵△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，∴BCM=30∘，∴BMBC =tan30°=√33.∵AC=BC，∴BMAC =√33，即：BEAE =√33，则AEBE=√3，∵AE=AB+BE，∴AB+BEBE=√3，∴ABBE+1=√3，∴ABBE=√3−1.综上可知，ABBE =√3+1或ABBE=√3−1.故答案为：√3±1.【分析】分情况讨论：当点D与点B在AC的同侧时，作EN⊥BC交CE于N，如图1，利用等腰直角三角形的性质可求出∠ABC的度数，由此可证得△BEN是等腰直角三角形，可推出BN=NE，设BN=NE=x，由EN∥AC，可得到△BEN∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例及等边三角形的性质，可求出EN与CN 的比值；用含x的代数式表示出CN，AB，CB的长；然后求出AB与BE的比值；当点D与点B在AC的两侧时，作BM⊥BC交CE于M，如图2，利用BM∥AC，可证得△BEM∽△AEC，利用相似三角形的性质及等边三角形的性质，可得到AB与BE的比值.三、解答题17.（2021九上·泉州期末）计算：√8×√6−√24√2+(√3+1)(√3−1).【答案】解：√8×√6−√24√2+(√3+1)(√3−1)=√48−√12+3−1=4√3−2√3+2=2√3+2.【考点】二次根式的混合运算【解析】【分析】利用二次根式的乘除法法则，先算乘除法运算，再将个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式.18.（2020九上·福州期末）解方程：2x2−5x−2=0【答案】解：∵a=2,b=−5,c=−2∴Δ=(−5)2−4×2×(−2)=41>0∴x=−(−5)±√412×2=5±√414∴x1=5+√414,x2=5−√414．【考点】公式法解一元二次方程【解析】【分析】利用公式法进行解一元二次方程即可.19.（2021九上·泉州期末）如图所示，一幅长与宽之比为4:1的矩形山水画，欲在其周围镶上一圈宽度为1dm的白纸边框，经测算，镶边后的图画（含白纸边框）的面积为504dm2，求原矩形山水面的面积.【答案】解：设原矩形的长为4x dm，宽为x dm，依题意得：(4x+2)(x+2)=504.整理得：2x2+5x−250=0，解得：x1=10或x2=−252.经检验，x2=−252不合题意，舍去，只取x=10.则4x2=4×102=400(dm2)答：原矩形山水画的面积为400dm2.【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题【解析】【分析】利用已知条件一幅长与宽之比为4：1的矩形山水画，设原矩形的长为4xdm，宽为xdm，再根据镶边后的图画（含白纸边框）的面积为504dm2，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出原矩形山水画的面积.20.（2021九上·泉州期末）如图是某动车站出口处自动扶梯示意图，自动扶梯AB的倾斜角为31°，在自动扶梯下方地面D处测得扶梯顶端A的仰角为62°，B、D之间的距离为6m.求自动扶梯的垂直高度AC.（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，结果精确到0.1m）【答案】解：∵∠ADC是△ADB的外角，∴∠ADC=∠ABC+∠DAB，又∵∠ADC=62°，∠ABC=31°，∴∠DAB=∠ADC−∠ABC=62°−31°=31°，∴∠ABC=∠DAB，∴AD=DB=6(m).在Rt△ACD中，∠ADC=62°，sin∠ADC=AC，ADsin62°=AC，6AC=6×sin62°≈6×0.88=5.28≈5.3(m).答：自动扶梯的垂直高度AC约为5.3m.【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】利用三角形的外角的性质，可证得∠ABC=∠DAB，利用等角对等边可得到AD=BD，再在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出AC的长.21.（2021九上·泉州期末）如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上.（1）请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∼△CBA；（2）试证明上述结论：△ABD∼△CBA.【答案】（1）解：如图，点D是所求作的点；（2）解：由勾股定理得：AB=√12+22=√5，依题意得：BD=1，BC=5，∴BDAB =√5=√55，ABBC=√55，∴BDAB =ABBC，又∠ABD=∠CBA，∴△ABD∼△CBA.【考点】相似三角形的判定，作图﹣相似变换【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定定理确定出点D的位置；（2）利用勾股定理求出AB的长，再求出BD与AB，AB与BC的比值，利用相似三角形的判定定理，可得到两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得结论.22.（2021九上·泉州期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+3(m−1)=0.（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围.【答案】（1）解：依题意得：Δ=[−(m+2)]2−4×3(m−1)=m2−8m+16=(m−4)2≥0，∴方程x2−(m+2)x+3(m−1)=0有两个实数根.（2）解：依题意得：∴x=(m+2)±√(m−4)22×1=(m+2)±(m−4)2，即x1=m−1，x2=3.∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，∴x1=m−1<0，∴m<1.【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac，将其转化为完全平方式，由此可作出判断；（2）利用公式法求出一元二次方程的两个根，再根据这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，可建立关于m的不等式，求出不等式的解集.23.（2021九上·泉州期末）在数轴上有一动点M，其平移的方向和距离由以下规则决定：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“5”、“－3”、“－3”，它们除数字不同外没有任何区别.试验者先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，并将两球标注的数字之和m作为本次试验的结果.当m>0时，动点M沿数轴正方向平移m个单位；当m<0时，动点M沿数轴负方向平移|m|个单位.（1）试用画树状图或列表法，求每次试验时动点M平移的方向为数轴正方向的概率；（2）若动点M从原点出发，按以上规则连续平移，且以每次平移结束的位置作为下一次平移的起始位置.当试验次数足够多时，请以试验结果m的平均数为依据判断：动点M更可能位于原点的左恻或右侧？并说明理由.【答案】（1）解：画树状图如下：共有9种等可能结果，其中点M平移的方向为数轴正方向有5种，所以P(m>0)=59；（2）解：动点M位于原点左侧的可能性更大，理由如下：由（1）得：P(m=10)=19，P(m=2)=49，P(m=−6)=49，∴m的平均值为10×19+2×49+(−6)×49=−23，∴当试验次数足够多时，动点M更可能位于数轴负方向23个单位处，即动点M位于原点左侧的可能性更大.【考点】列表法与树状图法【解析】【分析】（1）由题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及每次试验时动点M平移的方向为数轴正方向的情况数，然后利用概率公式进行计算；（2）分别求出m=10，m=2，m=-6的概率，再求出m的平均值，由此可作出判断.24.（2021九上·泉州期末）在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为AB的中点，点D在线段OB上（BD<OD），连接CD，将△BCD绕点C逆时针旋转得到△B′CD′，旋转角为α(0°<α<180°)，连接BB′，B′D.（1）求AB的长；（2）如图，当点D′恰好落在y轴上时，B′C交y轴于点E，求证：△BEB′∼△CED′；（3）当点D的坐标为(0,3)，且∠ODB′=∠OBA时，求点B′的坐标.【答案】（1）解：∵直线y=−2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A(2,0)，B(0,4).在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√22+42=2√5.（2）证明：解法一：如图1，由旋转的性质可得∠BCD=∠B′CD′，BC=B′C，CD=CD′，∠BCB′=∠DCD′=α，∴∠B′BC=∠D′DC=180°−α，2又∵∠B′BC=∠B′BE+∠DBC，∠D′DC=∠BCD+∠DBC，∴∠B′BE=∠BCD.又∵∠B′CD′=∠BCD，∴∠B′BE=∠B′CD′，又∵∠BEB′=∠CED′，∴△BEB′∼△CED′.解法二：如图1，由旋转的性质可得∠CBD=∠CB′D′. 又∵∠BEC=∠B′ED′，∴△BEC∼△B′ED′，∴BEB′E =ECED′，∴BEEC =B′EED′，又∵∠BEB′=∠CED′，∴△BEB′∼△CED′.（3）解：依题意得：BC=B′C=√5，C(1,2).设B′(a,b).①当B′在y轴左侧时，如图2，此时a<0，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点C作CN⊥B′M，交B′M的延长线于点N，∵∠ODB′=∠OBA，∴tan∠MDB′=tan∠OBA，∴B′MDM =OAOB=12，∴−a3−b =12，∴b=3+2a.∵C(1,2)，B′(a,b)，∴B′N=1−a，CN=|2−b|.在Rt△B′CN中，由勾股定理得：(1−a)2+(2−b)2=(√5)2，又∵b=3+2a，∴(1−a)2+(−1−2a)2=5，解得：a1=−1或a2=35（舍去）. b=3+2a=1∴B′(−1,1).②当B′在y轴右侧时，如图3，此时a>0，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点C作CN⊥B′M于点N.同理可得：B′MDM =OAOB=12，∴a3−b =12，∴b=3−2a.在Rt△CNB′中，由勾股定理得：(a−1)2+(2−b)2=(√5)2，∴(a−1)2+(2a−1)2=5，解得：a1=3+2√65，a2=3−2√65（舍去）. b=3−2a=9−4√65，∴B′(3+2√65,9−4√65).综上所述，B′的坐标为(−1,1)或(3+2√65,9−4√65).【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）利用一次函数解析式，由x=0求出y的值，由y=0可求出对应的x的值，即可得到点A，B的坐标，再利用勾股定理求出AB的长；（2）解法一：如图1，由旋转的性质得∠BCD=∠B'CD'，BC=B'C'，CD=CD'，∠BCB'=∠DCD'=α，可表示出∠B'BC，∠D'DC；再证明∠B'BE=∠B'CD'，∠BEB'=∠CED'，然后根据有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论；解法二：利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论；（3）利用已知条件求出BC，B'C的长及点C的坐标，设点B'（a，b），分情况讨论：当B′在y轴左侧时，如图2，此时a<0，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点C作CN⊥B′M，交B′M的延长线于点N，利用解直角三角形可证得B′MDM =OAOB=12，由此可用含a的代数式表示出b的值；从而可表示出B'你，CN的长，利用勾股定理建立关于a，b的方程，求出方程的解，可求出a，b的值，即可得到I点B'的坐标；②当B′在y轴右侧时，如图3，此时a>0，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点C作CN⊥B′M于点N，利用同样的方法可得到b=3-2a，利用勾股定理建立关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，可得到点B'的坐标，综上所述可得到符合题意的点B'的坐标.25.（2021九上·泉州期末）如图，在△ABC中，AB=3，点E、D分别是AB边上的三等分点，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的一个动点，连接PE、EC，作△EPC关于AC的轴对称图形△FPC.（1）当PE//BC时，求APAC的值；（2）当F、P、B三点共线时，求证：AP⋅AC=3；（3）当CD=2，且AP>PC时，线段PE的中垂线GQ分别交线段PE、CD于点G、Q，连接PQ、EQ，求线段PQ的最小值.【答案】（1）解：∵PE//BC，∴APAC =AEAB.又∵点E、D分别是AB边上的三等分点，∴AEAB =13，∴APAC =13.（2）证明：如图1，∵CD⊥AB，点D为BE的中点，图1∴CB=CE，∴∠CBD=∠CED.∵△EPC与△FPC关于AC成轴对称，∴CE=CF，∠CEP=∠CFP，∠EPA=∠FPA=∠CPB，又∵CB=CE，∴CB=CF，∴∠CFP=∠CBF=∠CEP.设PB与CE相交于点I，∴∠PIE=∠CIB，∵∠EPB+∠PIE+∠CEP=180°，∠BCE+∠CIB+∠CBF=180°，∴∠EPB=∠BCE.设∠EPB=∠BCE=α，则∠EPA=180°−α2，∠CBE=180°−α2，∴∠EPA=∠CBE，又∠PAE=∠BAC，∴△PAE∽△BAC，∴APAB =AEAC，∴AP⋅AC=AB⋅AE.依题意得：AB=3，AE=1，∴AP⋅AC=3×1=3.（3）解：（3）如图2，过点P作PT⊥AB于点T，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥CD于点N.图2∵AD=CD，AD⊥CD，∴∠A=45°.设AP=x，则PT=√22x=AT，∵G为PE的中点，∴GM=12PT=√24x，EM=12ET=12(AT−AE)=12(√22x−1)=√24x−12.由题意得：GN=MD=ED−EM=1−ET2=1−AT−AE2=1−√22x−12=32−√24x.∵∠EGM+∠MGQ=90°，∠QGN+∠MGQ=90°，∴∠EGM=∠QGN，又∵∠EMG=∠QNG=90°，∴△GEM∼△GQN，∴EMQN =GMGN，即√24x−12QN=√24x32−√24x，解得：QN=2−3√22x−√24x.∴QD=ND−NQ=GM−NQ=√24x−(2−3√22x−√24x)=√22x+3√22x−2=√22(x+3x)−2.令y=√22x+3√22x−2，即2xy=√2x2+3√2−4x，整理得：√2x2−(4+2y)x+3√2=0，∴Δ=(4+2y)2−24≥0，解得：y≥√6−2，y≤−√6−2（舍去），即QD≥√6−2，此时x=√3，∵GQ垂直平分PE，∴PQ=EQ，∴PQmin=EQ min=√1+QD2=√1+(√6−2)2=√11−4√6=√(2√2−√3)2=2√2−√3.【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的综合【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理及点E、D分别是AB边上的三等分点，可得到AP 与AC的比值；（2）利用垂直的定义及线段中点的定义可证CD垂直平分BE，利用垂直平分线的性质，可证得CB=CE，利用等边对等角可证得∠CBD=∠CED，利用轴对称的性质及等腰三角形的性质去证明∠CFP=∠CBF=∠CEP，设PB与CE相交于点I，易证∠EPB=∠BCD；再证明△PAE∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，由此可求出AP与AC的积；（3）过点P作PT⊥AB于点T，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥CD于点N，易证∠A=45°，利用三角形的中位线定理可得到GM=√24x，同时可求出EM，GN，MD的长；再证明△GEM∽△GQN，利用相似三角形的对应边成比例，可用含x的代数式表示出QN的长，根据QD=DN-NQ，可表示出QD的长；设QD=y，可得到关于x的一元二次方程：可证得b2-4ac≥0，求出x的值；然后利用垂直平分线的性质可证得PQ=EQ，利用勾股定理求出PQ的最小值.。
福建省泉州市惠安县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
2021-2022学年九年级上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.有意义，则x 的取值范围为（）A.1x ≥-B.1x >-C.1≥xD.1x ≤2.下列各式计算正确的是（）A.﹣＝5 B.＝C. D.＝3.一元二次方程()20x x -=的解是（）A.0x =B.2x =C.10x =，22x = D.120x x ==4.已知某水库大坝的横断面为梯形，其中一斜坡AB 的坡度i =AB 的坡角α为（）A.30°B.45°C.60°D.150°5.下列一元二次方程两实数根和为-4的是（）A.2240x x +-=B.2340x x -+=C .2450x x ++= D.2440x x ++=6.有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A.1(1)452x x += B.1(1)452x x -= C.(1)45x x -= D.(1)45x x +=7.如图，点P 在ABC 的边AB 上，要判断ACP ABC △∽△，添加一个条件错误．．的是（）A.APC ACB ∠=∠B.ACP B∠=∠C.AP AC AC AB = D.AC ABCP BC=8.如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin BAC ∠的值为（）A.1B.2 2C.2D.310109.如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A.5B.6C.7D.1210.如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数kyx=的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（）A.3B.4C.6D.8二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.如果45a bb-=，那么ab=______．12.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0没有实数根，则m的取值范围是______.13.某次体能测试，要求每名考生从跳绳、长跑、游泳三个项目中随机抽取一项参加测试，小东和小华都抽到游泳项目的概率是______．14.如图，O 是ABC 的重心，AN ，CM 相交于点O ，那么MON △与AOC △的周长的比是______．15.在边长为4dm 的正方形纸片（厚度不计）上，按如图的实线裁剪，将阴影部分按虚线折叠成一个有盖的正方体盒子，则这个盒子的容积为______3dm ．16.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m ；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算：4sin 60︒+．18.先化简，再求值：((1)x x x x +-+-，其中x =19.“网上购物”已成为现代人们的生活方式．某电商平台在A 地区随机抽取了100位居民进行调查，获得了他们每个人近七天“网上购物”消费总金额（单位：元），整理得到右边频率统计表：消费总金额x 频率0100x ≤<0.11100200x ≤<0.24200300x ≤<0.3300400x ≤<0.2400500x ≤<0.1500600x ≤<0.04600700x ≤<0.01（1）求被调查居民“网上购物”消费总金额不低于500元的频率；（2）假设同一组中的数据用该组数据所在范围的组中值（如100200x ≤<一组，取150x =）为准，求该地区消费总金额的平均值；（3）若A 地区有100万居民，该平台为了促销，拟对消费总金额不到200元的居民提供每人10元的优惠，试估计该平台在A 地区拟提供的优惠总金额．20.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．（1）在线段AC 上求作一点D ，使得2BDC A ∠=∠；（用尺规作图，不写作法，但应保留作图痕迹）（2）若22.5A ∠=︒，利用上述作图，求1tan A的值．21.如图，已知ABC 的三边BC 、AC 、AB 分别为a ，b ，c ，且2B A ∠=∠．求证：22b a ac =+．22.如果一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两根x 1，x 2均为正数，其中x 1＞x 2，且满足1＜x 1﹣x 2＜2，那么称这个方程有“友好根”．（1）方程（x （x ）＝0_____“友好根”（填：“有”或“没有”）；（2）已知关于x 的x 2﹣（t ﹣1）x+t ﹣2＝0有“友好根”，求t 的取值范围．23.在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a ，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a ，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a 的值．24.在ABC 中，P 是BC 边上任意一点，PE ∥AB 交AC 于E ，PF ∥AC 交AB 于F ．（1）求证：AE PF =；（2）若2BC =，且BC 边上的高1AD =，设BP x =，用含x 的式子表示PEF 的面积；（3）问点P 在BC 上什么位置时，PEF 的面积最大?25.在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形ABCO 是平行四边形，O 为原点，点C 的坐标为(6,0)，点A 的坐标为(2,A（1）写出平行四边形ABCO 的顶点B 的坐标；（2）如图1，若点D 是边OC 上一点，且1OD =，连结AD ，以D 为顶点作EDC DAO ∠=∠，DE 与BC 交于点E ，求CE 的长；（3）若直线4y kx k =-与射线OC 交于点M ，与射线OA 交于点N ，试判断32OM ON+的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．。
泉州市2021版九年级上学期数学期末考试试卷D卷
泉州市2021版九年级上学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）如图所示的几何体，其主视图是（）A .B .C .D .2. （2分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2020·沈北新模拟) 已知点A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1 ， y2的大小关系（）A . y1＞y2B . y1＜y2C . y1＝y2D . 无法确定4. （2分）一个口袋中有8个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋，不断重复上述过程，共做了200次，其中有50次摸到黑球，因此估计袋中白球有（）A . 23个B . 24个C . 25个D . 26个5. （2分） (2016九上·临洮期中) 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A . y=2a（x﹣1）B . y=2a（1﹣x）C . y=a（1﹣x2）D . y=a（1﹣x）26. （2分）(2019·阳信模拟) 如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形GHEF部分的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A . BC=ACB . CF⊥BFC . BD=DFD . AC=BF8. （2分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE=30°；②S△ABE=4S△ECF；③CF=CD；④△ABE∽△AEF．正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） 10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（）A . 30B . 34C . 36D . 4810. （2分）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为（）A . 16B .C .D . 9二、填空题 (共8题；共12分)11. （1分）(2018·百色) 如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1 ， S2 ， S，则S1 ， S2 ， S的关系是________（用“=、＞或＜”连起来）12. （1分） (2019七下·郴州期末) 将长方形ABCD纸片按如图所示方式折叠，使得，其中EF ， EG为折痕，则 ________度.13. （1分）同时抛掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币正面都向上的概率是114. （1分）已知线段AB=10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＜BC），则AC长是________（精确到0.01）．15. （1分）(2019·荆门) 已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为________.16. （1分） (2017八下·青龙期末) 如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为________．17. （5分） (2016七上·高台期中) 主视图、俯视图和左视图都是正方形的几何体是________18. （1分） (2020九下·贵港模拟) 如图，已知反比例函数y= (x＞0)与正比例函数y=x(x≥0)的图象，点A(1，4)，点A'(4，b)与点B'均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA'B'B是平行四边形，则B点的坐标为________.三、解答题 (共10题；共111分)20. （10分）确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．21. （15分）(2017·兰州模拟) 如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3 ．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于________；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为________．22. （5分） (2017八上·濮阳期中) 如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．试判断△OEF的形状，并说明理由．23. （5分）问题背景:如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a；为了要让铁片能穿过直径为的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；探究发现:（1）如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ，则此时铁片的形状是 _______，给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；拓展迁移:（1）如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；①当BE=DF=时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围．24. （10分）(2020·吉林模拟) 如图，有四张质地完全相同的卡片，正面分别写有四个角度，现将这四张卡片洗匀后，背面朝上。
福建省泉州市洛江区2021届九年级数学上学期期末试题(含解析) 新人教版
级数学上学期期末试题一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）1．下列计算正确的是( )A． B．C．2+4=6D．=±22．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为( )A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣23．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为( ) A．16：9 B．4：3 C．2：3 D．256：814．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点5．在下列事件中，是必然事件的是( )A．随意写出一个自然数，是正数B．两个正数相减，差是正数C．一个整数与一个小数相乘，积是整数D．两个正数相除，商是正数6．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是( )A．9m B．6m C．m D．m7．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=( )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）8．计算（+）（﹣）的结果为__________．9．如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=__________．10．使式子有意义的x取值范围是__________．11．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：__________．12．已知A（3，y1）、B（4，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：__________．13．把方程x2﹣10x﹣11=0化为（x+m）2=n的形式，结果为__________．14．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=__________．15．如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为__________．16．如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB•DE=AD•BC”成立，则这个条件可以是__________．（只填一个即可）17．如图，已知DE∥BC，，则=__________；如果BC=12，则DE=__________．三、解答题（共9小题，满分89分）18．计算：•﹣•﹣2sin45°．19．解方程：x2﹣4x+2=0．20．已知：线段a、b、c，且==．（1）求的值．（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27．求a、b、c的值．21．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长（精确到0.1）；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米（精确到0.1）？22．如图，△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（1，2）、B（3，3）、C（3，1）．①根据题意，请你在图中画出△ABC；②以B为位似中心，画出与△ABC相似且相似比是3：1的△BA′C′，并分别写出顶点A′和C′的坐标．24．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．25．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度．26．（13分）如图1，抛物线y=kx2+2经过（4，0），A（a，b）是抛物线上的任意一点，直线l经过（0，4）且与x轴平行，过A作A⊥l于B点．（1）直接写出k的值：k=__________；（2）当a=0时，AO=__________，AB=__________；当a=8时，AO=__________，AB=__________；（3）由（2）的结论，请你猜想：对于抛物线上的任意一点A，AO与AB有怎样的大小关系，并证明你的猜想；（4）如图2，已知线段CD=12，线段的两端点C、D在抛物线上滑动，求C、D两点到直线l 的距离之和的最小值．2014-2015学年福建省泉州市洛江区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）1．下列计算正确的是( )A． B．C．2+4=6D．=±2【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【解答】解：A、原式==3，所以A选项正确；B、原式==2，所以B选项错误；C、2与4不是同类二次根式，不能合并，所以C选项错误；D、原式=2，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．2．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为( )A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2【考点】一元二次方程的解．【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，∴4﹣4m+4=0，∴m=2．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．3．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为( ) A．16：9 B．4：3 C．2：3 D．256：81【考点】相似多边形的性质．【分析】根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方．【解答】解：根据题意得：=．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．5．在下列事件中，是必然事件的是( )A．随意写出一个自然数，是正数B．两个正数相减，差是正数C．一个整数与一个小数相乘，积是整数D．两个正数相除，商是正数【考点】随机事件．【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．【解答】解：A、随意写出一个自然数，是正数，是随机事件；B、两个正数相减，差是正数，是随机事件；C、一个整数与一个小数相乘，积是整数，是随机事件；D、两个正数相除，商是正数，是必然事件．故选：D．【点评】此题主要考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC 之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是( )A．9m B．6m C．m D．m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=3米，∴AB==6米．故选：B．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．7．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=( )A．2 B．3 C．4 D．5【考点】三角形中位线定理．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE．【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×2=4．故选：C．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）8．计算（+）（﹣）的结果为﹣1．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的结果为多少即可．【解答】解：（+）（﹣）==2﹣3=﹣1∴（+）（﹣）的结果为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看“多项式”．（2）此题还考查了平方差公式的应用：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，要熟练掌握．9．如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=9．【考点】根的判别式．【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2﹣4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即（﹣6）2﹣4×1×m=0，解得m=9故答案为：9【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．使式子有意义的x取值范围是x≥﹣1．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的意义，被开方数是非负数．11．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：125×（1﹣x）2=80．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】销售问题．【分析】等量关系为：原价×（1﹣下降率）2=80，把相关数值代入即可．【解答】解：第一次降价后的价格为125×（1﹣x），第二次降价后的价格为125×（1﹣x）×（1﹣x）=55×（1﹣x）2，∴列的方程为125×（1﹣x）2=80，故答案为125×（1﹣x）2=80．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．12．已知A（3，y1）、B（4，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小：y1＜y2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求得函数y=x2+1的对称轴为x=0，再判断A（3，y1）、B（4，y2）在对称轴右侧，从而判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵函数y=x2+1的对称轴为x=0，∴A（3，y1）、B（4，y2）对称轴右侧，∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大．∵3＜4，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．13．把方程x2﹣10x﹣11=0化为（x+m）2=n的形式，结果为（x﹣5）2=36．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】把常数项﹣11移项后，再在等式的两边同时加上一次项系数﹣10的一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣10x=11，等式的两边同时加上一次项系数﹣10的一半的平方，得x2﹣10x+52=11+52，配方程，得（x﹣5）2=36；故答案是：（x﹣5）2=36．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．14．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义解答．【解答】解：观察图形可知，tan∠BAC==．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．15．如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为．【考点】几何概率．【专题】常规题型．【分析】先求出黑色方砖在整个地板面积中所占面积的比值，根据此比值即可解答．【解答】解：∵黑色方砖的面积为5，所有方砖的面积为20，∴键子恰落在黑色方砖上的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是求出黑色方砖在整个地板面积中所占面积的比值．16．如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB•DE=AD•BC”成立，则这个条件可以是∠B=∠D．（只填一个即可）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】要使AB•DE=AD•BC成立，需证△ABC∽△ADE，在这两三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，还需的条件可以是∠B=∠D或∠C=∠AED【解答】解：这个条件为：∠B=∠D∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE∴AB•DE=AD•BC【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用．17．如图，已知DE∥BC，，则=；如果BC=12，则DE=4．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】由DE∥C B，可证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，可求得AE、AC的比例关系，进而可根据BC的长和两个三角形的相似比求出DE的值．【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴==∵，BC=12∴=，DE=4．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．三、解答题（共9小题，满分89分）18．计算：•﹣•﹣2sin45°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】第一项根据二次根式和立方根的意义得出结果，第二项根据二次根式的乘法法则得出结果，第三项利用特殊值的三角函数得出结果，最后合并同类二次根式即可得到最后结果．【解答】解：原式=6×3﹣﹣2×=18﹣﹣=16．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．19．解方程：x2﹣4x+2=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：x2﹣4x=﹣2x2﹣4x+4=2（x﹣2）2=2或∴，．【点评】配方法的步骤：形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．20．已知：线段a、b、c，且==．（1）求的值．（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27．求a、b、c的值．【考点】比例的性质．【分析】（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值；（2）首先设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，利用a+b+c=27求出k的值即可得出答案．【解答】解：（1）∵=，∴=，∴=，（2）设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b+c=27，∴2k+3k+4k=27，∴k=3，∴a=6，b=9，c=12．【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=2k，b=3k，c=4k进而得出k的值是解题关键．21．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长（精确到0.1）；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米（精确到0.1）？【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中根据CH=AC•sin∠CAB求出CH的长，由AH=AC•cos∠CAB求出AH的长，同理可得出BH的长，根据AB=AH+BH可得出结论；（2）根据在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA可得出BC的长，由AC+BC﹣AB即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H．∴在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=10•sin25°≈4.23（千米），AH=AC•cos∠CAB=10•cos25°≈9.06（千米）．∵∠CBA=37°，∴在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.23÷tan37°≈5.61（千米），∴AB=AH+BH=9.06+5.61=14.67≈14.7（千米）．∴改直的公路AB的长14.7千米；（2）在Rt△B CH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.23÷sin37°≈7.03（千米），则AC+BC﹣AB=10+7.03﹣14.7≈2.3（千米）．答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．如图，△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（1，2）、B（3，3）、C（3，1）．①根据题意，请你在图中画出△ABC；②以B为位似中心，画出与△ABC相似且相似比是3：1的△BA′C′，并分别写出顶点A′和C′的坐标．【考点】作图-位似变换．【分析】①根据坐标确定各点的位置，顺次连接即可画出△ABC；②因为位似中心为B，相似比为3：1，可以延长CB到C'，AB到A'，使BC'=3BC，A'B=3AB，连接A'C'即可．【解答】解：①②A'（9，6），C'（3，9）或A'（﹣3，0），C'（3，﹣3）．【点评】此题要会根据点的坐标确定位置，然后理解位似中心的定义，作出相似三角形．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）首先列出树状图，然后利用概率公式求解即可．（2）画树状图如下：【点评】本题考查了列表法与树状图法及概率公式，难点在于正确的列出树形图，难度中等．24．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据矩形的面积公式进行列式；（2）、（3）把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可．【解答】解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x．答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；（2）由（1）知，y=﹣x2+16x．当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0．解得 x1=6，x2=10，即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；（3）不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由（1）知，y=﹣x2+16x．当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0，所以该方程无解．即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．25．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的性质，可得出AB∥CD，从而得出∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，利用两角对应相等的三角形相似得出结论；（2）由PD⊥AC，得∠ACD+∠PDC=90°，从而得出∠ACD=∠PDA，可证明△ADC∽△PAD，由相似比得出PA的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，∴△APQ∽△CDQ．（2）解：∵PD⊥AC，∴∠A CD+∠PDC=90°，∵∠PDA+∠PDC=90°，∴∠ACD=∠PDA，∵∠ADC+∠PAD=90°，∴△ADC∽△PAD，∴=，∴=，∴PA=2.5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大．26．（13分）如图1，抛物线y=kx2+2经过（4，0），A（a，b）是抛物线上的任意一点，直线l经过（0，4）且与x轴平行，过A作A⊥l于B点．（1）直接写出k的值：k=﹣；（2）当a=0时，AO=2，AB=2；当a=8时，AO=10，AB=10；（3）由（2）的结论，请你猜想：对于抛物线上的任意一点A，AO与AB有怎样的大小关系，并证明你的猜想；（4）如图2，已知线段CD=12，线段的两端点C、D在抛物线上滑动，求C、D两点到直线l 的距离之和的最小值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法可求k的值；（3）猜想AO=AB．证明时因为a是满足二次函数y=﹣x2+2的点，一般可设（a，﹣a2+2）．类似（2）利用勾股定理和AB=y B﹣（﹣2）可求出AO与AB，比较即得结论．（4）考虑（3）结论，即函数y=﹣x2+2的点到原点的距离等于其到l的距离．要求C、D 两点到l距离的和，即C、D两点到原点的和，若CD不过点O，则OC+OD＞CD=6，若CD过点O，则OC+OD=CD=6，所以OC+OD≥6，即C、D两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6．【解答】解：（1）∵抛物线y=kx2+2经过（4，0），∴16k+2=0，解得k=﹣；故答案为：﹣；（2）当a=0时，b=2，AO=2，AB=4﹣2=2；当a=8时，b=﹣6，AO==10，AB=4﹣（﹣6）=10；（3）猜想：AO=AB．证明：如图1，延长BA，交x轴于点E，∵A（a，b）是抛物线y=﹣x2+2上的点，∴A（a，﹣a2+2），AE=|﹣x2+2|，OE=|a|，在直角△AEO中，AO2=AE2+OE2=（﹣a2+2）2+a2=a4+a2+4，而AB2=（4+a2﹣2）2=a4+a2+4，∴AO2=AB2，∴AO=AB；（4）如图2，连结OC，OD，过点C作CM⊥l于M，过点D作DN⊥l于N，此时CM即为C点到l的距离，DN即为D点到l的距离．则有CO=CM，DO=DN，在△COD中，∵CO+DO＞CD，∴CM+DN＞CD．当CD过O点时，∵CO+DO=CD，∴CM+DN=CD．∴CM+DN≥CD，即CM+DN≥6．∴C、D两点到直线l的距离之和的最小值6．【点评】本题考查了二次函数综合题，学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，勾股定理，坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．。
2021年泉州市九年级数学上期末模拟试卷(含答案)
3．下列事件属于不可能事件的是（）
A．太阳从东方升起B．1＋1＞3
C．1分钟＝60秒D．下雨的同时有太阳
4．掷一枚普通的正六面体骰子，出现的点数中，以下结果机会最大的是（）
A．点数为 的倍数B．点数为奇数
C．点数不小于 D．点数不大于
5．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是_____．
14．在一个不透明的盒子里装有3个分别写有数字﹣2，0，1的小球，它们除了数字不同以外其余完全相同，先从盒子里随机抽取1个小球，再从剩下的小球中抽取1个，将这两个小球上的数字依次记为a，b，则满足关于x的方程x2+ax+b＝0有实数根的概率为_____．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
9．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐标分别为（1，0），（0，1）， ．一个电动玩具从坐标原点 出发，第一次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第二次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第三次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称：第四次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第五次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；…，照此规律重复下去，则点 的坐标为（）
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【市级联考】福建省泉州市2018届九年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列根式是最简二次根式的是（）A B C D2．下列事件中是必然发生的事件是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180B．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖C．掷一枚硬币，正面朝上D．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝﹣2 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝6 4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为( )A．1 B．12C．14D．155．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，某家快递公司，今年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为8.5万件和10万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．8.5（1+2x）=10B．8.5（1+x）=10C．8.5（1+x）2=10D．8.5+8.5（1+x）+8.5（1+x）2=106．一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）A ． BC ．2D ．17．如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知0234a b c==≠，a+2b=16，则c 的值为（ ） A ．1287 B ．645C ．8D ．29．如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．12B C D10．设，M 与N 的关系为（ ） A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M=ND ．M=±N二、填空题11x 的取值范围是 ．12．如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 两边中线，则EDC ABCS S=_____．13．已知某斜面的坡度为，那么这个斜面的坡角等于_____度．14．如图，在平面直角坐标系中，已知A （1.5，0），D （4.5，0），△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若DE ＝7.5，则AB ＝_____．15．若一元二次方程ax 2+bx+c=0中，4a ﹣2b+c=0．则此方程必有一根为_____． 16．如图，等腰△ABC 中，CA=CB=6，D 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAE 与△CBF ，连接EF ，则△CEF 面积的最小值为_____．三、解答题 17|4﹣|+1）0 18．解方程：x （x ﹣5）+6=019．先化简，再求值：((5)a a a a +-，其中1a =.20．中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． （2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．21．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.22．某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：设参加旅游的员工人数为x 人．（1）当25＜x ＜40时，人均费用为 元，当x≥40时，人均费用为 元； （2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？23．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，，AB=c=2，那么sin a A =sin bB=2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着sin aA=sin bB =sin c C的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： （1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“sin a A =sin bB=sin cC”的关系是否成立？答： （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“sin a A =sin bB =sin c C”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．24．如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=30°． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．25．如图，已知直线y=k 1x+b 与x 轴、y 轴相交于C 、D 两点，与y=2k x交于A （m ，2）、B （﹣2，n ）两点． （1）求m+n 的值；（2）连接OA 、OB ，若tan ∠AOD+tan ∠BOC=1． ①当不等式k 1x+b ＞2k x时，请结合图象求x 的取值范围； ②设点E 在y 轴上，且满足∠AEO+∠AOD=45°，求点E 的坐标．参考答案1．D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．【详解】解：A，故此选项错误；B，故此选项错误；C，故此选项错误；2D故选D．【点睛】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件.2．A【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故此选项正确；B、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖，是随机事件，故此选项错误；C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；D、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故此选项错误；故选A．【点睛】此题主要考查了概率，以及随机事件和必然事件，关键是掌握①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．3．C【分析】按照配方法的步骤：移项，配方（方程两边都加上4），即可得出选项．【详解】解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝﹣2+4，（x﹣2）2＝2，故选：C．【点睛】本题主要考查配方法，掌握完全平方公式是解题的关键．4．B【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12，故选B．【点睛】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．5．C【分析】利用7月份完成投递的快递总件数=5月份完成投递的快递总件数×（1+x）2，进而得出等式求出答案．【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得8.5（1+x）2=10，故选C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题关键． 6．B 【分析】首先根据折叠的性质求出DA′、CA ′和DC ′的长度，进而求出线段DG 的长度． 【详解】解：∵AB=3，AD=2， ∴DA′=2，CA′=1， ∴DC′=1， ∵∠D=45°，∴， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出DC ′的长度． 7．C 【解析】试题解析：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误； 故选C ．点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似. 两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似. 三组边对应成比例，两个三角形相似. 8．C 【分析】设比值为k ，用k 表示出a 、b 、c ，然后代入等式求出k 的值，再求解即可． 【详解】 解：设234a b c===k （k≠0），则a=2k ，b=3k ，c=4k ， ∵a+2b=16， ∴2k+6k=16， 解得k=2， ∴c=4×2=8． 故选C ． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k 法”求解更简便． 9．B 【分析】连接CD ，求出CD ⊥AB ，根据勾股定理求出AC ，在Rt △ADC 中，根据锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：连接CD （如图所示），设小正方形的边长为1，∵，∠DBC=∠DCB=45°， ∴CD AB ⊥，在Rt ADC 中，AC =，CD =，则sin5CD A AC ===．故选B ． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角形． 10．C 【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得． 【详解】解：∵，=1，∴M=N，故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．11．x3≥．【解析】x30x3-≥⇒≥．12．14【分析】利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题；【详解】∵AE=EC，BD=CD，∴DE∥AB，DE=12AB，∴△EDC∽△ABC ，∴EDCABCSS＝21()4EDAB=，故答案是：14．【点睛】考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理．13．30°【解析】分析：画出示意图，利用坡角的定义直接得出求出∠A即可．详解：如图所示：∵某坡面的坡比为1:，∴tan A则它的坡角是：30∘.故答案为30.点睛：本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握特殊角度的三角函数值，常见的特殊角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据特殊角度的三角函数值进行求解即可.14．2.5．【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得到位似比为13，然后根据相似的性质计算AB的长．【详解】解：∵A（1.5，0），D（4.5，0），∴OAOD=1.54.5=13，∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，∴ABDE=OAOD=13,∴AB=13DE=13×7.5=2.5．故答案为2.5．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．15．﹣2．【分析】根据一元二次方程的解的定义进行解答．【详解】解：当x=-2时，4a-2b+c=0，则此方程必有一根为-2．故答案是：-2．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16 【分析】作CH ⊥AB 于H ．首先证明△ECF 是顶角为120°的等腰三角形，根据此线段最短可知CD 的最小值为3，延长即可解决问题.【详解】解：作CH ⊥AB 于H ．∵CA=CB ，CH ⊥AB ，∴∴cos ∠CAH=AH AC ∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ACB=120°，CH=12AC=3， 由翻折不变性可知：CD=CE=CF ，∠ACE=∠ACD ，∠BCD=∠BCF ，∴∠ECF=360°-120°-120°=120°，∴△ECF 是顶角为120°的等腰三角形，∴当CE 的长最短时，△ECF 的面积最小，根据垂线段最短可知，当CD 与CH 重合时，EC=CD=CH=3，∴S △ECF =12××32故答案为 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．5【分析】先化简二次根式、取绝对值符号、计算零指数幂，再去括号、合并同类二次根式即可得．【详解】解：原式÷3﹣（﹣4）+1+4+1=5．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、绝对值性质、零指数幂．18．x=2或x=3【分析】将方程整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵x （x ﹣5）+6=0，∴x 2﹣5x+6=0，则（x ﹣2）（x ﹣3）=0，∴x ﹣2=0或x ﹣3=0，解得：x=2或x=3．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．【分析】先用平方差公式，再合并同类项即可化简，代入a的值即可得答案. 【详解】（a+a（5﹣a）=a2﹣5+5a﹣a2=5a﹣5，当时，原式=5）﹣﹣【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握平方差公式是解题关键.20．（1）72；补图见解析；（2）1 6 .【分析】（1）由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心距度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．【详解】（1）360°（1﹣40%﹣25%﹣15%）=72°；故答案为72；全年级总人数为45÷15%=300（人），“良好”的人数为300×40%=120（人），将条形统计图补充完整，如图所示：（2）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）=21= 126．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．21．（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用. 22．（1）1000﹣20（x ﹣25）；700．（2）30名【分析】（1）求出当人均旅游费为700元时的员工人数，再根据给定的收费标准即可求出结论； （2）由25×1000＜27000＜40×700可得出25＜x ＜40，由总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）∵25+（1000﹣700）÷20=40（人），∴当25＜x ＜40时，人均费用为[1000﹣20（x ﹣25）]元，当x≥40时，人均费用为700元．（2）∵25×1000＜27000＜40×700，∴25＜x ＜40．由题意得：x[1000﹣20（x ﹣25）]=27000，整理得：x 2﹣75x+1350=0，解得：x 1=30，x 2=45（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．（1）成立；（2）见解析【分析】（1）因为sin a A =c ，sin b B =c ，sin c C=c ，推出“sin a A =sin b B =sin c C ”成立， （2）作CD ⊥AB 于D ．在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，可得sinA=b CD ，sinB=a CD ，推出sin a A =ab CD ，sin b B =ab CD ，可得sin a A =sin b B，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证sin b B =sin c C，即可解决问题. 【详解】（1）∵sin a A =c ，sin b B =c ，sin c C=c ， ∴“sin a A =sin b B =sin c C ”成立， 故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°， ∴sinA=b CD ，sinB=aCD ， ∴sin a A =ab CD ，sin b B =ab CD， ∴sin a A =sin b B ， 同理，作AH ⊥BC 于H ，可证sin b B =sin c C，∴sin a A =sin b B =sin c C． 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考创新题目．24．（1）证明见解析（2）2122y x =+0＜x ＜）（3）AE=4﹣23． 【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD ∽△DCE ；（2）如图1，作高AF ，根据直角三角形30°的性质求AF 的长，根据勾股定理求BF 的长，则可得BC 的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE 时；②当AE=ED 时；③当AD=AE 时，讨论即可得到答案．【详解】解：（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB ，∴∠EDC=∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A 作AF ⊥BC 于F ，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=12AB=1，∴∴则﹣x ，EC=2﹣y ，∵△ABD ∽△DCE ，∴AB DC BD CE=，∴2x =，化简得：2122y x =+（0＜x ＜；（3）当AD=DE 时，如图2，由（1）可知：此时△ABD ∽△DCE ，则AB=CD ，即x ，2，代入2122y x =-+，解得：y=4﹣AE=4﹣，当AE=ED 时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=12EC ，即y=12（2﹣y ）， 解得：y=23，即AE=23， 当AD=AE 时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE 是等腰三角形时，AE=4﹣或23．【点睛】本题考查1、三角形相似的性质和判定，2、等腰三角形的性质，3、直角三角形30°角的性质．25．(1)m+n=0;(2) ①x ＞1或﹣2＜x ＜0；②（0，5）或（0，﹣1）．【分析】（1）利用点A ，B 在反比例函数上，代入反比例函数解析式中即可得出结论； （2）①先表示出tan ∠AOD 和tan ∠BOC ，进而用tan ∠AOD+tan ∠BOC=1，建立方程借助m+n=0，求出m ，n 即可得出点A ，B 坐标，最后利用图象即可得出结论；②分两种情况，Ⅰ、当点E 在AM 上方时，先求出再判断出△AOM ∽△E 1ON ，即可求出m 的值．最后利用勾股定理求出OE 1即可得出结论；Ⅱ、当点E 在AM 下方时，利用对称性即可得出结论.【详解】解：∵点A （m ，2），B （﹣2，n ）在反比例函数y=2k x， ∴k 2=2m ，k 2=﹣2n ，∴2m+2n=0，∴m+n=0；（2）①如图1，过点A 作AM ⊥y 轴于M ，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，在Rt △AOM 中，tan ∠AOM=AM OM =m 2，在Rt △BOF 中，tan ∠BOF=BF OF =n 2-=﹣n 2， ∵tan ∠AOD+tan ∠BOC=1， ∴m 2+（﹣n 2）=1， ∴m ﹣n=2，∵m+n=0，∴m=1，n=﹣1，∴A （1，2），B （﹣2，﹣1），∵k 1x+b ＞2k x， ∴y 1＞y 2， ∴当x ＞1或﹣2＜x ＜0时，k 1x+b ＞2k x ； ②如图2，Ⅰ、当点E 在AM 上方时，过点E 1作E 1N ⊥OA 交OA 的延长线于N ，由题意知，∠E 1AN=45°， ∴∠E 1AN=∠AE 1N=45°， ∴E 1N=AN ，在Rt △OAM 中，AM=1，OM=2，∴设E 1N=AN=m ，∴，∵∠AOM=∠E 1ON ，∠AMO=∠E 1NO ，∴△AOM ∽△E 1ON ， ∴1AM OM E N ON=，∴1m，∴E1，E1M=3，∴OE1=5，∴E1（0，5）；Ⅱ、当点E在AM下方时，由对称性得，E2M=E1M=3，∴OE2=1，∴E2（0，﹣1），综合可知，点E的坐标为（0，5）或（0，﹣1）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称的性质，构造出相似三角形和直角三角形是解本题的关键．。