理论力学第十章动力学
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理论力学10—动量定理
v A cost vc cos(90 2t )
p 2m1vC m1vC1 m2v A m2v B
B
m2 vB 2m1vC
C
C
C1 m1vC1 O t
m2 v A A
x
v A 2l sin t
vB cos(90 t ) vc cos(90 2t ) B c vB 2l cos t B
10.2
动量定理
F fN C f ( P sin 45 mg cos30 )
从而摩擦力为
0 0 tt 0 tt
动量定理积分形式应用时经常使用投影式：
tt
若作用于质点上的外力主矢恒等于零，则质点的动量守恒， 此即质点的动量守恒定律。 若作用于质点上的外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则 质点的动量在该轴上的投影守恒，此即质点对轴的动量守恒 定律。
10.2
动量定理
y
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时τ＝0.01s ；求锤对工件的平均压力。 解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用 平均反力N*表示。 锤自由下落时间
d ri vi dt
代入式10—1，注意到质量mi是不变的，则有
d ri d p mi vi mi mi ri dt dt i 1 i 1
令
M mi
n
n
为质点系的总质量
10.1
动量与冲量
m r m r i i i i rC mi M
1 p mvC ml 2
10.1
动量与冲量
vC C
p 2m1vC m1vC1 m2v A m2v B
B
m2 vB 2m1vC
C
C
C1 m1vC1 O t
m2 v A A
x
v A 2l sin t
vB cos(90 t ) vc cos(90 2t ) B c vB 2l cos t B
10.2
动量定理
F fN C f ( P sin 45 mg cos30 )
从而摩擦力为
0 0 tt 0 tt
动量定理积分形式应用时经常使用投影式：
tt
若作用于质点上的外力主矢恒等于零，则质点的动量守恒， 此即质点的动量守恒定律。 若作用于质点上的外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则 质点的动量在该轴上的投影守恒，此即质点对轴的动量守恒 定律。
10.2
动量定理
y
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时τ＝0.01s ；求锤对工件的平均压力。 解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用 平均反力N*表示。 锤自由下落时间
d ri vi dt
代入式10—1，注意到质量mi是不变的，则有
d ri d p mi vi mi mi ri dt dt i 1 i 1
令
M mi
n
n
为质点系的总质量
10.1
动量与冲量
m r m r i i i i rC mi M
1 p mvC ml 2
10.1
动量与冲量
vC C
理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点动力学的基本方程
y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解：
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动： 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x （特征根法） 0 m 1 0 2 m
(完整版)理论力学_动力学课件
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e) x
py
p0 y
I
(e y
)
积 分 形
pz
p0 z
I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
理论力学(哈工大版)第十章：质点动力学
第六章 质点动力学6-1 惯性参考系中的质点动力学一.惯性参考系1.一般工程问题：2.人造卫星、洲际导弹问题：3.天体运动问题：二.牛顿定律1.第一定律（惯性定律）：2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）：3.第三定律（作用与反作用定律）：三.质点的运动微分方程 将动力学基本方程)(F a m =表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式（自：会使用微分形式）) )( ( 22方程为质点矢径形式的运动式中t r r F dtr d m == 2.直角坐标形式) )()()( ( 222222运动方程为质点直角坐标形式的式中⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z z t y y t x x Z dty d m Y dt y d m X dt x d m 3.自然形式b n F F v m F dt s d m ===0222ρτ ), ,,)((轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。
为质点的弧坐标形式的式中b n F F F F t s s b n ττ= 四.质点动力学的两类基本问题1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力；----求微分问题。
2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。
----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求积分，并确定相应的积分常数的问题。
第一类问题解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。
变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量积分dt dv 。
理论力学@10动量定理
第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。
10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。
10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。
若流体的流量为Q ，密度为ρ。
流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。
当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。
理论力学答案完整版(清华大学出版社)10
两者总质量为 m2，对 O 轴的回转半径为 ρ 。当重物 A 下降时，滚
子 C 沿水平轨道滚动而不滑动，试求重物 A 的加速度。
解： 取整个系统为研究对象，自由度为 1。设重物速度为 vA ，则轮
题 10-9 图
的角速度 ω = vA ，轮心速度为 R−r
vO
=
R
r −
r
vA 。系统的动能为
( ) T
拉格朗日方程的普遍形式
d dt
∂L ∂q& j
− ∂L ∂q j
= Q′j
( j = 1,2,..., m)
式中 Q′j 为非有势力对应的广义力。
矢量方法
动量法：动量定理
动量矩定理 质心运动定理 定轴转动微分方程 平面运动微分方程
质点系统动力学
动静法
动能定理
能量方法
拉格朗日方程
3 保守系统拉格朗日方程的初积分
10-3 质量为 m1 的匀质杆，长为 l，一端放在水平面上， 另一端与质量为 m2、半径为 r 的匀质圆盘在圆盘中心 O 点 铰接。圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v。求系统在此
题 10-3 图
位置的动能。
解：杆作平移，动能为
T1
=
1 2
m1v2
；
圆盘作纯滚动，动能为
T2
=
1 2
m2v2
+
1 2
mivi
⋅ vi
，
其中 n 为系统中的质点数目，可以是有限或无穷，mi 和 vi 分别为各质点的质量和速度。 平
移刚体的动能 T = 1 mv2 ， 2
其中 m 为平移刚体的质量。
定轴转动刚体的动能
T
=
1 2
子 C 沿水平轨道滚动而不滑动，试求重物 A 的加速度。
解： 取整个系统为研究对象，自由度为 1。设重物速度为 vA ，则轮
题 10-9 图
的角速度 ω = vA ，轮心速度为 R−r
vO
=
R
r −
r
vA 。系统的动能为
( ) T
拉格朗日方程的普遍形式
d dt
∂L ∂q& j
− ∂L ∂q j
= Q′j
( j = 1,2,..., m)
式中 Q′j 为非有势力对应的广义力。
矢量方法
动量法：动量定理
动量矩定理 质心运动定理 定轴转动微分方程 平面运动微分方程
质点系统动力学
动静法
动能定理
能量方法
拉格朗日方程
3 保守系统拉格朗日方程的初积分
10-3 质量为 m1 的匀质杆，长为 l，一端放在水平面上， 另一端与质量为 m2、半径为 r 的匀质圆盘在圆盘中心 O 点 铰接。圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v。求系统在此
题 10-3 图
位置的动能。
解：杆作平移，动能为
T1
=
1 2
m1v2
；
圆盘作纯滚动，动能为
T2
=
1 2
m2v2
+
1 2
mivi
⋅ vi
，
其中 n 为系统中的质点数目，可以是有限或无穷，mi 和 vi 分别为各质点的质量和速度。 平
移刚体的动能 T = 1 mv2 ， 2
其中 m 为平移刚体的质量。
定轴转动刚体的动能
T
=
1 2
动量定理
即 xC1 xC 2
m2 a m1b m2 (a l s) m1 (b s) m2 m1 m2 m1 m2l s m2 m1 y a
x
m2 g m1 g
b
s
x
PAG 22
m2 g m1 g
Northeastern University
PAG 23
O
p0
PAG 7
Northeastern University
§10-1
动量与冲量
二、冲量 — 力在某段时间内积累的作用效果
物体在力的作用下引起的运动变化： ⑴ 与力本身有关（大小和方向）； ⑵ 与力作用时间的长短有关。
用机车牵引车子 人沿铁轨推车子
PAG 8
Northeastern University
PAG 5
Northeastern University
§10-1
动量与冲量
rC mi ri m
质心公式的矢量形式
d rC d ri m mi dt dt mvC mi vi
p mi vi mvC
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积；
PAG 6
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上 所有外力的矢量和。
PAG 11
Northeastern University
§10-2
动量定理
e dp d e Fi (mi vi ) Fi dt dt
e e d p Fi dt dI i — 动量定理的微分形式
PAG 14
Northeastern University
§10-2
动量定理
y
精品课件-理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)
惯性——物体具有保持其原有运动状态的特征
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律（力与加速度关系定律）：
ma F ——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关， 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
(1 )F 不， 变 a ， m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2)F 不， 变 a， m
物体的运动状态不易改变——惯性大
力的单位:牛[顿],
1N1kg1ms2
二、质点的运动微分方程
ma Fi
m
d2 dt
r
2
Fi
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影 aaxiayjazk
理论力学第十章 质点动力学 基本方程(Y)
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
kt m
y
v0
m sin k
kt m
x x0
vx 0
y0 vy v0
A1 x0 B1 0
A2 0
B2 v0
m k
解法二： mx Fx kx
my Fy ky
（1） m x kx
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律（力与加速度关系定律）：
ma F ——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关， 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
(1 )F 不， 变 a ， m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2)F 不， 变 a， m
物体的运动状态不易改变——惯性大
力的单位:牛[顿],
1N1kg1ms2
二、质点的运动微分方程
ma Fi
m
d2 dt
r
2
Fi
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影 aaxiayjazk
理论力学第十章 质点动力学 基本方程(Y)
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
kt m
y
v0
m sin k
kt m
x x0
vx 0
y0 vy v0
A1 x0 B1 0
A2 0
B2 v0
m k
解法二： mx Fx kx
my Fy ky
（1） m x kx
理论力学第10讲动力学
W l W sin l FN W cos
2
d d
1 d
2
2 d
（3）
则式(1)化成
1 d
2 d
g l
sin
M0 at
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有
从而得
2 d ( )
0
0
(
2g l
sin )d
动力学
质点系动力学
质
点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。 第一章 质点动力学基础
绪论
动 力 学
第一章
质点动力学基础
第一章 质点动力学基础
动
第 一 章
力
学
§1-1 动力学的基本定律
§1-2 质点运动微分方程
质 点 动 力 学 基 础
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
矢量形式 直角坐标形式 自然形式
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
一、矢量形式
z
M
设有可以自由运动的质点 M，质
量是 m，作用力的合力是 F，加速 度是 a 。
m d r dt
2 2
r O x
F a y
F
(1 2)
这就是质点运动微分方程的矢量形式。
第一定律说明了任何物体都具有惯性。
第二定律 力与加速度关系定律 质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比 而与质量成反比。
F = ma
(1–1)
第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的
2
d d
1 d
2
2 d
（3）
则式(1)化成
1 d
2 d
g l
sin
M0 at
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有
从而得
2 d ( )
0
0
(
2g l
sin )d
动力学
质点系动力学
质
点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。 第一章 质点动力学基础
绪论
动 力 学
第一章
质点动力学基础
第一章 质点动力学基础
动
第 一 章
力
学
§1-1 动力学的基本定律
§1-2 质点运动微分方程
质 点 动 力 学 基 础
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
矢量形式 直角坐标形式 自然形式
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
一、矢量形式
z
M
设有可以自由运动的质点 M，质
量是 m，作用力的合力是 F，加速 度是 a 。
m d r dt
2 2
r O x
F a y
F
(1 2)
这就是质点运动微分方程的矢量形式。
第一定律说明了任何物体都具有惯性。
第二定律 力与加速度关系定律 质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比 而与质量成反比。
F = ma
(1–1)
第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的
理论力学10动量矩定理
3D空间应用
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03
理论力学 第10章 达朗贝尔原理(动静法)
解： 取轮为研究对象
虚加惯性力系：
RQ maC mR
M QC JC m 2
O
由动静法，得：
23
X 0 , F T RQ 0
(1)
Y 0 , N mg S 0
(2)
mC (F )
0
, M
FR M QC
0
(3)
2
2
M F( R) T (4)
4
二、质点的达朗贝尔原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗贝尔原理
该方程对动力学问题来说只是 形式上的平衡，并没有改变动力学 问题的实质。采用动静法解决动力 学问题的最大优点，可以利用静力 学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要
在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
26
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 ⑦求解求知量。
[注] RQ , MQO 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时， 只需按 RQ maC , MQO JO 代入即可。
5
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。 a
6
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
详细版《理论力学》第十章 质心运动定理.ppt
质心运动定理的表示方法
直角坐标表示法：
自然表示法：
maCx
m
d 2 xC dt 2
FixE
maCy
m
d 2 yC dt 2
FiyE
maCz
m
d 2zC dt 2
FizE
maC
m dvC dt
FiE
maCn
m vC2
FinE
maCb 0 FibE
︵。︵
10
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
练习1： 质量50kg，长度2 2m的均质杆A端搁在光滑水平面
上，另一端B与水平杆BD铰接并用铅直绳BE悬挂。已知系统
静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，B点的加速度为
7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对AB杆的反力。
BD杆质量不计。
解：1.
2.
受力分析； 运动分析；
y
以B为基点，分析A点加速度：
得：
FN
FN
mg
maCy
mg m aB 2 ︵。︵
例3: 质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，沿
水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度为
aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2）圆 轮所受摩擦力的大小。
解：
aO
3aA 2
2.受力分析
M
C aO mg
3.质心运动定理
maO F
FN F
F
3 2
ma
A
︵。︵
23
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
设电动机轴以匀角速ω转动，求螺栓和基础作用于电
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