关于全等三角形的旋转难题解析

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专题01 旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)(解析版)

专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。

模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。

其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。

3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。

结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠AFD 。

4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。

结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。

例1．（2022·黑龙江·中考真题）ABC V 和ADE V 都是等边三角形．(1)将ADE V 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE V 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE V 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析 (3)图③结论：PA PB PC+=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC=+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC CAD DAE CAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，∴CAP CAF BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．例2．（2023·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE ．(1)如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是；(2)如图3，DE ∥BC ，连接AE ，判断△EAC 的形状，并求出EC 的长；(3)继续旋转△BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．例3．（2023·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B 重合时，如图2，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD 2+DB 2=2DF 2证明：∵DF =EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF = 连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =，CF AB ^，即90CFB Ð=° ∴45FCB FBC Ð=Ð=°，90CFD DFB Ð+Ð=°又90DFB EFB Ð+Ð=° ∴CFD EFB Ð=Ð在CFD D 和BFE D 中CF BF CFD BFE DF EF =ìïÐ=Ðíï=î∴CFD D @BFED ∴CD BE =，45EBF FCB Ð=Ð=° ∴454590DBF EBF Ð+Ð=°+°=° ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2 证明：连接CF 、BE∵CF =BF ，DF =EF 又∵∠DFC +∠CFE =∠EFB +∠CFB=90°∴∠DFC =∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD =BE ，∠DCF =∠EBF =135°∵∠EBD =∠EBF －∠FBD =135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE 2+DB 2=DE 2∵ DE 2=2DF 2 ∴ CD 2+DB 2=2DF 2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE V 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析 (2)90DCE Ð=°；2AE AD DE BE CM=+=+【分析】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而利用SAS 判断出△BAD ≌△CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD ≌△CAE ，得出AD =BE ，∠ADC =∠BEC ，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð，∴BAC CAD DAE CAD Ð-Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð．在BAD V 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAD CAE SAS ≌△△，∴BD CE =．(2)解：90AEB =°∠，2AE BE CM =+，理由如下：由（1）的方法得，≌ACD BCE V V ，∴AD BE =，ADC BEC ÐÐ=，∵CDE △是等腰直角三角形，∴45CDE CED Ð=Ð=°，∴180135ADC CDE Ð=°-Ð=°，∴135BEC ADC Ð=Ð=°，∴1354590AEB BEC CED Ð=Ð-Ð=°-°=°．∵CD CE =，CM DE ^，∴DM ME =．∵90DCE Ð=°，∴DM ME CM ==，∴2DE CM =．∴2AE AD DE BE CM =+=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD ≌△BCE 是解本题的关键．3）15°模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④D AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

北京四中初二全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短

全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟经典例题透析类型一：由角平分线想到构造全等不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的．1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长．图1 图 2 解析：由题意得△BFE≌△DFE，∴BE=DE，在△BDE中，ED=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8，过A作AG⊥BC，交BC于G，如图2，∴△EDG≌△AGD，∴GE=AD=2，在Rt△ABG和Rt△DCE中，AB=DC，AG=DE，∴Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=CE，∴，∴BE=5．2．如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求证：图3图 4解析：如图4，作∠B的平分线交AC于D，则∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A=∠C∴AD=BD=BC作BM⊥AC于M，则CM=DM．3．如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC，求证：AC＞BD图5图6解析：如图6，作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F，四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形．∴DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF作DH⊥AB于H，根据勾股定理，，∵AD＞BC，AD＞DF∴AH＞FH，EH＞BH，∴DE＞BD，即AC＞BD.4．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC．图7解析：设AB、AC、BD、，CD分别为b、c、m、n，则c+n=b+m，c-b=m-n，∵AD⊥BC，根据勾股定理，得，∴，，∵c+b＞m+n，∴c-b=0即c=b，∴AB=AC．类型二：勾股定理的逆定理的运用5．如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，则点P与点之间的距离为________，∠APB=________．图8 图9 解析：如图9，连结，是由旋转得到的，所以≌所以. .所以三角形是等边三角形，．则在三角形中．所以是直角，．6．如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：．图10 图11解析：如图11，显然△ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BC=BE，连接AE，则可证明△BCD≌△ACE，所以AE=DB，∠ABC+∠CBE=90°，根据勾股定理有，即．7．如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，则A．DE=BC B．DE＞BCC．DE＜BC D．DE与BC大小关系决定于∠A的大小．图12 图13解析：如图13，分别过D和E点作到BC边的垂线，交BC及其延长线于G和H．则根据，可得到△BDG≌△ECH. 所以BG=CH．所以BC=GH．显然DE＞GH. 所以DE＞BC.8．如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F都是垂足，M是△ABC中异于N的另一点，若，，那么与的大小关系是________．图14图15 解析：如图15，作M到正三角形的各边上的高，根据面积相等的关系，有，，分别化简为所以．而根据直角三角形斜边与直角边的关系有，，．所以有．9．如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，则CD的长是A．5B．6C．7 D．8图16 图17 解析：如图17，延长CE交DA的延长线于F，则容易证明△BEC≌△AEF，于是可得到∠DCE=∠BCE=∠AFE，所以△FCD是等腰三角形，所以CD=AD+AF=7．10．如图18，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD∥BC，在AD上取一点E，使∠EBC=30°，则BE和BC的大小关系是（）A．BE＞BC B．BE＜BC C．BE=BC D．不确定图18解析：作△ABC的高h，那么BC=2h．而BE=2h．所以BE=BC．11．已知三角形的两条边长分别为a=5，b=4，它们的高分别为，若，那么该三角形的面积是________．解析：根据三角形的面积公式，可知，而根据，可得到，所以．所以或．如果，则结合，可得到，矛盾．所以，结合，得到，所以，所以三角形的面积为．。

初中数学《几何旋转》重难点模型汇编(四大题型)含解析

专题旋转重难点模型汇编【题型1手拉手模型】【题型2“半角”模型】【题型3构造旋转模型解题】【题型4奔驰模型】【题型5费马点模型】【题型1手拉手模型】1如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2-2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α0°<α<360°，分别连接CE、BD．(1)如图2，当0°<α<90°时，求证：CE=BD；(2)如图3，当α=90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；(3)连接CD，在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)△BCD的面积的最大值为3-2，旋转角α=135°【详解】(1)证明：由题意得，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，∴∠CAE=∠BAD，在△ACE和△ABD中，AC =AB∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴CE =BD ；(2)证明：根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90°，在△ACE 和△ABD 中，AC =AB∠CAE =∠BAD AE =AD∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC =90°，且∠AEC =∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB =90°，∴∠EFB =90°，∴CF ⊥BD ，∵AB =AC =2，AD =AE =2-2，∠CAB =∠EAD =90°，∴BC =AB 2+AC 2=2，CD =AC +AD =2，∴BC =CD ， ∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线；(3)解：在△BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时，△BCD 的面积有最大值，∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，如图，∵AB =AC =2，AD =AE =2-2，∠CAB =∠EAD =90°，DG ⊥BC ，∴AG =12BC =1，∠GAB =45°，∴DG =AG +AD =3-2，∠DAB =180°-45°=135°，∴△BCD 的面积的最大值为：12BC ⋅DG =12×2×3-2 =3-2，此时旋转角α=135°．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，D ，E分别为AC ,BC 的中点，将△CDE 绕点C 逆时针方向旋转得到△CD E (如图2)，使直线D E 恰好过点B ，连接AD ．(1)判断AD 与BD 的位置关系，并说明理由；(2)求BE 的长；(3)若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，当直线D E 过Rt△ABC的一个顶点时，请直接写出BE 长的其它所有值．【答案】(1)AD ⊥BD ，见详解(2)14-22(3)2+142或14-2 2【详解】(1)解：AD 与BD 的位置关系为AD ⊥BD ．∵AC=BC，D，E分别为AC,BC的中点，∴CD=CE，即CD =CE ，∵∠C=90°，即∠BCA=∠D CE =90°，∴∠ACD =∠BCE ,∴△CD A≌△CE B，∴∠CE B=∠CD A，∵∠C=90°，CD =CE ，AC=BC，∴∠CD E =∠CE D =∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CE B=∠CD A=135°，∴∠AD B=135°-45°=90°，即：AD ⊥BD ．(2)解：Rt△ACB中，AC=BC=2，∴BA=AC2+BC2=22，同理可求D E =2，∵△CD A≌△CE B，∴AD =BE ，设AD =BE =x，在Rt△AD B中，由勾股定理得：x2+2+x2=222，解得：x=14-22(舍负)，∴BE =14-22．(3)解：①经过点B 时，题(2)已求BE =14-22；②经过点A 时，如图所示，同理可证：△CD A ≌△CE B ，∴∠D AC =∠E BC ，BE =AD∵∠1=∠2，∴∠AE B =∠BCA =90°，设BE =AD =x ，在Rt △AE B 中，由勾股定理得：x 2+x -2 2=22 2，解得：x =2+142(舍负)，即：BE =2+142；③再次经过点B 时，如下图：同理可证：△CD A ≌△CE B ，AD ⊥BE ，设BE =AD =x ，在Rt △AD B 中，由勾股定理得：x 2+x -2 2=22 2，解得：x =2+142(舍负)，即：BE =2+142；综上所述：BE =2+142或BE =14-22．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键．3如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°．(1)【猜想】如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD 的数量关系是，位置关系是；(2)【探究】：把△DCE 绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，BE ，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE 绕点C 在平面内自由旋转，若AC =6，CE =22，当A ，E ，D 三点在同一直线上时，直接写出BE的长．【答案】(1)BE=AD，BE⊥AD(2)(1)中的结论成立，理由见解析(3)42-2或42+2【详解】(1)解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∠ACB=90°，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案为：BE=AD，BE⊥AD；(2)解：(1)中结论仍然成立，理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，EC=DC，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；(3)解：①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CM⊥AD，DE=2，∴CM=EM=12在Rt△ACM中，AC=6，∴AM=AC2-CM2=42，∴AE=AM-EM=42-2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC2+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=42+2；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CN⊥AD，DE=2，∴CN=EN=12在Rt△ACN中，AC=6，∴AN=AC2-CN2=42，∴AE=AN+NE=42+2，在Rt△ACB中，AC=6，AB=AC2+AB2=62，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=42-2；综上，BE的长为42-2或42+2．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．4已知：如图1，△ABC中，AB=AC∠BAC=60°，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，不难发现BD、CE的关系．(1)将△ADE绕A点旋转到图2位置时，写出BD、CE的数量关系；(2)当∠BAC=90°时，将△ADE绕A点旋转到图3位置．①猜想BD与CE有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．【答案】(1)BD=CE(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明见解析，②45°或135°【详解】(1)∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，水不撩不知深浅∴△BAD≌△CAE SAS∴BD=CE；(2)①BD=CE，BD⊥CE，证明：如图，BD交AC于点F，交CE于点M，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，在△BAF和△CMF中，∵∠ABD=∠ACE，∠AFB=∠MFC，∴∠FMC=∠FAB，∵∠BAC=90°，∴∠FMC=90°，∴BD⊥CE，因此BD=CE，BD⊥CE；②如图，当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段CE上时，如图I所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB=∠EDB-∠ADE=45°；当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段DE上时，如图II所示，在等腰Rt△ADE中，∠ADE=45°，∵BD⊥CE，∴∠EDB=90°，∴∠ADB =∠EDB +∠ADE =135°；故∠ADB 的度数为：45°或135°．5△ABC是等腰直角三角形，点D 是△ABC 外部的一点，连接AD ，AB =AC =2AD =6，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，CE ，BD ．(1)如图1，当点D 在线段EC 上时，线段EC 与线段BD 的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，线段EC 交BD 于点P ，此时(1)中线段EC 与线段BD 的关系是否依然成立，请说明理由；(3)如图3，线段EC 交BD 于点P ，点Q 是AC 边的中点，连接DC ，PQ ，当DC =32时，求PQ 的长．【答案】(1)BD =CE ，BD ⊥CE(2)(1)中线段EC 与线段BD 的关系是否依然成立，理由见解析(3)PQ 的长为32【详解】(1)解：BD =CE ，BD ⊥CE ，理由如下：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，AB =AC ，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴∠DAE =90°，AE =AD ，∴∠BAD =∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD =CE ，∠ABD =∠ACE ，∴∠ACE +∠DBC +∠ACB =∠ABD +∠DBC +∠ACB =∠ABC +∠ACB =90°，∴∠BDC =90°，∴BD ⊥CE ；故答案为：BD =CE ，BD ⊥CE ；(2)解：(1)中线段EC 与线段BD 的关系依然成立；理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC =90°，AB =AC ，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转 90° 得到线段AE ，∴∠DAE=90°，AE=AD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°，∴∠BPC=90°，∴BD⊥CE；(3)解：连接PQ，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴∠DAE=90°，AE=AD=3，∴DE=2AD=32，∵DC=32，∴DE=CD，由(2)知BD⊥CE，∴EP=CP，∵点Q是AC边的中点，∴PQ=12AE=32．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，旋转的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【题型2“半角”模型】6如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．(1)试判断DM，BN，MN之间的数量关系；(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B +∠D =180°，点N ，M 分别在边BC ，CD 上，∠MAN =60°，请直接写出BN ，DM ，MN 之间数量关系．【答案】(1)MN =DM +BN (2)MN =BN -DM ，证明见解析(3)MN =DM +BN【详解】(1)解：MN =DM +BN ，证明如下：如图：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BAD =∠D =90°，，由旋转的性质可得：AE =AM ，BE =DM ，∠ABE =∠D =90°，∠DAM =∠BAE ，∴∠ABE +∠ABC =180°，∴点E 、B 、C 共线，∵∠DAM +∠BAM =90°，∴∠BAE +∠BAM =90°=∠EAM ，∵∠MAN =45°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN SAS ，∴EN =MN ，∵EN =BE +BN ，∴MN =DM +BN ；(2)解：MN =BN -DM ，证明如下：如图，在BC 上取BE =MD ，连接AE ，，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠ADC =∠BAD =90°，AB =AD ，∵∠ADC +∠ADM =180°，∴∠ADC =∠ADM =∠ABE =90°，在△ABE 和△ADM 中，AB =AD∠ABE =∠ADM BE =DM，∴△ABE≌△ADM SAS ，∴AE =AM ，∠BAE =∠MAD ，∵∠BAE +∠EAD =∠BAD =90°，∴∠DAM +∠EAD =∠EAM =90°，∵∠MAN =45°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AM∠EAN =∠MAN AN =AN，∴△EAN ≌△MAN SAS ，∴EN =MN ，∵EN =BN -BE ，∴MN =BN -DM ；(3)解：如图，将△ABN 绕点A 逆时针旋转120°得△ADE ， ∴∠B =∠ADE ，AB =AD ，AE =AN ，∴∠B +∠ADC =180°，∴∠ADE +∠ADC =180°，∴点E 、D 、C 共线，∵∠BAN +∠NAD =∠BAD =120°，∴∠DAE +∠NAD =∠NAE =120°，∵∠MAN =60°，∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =60°=∠MAN ，在△EAN 和△MAN 中，AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△EAM ≌△NAM SAS ，∴EM =MN ，∴MN =DM +BN ．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．7如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是BC 边上的点，将△ABD 绕点A 旋转，得到△ACD，连接D E ．(1)当∠BAC =120°，∠DAE =60°时，求证：DE =D E ；(2)当DE=D E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)在(2)的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必证明)【答案】(1)见解析(2)∠DAE=12∠BAC，理由见解析(3)DE=2BD【详解】(1)证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD ，∴AD=AD ，∠CAD =∠BAD，∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠D AE=∠CAD +∠CAE=∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，∴∠DAE=∠D AE，在△ADE和△AD E中，∵AD=AD∠DAE=∠D AE AE=AE，∴△ADE≌△AD E(SAS)，∴DE=D E；(2)解：∠DAE=12∠BAC．理由如下：在△ADE和△AD E中，AD=AD AE=AE DE=D E，∴△ADE≌△AD′E(SSS)，∴∠DAE=∠D AE，∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，∴∠DAE=12∠BAC；(3)解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠ACD =45°，∴∠D CE=45°+45°=90°，∵△D EC是等腰直角三角形，∴D E=2CD ，由(2)DE=D E，∵△ABD绕点A旋转得到△ACD ，∴BD=C D ，∴DE=2BD．【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．8学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠ADC =90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到△ADE 的位置，然后证明△AFE ≌△AFE ，从而可得EF =E F ．E F =E D +DF =BE +DF ，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，∠EAF =12∠BAD ，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，∠EAF =12∠BAD ，求证：EF =BE +DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是⊙O 的内接四边形，BC 是直径，AB =AC ，请直接写出PB +PC 与AP 的关系．【答案】(1)BE +DF =EF (2)证明见解析(3)PB +PC =2PA【详解】(1)解：结论：BE +DF =EF ，理由如下：证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于∠BAD ，使得AB 与AD 重合，点E 转到点E 的位置，如图所示，可知△ABE≌△ADE ，∴BE=DE ．由∠ADC+∠ADE =180°知，C、D、E 共线，∠BAD，∵∠EAF=12∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，∴∠DAE +∠DAF=∠EAF=∠E'AF，∴△AEF≌△AE F，∴EF=E F=BE+DF．(2)证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点E 的位置，如图所示，由旋转可知△ABE≌△ADE ，∴BE=DE ，∠B=∠ADE ，∠BAE=∠DAE ，AE=AE ．∴∠ADC+∠ADE =180°，∴点C，D，E 在同一条直线上．∠BAD，∵∠EAF=12∴∠BAE+∠DAF=1∠BAD，2BAD，∴∠DAE +∠DAF=12∠BAD，∴∠FAE =12∴∠EAF=∠FAE ．∵AF=AF，∴△FAE ≌△FAE，∴FE=FE ，即BE+DF=EF．(3)结论：PB+PC=2PA，理由如下：证明：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP ，使得AB与AC重合，如图所示，由圆内接四边形性质得：∠ACP +∠ACP=180°，即P，C，P 在同一直线上．∴BP=CP ，AP=AP ，∵BC为直径，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CAP +∠PAC=∠PAP ，∴△PAP 为等腰直角三角形，∴PP =2PA，即PB+PC=2PA．【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．9阅读下面材料．小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB、AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决这个问题(如图2)．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)写出小炎的推理过程；(2)如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足于关系时，仍有EF=BE+DF；(3)如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC =2，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)∠B+∠ADC=180°(3)5【详解】(1)解：如图所示，将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可得AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠B=90°，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三点共线，∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF SAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF；(2)解：当∠B+∠ADC=180°时，仍有EF=BE+DF，理由如下：如图所示，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠B=∠ADG∵∠B+∠ADC=180°，∠B=∠ADG，∴∠ADC+∠ADG=180°，即C、D、G三点共线，∵∠BAD=90°∴∠BAE+∠DAE=90°，∴∠DAG+∠DAE=90°，即∠EAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°=∠EAF，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF SAS，∴EF=GF，又∵GF=DF+DG，DG=BE，∴EF=BE+DF，故答案为：∠B+∠ADC=180°；(3)解：如图所示，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，∴∠B=∠ACG，BD=CG=1，AD=AG，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAG+∠CAD=90°，∠ACG+∠ACB=90°，即∠ECG=90°，∠DAG=90°，∵∠DAE=45°，∴∠GAE=45°=∠DAE，又∵AE=AE，∴△ADE≌△AGE SAS，∴GE=DE，在Rt△CEG中，由勾股定理得GE=CE2+CG2=5，∴DE=GE=5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．10如图1，E，F分别是正方形ABCD的边CD，BC上的动点，且满足∠EAF=45°，试判断线段BF，EF，ED之间的数量关系，并说明理由．小聪同学的想法：将△DAE顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．(1)线段BF，EF，ED之间的数量关系是．(2)如图2，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接BD，分别交AF，AE于点M，N，试判断线段BM，MN，ND之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)EF=BE+DF(2)MN2=BM2+DN2【详解】(1)解：结论：EF=BE+DF理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可知：AH=AE，∠ADE=∠ABH=90°，HB=DE，∠EAH=90°，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=45°，∴∠FAH=∠EAF，∵∠ABF+∠ABH=90°+90°=180°，∴F、B、H三点共线，又∵AF=AF，∴△AFE≌△AFH SAS，∴EF=FH，∵FH=BF+BH=BF+DE，∴EF=BE+DF．(2)结论：MN2=BM2+DN2,证明如下：如图所示，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△BAG．∵BA=AD，∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转的性质可知：AN=AG，∠ABG=∠ADB=45°，∠GAE=90°，∴∠MBG=∠ABG+∠ABD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAM=∠BAG+∠BAM=90°-∠EAF=45°，∴∠MAG=∠MAN，∵AM=AM，∴△AGM≌△ANM SAS，∴MN=GM，∵∠MBG=90°，∴BM2+BG2=GM2，∴MN2=BM2+DN2．【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．【题型3构造旋转模型解题】11如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF=EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE=2，DF=3，则S△AEF=15；④若AB=62，BM=3，则MN=5．其中结论正确的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】A【分析】根据旋转的性质得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB=AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长，故②正确；求出EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，根据勾股定理即可得到S△AEF=15，故③正确；把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，再证明△AMQ≌△AMN(SAS)，从而得MQ=MN，再证明∠QBM=∠ABQ+∠ABM=90°，设MN=x，再由勾股定理求出x即可．【详解】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠EAF=45°，在△AEF和△AEH中，AH=AF∠EAH=∠EAF=45oAE=AE，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，∴BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，∴∠AGE=∠ABE=90°，在△ABE与△AGE中，∠ABE=∠AGE∠AEB=∠AEGAE=AE，∴△ABE≌△AGE(AAS)，∴AB=AG，∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；∵BE=2，DF=3，∴EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，∴CE=n-2，CF=n-3，∴EF2=CE2+CF2，∴25=(n-2)2+(n-3)2，∴n=6(负值舍去)，∴AG=6，∴S△AEF=12×6×5=15．故③正确；如图，把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABQ ，连接QM ，由旋转的性质得，BQ =DN ，AQ =AN ，∠BAQ =∠DAN ，∠ADN =∠ABQ =45°，∵∠EAF =45°，∴∠MAQ =∠BAQ +∠BAE =∠DAN +∠BAE =90°-∠EAF =45°，∴∠MAQ =∠MAN =45°，在△AMQ 和△AMN 中，AQ =AN∠MAQ =∠MAN AM =AM，∴△AMQ ≌△AMN (SAS )，∴MQ =MN ，∵∠QBM =∠ABQ +∠ABM =90°，∴BQ 2+MB 2=MQ 2，∴ND 2+MB 2=MN 2，∵AB =62，∴BD =2AB =12，设MN =x ，则ND =BD -BM -MN =9-x ，∴32+(9-x )2=x 2，解得：x =5，∴MN =5，故④正确，故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键是旋转三角形ADF 和三角形AND ．12如图，已知点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA 、PB 、PC ．若PA =4，PB =2，∠APB =135°，则PC 的长为．【答案】26【分析】先根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，则可把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，如图，根据旋转的性质得BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB= 135°，于是可判断△PBE为等腰直角三角形，所以PE=2PB=22，∠PEB=45°，则∠PEC=90°，然后在Rt△PEC中利用勾股定理计算PC的长．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°，把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，如图，∴BP=BE=2，CE=AP=4，∠PBE=90°，∠BEC=∠APB=135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴PE=2PB=22，∠PEB=45°，∴∠PEC=135°-45°=90°，在Rt△PEC中，∵PE=22，CE=4，∴PC=42+(22)2=26．故答案为：26．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．13(1)问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①∠BEC=；②线段AD，BE之间的数量关系；(2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，若AE=12，DE=7，求AB的长度；(3)如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC=150°，∠APD=30°，AP=4，CP=3，DP=7，求BD的长．【答案】(1)①120°；②AD=BE；(2)13；(3)229【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用，(1)证明△ACD≌△BCE(SAS)．得到∠ADC=∠BEC．利用△DCE为等边三角形，得到∠CDE=∠CED=60°，再利用点A，D，E在同一直线上，可得∠ADC=120°，即可得∠BEC=120°；(2)证明△ACD≌△BCE(SAS)，可得AD=BE=AE-DE=15-7=8，∠ADC=∠BEC，再证明∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，利用勾股定理求解即可；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，可得△BEC≌△APC，证明△PCE是等边三角形，证明∠BED=90°，再证明D、P、E在同一条直线上，求出DE，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD=BE；故答案为：①120°；②AD=BE．(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE=AE-DE=12-7=5，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．∴AB=AE2+BE2=144+25=13；(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：AP=4，CP=3，DP=7则△BEC≌△APC，∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=4，∠BEC=∠APC=150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=3，∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，∵∠APD=30°，∴∠DPC=150°-30°=120°，又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE=DP+PE=7+3=10，在Rt△BDE中，BD=BE2+DE2=229，即BD的长为229．【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中．【题型4奔驰模型】14如图，已知点D是等边△ABC内一点，且BD=3，AD=4，CD=5．(1)求∠ADB的度数；以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将△BCD绕点B顺时针旋转60°或绕点A逆时针旋转60°；乙：我也赞成旋转，不过我是将△ABD进行旋转；丙：我是将△ACD进行旋转．请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求∠ADB的度数；(2)若改成BD=6，AD=8，CD=10，∠ADB的度数=°，点A到BD的距离为；类比迁移：(3)已知，∠ABC=90°，AB=BC，BE=1，CE=3，AE=5，求∠BEC的度数．【答案】(1)∠ADB=150°(2)150，4.(3)∠BEC=135°【详解】(1)解：(1)选择甲：如图1，作∠DBE=60°，且BE=BD，连接DE，AE，则△BDE是等边三角形，∴DE=BD=3，∠BDE=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD=5，∵AD2+DE2=42+32=52=AE2，∴∠ADE=90°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°+60°=150°；乙：如图2，同理可得，∠BFD=60°，∠DFC=90°，∴∠ADB=∠BFC=∠BFD+∠DFC=60°+90°=150；丙：如图3同理可得，∠AGD=60°，∠BDG=90°，∴∠ADB=∠ADG+∠BDG=60°+90°=150；(2)同理(1)可得：AD2+BD2=CD2，∴∠ADB=150°，如图4，过点A作BD的垂线AH，垂足为H，∴∠ADH=30°，AD=4，∴AH=12故答案为：150，4.(3)如图5，将△ABE绕着点B顺时针旋转90°，得到△CBF，连接EF，∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF=1，AE=CF=5，∴∠FBE=∠BEF=45°，∴EF2=BE2+BF2=2∵EF2+EC2=2+3=5=AE2，∴∠FEC=90°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=45°+90°=135°【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．15(1)问题发现：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP 处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请按此方法求∠APB的度数，写出求解过程；(2)拓展研究：请利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E，F为BC边上的点，且∠EAF=45°，判断BE,EF,CF 之间的数量关系并证明；②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=6，在△ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，直接写出PA+PB+PC的最小值．【答案】(1)150°，见解析；(2)①BE2+CF2=EF2，见解析；②213【分析】(1)连接PP ，根据题意得到AP=AP =3,∠PAP =60°，BP=CP =4，∠APB=∠AP C，进而得到△APP '为等边三角形，PP =AP=3,∠AP P=60°，根据勾股定理逆定理证明△PP C是直角三角形，且∠PP C=90°，即可求出∠APB=∠AP C=150°；(2)①证明∠B=∠ACB=45°，将△BAE绕点A逆时针旋转90°，得到△CAD，连接DF，得到∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，进而得到∠DCE=90°，根据勾股定理得到DF2=CF2 +CD2=CF2+BE2 ，证明△AEF≌△ADF，得到EF=DF，即可得到BE2+CF2=EF2；②将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A BP ，连接PP ，A C，即可得到∠ABA =∠PBP =60°，A B= AB=4，BP=BP ，A P =AP，从而得到△BPP 为等边三角形，∠A BC=90°，BP=PP ，根据两点之间线段最短得到PA+PB+PC=A P +PP +CP≥A C ，即可得到当且仅当A ，P ，P，C四点共线时，PA +PB+PC的值最小为 A C的长，根据勾股定理求出A C=213，即可得到PA+PB+PC的最小值为213 ．【详解】解：(1)连接PP ，∵将△APB绕顶点 A 逆时针PP 旋转60°到△ACP ，∴AP=AP =3,∠PAP =60°，BP=CP =4,∠APB=∠AP C，∴△APP '为等边三角形，∴PP =AP=3,∠AP P=60°，∵P P2+P C=32+42=25，PC2=52=25，∴P P2+P C=PC2，∴△PP C是直角三角形，且∠PP C=90°，∴∠AP C=∠AP P+∠CP P=150°，∴∠APB=∠AP C=150°；(2)①BE2+CF2=EF2．证明：∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，如图，将△BAE绕点A逆时针旋转90°，得到△CAD，连接DF，则：∠BAE=∠DAC，∠ACD=∠B=45°，AD=AE，BE=CD，∴∠DCE=∠ACB+∠ACD=90°，∴DF2=CF2+CD2=CF2+BE2 ，∵∠EAF=45°，∠EAD=90°，∴∠DAF=∠EAF=45°，又∵AE=AD,AF=AF ，∴△AEF≌△ADF，∴EF=DF，∴BE2+CF2=EF2；②PA+PB+PC的最小值为 213如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A BP ，连接PP ，A C，则：∠ABA =∠PBP =60°，A B=AB=4，BP=BP ，A P =AP，∴△BPP 为等边三角形，∠A BC=∠A BA+∠ABC=90°，∴BP=PP ，∴PA+PB+PC=A P +PP +CP≥A C ，∴当且仅当A ，P ，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为 A C的长，∵∠A BC=90°，∴A C=A B2+BC2=42+62=213，∴PA+PB+PC的最小值为213 ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．16(2023•崂山区模拟)阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于150°．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(1)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于135°，正方形的边长为；(2)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，水不撩不知深浅∴△APP′是等边三角形，∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，∴PP′2+P′C2=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；(1)如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质，P′A=PA=22，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PA=2×22=4，∠AP′P=45°，∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=172=17，∴PP′2+P′D2=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，则AE=PE=12PP′=12×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===13；(2)如图4，∵正六边形的内角为16×(6-2)•180°=120°，∴把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，由旋转的性质，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，∴∠APP′=∠AP′P=12(180°-120°)=30°，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，则AM=12PA=12×2=1，P′M=PM===3，∴PP′=2PM=23，∵PP′2+P′F2=(23)2+12=13，PF2=132=13，水不撩不知深浅∴PP′2+P′F2=PF2，∴∠PP′F=90°，∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故，∠APB=∠AP′F=120°，∵P′F=AM=1，∵△AMN和△FP′N中，，∴△AMN≌△FP′N(AAS)，∴AN=FN，P′N=MN=12P′M=32，在Rt△AMN中，AN===7 2，∴AF=2AN=2×72=7．故答案为：150°；(1)135°，13；(2)120°，7．【题型5费马点模型】17如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为．【答案】63【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，AB=3，AH=3BH=33，∴BH=12∴AE=2AH=63．故答案为63．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．18如图，在等边三角形ABC内有一点P．(1)若PA=2，PB=3，PC=1，求∠BPC的度数；(2)若等边三角形边长为4，求PA+PB+PC的最小值；(3)如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，PB=2，PC=1，求正方形ABCD的边长．【答案】(1)∠BPC=150°，(2)43(3)5【详解】(1)解：如图所示，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段B P ，连接A P 、P P ，∴△BPC≌△BP A，∴BP=B P ，A P =PC=1，∠PB P =60°，∠A P B=∠BPC，∴△B P P是等边三角形，∴∠B P P=∠PB P =60°，P P =BP=3，∵AP 2+PP 2=1+3=4=AP2，∴△A P P是直角三角形，∠A P P=90°，∴∠A P B=∠AP P +∠B P P=150°，∴∠BPC=150°，(2)解：如图所示，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△ACD，则△ABP≌△ACD，PA=DA，∠PAD=60°，则△APD是等边三角形，∴AP=PD，再将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，则△APC≌△ADE∴PC=DE，∠CAE=60°，CA=EA，∴PA+PB+PC=BP+PD+DE≥BE当B,P,D,E四点共线时，PA+PB+PC取得最小值，即BE的长，设BE，AC交于点F，∵AB=AC=AE,∠BAF=∠EAF，∠BAE=∠BAF+∠EAF=120°，BE ,∴BE⊥AF，BF=EF=12∴∠ABF=30°，AB=2 ,∴AF=12在Rt△ABF中，BF=AB2-AF2=23 ,∴BE=2BF=43，即PA+PB+PC的最小值为43；(3)如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BEA，∴△BPC≌△BEA，∴BE=BP=2，AE=PC=1，∠PBE=90°，∠AEB=∠BPC，∴△BEP是等腰直角三角形，∴∠BEP=∠EPB=45°，PE=2PB=2，∵AE2+PE2=1+4=5=AP2，∴△AEP是直角三角形，∠AEP=90°，如图，延长AE，过点B作BF⊥AE于F，则∠F=90°，∵∠AEP=90°，∠BEP=45°，∴∠BEF=45°=∠EBF，∴BF=EF=1，∴AF=AE+EF=2，∴AB=AF2+BF2=22+1=5，即正方形的边长为5．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．19背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．(1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，此时△ACP ≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB ，连接CB ，求证：CB 过△ABC的费马点．(3)如图4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB=2；求AE+BE+ CE的最小值．【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)6+2．【详解】(1)解：连结PP′，∵△ABP≌△ACP ，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC为等边三角形，。

关于全等三角形的旋转难题

旋转可知，如图所示，三角形ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F为AB的中点，直线l经过C点，又经过A、B点，得l 的一条垂直线，即AD⊥CE，BE⊥CE，(1)如图1所示，当CE位于F点右侧时，验证：△ADC≌△CEB；(2)如图2所示，当CE在F点左侧时，验证：ED=BE-AD；(3) 如图 3 所示，当 CE 在△ABC 之外时，尝试猜测 ED、AD 和 BE 之间的定量关系，并证明你的猜测。

测试地点：全等三角形的测定和性质。

题目：证明题；查询类型。

分析：（1）利用同一角的补角相等，可以得到∠CAD=∠BCE，然后根据AAS证明△ADC≌△CEB。

(2)根据AAS证明△ADC≌△CEB后，对应边相等，则ED=BE-AD。

(3)根据AAS证明△ADC≌△CEB后，DC=BE，AD=CE，ED=CE+DC，则ED=AD+BE。

答案：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°。

∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同一角的补角相等）。

在△ADC和△CEB∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ,∴△ADC≌△ CEB (AAS)。

(2) 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°。

∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同一角的补角相等）。

在△ADC和△CEB∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ,∴△ADC≌△CEB（AAS）。

∴DC=BE，AD=CE。

∵ED=CD-CE,∴ED=BE-AD．(3) ED=AD+BE。

证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°。

∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同一角的补角相等）。

中考数学全等三角形旋转模型知识归纳总结及解析

中考数学全等三角形旋转模型知识归纳总结及解析一、全等三角形旋转模型1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．答案：C解析：（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．2．（1）如图1，在OAB 和OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．求：①AC BD 的值； ②∠AMB 的度数．（2）如图2，在OAB 和OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；（3）在（2）的条件下，将OCD 点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=2，OB=23，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．答案：A解析：（1）①1，②40°；（2）AC BD3∠AMB=90°，见解析；（3）33【分析】（1）①根据已知条件证明△COA ≌△DOB ，即可证明AC=BD ；②根据△COA ≌△DOB 可得∠CAO=∠DBO ，根据已知条件可得∠OAB+∠ABO=140°，然后在△AMB 中，根据等角的转换即可得到答案；（2）根据已知条件证明△AOC ∽△BOD ，可得∠CAO=∠DBO ，进而可得∠MAB=∠OAB+∠DBO ，最后可得∠AMB=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）分两种情况讨论，根据题（2），同理可得OAC OBD △△，90AMB ∠=︒，3AC BD=，设BD=x ，则3AC x = 用x 表示出AM 、BM 的长，在Rt AMB 中，根据勾股定理222AM BM AB +=列出方程，求解即可．【详解】解：（1）①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ，∴AC BD=1， ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°﹣140°=40°，（2）如图2，AC BD3∠AMB=90°，理由是：在Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴3tan 303OD OC =︒=，同理得：3tan 303OB OA =︒=， ∴OD OB OC OA=， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD==3，∠CAO=∠DBO ，在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM ）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）AC 的长为23或43．①如图，点C 与点M 重合，同理可得：OAC OBD △△，90AMB ∴∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3AC x =，在Rt ODC 中，30OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，OB=23，43AB ∴=，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x ++=，解得：x=2或-4(舍)， AC=323x =；②如图，点C 与点M 重合，同理可得：90AMB ∠=︒，3AC BD =设BD=x ，则3x ，在Rt COD 中， 90OCD ∠=︒，OD=2，4CD ∴=，4BC x =-，在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，3OB = 243AB OB ∴==，在Rt AMB 中，222AM BM AB +=，即222(3)(4)(43)x x +-=，解得：x=4或-2（舍），343x =综上所述，AC 的长为2343【点睛】本题主要考查三角形的综合运用，涉及全等三角形与相似三角形的性质和判定、勾股定理、解一元一次方程、图形旋转证明、特殊角的三角函数值等知识点，难度较大，第（1）题证明△COA ≌△DOB 是关键，第（2）题证明△AOC ∽△BOD 是关键，第（3）题要特别注意分情况讨论．3．如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝6，过点B 作BD ⊥AC 交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段AB 、BC 上两点，且BE ＝BF ，连接AF 交BD 于点Q ，过点E 作EH ⊥AF 交AF 于点P ，交AC 于点H ．（1）若BF ＝4，求△ADQ 的面积；（2）求证：CH ＝2BQ ；（3）如图2，BE ＝3，连接EF ，将△EBF 绕点B 在平面内任意旋转，取EF 的中点M ，连接AM ，CM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90°得线段AN ，连接MN 、CN ，过点N 作NR ⊥AC 交AC 于点R ．当线段NR 的长最小时，直接写出△CMN 的周长．答案：A解析：（1）1.8；（2）证明见解析；（3）3263351022+．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出1322BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ，最后利用三角形面积公式即可求解；（2）如图，先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌，得到AH CG =，再通过转化得到2AH DQ =，最后利用AC ，得到一个相等关系，即()2AH HC BQ QD +=+，利用等式性质即可得到所求；（3）如图，通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出CM 、MN 、CN 的长，相加即可．【详解】解：6AB BC ==，°90ABC =∠，262AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ，且BD 是∠ABC 的角平分线 ∴1322BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等； ∵4BF =， ∴6342ABQBFQ S S ∆∆==，∴32AQ FQ =，∵AF ===∴355AQ AF ==，∴5QD ===，∴1 1.825ADQ S ∆=⨯⨯=， ∴△ADQ 的面积为1.8．（2）如图，作CG ⊥AC ，垂足为C ，交AF 的延长线于点G ，∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠，∴°45GCB CAB ==∠∠，∵EH ⊥AF ，∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠，∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =，BA BC =∴AE CF =，在AEH ∆和CFG ∆中，AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =；∵BD ⊥AC ，CG ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∵D 点是AC 的中点，且BD ∥CG ，∴DQ 是ACG ∆的中位线，∴12DQ CG =， ∴2DQ CG AH ==； ∵AC =2BD ，∴()2AH HC BQ QD +=+，∵2AH DQ =，∴CH ＝2BQ ．（3）如图①，作AH ⊥AB ,且AH =AB ，∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠NAH ，∵AB =AH ，AM =AN ，∴()ABM AHN SAS ∆∆≌，∴HN =BM ，∵BE =BF =3，∠EBF =90°， ∴232EF BE ==∴由M 点是EF 的中点，可得1322BM EF == ∴32NH =， ∴N 点在以H 点为圆心，322为半径的圆上，如图②，当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，为32NR HR HN HR =-=-∵∠BAC =45°，∴∠HAC =45°，∴∠AHN =45°，HR =AR ，∵222HR AR AH +=， ∴322HR AR ===， ∴323222NR HR =-=， ∵262AC AB ==∴32CR AC AR =-=， ∴()22333221022CN AN ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， ∵∠MAN =90°，AM =AN ，∴235MN AN ==，∴∠ABM =45°，∴∠EBM =45°，∴F 点在BA 上，E 点在CB 延长线上，如图，作MP ⊥EC ，垂足为P ，∴1322BP MP EB ===， ∴315622PC PB BC =+=+=， ∴223262MC MP PC =+=， ∴3263351022MC MN CN ++=++， ∴△CMN 的周长为3263351022++．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识，要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们，本题的综合性较强，难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等，考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力，本题属于压轴题，蕴含了数形结合和转化的思想方法等．4．在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，BP 平分∠ABO ．（1）如图1，点T在BA延长线上，若AP平分∠TAO，求∠P的度数；（2）如图2，点C为x轴正半轴上一点，∠ABC＝2∠ACB，且P在AC的垂直平分线上．①求证：AP//BC；②D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连接AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么数量关系时，DP＝AE．给出结论并说明理由．答案：D解析：（1）45°；（2）①见解析；②∠DHE+∠ABE＝180°，理由见解析【分析】（1）由三角形的外角性质和角平分线的性质可得∠AOB＝2∠P＝90°，可求解；（2）①过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，由角平分线的性质可得PE＝PF，由垂直平分线的性质可得PA＝PC，由“HL”可证Rt△APE≌Rt△CPF，可得∠EPA＝∠CPF，由四边形内角和定理可得∠EBF+∠EPF＝180°，由角的数量关系可证∠ACB＝∠PAC，由平行线的判定可证AP∥BC；②如图3，在OE上截取ON＝OB，连接AN，通过证明△ADP≌△NEA，可得DP＝AE．【详解】解：（1）∵BP平分∠ABO，AP平分∠TAO，∴∠PBT＝12∠ABO，∠TAP＝12∠TAO，∵∠TAO＝∠ABO+∠AOB，∠TAP＝∠P+∠ABP，∴∠AOB＝2∠P＝90°，∴∠P＝45°；（2）①如图2，过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，又∵PB平分∠ABC，∴PE＝PF，∵P 在AC 的垂直平分线上， ∴PA ＝PC ， ∴∠PAC ＝∠PCA ，在Rt △APE 和Rt △CPF 中，AP PCPE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APE ≌Rt △CPF （HL ）， ∴∠EPA ＝∠CPF ， ∴∠EPF ＝∠APC ，在四边形BEPF 中，∠EBF+∠BEP+∠EPF+∠PFB ＝180°， ∴∠EBF+∠EPF ＝180°， ∴∠ABC+∠APC ＝180°， ∵∠APC+∠PAC+∠PCA ＝180°， ∴∠ABC ＝∠PAC+∠PCA ＝2∠PAC ， ∵∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ACB ＝∠PAC ， ∴AP ∥BC ；②当∠DHE+∠ABE ＝180°时，DP ＝AE ，理由如下：如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，∵OB ＝ON ，AO ⊥BE ， ∴AB ＝AN ， ∴∠ABN ＝∠ANB ， ∵AP ∥BE ，BP 平分∠ABE ，∴∠APB ＝∠PBE ＝∠ABP ，∠ABN+∠BAP ＝180°， ∴AP ＝AB ， ∴AP ＝AN ，∵∠ANB+∠ANE ＝180°， ∴∠BAP ＝∠ANE ，∵∠DHE+∠ABE ＝180°，∠DHE+∠ABE+∠BDH+∠BEH ＝360°， ∴∠BDH+∠BEH ＝180°， ∵∠ADP+∠BDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠AEN ，在△ADP 和△NEA 中，DAP ANE ADP AEN AP AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADP ≌△NEA （AAS ）， ∴DP ＝AE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）P 是直线BC 上方抛物线上一动点，PA 交BC 于 D ．设t ＝PDAD，请求出t 的最大值和此时点P 的坐标；（3）M 是x 轴上一动点，连接MC ，将MC 绕点M 逆时针旋转90°得线段ME ，若点E 恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M 的坐标．答案：A解析：（1）y ＝﹣x 2+2x +3，A （﹣1，0）；（2）t 的最大值为916，此时P （32，154）；（3）M 933-，0933+0）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC ，PC ，PB ，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过等P 作PF ⊥BC 于F ．设P （m ，﹣m 2+2m +3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E 作EH ⊥x 轴于H ．设M （m ，0），利用全等三角形的性质求出点E 的坐标（用m 表示），再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）∵直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ， ∴0＝﹣3+c ，解得c ＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PDAD ＝PFAE，∵S△PBC＝12•BC•PF，S△ACB＝12•BC•AE，∴PDAD ＝PBCABCSS∆∆，∵S△ABC＝12•AB•OC＝12×4×3＝6，∴t＝PDAD ＝6PBCS∆＝211133(23)332226m m m⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m2+34m＝﹣14（m﹣32）2+916，∵﹣14＜0，∴m＝32时，t有最大值，最大值为916，此时P（32，154）；（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，∵∠COM ＝∠EHM ＝∠CME ＝90°，∴∠EMH +∠CMH ＝90°，∠EMH +∠MEH ＝90°， ∴∠MEH ＝∠CMO ， ∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ，整理得，m 2﹣9m +12＝0，解得m ＝9332-或9332+， ∴M （9332-，0）或（9332+，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．6．问题：如图（1），点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠MAN ＝45°，试判断 BM 、MN 、ND 之间的数量关系．（1）研究发现如图1，小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ，从而发现BM 、MN 、DN 之间的数量关系为（直接写出结果，不用证明）（2）类比引申如图2，在（1）的条件下，AM 、AN 分别交正方形ABCD 的对角线BD 于点E 、F ．已知EF＝5，DF＝4．求BE的长．（3）拓展提升如图3，在（2）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．答案：B解析：（1）BM+DN＝MN，理由见解析；（2）BE＝3；（3）以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．【分析】（1）结论是：BM+DN＝MN，如图1，利用三角形AND旋转90º得三角形ABG，∠DAN=∠BAG，可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN，利用SAS证△AMN≌△AMG即可；（2）如图2，按同样方法△AFD顺时针旋转90º，使AD与AB重合，得△ABF′，连结EF′，△BEF′是直角三角形，用勾股定理求EF′=5，再证△AEF≌△AEF即可；（3）如图3，由（2）可得BD=12，可求正方形边长，构建△P′AQ，P′B=DP，将△ADP顺时针转90º，AD与AB重合，得△BQP′，连OP′，可证△BQP′是直角三角形，可证PQ=P′Q，再证△ABQ∽△PDA，将△P′BQ面积=12BQ•BP′=12BQ•DP=12AD•AB可求．【详解】（1）如图1，BM+DN＝MN，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，由旋转可得：BG＝DN，AN＝AG，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG+∠ABM＝90°+90°＝180°，因此，点G，B，M在同一条直线上，∵∠MAN＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，∴∠GAM＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△AMN≌△AMG（SAS），∴MN＝GM，∵GM ＝BM +BG ＝BM +DN ， ∴BM +DN ＝MN ；故答案为：BM +DN ＝MN ；（2）如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABF '，连接EF '，∴AF ′ ＝AF ，∠DAF ＝∠BAF '，∠ABF ′ ＝∠ADF ＝45°，BF ′ ＝DF ＝4， ∵∠ABE ＝45°，∴∠EBF ′ ＝45°+45°＝90°， ∵AE ＝AE ，同理得△EAF ≌△EAF '（SAS ）， ∴EF '＝EF ＝5，在Rt △EBF '中，由勾股定理得：BE ＝()()2222EF +BF =5-4=3''＝3；（3）由（2）知：BE ＝3，EF ＝5，DF ＝4， ∴BD ＝3+4+5＝12，由勾股定理得：AB 2+AD 2＝BD 2， ∵AB ＝AD ， ∴AB 2＝72，如图3，把△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP '，连接BP ′，则∠ABP′＝∠ADP ，PD ＝P ′B ，AP ＝AP ′，∵AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P ， ∴∠ADP ＝∠ABQ ＝135°， ∴∠DAP +∠APD ＝45°， ∵∠DAP +∠BAQ ＝45°， ∴∠BAQ ＝∠APD ，∴△ADP ∽△QBA ，∴AD PD=BQ AB， ∴BQ •PD ＝AD •AB ＝72， ∵∠ABP '＝∠ABQ ＝135°， ∴∠QBP '＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴S △BP 'Q ＝12BQ•BP′＝12BQ•DP ＝12×72＝36， ∵AP ＝AP '，∠PAQ ＝∠P 'AQ ，AQ ＝AQ ， ∴△QAP ≌△QAP '（SAS ）， ∴PQ ＝P 'Q ，∴以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积为36．【点睛】本题是感知，探究，创新新题型，主要考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．7．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，AD 是对角线，60BAC ∠=︒，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，（1）求ADC ∠的度数；（2）若AD BD CD =+，求证：AD 平分BDC ∠；（3）在（2）的条件下，E 、F 分别在AC 、AB 上，连接BE 、CF ，交于点P ，使得BPC BDC ∠=∠，若7BD EF ==，15AD =，求EFP ∆的面积答案：A解析：（1）=60∠︒ADC ；（2）证明见详解；（3）4003129．【分析】（1）先由四边形内角和得到++300B C BDC ∠∠∠=︒，再由4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠可得答案；（2）把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）及题意易得D 、C 、E 三点共线，从而得到ADE 是等边三角形，由等边三角形的性质及旋转的性质易得60ADB E ∠=∠=︒，故得证；（3）过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由（2）及题意易得DC=8，由BPC BDC ∠=∠易得EBC FCA ∠=∠，进而得到AFC CEB △≌△，设AF=CE=x ，根据勾股定理得到AF 、CE 、BC 的长，最后根据BFE BPC 、的面积比等于FP 与PC 的比，进而求解即可．【详解】（1）解：=60BAC ∠︒，∴++36060300B C BDC ∠∠∠=︒-︒=︒，又BDC ADB ADC ∠=∠+∠，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，∴30024060ADC ∠=︒-︒=︒；（2）证明：把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）得：∴AD=AE ，BD=CE ，=ADC=60DAE ∠∠︒AD BD CD =+，DE=DC+CE ，∴D 、C 、E 三点共线，∴ADE 是等边三角形，∴60ADB E ∠=∠=︒， ∴60ADB ADC ∠=∠=︒，∴AD 平分BDC ∠；（3）解：过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由题意及（2）可得：ABC 是等边三角形，120BDC ∠=︒,∴AB=AC=BC ，60BDG ∠=︒，7BD EF ==，15AD =，∴72DG =，BG =，DC=AD-BD=8， ∴723822GC GD DC =+=+=，在Rt BGC △中，13BC ===，又=120BPC BDC ∠=∠︒，∴18012060PBC PCB ∠+∠=︒-︒=︒，60ECP PCB ∠+∠=︒，∴=ECP EBC ∠∠，=60,FAC BCA AC BC ∠∠=︒=，∴AFC CEB △≌△，∴CE=AF ，设13,131322CE AF x AE x AH x FH x EH x ==∴=-==∴=-，，，，∴在Rt FHE 中，222FH EH EF +=即22231372x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125,8x x ==，①当CE=AF=5时，则AE=8，∴11132224BECAFCSSAC FH ==⋅=⨯⨯=16944ABEABCBECSSS =-=-=∴BFE ABEAFESSS=-==设BFPEFPBPCEPCSa Sb Sc Sd ====，，，，则有：a cb d FP PC ==∶∶∶，,BFE BFPFEP BEC BPCEPC S SSSSS=+=+，∴BFEBECSSFP PC =∶∶，∴6465BFE BECSS FP PC =∶∶，又1152224FECSCE FH =⋅=⨯⨯=，∴64641291294129EFP FECSS ==⨯=； ②当CE=AF=8时，AE=5，则有：∴111322BEAAFCSSAC FH ==⋅=⨯=，1694CBEABCBECSSS =-==∴65325310344BFEABEAFESSS=-=-=由①可得：25325=3=4104BFEBECSS FP PC =∶∶∶26，又1184316322FECSCE FH =⋅=⨯⨯= ∴25254003163129129129EFPFECSS ==⨯=；综上所述：4003129EFPS =．【点睛】本题主要考查三角形与四边形的综合问题，主要是利用全等三角形、等边三角形、三角形面积比的转换及勾股定理，熟练掌握各个知识点是解题的关键，尤其是第三问的面积转换问题是本题的难点． 8．如图，抛物线y ＝24x 2+2x ﹣62交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 点，D 点是该抛物线的顶点，连接AC 、AD 、CD ．（1）求△ACD 的面积；（2）如图，点P 是线段AD 下方的抛物线上的一点，过P 作PE ∥y 轴分别交AC 于点E ，交AD 于点F ，过P 作PG ⊥AD 于点G ，求EF+52FG 的最大值，以及此时P 点的坐标；（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M ，在y 轴上有一动点N ，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt △BMN ？若存在，求出点M 的横坐标，若不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）24；（2）最大值为22，点P （﹣2，﹣1522）；（3）存在，点M 的2262﹣6．【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，再用待定系数法求得AC 的解析式，进而求出点N 、D 的坐标，再根据三角形的面积公式求出结果；（2）证明EF+52FG 即为EP 的长度，即可求解；（3）分∠BNM 为直角、∠MBN 为直角，利用三角形全等即可求解．【详解】解：（1）令x ＝0，得202062624y =⨯+⨯-=-， ∴C （0，﹣62），令y ＝0，得2226204y x x =+-=，解得162x =-，222x =，∴A （62-，0），点B （22，0），设直线AC 的解析式为：y ＝kx+b （k ≠0），则62062k b b ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩， ∴162k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为：62y x =--，∵()2222262228244y x x x =+-=+-，∴D （22-，82-），过D 作DM ⊥x 轴于点M ，交AC 于点N ，如图，令22x =-，(226242y =---=-N （22-，42-∴42DN =∴1142622422ACD S DN AO =⋅=⨯=；（2）如图，过点D 作x 轴的平行线交FP 的延长线于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：2122y x =--∴tan ∠FDH ＝2，则sin ∠FDH 2555=， ∵∠HDF+∠HFD ＝90°，∠FPG+∠PFG ＝90°，∴∠FDH ＝∠FPG ，在Rt △PGF 中，PF ＝FG sin G FP ∠＝ FG sin FDH ∠255=5FG ，则5FG ＝EF+PF ＝EP ，设点P （x ，22224x x +-E （x ，62x -- 则5FG ＝EF+PF ＝EP ＝222262262344x x x x x ⎛--+-=-- ⎝， ∵2＜0，故EP 有最大值，此时x ＝﹣2b a ＝﹣292 当x ＝32-2215226242y x x =+-=-，故点P （32-1522-）；（3）存在，理由：设点M 的坐标为（m ，n ），则222624n m m =+-，点N （0，s ）， ①当∠MNB 为直角时，如图，过点N 作x 轴的平行线交过点B 与y 轴的平行线于点H ，交过点M 与y 轴的平行线于点G ，∵∠MNG+∠BNH ＝90°，∠MNG+∠GMN ＝90°，∴∠GMN ＝∠BNH ，∵∠NGM ＝∠BHN ＝90°，MN ＝BN ，∴△NGM ≌△BHN （AAS ），∴GN ＝BH ，MG ＝NH ，即22n s -=且m s -=-，联立并解得：226m =-±（舍去正值），故226m =--，则点M （226--，226-）； ②当∠NBM 为直角时，如图，过点B 作y 轴的平行线交过点N 与x 轴的平行线于点G ，交过点M 与x 轴的平行线于点H ，同理可证：△MHB ≌△BGN （AAS ），则BH ＝NG ，即22n =- 当22n =-时，2222224m m +-=-2226m = 故2226m =M （2226，22-）；综上，点M 的横坐标为226-2226．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题．9．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx+b 1经过点A ，C ，连接CD ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式：（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc+c 中，得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3，当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），把A （3，0）和C （0，3）代入y ＝kx+b 1中，得11303k b b +=⎧⎨=⎩， ∴113k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，即：P（﹣1，0），过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ ≌△QEA 1'（AAS ），∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ，∴点A 1'的坐标为（﹣m+1，m ﹣2），代入y ＝﹣x 2+2x+3中，解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍），∴Q 的坐标为（1，﹣3），∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．10．回答下列问题：（1）（发现）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且4BC =，2AB =．填空：线段AC 的最大值为．图1（2）（应用）点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，2AB =，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ，连接CD ，BE ．图2①证明：BE DC =．②求线段BE 的最大值．（3）（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，直线l ；4y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点，点C 为线段AB 外一动点，且2CB =，以AC 为边作等边ACD △，连接BD ，求线段BD 长的最大值并直接写出此时点C 的横坐标．图3答案：A解析：（1）6（2）①证明见解析． ②322+（3）42226-26+ 【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；(2) ①由“SAS” 可证△DAC ≌△BAE ，可得BE=DC ；②由于线段长BE 的最大值=线段DC 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果，(3)以BC 为边作等边三角形BCE ，可以证明△ACE ≌△DCB(SAS) ，从而得到BD=AE ，BE=BC ，由AE≤AB+BE ，当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值，当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时，过C 作CH ⊥y 轴于H ，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，求出CH 的长度，即可求出点C 的横坐标，②当C 在直线AB 的下方时，按同①的方法也可以求出点C 的横坐标．【详解】（1）当A 在选段BC 的延长线上时， max 6AC AB BC =+=．（2）①∵等腰直角AEC 与等腰直角三角形ABD ，∴AD AB =，AE AC =，90DAB EAC ∠=∠=︒，∴DAB BAC EAC BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC EAB ∠=∠，在DAC △和BAE 中，DA BA DAC BAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DAC BAE ≌△△， ∴BE CD =．②由①可知，BE DC =，∵线段BE 的最大值即线段DC 的最大值．在等腰直角ABD △中，222BD AB ==，∵CD BC BD ≤+，∴当点D 在CB 的延长线上时， CD 取得最大值为322+．∴线段BE 的最大值为322+．（3）如图，以BC 为边作等边三角形BCE ，则BC CE =，60BCE ∠=︒．∵60ACD ∠=︒，∴ACD ECD BCE ECD ∠-∠=∠-∠， ∴ACE DCB ∠=∠．在ACE 与DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE DCB ≌△△， ∴BD AE =．对于一次函数4y x =+，令0x =，则4y =， ∴()0,4B ，令0y =，则4x =-，∴()4,0A -．∴224442AB =+=又∵2BE BC ==，∴AE AB BE ≤+，∴当且仅当A 、B 、E 三点共线时， AE 取得最大值，即BD 取得最大值为422+；当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时过C 作CH y ⊥轴于H ，∵45ABO HBE ∠=∠=︒，60CBE ∠=︒， ∴15CBH CBE HBE ∠=∠-∠=︒，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，∴CN BN =，15NCB NBC ∠=∠=︒， ∴30CNB ∠=︒，在Rt CHN △中，设CH x =．则3HN x =， 2CN x =，∴2BN x =，∴)32BH HN BN x =+=，在Rt BHC △中，22222HC BH BC +==， ∴)222322x x ⎡⎤+=⎣⎦，整理得(227434x x ++=， 223x =，)12312x =，)22312x =-（舍）， ∴62CH -=∴点C 的横坐标为262-． ②当C 在直线AB 的下方时，过C 作CL ⊥y 轴于L ，∵∠ABO=45°，∠CBE=60°，∴∠CBL=180°-∠CBE−∠ABO=75°，∴∠BCL=15°，作BC 的垂直平分线交BL 于M ，∴CM=BM ，∠MCB=∠MBC=15°，∴∠LMB=30°，在Rt △CLB 中，设BL=y ．则3，BM=2y ， ∴CM=2y ，∴3+2)y ，在Rt △BLC 中，BL 2+CL 2=BC 2=22，∴)222322y y ⎡⎤+=⎣⎦，整理得(227434y y ++=， 223y = )1231y =，)2231y =（舍去）， 622BL =∴CL=)32BL 26+所以点C 的横坐标为：262+ 综合以上可得点C 的横坐标为：262-或 262+ 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判.定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.11．如图，在等边三角形ABC 中，点D 是射线CB 上一动点，连接DA ，将线段DA 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE ，过点E 作EF ∥BC 交直线AB 于点F ，连接CF ．（1）如图1，若点D 为线段BC 的中点，则四边形EDCF 是；（2）如图2，若点D 为线段CB 延长线上任意一点，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若点D 为射线CB 上任意一点，当∠DAB ＝15°，△ABC 的边长为2时，请直接写出线段BD 的长．答案：A解析：（1）平行四边形；（2）成立，见解析；（3）423-或31-．【分析】（1）证明△ADB ≌△DEO （AAS ）和四边形EOBF 为平行四边形，进而求解；（2）证明△OED ≌△DAC （SAS ），则∠EOD ＝∠ACD ＝60°＝∠ABC ，故OE ∥AB ，进而求解；（3）分点D 在线段BC 上、点D （D ′）在BC 的延长线上两种情况，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求解即可．【详解】解：（1）过点E 作DE 的垂线交CB 的延长线于点O ，设BA 交ED 于点R ，∵点D为线段BC的中点，则AD⊥BC且∠BAD＝30°，∵∠ADE＝60°，∴∠EDB＝∠ADB﹣ADE＝90°﹣60°＝30°，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ABC＝60°，∠FED＝∠EDO＝30°，∴∠ERF＝90°，∴DE⊥AB，∵AD＝ED，∠BAD＝∠EDO＝30°，∠ADB＝∠DEO＝90°，∴△ADB≌△DEO（AAS），∴OE＝BD＝12BC＝12AB，则OB＝OD﹣BD＝AB﹣12AB＝12AB，∴OB＝BD＝CD，∵OE⊥DE，DE⊥AB，∴OE∥AB，∵EF∥BC，∴四边形EOBF为平行四边形，∴EF＝OB＝CD，而EF∥CD，∴四边形EFCD为平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）如图2，在CD的延长线上截取DO＝AC，连接OE，设∠ADC的度数为α，∵∠EDO＝180°﹣∠EDA﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝120°﹣α＝∠EDO，而AC＝OD，DE＝AD，∴△OED≌△DAC（SAS），∴∠EOD＝∠ACD＝60°＝∠ABC，∴OE∥AB，而EF∥BC，∴四边形EFCD为平行四边形；（3）①当点D在线段BC时，过点A 作AH ⊥BC ，则∠BAH ＝30°，而∠DAB ＝15°，BH ＝12BC ＝1，即BD 是∠BAH 的角平分线，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，设DH ＝x ，则DG ＝DH ＝x ，BD ＝BH ﹣DH ＝1﹣x ，在△BDG 中，∠BDG ＝30°，则BG ＝12BD ＝12x - 由勾股定理得：()21x -＝212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭+2x ，解得：x ＝233-， ∴BD ＝1﹣x ＝423-，②当点D （D ′）在BC 的延长线上时，∵∠BAD ′＝15°，∴∠D ′AH ＝30°+15°＝45°，则D ′H ＝AH ＝2213-=，∴BD ′＝D ′H ﹣BH ＝31-；综上，BD 的长度为423-或31-．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形性质、三角形全等、等边三角形性质等知识点，综合性强，难度较大．12．如图，△ABC 中，O 是△ABC 内一点，AO 平分∠BAC ，连OB ，OC ．（1）如图1，若∠ACB ＝2∠ABC ，BO 平分∠ABC ，AC ＝5，OC ＝3，则AB ＝；（2）如图2，若∠CBO +∠ACO ＝∠BAC ＝60°，求证：BO 平分∠ABC ；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC ＝3B 绕点O 逆时针旋转60°得点D ，直接写出CD 的最小值为．答案：A解析：（1）8；（2）见解析；（3）33【分析】（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC ．如图1中，延长CO交AB于E，由OA平分∠EAC，推出AEAC＝OEOC，推出AEEO＝AC OC ＝53，设AE＝5k，OE＝3k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．证明△AGO≌△ACO（SAS），推出OG＝OC，推出∠OGC＝∠OCG，证明O，G，B，C 四点共圆，可得结论．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．证明△HBO≌△CBD（SAS），推出OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，推出当点O落在HM 上时，OH的值最小．【详解】解：（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC中，AD是角平分线，则：BD DC＝AB AC．理由：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵BDDC ＝BAAE，∴BDDC ＝ABAC．如图1中，延长CO交AB于E，∵OA平分∠EAC，∴AEAC＝OEOC，∴AEEO ＝ACOC＝53，设AE＝5k，OE＝3k，∵OB平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠BCE＝12∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC＝3k+3，∵∠ACE＝∠ABC，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴ACAB ＝AEAC，∴5533k k ＝55k，解得k＝58或﹣1（舍弃），∴AB＝8k+3＝8．故答案为：8．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．∵AO平分∠AEF，∴∠OAE＝∠OAF，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠FOC+∠FCO，∵∠OBC+∠FCO＝60°，∴∠FOC＝∠OBC，∵EF∥CG，∴∠AGC＝∠AEF＝60°，∠ACG＝∠AFE＝60°，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，∴△AGO≌△ACO（SAS），∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∵∠FOC＝∠OCG，∴∠OBC＝∠OGC，∴O，G，B，C四点共圆，∴∠ABO＝∠OCG，∴∠ABO＝∠OBC，∴OB平分ABC．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．∵△OBD，△BCH都是等边三角形，∴∠HBC＝∠OBD＝60°，BH＝BC，BO＝BD，∴∠HBO＝∠CBD，∴△HBO≌△CBD（SAS），∴OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，∴当点O落在HM上时，OH的值最小，此时OH＝HM﹣OM＝33∴CD的最小值为33．故答案为：33【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点，解题关键在于作出辅助线构造相应图形．13．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492．【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =，点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =，AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．14．如图所示，ABC ∆中，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DF ，长直角边为DE ），将三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转.。

全等三角形旋转模型知识归纳总结附解析

全等三角形旋转模型知识归纳总结附解析一、全等三角形旋转模型1．（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．（问题初探）线段AB 绕点O 顺时针旋转得到线段CD ，其中点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB 、CD 所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB 与直线CD 所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．（运用拓广）运用所形成的结论解决问题：（3）如图③，四边形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝30°，AB ＝BC ，CD ＝3，BD ＝19，求AD 的长．解析：（1）60°；（2）互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；（310【分析】（1）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOB COD SSS ，可得B D ∠=∠，由三角形内角和定理可求解；（2）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOBCOD SSS ，可得B D ∠=∠，由平角的定义和四边形内角和定理可求解；【形成结论】由（1）（2）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；【运用拓广】（3）将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，由旋转的性质可得BF BD =，3AF CD ==，由三角形内角和定理可求90FAD ∠=︒，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，α=︒，60∴∠=︒，60BOD线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，=，AB CD=，BO DO∴=，OA OCAOB COD SSS，()B D∴∠=∠，∠=∠，OED BEF，B DBFE EOD，60故答案为：60︒；（2）直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补，理由如下：如图2，延长AB，DC交于点E，线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，=，=，BO DO∴=，OA OCAB CDAOB COD SSS，()ABO D，ABO EBO，180D EBO，180360EBO E D BOD，E BOD，180∴直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3，将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，延长FA ，DC 交于点E ，∴旋转角60ABC ∠=︒，BCD BAF ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，3AF CD ==，BD BF =，30ADC ∠=︒，90FAD AED ADC ，又60FBD ABC ，BF BD =， BFD ∴∆是等边三角形，BF BD DF ，∴在Rt DAF 中，2219910ADDF AF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．问题背景如图（1），在四边形ABCD 中，∠B+∠D ＝180°，AB ＝AD ，∠BAD ＝α，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且∠EAF 12=α，连接EF ，试探究：线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD ＝∠B ＝∠D ＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD2=，请直接写出DE的长．答案：B解析：（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE523 =【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=12∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE 绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAF12=α可得∠BAE+∠FAD12=α，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝42，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣12∠BAD=90°-45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF12=α，∴∠BAE+∠FAD12=α，∴∠DAH+∠FAD12=α，∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE523 =，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，∴2，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B 2+BD 2＝E′D 2．易证△AE′D ≌△AED ，∴DE ＝DE′，∴DE 2＝BD 2+EC 2，即DE 222(2)(32)DE =+-，解得523DE =．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.3．一位同学拿了两块45︒三角尺MNK ∆，ACB ∆做了一个探究活动：将MNK ∆的直角顶点M 放在ACB ∆的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM ∆，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的MNK ∆绕顶点M 逆时针旋转45︒，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将MNK ∆绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若1AD =，求出重叠部分图形的周长.答案：A解析：（1）4，442+；（2）4，8；（3）4；（4）425+【分析】()1根据4AC BC ==，90ACB ∠=，得出AB 的值，再根据M 是AB 的中点，得出AM MC =，求出重叠部分的面积，再根据AM ，MC ，AC 的值即可求出周长；()2易得重叠部分是正方形，边长为12AC ，面积为214AC ，周长为2.AC ()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、.E 求得RtMHD ≌Rt MEG ，则阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积. ()4先过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，根据DMH EMH ∠∠=，MH ME =，得出Rt DHM ≌Rt EMG ，从而得出HD GE =，CE AD =，最后根据AD 和DF的值，算出DM =. 【详解】解：()14AC BC ==，90ACB ∠=，AB ∴== M 是AB 的中点，AM ∴=45ACM ∠=，AM MC ∴=，∴4=， ∴周长为：44AM MC AC ++==+故答案为4，4+；()2重叠部分是正方形，∴边长为1422⨯=，面积为14444⨯⨯=，周长为248⨯=．故答案为4，8．()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、E ， M 是ABC 斜边AB 的中点，4AC BC ==，12MH BC ∴=， 12ME AC =， MH ME ∴=，又90NMK HME ∠∠==，90NMH HMK ∠∠∴+=，90EMG HMK ∠∠+=，HMD EMG ∠∠∴=，在MHD 和MEG 中，HMD GME MH MEDHM MEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， MHD ∴≌()MEG ASA ，∴阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积，正方形CEMH 的面积是1144422ME MH ⋅=⨯⨯⨯=； ∴阴影部分的面积是4；故答案为4．()4如图所示，过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，∴四边形MECH 是矩形，MH CE ∴=，45A ∠=，45AMH ∠∴=，AH MH ∴=，AH CE ∴=，在Rt DHM 和Rt GEM 中，DMH EMG MH MEDHM GEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， Rt DHM ∴≌.Rt GEMGE DH ∴=，AH DH CE GE ∴-=-，CG AD ∴=，1AD =，1.DH ∴=145DM ∴=+=．∴四边形DMGC 的周长为：CE CD DM ME +++2AD CD DM =++425=+【点睛】此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．4．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492．【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =，点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒， PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =，利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠ BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒， 22AM ∴=，在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =，225272MN ∴=+=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．5．如图，在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，过A 作AD BC ⊥于点D ，点E 为直线AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，连接FC 、FB ，直线AD 与BF 相交于点G ．（1）（发现）如图1，当60α=︒时，填空：①AE BF的值为___________； ②AGB ∠的度数为___________；（2）（探究）如图2，当120α=︒时，请写出AE BF的值及AGB ∠的度数，并就图2的情形给出证明；（3）（应用）如图3，当90α=︒时，若15AB ACE =∠=︒，请直接写出DFG 的面积．答案：G解析：（1）1；60°；（2）3AE BF =，∠G =30°，理由见解析；（3）【分析】（1）①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ，即BF =AE 从而得出答案；②根据①中的证明∠ABG =90°，∠BAG =30°，从而计算出∠AGB 的度数；（2）根据题目已知条件可以计算出BC =，同理可以证得CF =，再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ，从而得到比值和角的度数；（3）根据第（2）问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可．【详解】解：（1）①∵AB =AC ，CE =EF ，∠BAC =∠FEC =60°∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形∴∠ACB =∠ECF =60°，AC =CB ，CE =CF∴∠ACE =∠BCF∴△ACE ≌△BCF∴A E =BF ，即1AE BF= ②∵△ACE ≌△BCF∴∠EAC =∠CBF 由①可知△ABC 是等边三角形∴AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD∴∠CAE =∠CBF =30°∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°（2）AE BF = ∵AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC∴∠ABD =30°=∠ACB∴22BD AB AC CD === ∴BC =同理∵∠FEC =120°，EF =EC ∴CF =∴BC CF AC CE=，∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF∴∠CAE =∠CBF∴AE AC BF BC ==∵AD ⊥BC ，∠BAC =120°，∴∠CAE =∠CBF =60°又∵∠BDG =90°∴∠G =30°（3）第一种情况，如图所示，当E 在AD 上时 ∵AB AC ==∠BAC =90°，AD ⊥BC ∴sin 4562BC AD BD CD AB =====∠DAC =45° ∵∠ACE =15° ∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60° ∴2tan 60DC DE ==∴AE AD DE =-=BC CF AC CE==，∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ，∠BAC =90°，∴∠CAE =∠CBF =45°∴△ACE ∽△BCF∴BF BC AE AC==∴2BF == ∵∠ADC =∠BDG∴∠G =∠ACB =45°∴BG ==∴2FG BG BF =-=过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，∵∠G =∠ACB =45°，∠BDG =90°∴=DG BD CD ==∴DM DG == ∴132DFG S FG DM ==△第二种情况：当E 在DA 的延长线上时过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，同上可证2BF BC AE AC ==，6BG BD ==，3DM = ∵∠ACE =15°，∠DAC =45°∴∠DEC =30° ∵AD ⊥CD ，6CD =∴32tan 30DC DE == ∴=6DG BD CD ==326AE DE AD =-=-∴2623FB AE ==-∴6FG BF BG =+=1332DFG S FG DM ==△ 故答案为：3或33．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，三角函数等知识点，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．6．如图，点B ，C ，D 在同一条直线上，△BCF 和△ACD 都是等腰直角三角形，连接AB ，DF ，延长DF 交AB 于点E ．（1）如图1，若AD ＝BD ，DE 是∠ADB 的平分线，BC ＝1，求CD 的长度；（2）如图2，连接CE ，求证：DE ＝2CE ＋AE ；（3）如图3，改变△BCF 的大小，始终保持点在线段AC 上（点F 与点A ，C 不重合）．将ED 绕点E 顺时针旋转90°得到EP ，取AD 的中点O ，连接OP ．当AC ＝2时，直接写出OP 长度的最大值．解析：（1）21CD =；（2）证明见解析；（3）22+【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求出1FC BC ==，再判断出FA FB =，即可得出结论；（2）先判断出ABC DFC ≅△△，得出BAC CDF ∠=∠，进而判断出ACE DCH ≅△△，得出AE DH =，CE CH =，即可得出结论；（3）先判断出2OE OQ ==，再判断出OED QEP ≅△△，进而求出2PQ OD ==得出结论．【详解】（1）解：BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC CD ∴=，1FC BC ==，2FB =，AD BD =，DE 是ABD ∆的平分线，DE ∴垂直平分AB ，2FA FB ∴==，21AC FA FC ∴=+=，21CD ∴=；（2）证明：如图2，过点C 作CH CE ⊥交ED 于点H ，BCF 和ACD △都是等腰直角三角形，AC DC ∴=，FC BC =，90ACB DCF ∠=∠=︒；()ABC DFC SAS ∴≅△△，BAC CDF ∴∠=∠，90ECH ∠=︒，90ACE ACH ∴∠+∠=︒，90ACD ∠=︒，90DCH ACH ∴∠+∠=︒，ACE DCH ∴∠=∠．在ACE 和DCH 中，BAC CDF AC DCACE DCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ACE DCH ASA ∴≅△△，AE DH ∴=，CE CH =，2EH CE ∴=．2DE EH DH CE AE =+=+；（3）OP 的最大值是22+解：如图3，连接OE ，将OE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EQ ，连接OQ ，PQ ，则2OQ OE =．由（2）知，90AED ABC CDF ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，在Rt AED △中，点O 是斜边AD 的中点，122222OE OD AD AC ∴===== 2222OQ OE ∴===，在OED 和QEP △中，OE QE OED QEP DE PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OED QEP SAS ∴≅△△，2PQ OD ∴==22OP OQ PQ +=+O 、P 、Q 三点共线时，取“=”号，OP ∴的最大值是22+【点睛】此题是几何变换综合题，主要等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．7．如图．四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，请直接写出．．．．．AG 和CE 的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0180β︒︒＜＜），如图2，直线AG 、CE 相交于点M ．①AG 和CE 是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB ，求证：MB 平分AME ∠．（3）在（2）的条件下，过点A 作AN MB ⊥交MB 的延长线于点N ，请直接写出．．．．．线段CM 与BN 的数量关系．答案：A解析：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）2．【分析】（1）由正方形BEFG 与正方形ABCD ，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 得出三角形ABG 与三角形CBE 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，再利用同角的余角相等即可得证；（2）①利用SAS 得出△ABG ≌△CEB 即可解决问题；②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC ，可得出BP=BH ，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM 为角平分线；（3）在AN 上截取NQ=NB ，可得出三角形BNQ 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到2BN ，接下来证明BQ=CM ，即要证明三角形ABQ 与三角形BCM 全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM 为等腰直角三角形得到NA=NM ，利用等式的性质得到AQ=BM ，利用SAS 可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．【详解】解：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB=BE ，∠ABG=90°，AB=BC ，∠ABC=90°，在△ABG 和△BEC 中，BG BE ABC EBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC=∠AEM ，∴∠ABC=∠AME=90°，∴AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由是：如图2中，设AM 交BC 于O ．∵∠EBG=∠ABC=90°，∴∠ABG=∠EBC ，在△ABG 和△CEB 中，AB BC ABG CBE BG EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴AG=EC ，∠BAG=∠BCE ，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM ，∴∠BCE+∠COM=90°，∴∠OMC=90°，∴AG ⊥EC ．②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，∵△ABG ≌△CEB ，∴S △ABG =S △EBC ，AG=EC ， ∴12EC•BP=12AG•BH ， ∴BP=BH ，∴MB 平分∠AME ；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ=NB ，连接BQ ，∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN=MN ，∴MN-BN=AN-NQ ，即AQ=BM ，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，AQ BM BAN MBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM=BQ ，则CM=2BN ．【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．8．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABCS= ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336；（2）Ⅰ135APB ∠=︒， 722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形 ∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150° ∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8 ∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483 ∴ABCS=234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′， ∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22， ∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9， ∵AP'2=32=9， ∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°， ∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ， ∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形 ∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22 ∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′， ∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2， ∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11， ∵AP'2=（11）2=11， ∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°， ∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F ∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形 ∴PF=BF=22BP =22 ∴2 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．9．问题：如图（1），点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，试判断BM、MN、ND之间的数量关系．（1）研究发现如图1，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，从而发现BM、MN、DN之间的数量关系为（直接写出结果，不用证明）（2）类比引申如图2，在（1）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的对角线BD于点E、F．已知EF ＝5，DF＝4．求BE的长．（3）拓展提升如图3，在（2）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．答案：B解析：（1）BM+DN＝MN，理由见解析；（2）BE＝3；（3）以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．【分析】（1）结论是：BM+DN＝MN，如图1，利用三角形AND旋转90º得三角形ABG，∠DAN=∠BAG，可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN，利用SAS证△AMN≌△AMG即可；（2）如图2，按同样方法△AFD顺时针旋转90º，使AD与AB重合，得△ABF′，连结EF′，△BEF′是直角三角形，用勾股定理求EF′=5，再证△AEF≌△AEF即可；（3）如图3，由（2）可得BD=12，可求正方形边长，构建△P′AQ，P′B=DP，将△ADP顺时针转90º，AD与AB重合，得△BQP′，连OP′，可证△BQP′是直角三角形，可证PQ=P′Q，再证△ABQ∽△PDA，将△P′BQ面积=12BQ•BP′=12BQ•DP=12AD•AB可求．【详解】（1）如图1，BM+DN＝MN，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABC ＝∠BAD ＝90°，小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ，由旋转可得：BG ＝DN ，AN ＝AG ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D ＝90°， ∴∠ABG +∠ABM ＝90°+90°＝180°，因此，点G ，B ，M 在同一条直线上， ∵∠MAN ＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD ﹣∠MAN ＝90°﹣45°＝45°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝45°， ∴∠GAM ＝∠MAN ， ∵AM ＝AM ，∴△AMN ≌△AMG （SAS ）， ∴MN ＝GM ，∵GM ＝BM +BG ＝BM +DN ， ∴BM +DN ＝MN ；故答案为：BM +DN ＝MN ；（2）如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABF '，连接EF '，∴AF ′ ＝AF ，∠DAF ＝∠BAF '，∠ABF ′ ＝∠ADF ＝45°，BF ′ ＝DF ＝4， ∵∠ABE ＝45°，∴∠EBF ′ ＝45°+45°＝90°， ∵AE ＝AE ，同理得△EAF ≌△EAF '（SAS ）， ∴EF '＝EF ＝5，在Rt △EBF '中，由勾股定理得：BE ()()2222EF +BF 5-4=3''＝3；（3）由（2）知：BE ＝3，EF ＝5，DF ＝4， ∴BD ＝3+4+5＝12，由勾股定理得：AB 2+AD 2＝BD 2， ∵AB ＝AD ， ∴AB 2＝72，如图3，把△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP '，连接BP ′，则∠ABP′＝∠ADP ，PD ＝P ′B ，AP ＝AP ′，∵AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P ， ∴∠ADP ＝∠ABQ ＝135°， ∴∠DAP +∠APD ＝45°， ∵∠DAP +∠BAQ ＝45°， ∴∠BAQ ＝∠APD ， ∴△ADP ∽△QBA ， ∴AD PD=BQ AB， ∴BQ •PD ＝AD •AB ＝72， ∵∠ABP '＝∠ABQ ＝135°， ∴∠QBP '＝360°﹣135°﹣135°＝90°， ∴S △BP 'Q ＝12BQ•BP′＝12BQ•DP ＝12×72＝36， ∵AP ＝AP '，∠PAQ ＝∠P 'AQ ，AQ ＝AQ ， ∴△QAP ≌△QAP '（SAS ）， ∴PQ ＝P 'Q ，∴以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积为36．【点睛】本题是感知，探究，创新新题型，主要考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．10．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，AD 是对角线，60BAC ∠=︒，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，（1）求ADC ∠的度数；（2）若AD BD CD =+，求证：AD 平分BDC ∠；（3）在（2）的条件下，E 、F 分别在AC 、AB 上，连接BE 、CF ，交于点P ，使得BPC BDC ∠=∠，若7BD EF ==，15AD =，求EFP ∆的面积答案：A解析：（1）=60∠︒ADC ；（2）证明见详解；（3）4003129．【分析】（1）先由四边形内角和得到++300B C BDC ∠∠∠=︒，再由4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠可得答案；（2）把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）及题意易得D 、C 、E 三点共线，从而得到ADE 是等边三角形，由等边三角形的性质及旋转的性质易得60ADB E ∠=∠=︒，故得证；（3）过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由（2）及题意易得DC=8，由BPC BDC ∠=∠易得EBC FCA ∠=∠，进而得到AFC CEB △≌△，设AF=CE=x ，根据勾股定理得到AF 、CE 、BC 的长，最后根据BFE BPC 、的面积比等于FP 与PC 的比，进而求解即可．【详解】（1）解：=60BAC ∠︒，∴++36060300B C BDC ∠∠∠=︒-︒=︒，又BDC ADB ADC ∠=∠+∠，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，∴30024060ADC ∠=︒-︒=︒；（2）证明：把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）得：∴AD=AE ，BD=CE ，=ADC=60DAE ∠∠︒AD BD CD =+，DE=DC+CE ，∴D 、C 、E 三点共线，∴ADE 是等边三角形，∴60ADB E ∠=∠=︒， ∴60ADB ADC ∠=∠=︒，∴AD 平分BDC ∠；（3）解：过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由题意及（2）可得：ABC 是等边三角形，120BDC ∠=︒,∴AB=AC=BC ，60BDG ∠=︒，7BD EF ==，15AD =，∴72DG =，32BG =，DC=AD-BD=8， ∴723822GC GD DC =+=+=，在Rt BGC △中，222273231322BC BG GC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又=120BPC BDC ∠=∠︒，∴18012060PBC PCB ∠+∠=︒-︒=︒，60ECP PCB ∠+∠=︒，∴=ECP EBC ∠∠，=60,FAC BCA AC BC ∠∠=︒=，∴AFC CEB △≌△，∴CE=AF ，设133,1313222CE AF x AE x AH x FH x EH x ==∴=-==∴=-，，，，∴在Rt FHE 中，222FH EH EF +=即22231372x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125,8x x ==，①当CE=AF=5时，则AE=8，∴111322BECAFCSSAC FH ==⋅=⨯=16944ABEABCBECSSS =-=-=∴BFE ABEAFESSS=-==设BFPEFPBPCEPCSa Sb Sc Sd ====，，，，则有：a cb d FP PC ==∶∶∶，,BFE BFPFEP BEC BPCEPC S SSSSS=+=+，∴BFEBECSSFP PC =∶∶，∴6465BFE BECSS FP PC =∶∶，又1152224FECSCE FH =⋅=⨯⨯=，∴64641291294129EFP FECSS ==⨯=； ②当CE=AF=8时，AE=5，则有：∴111322BEAAFCSSAC FH ==⋅=⨯=，1694CBEABCBECSSS =-==∴654BFEABEAFESSS=-=-=由①可得：25=4104BFEBECSS FP PC =∶∶∶，又11822FECSCE FH =⋅=⨯⨯=∴2525129129EFPFECSS ==⨯=综上所述：129EFPS =．【点睛】本题主要考查三角形与四边形的综合问题，主要是利用全等三角形、等边三角形、三角形面积比的转换及勾股定理，熟练掌握各个知识点是解题的关键，尤其是第三问的面积转换问题是本题的难点．11．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．答案：B解析：（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3【分析】（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即180ADG ADF∠+∠=︒，即180B D∠+∠=︒；（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．【详解】（1）解：如图，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF 和△GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ）， ∴EF=GF ， ∵BE=DG ， ∴EF=GF=BE+DF ；（2）解：∠B+∠D=180°，理由是：如图，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合，则AE=AG ，∠B=∠ADG ，∠BAE=∠DAG ， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F 、D 、G 在一条直线上，和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF 和△GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ）， ∴EF=GF ， ∵BE=DG ， ∴EF=GF=BE+DF ；故答案为：∠B+∠D=180°；（3）解：∵△ABC 中，2∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22AB AC +，如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ， ∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△EAD ， ∴DF=DE ，设DE=x ，则DF=x ， ∵BD=1，∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，由勾股定理得：222DF BF BD =+，22(3)1x x =-+，解得：x=53，即DE=53．【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．12．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx+b 1经过点A ，C ，连接CD ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式：（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc+c 中，得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3，当x ＝0时，y ＝3， ∴点C 的坐标是（0，3），把A （3，0）和C （0，3）代入y ＝kx+b 1中，得11303k b b +=⎧⎨=⎩，∴113k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+3；（2）如图，连接BC ， ∵点D 是抛物线与x 轴的交点， ∴AD ＝BD ， ∴S △ABC ＝2S △ACD ， ∵S △ACP ＝2S △ACD ，∴S △ACP ＝S △ABC ，此时，点P 与点B 重合，即：P （﹣1，0），过B 点作PB ∥AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），代入y＝﹣x2+2x+3中，解得，m＝﹣3或m＝2（舍），∴Q的坐标为（1，﹣3），∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．13．如图1，ABC ∆中，CA CB =，ACB α∠=，D 为ABC ∆内一点，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆，点,AD 的对应点分别为点,BE ，且,,A D E 三点在同一直线上．（1）填空：CDE ∠=______（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若60α=︒，请补全图形，再过点C 作CF AE ⊥于点F ，然后探究线段CF ，AE ，BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若90α=︒，52AC =ABEC 面积的最大值______．解析：（1）1802α-；（2）33AE BE =+；证明见解析；（3）21)2．【分析】（1）由旋转的性质可得CD CE =，DCE α∠=，即可求解；（2）由旋转的性质可得AD BE =，CD CE =，60DCE ∠=︒，可证CDE ∆是等边三角形，由等边三角形的性质可得33DF EF CF ==，即可求解；（3）如图3中，过点C 作CF BE ⊥交BE 的延长线于F ，设AE 交BC 于J ．证明90ACJ BEJ，推出点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CEEB 时，四边形ABEC 的面积最大，此时EC EB =，分别求出ABC ∆，BCE ∆的面积即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆，DCE α∠= CD CE ∴=1802CDE α︒-∴∠=．故答案为：1802α︒-．（2）233AE BE CF =+理由如下：如图2中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角60︒得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆AD BE ∴=，CD CE =，60DCE ∠=︒ CDE ∴∆是等边三角形，且CF DE ⊥33DF EF ∴==AE AD DF EF =++23AE BE ∴=+．（3）如图3中，过点C 作CWBE 交BE 的延长线于W ，设AE 交BC 于J ．。

完整版)全等三角形难题题型归类及解析

完整版)全等三角形难题题型归类及解析1.在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，AE=AC，DE=2cm，BD=3cm，求BC的长度。

为了解决这个问题，我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形ADE和ABC。

因为AE=AC，所以三角形ADE和三角形ABC的两边分别相等，因此它们是全等的。

根据全等三角形的性质，∠DAE=∠CAB，∠AED=∠ACB。

又因为AD是角BAC的平分线，所以∠DAE=∠EAC，因此∠CAB=2∠EAC。

设BC=x，则根据正弦定理可得：3/x=sin(2EAC)/sin(EAC)，化简后得到x=6.2.在三角形ABC中，BD是角ABC的平分线，AB=BC，P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求解PM与PN 的关系。

首先，我们可以利用角平分线的性质，构造等腰三角形ABD和CBD。

因为AB=BC，所以三角形ABD和三角形CBD的两边分别相等，因此它们是全等的。

根据全等三角形的性质，∠BDA=∠BDC，∠ADB=∠CDB。

又因为BD是角ABC的平分线，所以∠ADB=∠BDC，因此∠BDA=∠CDB。

因此，三角形APM和三角形CPN是全等的。

因为全等三角形的对应边相等，所以PM=PN。

3.在三角形OAB中，P是角OAB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，OC=4cm，求解AO+BO的值。

我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形OAC和OBC。

因为∠OAP+∠OBP=180°，所以∠AOP=∠BOP=90°。

因此，三角形OAP和三角形OBP是直角三角形。

设AO=x，BO=y，则根据勾股定理可得：x^2+PC^2=OP^2，y^2+PC^2=OP^2.又因为OC=4cm，所以PC=2cm。

将PC代入上面的两个式子中，得到x^2+y^2=OP^2-4.又因为三角形OAC和三角形OBC是全等的，所以x=y，因此2x^2=OP^2-4，即OP^2=2x^2+4.因此，AO+BO=2x=2√((OP^2-4)/2)=2√(2x^2)=2√(2y^2)=2√(2x^2+4)/2=2√(OP^2)/2=OP√2=2√6.4.在三角形ABC中，E在边AC上，且∠XXX∠ABC。

专题01 全等三角形中的手拉手旋转模型(解析版)

专题01 全等三角形中的手拉手旋转模型【模型展示】【模型证明】ECDABC CD CE ACD BCE AC BC ECD ABC ACD BCE ACE ECD ACE ACB ECDACB ECD ACB CD CE AC BC ECD ABC ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠=∠=∠==∴∆∆中与在为等边三角形与 60,,BDMN NCD MNC NCD MNC MCN MCN MCN CN CM ACN BCM AFB AFM BCM AFM BMC AMF MAF AFM BMC CBM BCM AFM AMF MAF BCM BMC CBM CADCBE ACD BCE ADBE ACD BCE //60606060,60)(180)(180180180∴∠=∠∴=∠=∠∴∆∆∴=∠=∴∆≅∆=∠=∠=∠∴∠=∠∠+∠-=∠∠+∠-=∠∴=∠+∠+∠=∠+∠+∠∠=∠∴∆≅∆=∴∆≅∆为等边三角形为等边三角形即P Q NMFECABD【模型拓展】【题型演练】一、单选题1．如图，在ABCV中，90ABC∠=°，分别以AB，AC为边作等边ABD△和等边ACEV，连结DE，若3AB=，5AC=，则ED=（）A．B．C．4D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，∴由勾股定理得：BC=4，∵ABD △和ACE V 均为等边三角形，∴AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =60°，∴∠BAD -∠CAD =∠CAE -∠CAD ，即：∠BAC =∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE (SAS )，∴DE =BC =4，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键．2．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论错误的是（）A ．∠AOB =60°B ．AP =BQC ．PQ ∥AED ．DE =DP【答案】D【分析】利用等边三角形的性质，BC ∥DE ，再根据平行线的性质得到∠CBE =∠DEO ，于是∠AOB =∠DAC +∠BEC =∠BEC +∠DEO =∠DEC =60°，得出A 正确；根据△CQB ≌△CPA （ASA ），得出B 正确；由△ACD ≌△BCE 得∠CBE =∠DAC ，加之∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，得到△CQB ≌△CPA （ASA ），再根据∠PCQ =60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC =∠DCE ，根据内错角相等，两直线平行，得出C 正确；根据∠CDE =60°，∠DQE =∠ECQ +∠CEQ =60°+∠CEQ ，可知∠DQE ≠∠CDE ，得出D 错误．【详解】解：∵等边△ABC 和等边△CDE ，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠ACD =∠BCE，在△ACD 与△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE =∠DAC ，又∵∠ACB =∠DCE =60°，∴∠BCD =60°，即∠ACP =∠BCQ ，又∵AC =BC ，在△CQB 与△CPA 中，ACP BCQ AC BCPAC CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CQB ≌△CPA （ASA ），∴CP =CQ ，又∵∠PCQ =60°可知△PCQ 为等边三角形，∴∠PQC =∠DCE =60°，∴PQ ∥AE ，故C 正确，∵△CQB ≌△CPA ，∴AP =BQ ，故B 正确，∵AD =BE ，AP =BQ ，∴AD -AP =BE -BQ ，即DP =QE ，∵∠DQE =∠ECQ +∠CEQ =60°+∠CEQ ，∠CDE =60°，∴∠DQE ≠∠CDE ，故D 错误；∵∠ACB =∠DCE =60°，∴∠BCD =60°，∵等边△DCE ，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．3．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（）A．8B．6C．4D．2【答案】A【分析】连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．证明△BAD≌△CAE,然后可推出△PQR是等腰直角三角形，S△PQR＝12•PQ2,由AB＝5，AD＝2可知3≤BD≤7，从而得到32≤PQ≤72，那么9 8≤12•PQ2≤498,即可得出答案．【详解】解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，∵∠AHB＝∠CHO，∴∠O＝∠BAH＝90°，∵点P ，Q ，R 分别是BC ，DC ，DE 的中点，∴PQ ＝12BD ，PQ ∥BO ，QR ＝12EC ，QR ∥CO ，∵BO ⊥OC ，∴PQ ⊥RQ ，PQ ＝QR ，∴△PQR 是等腰直角三角形，∴S △PQR ＝12•PQ 2，∵AB ＝5，AD ＝2，∴3≤BD ≤7，∴32≤PQ ≤72，∴98≤12•PQ 2≤498，∴△PQR 的面积不可能是8，故答案为：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、F 是射线BC 上两点，且AD AF ⊥，若AE AD =，15BAD CAF ∠=∠=°；则下列结论中正确的有（）①CE BF ⊥；②ABD ACE △≌△；③ABC ADCE S S =四边形△；④122BC EF AD CF-=-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】由AD ⊥AF ，∠BAD=∠CAF ，得出∠BAC=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠ACB=45°，由SAS 证得△ABD ≌△ACE （SAS ），得出BD=CE ，∠B=∠ACE=45°，S △ABC =S 四边形ADCE ，则∠ECB=90°，即EC ⊥BF ，易证∠ADF=60°，∠F=30°，由含30°直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD ，DF=2AD ，则BD=12EF ，由BC-BD=DF-CF ，得出BC-12EF=2AD-CF ，即可得出结果．【详解】∵AD ⊥AF ，∠BAD=∠CAF ，∴∠BAC=90°，∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ，∠B=∠ACE=45°，S △ABC =S 四边形ADCE ，∴∠ECB=90°，∴EC ⊥BF ，∵∠B=45°，∠BAD=15°，∴∠ADF=60°，∴∠F=30°，∴EF=2CE=2BD ，DF=2AD ，∴BD=12EF ，∵BC-BD=DF-CF ，∴BC-12EF=2AD-CF ，∴①、②、③、④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键．5．如图，正ABC V 和正CDE △中，B 、C 、D 共线，且3BC CD =，连接AD 和BE 相交于点F ，以下结论中正确的有（）个①60AFB ∠=° ②连接FC ，则CF 平分BFD ∠ ③3BF DF = ④BF AF FC=+A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据“手拉手”模型证明BCE ACD V V ≌，从而得到CBE CAD ∠=∠，再结合三角形的外角性质即可求解60AFB ACB ∠=∠=°，即可证明①；作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，证明CEM CDN V V ≌，结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示BCF △和DCF V 的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，首先判断出FCQ V 为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出BCF ACQ V V ≌即可证明④．【详解】解：①∵ABC V 和CDE △均为等边三角形，∴60ACB ECD ∠=∠=°，AC BC =，EC DC =，∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，∴BCE ACD ∠=∠，在BCE V 和ACD △中，BC AC BCE ACDEC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCE ACD SAS V V ≌，∴CBE CAD ∠=∠，∵AFB CBE CDA ∠=∠+∠，ACB CDA CAD ∠=∠+∠，∴60AFB ACB ∠=∠=°，故①正确；②如图所示，作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，则90CME CND ∠=∠=°，∵BCE ACD V V ≌，∴CEM CDN ∠=∠，在CEM V 和CDN △中，CME CND CEM CDNCE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CEM CDN AAS V V ≌，∴CM CN =，∴CF 平分BFD ∠，故②正确；③如图所示，作FP BD ⊥于P 点，∵1122BCF S BF CM BC FP ==V g g ，1122DCF S DF CN CD FP ==V g g ，∴11221122BCFDCF BF CM BC FP S S DF CN CD FP ==V V g g g g ，∵CM CN =，∴整理得：BF BC DF CD=，∵3BC CD =，∴33BF CD DF CD==，∴3BF DF =，故③正确；④如图所示，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，∵60AFB ACB ∠=∠=°，CF 平分BFD ∠，∴120BFD ∠=°，1602CFD BFD ∠=∠=°，∴FCQ V 为等边三角形，∴60FCQ ∠=°，CF CQ =，∵60ACB ∠=°，∴ACB ACF FCQ ACF ∠+∠=∠+∠，∴BCF ACQ ∠=∠，在BCF △和ACQ V 中，BC AC BCF ACQCF CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCF ACQ SAS V V ≌，∴BF AQ =，∵AQ AF FQ =+，FQ FC =，∴BF AF FC =+，故④正确；综上，①②③④均正确；故选：A ．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．6．如图，点C 是线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，有以下5个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】①由于△ABC 和△CDE 是等边三角形，可知AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD ≌△BCE ，可推知AD=BE；③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；故①正确；③∵△ACD≌△BCE(已证)，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，∴△ACP≌△BCQ(ASA)，∴AP=BQ；故③正确；②∵△ACP≌△BCQ，∴PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60∘，∴∠ACB=∠CPQ ，∴PQ ∥AE ；故②正确；④∵AD=BE ，AP=BQ ，∴AD−AP=BE−BQ ，即DP=QE ，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE ，∴DE≠QE ，则DP≠DE ，故④错误；⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE ，∠EDC=60°=∠BCD ，∴BC ∥DE ，∴∠CBE=∠DEO ，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．二、填空题7．如图，ABD △、CDE △是两个等边三角形，连接BC 、BE ．若30DBC ∠=°，6BD =，8BC =，则BE =________．【答案】BE =10【分析】连接AC ，根据题意易证△ACD ≌△BED(SAS)，根据全等三角形的性质可得AC=BE ，再根据勾股定理求出AC 的值即可得出结论．【详解】如图，连接AC ，∵ABD △、CDE △是两个等边三角形，∴AB=BD=AD=2，CD=DE ，∠ABD=∠ADB=∠CDE=60，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC ，∴∠ADC=∠BDE ，在△ACD 与△BDE 中AD BD ADC BDE CD DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△ACD ≌△BED （SAS ），∴AC=BE ，∵30DBC ∠=°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+30°=90°，在Rt △ABC 中，AB=6，BC=8，∴10=，∴BE=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，孰练的掌握知识点是解题关键．8．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB 'C '的位置，连接BC '，BC '的延长线交AB '于点D ，则BD 的长为 _____．【分析】连接BB ′，根据旋转的性质可得AB ＝AB ′，判断出△ABB ′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB ＝BB ′，然后利用“边边边”证明△ABC ′和△B ′BC ′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC ′＝∠B ′BC ′，延长BC ′交AB ′于D ，根据等边三角形的性质可得BD ⊥AB ′，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD ．【详解】解：如图，连接BB ′，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△AB ′C ′，∴AB ＝AB ′，∠BAB ′＝60°，∴△ABB ′是等边三角形，∴AB ＝BB ′，在△ABC ′和△B ′BC ′中，AB BB AC B C BC BC =¢⎧⎪¢=¢¢⎨⎪¢=¢⎩，∴△ABC ′≌△B ′BC ′（SSS ），∴∠ABC ′＝∠B ′BC ′30=° ，延长BC ′交AB ′于D ，则BD ⊥AB ′，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴AB 2=AB ’，∴AD =112AB =∴BD =，【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC ′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．9．如图，ABC V 是边长为5的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=°．E 、F 分别在AB 、AC 上，且60EDF ∠=°，则三角形AEF 的周长为______．【答案】10【分析】延长AB 到N ，使BN =CF ，连接DN ，求出∠FCD =∠EBD =∠NBD =90°，根据SAS 证△NBD ≌△FCD ，推出DN =DF ，∠NDB =∠FDC ，求出∠EDF =∠EDN ，根据SAS 证△EDF ≌△EDN ，推出EF =EN ，易得△AEF 的周长等于AB +AC ．【详解】解：延长AB 到N ，使BN =CF ，连接DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，∵BD =CD ，∠BDC =120°，∴∠DBC =∠DCB =30°，∴∠ACD =∠ABD =30°+60°=90°=∠NBD ，∵在△NBD 和△FCD 中，BD DC NBD FCD BN CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBD ≌△FCD （SAS ），∴DN =DF ，∠NDB =∠FDC ，∵∠BDC =120°，∠EDF =60°，∴∠EDB +∠FDC =60°，∴∠EDB +∠BDN =60°，即∠EDF =∠EDN ，在△EDN 和△EDF 中，DE DE EDF EDN DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDN ≌△EDF （SAS ），∴EF =EN =BE +BN =BE +CF ，即BE +CF =EF ．∵△ABC 是边长为5的等边三角形，∴AB =AC =5，∵BE +CF =EF ，∴△AEF 的周长为：AE +EF +AF =AE +EB +FC +AF =AB +AC =10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ P AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有_____．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③⑤为等边三角形，再证【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明；根据全等三角形的性质证明MCN明△ACD≌△BCE即可求解．【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确，符合题意；②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ P AE，故本选项正确，符合题意；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确，符合题意；④已知△ABC 、△DCE 为正三角形，故∠DCE =∠BCA =60°⇒∠DCB =60°，又因为∠DPC =∠DAC +∠BCA ，∠BCA =60°⇒∠DPC ＞60°，故DP 不等于DE ，故本选项错误，不符合题意；⑤∵△ABC 、△DCE 为正三角形，∴∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，DC =EC ，∴∠ACB +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，∴∠ACD =∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CAD =∠CBE ，∴∠AOB =∠CAD +∠CEB =∠CBE +∠CEB ，∵∠ACB =∠CBE +∠CEB =60°，∴∠AOB =60°，故本选项正确，符合题意．综上所述，正确的结论是①②③⑤．三、解答题11．如图，ACB △和ECD V 都是等腰直角三角形，,,CA CB CD CE ACB ==△的顶点A 在ECD V 的斜边DE 上，连接BD ．（1）求证：BD AE =．（2）若3cm,6cm AE AD ==，求AC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC =．【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠BCD=∠ACE ，然后根据SAS 定理证明△BCD ≌△ACE ，从而得出结论；（2）根据全等三角形的性质得出∠BDC=∠AEC ，然后结合等腰直角三角形的性质求得∠BDA 是直角三角形，从而利用勾股定理求解．【详解】（1）∵ACB △和ECD V 都是等腰直角三角形，∴90ACB ECD ∠=∠=°，∴90,90ACD BCD ACD ACE ∠+∠=°∠+∠=°，∴BCD ACE ∠=∠，在BCD △和ACB △中，CB CA BCD ACECD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCD ACE SAS V V ≌，∴BD AE =．（2）∵BCD ACE V V ≌，∴BDC AEC ∠=∠，又∵ECD V 是等腰直角三角形，∴45CDE CED ∠=∠=°，∴45BDC ∠=°，∴90BDC CDE ∠+∠=°，∴BDA ∠是直角三角形，∴22222223645AB BD AD AE AD =+=+=+=，在等腰直角三角形ACB 中，22222AB AC BC AC =+=，∴AC =【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．12．如图，A 、B 、C 在同一直线上，且△ABD ，△BCE 都是等边三角形，AE 交BD 于点M ，CD 交BE 于点N ，MN ∥AC ，求证：（1）∠BDN=∠BAM ；（2）△BMN 是等边三角形．【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解。

中考数学全等三角形角6090旋转知识归纳总结及解析

中考数学全等三角形角6090旋转知识归纳总结及解析一、全等三角形角6090旋转1．在△ABC 中90AOB ∠=︒，AO=BO ，直线MN 经过点O ，且AC ⊥MN 于C ，BD ⊥MN 于D(1) 当直线MN 绕点O 旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD ；(2) 当直线MN 绕点O 旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD ；(3) 当直线MN 绕点O 旋转到图③的位置时，试问：CD 、AC 、BD 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．如图，在等腰ABC 中，AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，E 是BC 上一点，将E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，连接DE 、CD ．（1）求证：ABE ACD △≌△；（2）当BC ＝6，CE ＝2时，求DE 的长．3．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边上的动点，且∠EAF ＝45°，求证：EF ＝DF+BE ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，如果点E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的动点，且∠EAF ＝45°，则EF 、BE 、DF 之间数量关系是什么？请写出证明过程．（3）如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE ＝35，求AF 的长．4．如图1，ABC 与CDE △都是等腰直角三角形，直角边AC ，CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE ，BD ，PM ，PN ，MN ．（1）观察猜想：图1中，PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：将图1中的CDE △绕着点C 顺时针旋转()090αα︒<<︒，得到图2，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 任意旋转，若4AC =，2CD =，请直接写出PMN 面积的最大值． 5．已知ABC 和ADE 都是等腰直角角三角角形；90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是直线BC 上的一动点(点D 不与B 、C 重合)，连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：①BC CE CD =+；②BC EC ⊥ ；（2）在图2中，当点D 在边BC 的廷长线上时，结论①BC CE CD =+是否还成立？若不成立，请直接写出BC CE CD 、、之间存在的数量关系，不必说明理由．（3）在图3中当点D 在边BC 的反向延长线上时，补全图形，不写证明过程，直接写出BC CE CD 、、之间存在的数量关系．6．在ABC 中，AB AC =，点P 在平面内，连接AP ，并将线段AP 绕A 顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ．（1）如图，如果点P 是BC 边上任意一点．则线段BQ 和线段PC 的数量关系是__________．（2）如图，如果点P 为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；（3）如图，在DEF 中，8DE =，60EDF ∠=︒，75DEF ∠=︒，P 是线段EF 上的任意一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到线段DQ ，连接EQ ．请直接写出线段EQ 长度的最小值．7．已知，四边形ABCD 中，,,,120,60AB AD BC CD BA BC ABC MBN ︒︒⊥⊥=∠=∠=，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交,AD DC （或它们的延长线）于E ，F ．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时，如图（1），易证：AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．8．如图，BC为等边△ABM的高，AB＝52，点P为射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接MD，BD．（1）如图①，当点P在线段BC上时，求证：BP＝MD；（2）如图②，当点P在线段BC的延长线上时，求证：BP＝MD；（3）若点P在线段BC的延长线上，且∠BDM＝30°时，请直接写出线段AP的长度．9．如图，点O是正△ABC内一点，∠AOB=90°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，连结OE．（1）求证，△COE是正三角形；（2）当α为何值时，AC⊥OE，并说明理由；（3）探究是否存在α的值使得点O到正△ABC三个顶点的距离之比为1:3:2，若存在请直接写出α的值，若不存在请说明理由．∠=45°，正方10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，BAF△的周长为_______．形ABCD的边长为5，则ECF【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角6090旋转1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.【分析】（1）通过证明△ACO ≌△ODB 得到OC=BD ，AC=OD ，则CD=AC+BD ；（2）通过证明△ACO ≌△ODB 得到OC=BD ，AC=OD ，则CD=AC-BD ；（3）通过证明△ACO ≌△ODB 得到OC=BD ，AC=OD ，则CD=BD-AC ．【详解】解：（1）如图1，∵△AOB 中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直线MN 经过点O ，且AC ⊥MN 于C ，BD ⊥MN 于D ，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，90ACO ODB OAC BOD AO OB ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∴OC=BD ，AC=OD ，∴CD=AC+BD ；（2）如图2，∵△AOB 中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直线MN 经过点O ，且AC ⊥MN 于C ，BD ⊥MN 于D ，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，90ACO ODB OAC BOD AO OB ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∴OC=BD ，AC=OD ，∴CD=OD ﹣OC=AC ﹣BD ，即CD=AC ﹣BD ．（3）如图3，∵△AOB 中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直线MN 经过点O ，且AC ⊥MN 于C ，BD ⊥MN 于D ，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，90ACO ODB OAC BOD AO OB ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∴OC=BD ，AC=OD ，∴CD=OC ﹣OD=BD ﹣AC ，即CD=BD ﹣AC ．【点睛】此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.2．（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，可得AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，进而可以证明△ABE ≌△ACD ；（2）结合（1）△ABE ≌△ACD ，和等腰三角形的性质，可得∠DCE ＝90°，再根据勾股定理即可求出DE 的长．【详解】（1）证明：∵E点绕A点逆时针旋转90°到AD，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠DAC＝∠EAB，∵AC＝AB，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）∵等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠DCA＝∠ABE＝45°，∴∠DCE＝90°，∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝4＝CD，∴DE＝22＝25．42【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．3．（1）见解析；（2）EF＝DF﹣BE，见解析；（3）210【分析】（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，由“SAS”可证△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；（2）将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF ＝FM，则结论得证；（3）由全等三角形的性质可得AE＝AG＝35，EF＝FG，BE＝DG，由勾股定理可求DG的长，FD的长，AF的长．【详解】（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；（3）如图，由（1）可得AE＝AG＝35EF＝FG，BE＝DG，∵DG2245363-=-=，AG AD∴BE＝DG＝3，∴EC＝BC﹣BE＝3，∵EF2＝EC2+CF2，∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF）2，∴DF＝2，∴AF ＝22AD DF +＝436+＝210．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，此题为半角模型，∠EAF 是∠BAD 的一半，故命名半角模型，半角模型必旋转，再证全等即可．4．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN 的形状为等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN 的面积的最大值为92．【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，易证ΔACE ≌ΔBCD ，得AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，进而得∠BHA=90°，结合中位线的性质，得PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ， PN//AE ，进而得PM=PN ，PM ⊥PN ；（2）设AE 交BC 于⊙O ，易证ΔACE ≌ΔBCD ，得AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，进而得∠BHA=90°，结合中位线的性质，得PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ， PN//AE ，进而得PM=PN ，PM ⊥PN ；（3）易证ΔPMN 是等腰直角三角形，PM=12BD ，当B 、C 、D 共线时，BD 的值最大，进而求解．【详解】解：（1）如图1，延长AE 交BD 于点H ，∵ΔACB 和ΔECD 是等腰直角三角形，∴AC=BC ，EC=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE ，∴∠ACE=∠BCD ，∴ΔACE ≌ΔBCD （SAS ），∴AE=BD ，∠CAE=∠CBD ，又∵∠AEC=∠BEH ，∴∠BHA=∠ACE=90°，∵点P 、M 、N 分别为AD 、AB 、DE 的中点，∴PM=12BD ，PM//BD ，PN=12AE ，PN//AE ， ∴PM=PN ， ∴PM ⊥AH ，∴PM ⊥PN ．（2）如图中，设AE 交BC 于O ．∵ACB △和ECD 是等腰直角三角形，∴AC BC =，EC CD =，90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠∴ACE BCD ∠=∠.∴ACE BCD ≅∴AE BD =，CAE CBD ∠=∠又∵AOC BOE ∠=∠，CAE CBD ∠=∠，∴90BHO ACO ∠=∠=︒∵点P 、M 、N 分别为AD 、AB 、DE 的中点，∴12PM BD =，//PM BD ； PN AE =，//PN AE .∴PM PN =∴180MGE BHA ∠+∠=︒∴90MGE ∠=︒∴90MPN ∠=︒∴PM PN ⊥（3）PMN 的面积的最大值为92．由（2）可知PMN 是等腰直角三角形，12PM BD =， ∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，PMN 的面积最大，∴当B 、C 、D 共线时，BD 的最大值6BC CD =+=，∴3PM PN ==，∴PMN 的面积的最大值193322=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质和判定定理，掌握旋转全等三角形模型，是解题的关键．5．（1）见解析（2）CE ＝BC ＋CD ，理由见解析（3）CD ＝BC ＋EC ，理由见解析【分析】（1）只要证明△ABD ≌△ACE （SAS ），可得BD ＝CE ，即可推出BC ＝BD ＋CD ＝EC ＋CD ，再得到∠ECD=90︒即可求解；（2）不成立，存在的数量关系为CE ＝BC ＋CD ，利用全等三角形的性质即可证明；（3）根据题意补全图形，同（1）可证明△ABD ≌△ACE 即可求解．【详解】（1）∵AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝45︒，AD ＝AE ，∠ADE ＝∠AED ＝45︒，∴∠BAC ＝∠DAE ＝90︒，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∴BC ＝BD ＋CD ＝CE ＋CD ；∴∠ACE ＝∠ABD ＝45︒∴∠ECD=∠ACE +∠ACB =90︒∴BC EC ⊥（2）不成立，存在的数量关系为CE ＝BC ＋CD ．理由：由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∴BD ＝BC ＋CD ，∴CE ＝BC ＋CD ；（3）如图3，结论：CD ＝BC ＋EC ．依题意补全图形，理由：由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD EAC AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∴CD ＝BC ＋BD ＝BC ＋CE ．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．6．（1）相等；（2）成立，证明见解析；（3）2622【分析】（1）先判断出∠BAQ=∠CAP ，进而用SAS 判断出△BAQ ≌△CAP ，即可得出结论；（2）结论BQ=PC 仍然成立，理由同（1）的方法；（3）先构造出△DEQ ≌△DHP ，得出EQ=HP ，进而判断出要使EQ 最小，当HP ⊥EF （点P 和点M 重合）时，EQ 最小，最后用解直角三角形即可得出结论．【详解】解：（1）由旋转知：AQ=AP ，∵PAQ BAC ∠=∠，∴PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠，∴BAQ CAP ∠=∠，∵AB AC =，∴()BAQ CAP SAS ∆≅∆，∴BQ CP =故答案为：相等．（2）BQ PC =仍成立，理由如下：证明：由旋转知：AQ=AP ，∵PAQ BAC ∠=∠，∴PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠，∴BAQ CAP ∠=∠，∵AB AC =，∴()BAQ CAP SAS ∆≅∆，∴BQ C =Ｐ（3）如图：在DF 上取一点H ，使8DH DE ==，连接ＰＨ，过点Ｈ作HM EF ⊥于Ｍ，由旋转知，DQ DP =，60PDQ ∠=︒，∵60EDF ∠=︒，∴PDQ EDF ∠=∠，∴EDQ HDP ∠=∠，∴()DEQ DHP SAS ∆≅∆，∴EQ HP =，要使EQ 最小，则有HP 最小，而点H 是定点，点P 是EF 上的动点，∴当HM EF ⊥（点P 和点M 重合）时，HP 最小，即：点P 与点M 重合，EQ 最小，最小值为HM ，过点E 作EG DF ⊥于G ，在Rt DEG ∆中，8DE =，60EDF ∠=︒，∴30DEG ∠=︒， ∴142DG DE ==， ∴343EG DG ==在Rt EGF ∆中，753045FEG DEF DEG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴9045F FEG FEG ∠=︒-∠=︒=∠，43FG EG == ∴443DF DG FG =+=+ ∴4438434FH DF DH =-=+=，在Rt HMF ∆中，45F ∠=︒， ∴)224342622HM === 即：EQ 的最小值为2622．【点睛】本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等知识为解题关键．7．图（2）成立，图（3）不成立；图（2）中有AE CF EF +=，理由见解析；在图（3）中，有结论EF AE CF =-，理由见解析【分析】根据已知可以利用SAS 证明△ABE ≌△CBF ，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE ＝∠CBF ＝30°，△BEF 为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE +CF ＝EF ．同理图2可证明是成立的，图3不成立．【详解】解：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，AE ＝CF ，在△ABE 和△CBF 中，90AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）；∴∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ；∵∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∴∠ABE ＝∠CBF ＝30°，∴AE ＝12BE ，CF ＝12BF ； ∵∠MBN ＝60°，BE ＝BF ，∴△BEF 为等边三角形；∴AE +CF ＝12BE +12BF ＝BE ＝EF ；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC 至点K ，使CK ＝AE ，连接BK ，在△BAE 和△BCK 中，90AB CB A BCK AE CK =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩则△BAE ≌△BCK ，∴BE ＝BK ，∠ABE ＝∠KBC ，∵∠FBE ＝60°，∠ABC ＝120°，∴∠FBC +∠ABE ＝60°，∴∠FBC +∠KBC ＝60°，∴∠KBF ＝∠FBE ＝60°，在△KBF 和△EBF 中，BK BE KBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△KBF ≌△EBF ，∴KF ＝EF ，∴KC +CF ＝EF ，即AE +CF ＝EF ．图3不成立，AE 、CF 、EF 的关系是AE ﹣CF ＝EF ．理由如下：延长DC 至G ，使CG ＝AE ，同理可知，△BAE ≌△BCG （SAS ），∴BE ＝BG ，∠ABE ＝∠GBC ，∠GBF ＝∠GBC ﹣∠FBC ＝∠ABE ﹣∠FBC ＝120°+∠FBC ﹣60°﹣∠FBC ＝60°，∴∠GBF ＝∠EBF ，∵BG ＝BE ，∠GBF ＝∠EBF ，BF ＝BF ，∴△GBF ≌△EBF ，∴EF ＝GF ，∴AE ﹣CF ＝CG ﹣CF ＝GF ＝EF ．【点睛】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP ＝2【分析】（1）由旋转定理，可得AP ＝DP ，结合∠APD ＝60°，可推导出△APD 是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP ＝∠MAD ，结合等边△ABM 的性质，可证明△BAP ≌△MAD ，即完成BP ＝MD 证明；（2）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；（3）由△BAP≌△MAD和BC为等边△ABM的高，计算得∠DBM＝60°，从而证明点D在BA的延长线上，再利用Rt△BMD和特殊角度三角函数，计算得到答案．【详解】（1）如图①，连接AD∵△ABM是等边三角形∴AB＝AM，∠BAM＝60°由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°∴△APD是等边三角形∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°∴∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP，∠MAD＝∠PAD﹣∠CAP∴∠BAP＝∠MAD∵AB AMBAP MADAP AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAP≌△MAD（SAS）∴BP＝MD；（2）如图②，连接AD∵△AMB是等边三角形∴AB＝AM，∠BAM＝∠AMB＝60°由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°∴△APD是等边三角形∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠MAD＝∠PAD+∠CAP ∴∠BAP＝∠MAD在△BAP与△MAD中∵AB AMBAP MADAP AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAP≌△MAD（SAS）∴BP＝MD；（3）∵BC为等边△ABM的高∴∠ABC＝30°∵△BAP≌△MAD∴∠ABP＝∠AMD＝30°∴∠BMD＝∠AMB+∠AMD＝90°∴∠BMD＝90°∵∠BDM＝30°∴∠DBM＝60°∴点D在BA的延长线上如图③∵∠BDM＝30°,∠BMD＝90°∴BD＝2BM＝2∴AD＝BD﹣AB＝2∵PA＝PD＝AD∴AP＝AD＝2．【点睛】本题考察了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案．9．（1）证明见解析；（2）α=135°时，AC⊥OE；（3）存在，a=120°或150°．【分析】（1）利用旋转的性质得出CO=CE，∠OCE=60°，即可得出答案；（2）根据∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，得出∠AOE=210°-α，再利用∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°得出α的度数即可；（3）根据当OE：AO：AE=1：3：2时以及当OA：EO：AE=1：3：2时，由勾股定理的逆定理及旋转的性质得出α的度数即可．【详解】（1）∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，∴CO=CE，∠OCE=60°，∴△COE是正三角形．（2）当α=135°时，AC⊥OE，理由如下：∵△COE是正三角形，AC⊥OE∴AC垂直平分OE，∴AO=AE，∴∠AOE=∠AEO，∵∠AOB=90°，∠BOC=α，∠COE=60°，∴∠AOE=210°-α，∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，∴∠AEC=∠BOC=α，∴∠AEO=∠AEC-60°=∠BOC-60°=α-60°，∴210°-α=α-60°，解得：α=135°，∴当α=135°时，AC⊥OE．（3）∵△COE是正三角形，将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，∴AC=BC，EC=CO=EO，BO=AE，∠AEC=∠BOC，①如图，当OC：OA：OB=1：3：2时，OE：OA：AE=1：3：2，∵12+（3）2=22，∴△AOE是直角三角形，∠AOE=90°，∴∠BOC=360°-90°-90°-60°=120°，②当OC ：OB ：OA=1：3：2时，EO ：AE ：OA=1：3：2时，∵12+（3）2=22，∴△AOE 是直角三角形，∠AEO=90°，∴∠BOC=∠AEC=∠AEO+∠OEC=90°+60°=150°，∴当α=120°或150°时，存在α的值使得点O 到正△ABC 三个顶点的距离之比为1：3：2．【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论的思想得出不同情况是此题的易错点．10．10【分析】将DAF ∆绕点A 顺时针旋转90度到BAF ∆'位置，根据旋转的性质得出45EAF ∠'=︒，进而得出FAE EAF ∆≅∆'，即可得出EF EF BE BF BE DF '==+'=+，从而可得ECF △的周长=CD CB +．【详解】解：将DAF ∆绕点A 顺时针旋转90度到BAF ∆'位置，由题意可得出：DAF BAF ∆≅∆'，DF BF ∴='，DAF BAF ∠=∠'，45EAF ∴∠'=︒，在FAE ∆和EAF ∆'中，AF AF FAE EAF AE AE ='⎧⎪∠=∠'⎨⎪=⎩，()FAE EAF SAS ∴∆≅∆'，EF EF ∴='，∴EF EF BE BF BE DF '==+'=+∴ECF △的周长=EF EC FC DF FC BE EC CD BC ++=+++=+， ∵正方形ABCD 的边长为5，即==5CD BC ，∴ECF △的周长25=10⨯．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出FAE EAF ∆≅∆'是解题关键．。

专题6 类比探究—图形旋转中三角形全等题型(学生版)

专题6类比探究—图形旋转中三角形全等题型知识归纳几何类比探究题是近几年中招考试的必考题型，目前位于解答题的最后一题，分值为11分或12分．主要考查方式有求线段长，求角度，判断图形形状，判断两条线段的数量关系和位置关系并证明，考查知识点主要涉及特殊三角形，勾股定理，四边形的判定与性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形全等题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

解题思路总结图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.常考题型专练一、解答题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD 的长．2.在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE AB∥，DF AC∥，交BC于点E、F．（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出BEAD的值．3.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.(1)如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的Rt△EGF绕点O顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘).如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出写出线段MN的长；(3)图3,旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN 的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是__________.4.(1)问题发现：如图1，在等边ABC ∆中，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_____，ACF ∠的度数为______．(2)拓展探究：如图2，在 Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AE FC 的值．(3)解决问题：如图3，在ABC ∆中，:BC AB m =，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作//DE AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当ADF ACF ABC ∠=∠=∠时AE FC 的值．5.在等边△ABC 中，点D 是BC 边上一点，点E 是直线AB 上一动点，连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 相交于点F ．（1）若点D 为BC 边中点．①如图1，当点E 在AB 边上，且DE AB ⊥时，请直接写出线段DE 与DF 的数量关系________；②如图2，当点E 落在AB 边上，点F 落在AC 边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（2）如图3，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点．当:3:2AE BE =时，直接写出CF AF 的值．6.在ABCD 中，BAD ∠=α，以点D 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD 、CD 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点K ，作射线DK ，交对角线AC 于点G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转α得线段EP ．（1）如图1，当120α=︒时，连接AP ，线段AP 和线段AC 的数量关系为；（2）如图2，当90α=︒时，过点B 作BF EP ⊥于点F ，连接AF ，请求出∠FAC 的度数，以及AF ，AB ，AD 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120α=︒时，连接AP ，若13BE AB =，请直接写出线段AP 与线段DG 的比值．7.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为．（直接写出结果，不说明理由）（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．∴③点F所经过的路径长为．（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）8．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．。

旋转背景下三角形全等的相关问题

旋转背景下三角形全等的相关问题全等三角形是两个三角形最简单、最常见的关系。

它不仅是学习相似三角形、平行四边形、圆等知识的基础，并且是证明线段相等、角相等的常用方法，也是证明两线互相垂直、平行的重要依据。

平移、旋转、翻折是图形运动中的全等变换，经过全等变换后的图形与原图形是全等的，经过旋转得到的图形与原图形全等。

因此我们可以借助全等变换的方法帮助我们在复杂的图形中找到全等的三角形，同时还可以利用全等变换将分散的条件集中，从而寻求利用三角形全等解决问题的方法。

1、线的旋转例1、如图1（1），在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AN 是过点A 的任一直线，BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E.求证：BD=AE（2）若将直线AN 绕点A 沿顺时针方向旋转，使它经过△ABC 内部，再作BD ⊥AN D ，CE ⊥AN 于E ，如图1（2）、图1（3），原结论是否不变，请说明理由。

分析：本题为图形旋转证明三角形全等的基本题型，在直线AN 旋转的过程中，∠BAD=∠ACE 与∠ABD=∠CAE 的结论始终是成立的，由同角的余角相等及三角形内角和等于180°的定理可证明（证明方法不唯一）。

由已知条件AB=AC ，可证明△ABD ≌△CAE(A.A.S)，从而证明BD=AE 。

该结论对图（2）、图（3）仍然成立。

说明：此题为直线旋转，条件不变得到全等，△ABD ≌△CAE 始终成立，求证线段BD=AE 与线段AD=CE 方法相同，是需要掌握的基本题型。

图1（1）NEDCBA图1（2）NEDCBAA图1（3）NEDCB拓展：条件不变，求证线段DE 、BD 、CE 之间的等量关系，说明：结论虽然会因为直线AN 位置的不同而不同，但证明方法都是由证△ABD ≌△CAE 入手。

2、图形的旋转例2、如2（1）中，△AOB 与△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.（1）在图2（1）中，AC 与BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略(解析版)

全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】【解题模型二一线三等角模型】【解题模型三三垂直模型】【解题模型四倍长中线模型】【解题模型五旋转模型】【典型例题】【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】1(2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试)已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．【答案】见解析【分析】连接BD，已知两边对应相等，加之一个公共边BD，则可利用SSS判定△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD，∵AB=CB，BD=BD，AD=CD，∴△ABD≌△CBD(SSS)．∴∠A=∠C．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，HL等．【变式训练】1(2023秋·云南昆明·八年级统考期末)放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB=AC，DB=DC，他发现AD不仅平分你觉得他的发现正确吗？请说明理由．∠BAC，且平分∠BDC，【答案】他的发现正确，理由见解析【分析】根据全等三角形的判定和性质直接证明即可．【详解】解：他的发现正确，理由如下：在△ABD与△ACD中，AB=AC，BD=CDAD=AD∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∴AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．2(2023秋·湖南常德·八年级统考期末)中国现役的第五代隐形战斗机歼-20的机翼如图，为适应空气必须相等．动力的要求，两个翼角∠A,∠B(1)实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA=PB，CA=CB就能满足要求，说明理由；(2)若∠A=30°,∠P=40°，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析(2)100°【分析】(1)连接PC，证明△APC≌△BPC，即可解答．(2)由三角形的外角的性质即可解答．【详解】(1)证明：如图，连接PC，在△APC 和△BPC 中，PA =PBCA =CB PC =PC，∴△APC ≌△BPC (SSS ),∴∠A =∠B ．(2)∵△APC ≌△BPC ，∠A =30°,∠P =40°，∴∠A =∠B =30°，∵∠ACB =∠ACE +∠BCE ，∠ACE =∠APC +∠A ,∠BCE =∠BPC +∠B ,∴∠ACB =∠APC +∠A +∠BPC +∠B =∠A +∠BPA +∠B =2×30°+40°=100°．【点睛】本题考查了三角形全等和外角的性质，掌握三角形全等是解题的关键．3如图，在四边形ABCD 中，CB ⊥AB 于点B ，CD ⊥AD 于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE =AF ，CE =CF．(1)若AE =8，CD =6，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB +∠ECF =2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】(1)连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE =S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE 求解即可；(2)由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA =∠ECA ，∠FAC =∠EAC ，∠AFC =∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC =∠DAB +∠ECF ．可得∠DAB +∠ECF =2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE =AFCE =CFAC =AC∴△ACE ≌△ACF (SSS )．∴S △ACE =S △ACF ，∠FAC =∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD =CB =6．∴S △ACF =S △ACE =12AE ·CB =12×8×6=24．∴S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE =24+24=48．(2)∠DAB +∠ECF =2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA =∠ECA ，∠FAC =∠EAC ，∠AFC =∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC =∠BEC ．∵∠DFC =∠FCA +∠FAC ，∠BEC =∠ECA +∠EAC ，∴∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC=∠DAB +∠ECF ．∴∠DAB +∠ECF =2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．4在四边形ABDC 中，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．(1)试说明：DE =DF ：(2)在图中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE ，EG ，BG 之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB =60°，∠CDB =120°改为∠CAB =α，∠CDB =180°-α，G 在AB 上，∠EDG 满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE +BG =EG ，理由见解析；(3)当∠EDG =90°-12α时，(2)中结论仍然成立．【解析】【分析】(1)首先判断出∠C =∠DBF ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔCDE ≅ΔBDF ，即可判断出DE =DF ．(2)猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ΔABD ≅ΔACD ，即可判断出∠BDA =∠CDA =60°；然后根据∠EDG =60°，可得∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，再根据∠CDE =∠BDF ，判断出∠EDG =∠FDG ，据此推得ΔDEG ≅ΔDFG ，所以EG =FG ，最后根据CE =BF ，判断出CE +BG =EG 即可．(3)根据(2)的证明过程，要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，据此解答即可．(1)证明：∵∠CAB +∠C +∠CDB +∠ABD =360°，∠CAB =60°，∠CDB =120°，∴∠C +∠ABD =360°-60°-120°=180°，又∵∠DBF +∠ABD =180°，∴∠C=∠DBF ，在ΔCDE 和ΔBDF 中，CD =BD∠C =∠DBFCE =BF∴ΔCDE ≅ΔBDF (SAS )，∴DE =DF ．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．证明：在ΔABD 和ΔACD 中，AB =ACBD =CD AD =AD，∴ΔABD ≅ΔACD (SSS )，∴∠BDA =∠CDA =12∠CDB =12×120°=60°，又∵∠EDG =60°，∴∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，由(1)，可得ΔCDE ≅ΔBDF ，∴∠CDE =∠BDF ，∴∠BDG +∠BDF =60°，即∠FDG =60°，∴∠EDG =∠FDG ，在ΔDEG 和ΔDFG 中，DE =DF∠EDG =∠FDGDG =DG∴ΔDEG ≅ΔDFG (SAS )，∴EG =FG ，又∵CE =BF ，FG =BF +BG ，∴CE +BG =EG ；(3)解：要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，∴当∠EDG =90°-12α时，CE +BG =EG 仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【解题模型二一线三等角模型】1(2023春·七年级课时练习)【探究】如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．若AB =AC ，∠1=∠2=∠BAC ，求证：△ABE ≌△CAF ．【应用】如图②，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AB >BC ，点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC ，若△ABC 的面积为9，则△ABE 与△CDF 的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据∠A =∠BAE +∠ABE ，∠BAC =∠CAF +∠BAE ，得出∠ABE =∠CAF ，根据∠1=∠2，得出∠AEB =∠CFA ，再根据AAS 证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：S△ABE=S△CAF，进而得出S△CDF+S△CAF=S△ACD，根据CD=2BD，△ABC的面积为9，得出S△ACD=23S△ABC=6，即可得出答案．【详解】探究证明：∵∠A=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠CAF+∠BAE，又∵∠BAC=∠1，∴∠ABE=∠CAF，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠CFA，在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠CFA ∠ABE=∠CAF AB=AC∴△ABE≌△CAF AAS；应用解：∵△ABE≌△CAF，∴S△ABE=S△CAF，∴S△CDF+S△CAF=S△ACD，∵CD=2BD ，△ABC的面积为9，∴S△ACD=23S△ABC=6，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末)(1)问题发现：如图1，射线AE在∠MAN 的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，若∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°，求证：△ABF≌△CAD；(2)类比探究：如图2，AB=AC，且∠BAC=∠BFE=∠CDE．(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图3，在△ABC中，AB=AC，AB>BC．点E在BC边上，CE=2BE，点D、F在线段AE上，∠BAC=∠BFE=∠CDE．若△ABC的面积为15，DE=2AD，求△BEF与△CDE的面积之比．【答案】(1)证明见详解；(2)成立，证明见详解；(3)1:4【分析】(1)根据∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°即可得到∠BAF+∠CAF=90°，∠DCA+∠CAF=90°，从而得到∠BAF=∠DCA，即可得到证明；(2)根据∠BAC=∠BFE=∠CDE得到∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，即可得到∠BAF=∠DCA，即可得到证明；(3)根据△ABC的面积为15，CE=2BE，即可得到S△ABE=5，S△AEC=10，结合DE=2AD可得S△ADC=103，S△EDC =203，根据AB=AC，∠BAC=∠BFE=∠CDE得到△ABF≌△CAD，即可得到S△BEF，即可得到答案；【详解】(1)证明：∵∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°，∴∠BFA=∠CDA=90°，∠BAF+∠CAF=90°，∠DCA+∠CAF=90°，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)；(2)解：成立，理由如下，∵∠BAC=∠BFE=∠CDE，∴∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，∠BFA=∠CDA，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)；(3)解：∵△ABC的面积为15，CE=2BE，∴S△ABE=5，S△AEC=10，∵DE=2AD，∴S△ADC=103，S△EDC =203，∵∠BAC=∠BFE=∠CDE，∴∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，∠BFA=∠CDA，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)∴S△BEF=5-103=53，∴S△BEF:S△CDE=53:203=1:4；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．2(2023春·广东佛山·七年级校考期中)如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F 分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=α．(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA=90°，α=90°，试判断BE和CF的数量关系，并说明理由．②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立；(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α=∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．【答案】(1)①BE=CF；②α+∠BCA=180°(2)EF=BE+AF【分析】(1)①由∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=α=90°，可得∠BCE=∠CAF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE=CF；②添加α+∠BCA=180°，可证明∠BCA=∠BEF，则∠ACF=∠CBE，根据AAS可证明△BCE≌△CAF，即可得证①中的结论仍然成立；(2)题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE=CF，EC=FA，从而可证明EF=BE+AF．【详解】(1)解：①BE=CF，理由如下：∵∠BCA=90°，∴∠ACF+∠BCE=90°，∵∠BEC=∠AFC=α=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∴∠BCE=∠CAF，∵AC=BC，∴△BCE≌△CAF AAS，∴BE=CF；②添加α+∠BCA=180°，使①中的结论仍然成立，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，∴∠BEF=180°-∠BEC=180°-α，∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=180°-α，∵α+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°-α，∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-α，∴∠EBC=∠ACF，∵AC=BC，∠BEC=∠CFA=α，∴△BCE≌△CAF AAS，∴BE=CF；故答案为：α+∠BCA=180°；(2)EF=BE+AF，理由如下：∵∠BCA=α，∴∠BCE+∠FCA=180°-∠BCA=180°-α，∵∠BEC=α，∴∠EBC+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α，∴∠EBC=∠FCA，∵AC=BC，∠BEC=∠CFA=α，∴△BEC≌△CFA AAS，∴BE=CF，EC=FA，∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC =∠BAC=α．(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0<α<180°时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，求△FBD与△ACE的面积之和．【答案】(1)DE=BD+CE(2)DE=BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【解析】【分析】(1)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；(2)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；(3)由∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD=S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE=BD+CE，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ，故答案为：DE =BD +CE ．(2)DE =BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =α，∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°-α，∴∠DBA =∠EAC ，∵AB =AC ，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴BD =AE ，AD =CE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ；(3)解：∵∠BAD <∠CAE ，∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴S △ABD =S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC =12BC •h =12，S △ABF =12BF •h ，∵BC =3BF ，∴S △ABF =4，∵S △ABF =S △BDF +S △ABD =S △FBD +S △ACE =4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【解题模型三三垂直模型】1(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，∠ACB =90°,AC =BC ,BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，AD =2.7cm ,DE =1.8cm．(1)求证：△ACD ≌△CBE ．(2)求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)BE =0.9cm ．【分析】(1)由垂直得∠ADC =∠CEB =90°，求出∠ACD =∠CBE ，然后利用AAS 即可证明△ACD ≌△CBE ；(2)根据全等三角形的性质可得CE =AD =2.7cm ，BE =CD ，根据CD =CE -DE 求出CD 即可得到BE 的长．【详解】(1)证明：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD =∠ACB -∠BCE =90°-∠BCE ，∵∠CBE =90°-∠BCE ，∴∠ACD =∠CBE ，在△ACD 与△CBE 中，∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =BC，∴△ACD ≌△CBE AAS ；(2)解：由(1)知，△ACD ≌△CBE ，∴CE =AD =2.7cm ，BE =CD ，∵CD =CE -DE =2.7-1.8=0.9cm ，∴BE =0.9cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习)已知：∠ACB =90°，AC =BC ，AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，垂足分别为D ，E ．(1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD=BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD=BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=( )在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE，( )∴CD=BE．②结论：AD=BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴，∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE．(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①∠CBE；同角的余角相等；∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠CBE，AC=BC；AAS；②AD=CE (2)不成立，DE-BE=AD，见解析【分析】(1)根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理；(2)根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理，注意观察图形，得出线段间的数量关系；【详解】(1)∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE(同角的余角相等 )在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠CBE，AC=BC，∴△ACD≌△CBE，(AAS )∴CD=BE．②结论：AD=BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE，∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE．(2)不成立，结论：DE -BE =AD．理由：∵AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，∴∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠BCE +∠CBE =90°，∴∠ACD =∠CBE在△ACD 和△CBE 中，∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =CB，∴△ACD ≌△CBE ，(AAS )∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE -BE =DE -DC =CE =AD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，能够由图形的位置关系得出线段之间、角之间的数量关系是解题的关键．2在△ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E．(1)当直线MN 绕点A 旋转到图1的位置时，∠EAB +∠DAC =度；(2)求证：DE =CD +BE ；(3)当直线MN 绕点A 旋转到图2的位置时，试问DE 、CD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD =BE +DE ，证明见解析【解析】【分析】(1)由∠BAC =90°可直接得到∠EAB +∠DAC =90°；(2)由CD ⊥MN ，BE ⊥MN ，得∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°，根据等角的余角相等得到∠DCA =∠EAB ，根据AAS 可证△DCA ≌△EAB ，所以AD =CE ，DC =BE ，即可得到DE =EA +AD =DC +BE．(3)同(2)易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE +DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．3如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN，BE⊥MN．(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：△ADC≅△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)DE=BE-AD【分析】(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；(2)结论：DE=AD-BE．与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD= CE，CD=BE，即可得到答案．(3)结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解】解：(1)证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BECAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．(3)DE=BE-AD；如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【解题模型四倍长中线模型】1(2023春·山东临沂·八年级统考期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，(1)求BC边的长的取值范围？(2)若AD是△ABC的中线，求AD取值范围？【答案】(1)1<BC<7(2)12<AD<72【分析】(1)根据三角形三边的关系求解即可；(2)延长AD至E，使AD=DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，得到AC=BE，由三角形三边关系得到1<AE<7，则12<AD<72．【详解】(1)解：由三角形的三边关系可知：AC-AB<BC<AC+AB，∵AB=3，AC=4，∴1<BC<7；(2)解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE ，在△ABE中，∵BD=DC，∠ADC=∠BDE，AD=DE，∴△ADC≌△EDB SAS，∴AC=BE，由三角形的三边关系：BE-AB<AE<BE+AB，∴1<AE<7，∴1 2<AD<72．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式训练】1如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．(1)求证：△ACD≌△EBD；(2)AC与BE的数量关系是：，位置关系是：；(3)若∠BAC=90°，猜想AD与BC的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)AC=BE，AC∥BE(3)2AD=BC，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS，即可证得；(2)由△ACD≌△EBD，可得AC=BE，∠C=∠EBC，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理SAS，可证得△BAC≌△ABE，据此即可解答．【详解】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ACD与△EBD中，AD=ED∠ADC=∠EDB BD=CD，∴△ACD≌△EBD SAS；(2)解：∵△ACD≌△EBD，∴AC=BE，∠C=∠EBC，∴AC∥BE，故答案为：AC=BE，AC∥BE；(3)解：2AD=BC证明：∵△ACD≌△EBD，∴AC=BE，∠C=∠EBC，∴AC∥BE，∵∠BAC=90°∴∠BAC=∠ABE=90°在△BAC和△ABE中，AB=BA∠BAC=∠ABE=90°AC=BE∴△BAC≌△ABE SAS，∴BC=AE=2AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．2(2023·全国·八年级假期作业)如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD．(1)试证明：△ACD≌△EBD；(2)用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM=GM，求证：BG =AC．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．【分析】(1)根据中线的定义，即可得到BD =CD ，再根据SAS 即可判定△ACD ≌△EBD ．(2)延长AD 到F ，使AD =DF ，连接BF ，根据SAS 证△ADC ≌△FDB ，推出BF =AC ，∠CAD =∠F ，根据AM =GM ，推出∠CAD =∠AGM =∠BGF ，求出∠BGF =∠F ，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】(1)证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ACD 和△EBD 中，CD =BD∠ADC =∠EDB AD =ED，∴△ACD ≌△EBD (SAS )．(2)证明：延长AD 到F ，使AD =DF ，连接BF ，∵AD 是△ABC 中线，∴BD =DC ，∵在△ADC 和△FDB 中，BD =DC∠ADC =∠BDF AD =DF，∴△ADC ≌△FDB (SAS )，∴BF =AC ，∠CAD =∠F ，∵AM =GM ，∴∠CAD =∠AGM ，∵∠AGM =∠BGF ，∴∠BGF =∠CAD =∠F ，∴BG =BF =AC ，即BG =AC ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.3(2023春·上海·七年级专题练习)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】(1)如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED =AD ，连接BE ，证明：△ACD ≌△EBD ．【理解与应用】(2)如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF =5，DE =3，设EP =x ，则x 的取值范围是．(3)如图3，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE +CF >EF ．【答案】(1)见解析；(2)1<x <4；(3)见解析【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；(2)延长EP 至点Q ，使PQ =PE ，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到FQ =DE =3，根据三角形的三边关系即可得到结论；(3)延长FD 至G ，使得GD =DF ，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】(1)证明：CD =BD ，∠ADC =∠EDB ，AD =ED ，∴△ACD ≌△EBD ，(2)1<x <4；如图，延长EP 至点Q ，使PQ =PE ，连接FQ ，在ΔPDE 与ΔPQF 中，PE =PQ∠EPD =∠QPF PD =PF，∴ΔPEP ≅ΔQFP ，∴FQ =DE =3，在ΔEFQ 中，EF -FQ <QE <EF +FQ ，即5-3<2x <5+3，∴x 的取值范围是1<x <4；故答案为：1<x <4；(3)延长FD 至G ，使得GD =DF ，连接BG ，EG ，在△DFC 和△DGB 中，DF =DG ，∠CDF =∠BDG ，DC =DB ，∴△DFC ≌△DGB (SAS )，∴BG =CF ，∵在△EDF 和△EDG 中，DF =DG ，∠FDE =∠GDE =90°，DE =DE ，∴△EDF ≌△EDG (SAS )，∴EF =EG ，在△BEG 中，两边之和大于第三边，∴BG +BE >EG ，又∵EF =EG ，BG =CF，∴BE +CF >EF【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．【解题模型五旋转模型】1如图，AB =AC ，AE =AD ，∠CAB =∠EAD =α．(1)求证：△AEC≅△ADB；(2)若α=90°，试判断BD与CE的数量及位置关系并证明；(3)若∠CAB=∠EAD=α，求∠CFA的度数．【答案】(1)见详解；(2)BD=CE，BD⊥CE；(3)90°-α2【分析】(1)根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；(2)由(1)△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；(3)过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA【详解】(1)∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中，AB=AC∠CAE=∠BAD AE=AD∴△AEC≌△ADB(SAS)(2)CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，由(1)可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠α=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠α=90°，∴CE⊥BD．(3)过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由(1)知△AEC≌△ADB，∴两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由(2)可知∠BFC=∠BAC=α∴∠DFC=180°-α∴∠CFA=12∠DFC=90°-α2【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；【变式训练】1如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．(1)求证：AE=CD；(2)若∠DBC=45°，求∠BFE的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BFE=105°．【分析】(1)根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD(SAS)，进而得证；(2)由(1)得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．【详解】(1)证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，∴BD=BE，∠EBD=120°，∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ABE=120°，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD；(2)解：由(1)知∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，(180°-120°)=30°，∴∠BED=∠BDE=12∴∠BFE=180°-∠BED-∠ABE=180°-30°-45°=105°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．2问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为；位置关系为．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由见解析【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS证ΔACE≅ΔDCB，根据全等三角形的性质即可证得．【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵∠ACD=90°，∴∠ACE=∠DCB=90°，又∵CA=CD,CB=CE,∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠CBD=90°，∴∠CAE+∠CBD=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥FB，∴AE⊥BD，故答案为：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立．理由如下：设CE与BD相交于点G，如图1所示：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACE=∠BCD，又∵CB=CE，AC=CD，∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，∵∠CBD+∠CGB=90°，∴∠AEC+∠EGF=90°，∴∠AFB=90°，∴BD⊥AE，即AE=BD，AE⊥BD依然成立．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．3(2023春·全国·七年级专题练习)在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，∠EAB+∠DAC=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【分析】(1)由∠BAC=90°可直接得到∠EAB+∠DAC=90°；(2)由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+ BE．(3)同(2)易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE +DE．【详解】(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中，∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中，∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．4(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处．将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图所示．(1)【证明推断】求证：DN=DM；小明给出的思路：若要证明DN=DM，只需证明△BDN≌△ADM即可．请你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接AE，BF，如图所示，求证：AE=BF；(3)【迁移应用】延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AE⊥BF，见解析【分析】(1)在△ABC中，根据点D是BC的中点，得出AD=BD=BC2，由AD⊥BC，△DEF是直角三角尺，得出∠EDF=90°，从而得到∠BDN=∠ADM，在△BDN和△ADM中，立即证明全等，由性质即可解答DN=DM；(2)根据△BDN≌△ADM，得出BN=AM，∠BND=∠AMD，DN=DM，从而得到∠BNF=∠AME，由于△DEF是含45°直角三角尺，推出FN=EM，利用SAS即可证明△BNF和△AME全等，从而求解；(3)猜想：AE⊥BF，理由：根据△BNF≌△AME和∠FDE=90°，得出∠AEM+∠APD=90°，又根据∠APD=∠FPQ，等量代换得到∠FQP=90°从而证明．【详解】(1)证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，又∵点D是BC的中点，∴AD=BD=BC2，且AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°∴∠ADN+∠BDN=90°，又∵△DEF是直角三角尺，∴∠EDF=90°，即∠ADN+∠ADM=90°，∴∠BDN=∠ADM在△BDN和△ADM中，∠B=∠DAM=45°BD=AD∠BDN=∠ADM∴△BDN≌△ADM，∴DN=DM；(2)证明：∵△BDN≌△ADM∴BN=AM，∠BND=∠AMD，DN=DM∴∠BNF=∠AME，且由于△DEF是含45°直角三角尺，∴DF=DE，∴DF-DN=DE-DM即FN=EM在△BNF和△AME中，BN=AM∠BNF=∠AME FN=EM∴△BNF≌△AME，∴AE=BF；(3)解：作图正确(如图所示)猜想：AE⊥BF，理由如下：∵△BNF≌△AME，∴∠BFN=∠AEM，∵∠FDE=90°，∴∠AEM+∠APD=90°又∵∠APD=∠FPQ，∴∠FPQ+∠BFN=90°，∴∠FQP=90°，∴AE⊥BF．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．。

中考数学总复习《旋转变换构造全等三角形》专题(含答案)

旋转变换构造全等三角形一、选择题1.如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形二、填空题2.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B ，E 在C ，D 的同侧．若,2=AB 则BE =______．3.如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形A ′B ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于______．三、解答题4.已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．PMBCD EA求证：（1）AN BM =（2）CD CE =（3）CF 平分AFB ∠（4）CDE △是等边三角形．5.如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP ⊥AQ ，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP ⊥OQ ．6.如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．7.如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．MDNE C BF A QRP O D CB AN ME DC B AM DNEC B A8.正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.9.如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)BH CF =;(2)MF MH =10.如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =；⑵DE AB ∥；⑶CF 平分AFB ∠．11.请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． F E DC B A G FE D CB A MEFHGD CB A MDNE C BF A小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1AB CD E 图2A B C D E旋转变换构造全等三角形答案解析一、选择题1.C;易得ACD BCE ∆∆≌．所以BCE ∆可以看成是ACD ∆绕着点C 顺时针旋转60︒而得到的．又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得．所以CP CM =且，60PCM ∠=°，故CPM ∆是等边三角形，选C ．二、填空题2.1;由题可知，BED △是由ACD △绕点D 旋转60得到的，所以1BE AC ==;设线段CD 与B C ''的交点为M ，则公共部分AB MD '的面积等于直角三角形ADM 和直角三角形AB M '的面积的和，因为是经过旋转后得到的公共部分，可容易得到ADM AB M '△≌△，又根据勾股定理容易得到1323ADM S =△，所以ADMB S '三、解答题4.（1）∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =（2）ACD MCE ≌△△，∴CD CE =（3）往角两边作垂线，∵第一问已证ACN MCB ∆∆≌∴对应高相等，即角平分线到角两边距离相等（4）∵CD CE =又∵60CDE ∠=︒∴CDE △是等边三角形5.证:在正方形ABCD 中，因为AQ ⊥DP ，所以，在Rt △ADQ 与Rt △RDQ 中有∠RDQ=∠QAD ．所以，在Rt △ADQ 与Rt △DCP 中有AD=DC ，∠ADQ=∠DCP=90°，∠QAD=∠PDC ，所以△ADQ ≌△DCP(ASA)，DQ=CP ．又在△DOQ 与△COP 中，DO=CO ，∠ODQ=∠OCP=45°，所以△DOQ ≌△COP(SAS)，∠DOQ=∠COP ．从而∠POQ=∠COP+∠COQ=∠DOQ+∠COQ=∠COD=90°，即OP ⊥OQ ．【解析】欲证OP ⊥OQ ，即证明∠COP+∠COQ=90°．然而，∠COQ+∠QOD=90°，因此只需证明∠COP=∠DOQ 即可．这归结为证明△COP ≌△DOQ ，又归结为证明CP=DQ ，最后，再归结为证明△ADQ ≌△DCP 的问题．6.∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒∵B ，C ，E 三点共线∴180BCD DCE ∠+∠=︒，180BCA ACE ∠+∠=︒∴120BCD ACE ∠=∠=︒在BCD ∆与ACE ∆中BC ACBCD ACE DC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴BCD ACE ∆∆≌，∴CAN CBM ∠=∠∵120BCD ACE ∠=∠=︒，60BCM NCE ∠=∠=︒∴60ACD ∠=︒在BCM ∆与ACN ∆中60BC ACBCM ACN CBM CAN=⎧⎪∠==︒⎨⎪∠=∠⎩ ∴BCM ACN ∆∆≌，∴CM CN =．7.∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∴CDE ∆是等边三角形8.延长CB ，在CB 的延长线上取一点G ，使得DF BG =，故AGB AFD ≌△ ，AGE AFE ≌△△，所以45EAF ∠=︒9.证明△ABH ≌△AFC ;(2)作P MD FP 于⊥，Q MD HQ 于⊥，先证△AFP ≌△BAD ，△ACD ≌△HAQ ，再证△FPM ≌△HQM10.此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…推到而得的：AFC BFC ∠=∠；AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥ACN MCB ∆∆≌，ADC MCE ∆∆≌，NDC BEC ∆∆≌；DEC ∆为等边三角形．⑴∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =⑵由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC ∆为等边三角形．易得DE AB ∥．⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．11.⑴ 222DE BD EC =+证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆∴AEC ABE '∆∆≌∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠在Rt ABC ∆中∵AB AC =∴45ABC ACB ∠=∠=︒∴90ABC ABE '∠+∠=︒即90E BD '∠=︒∴222E B BD E D ''+=又∵45DAE ∠=︒∴45BAD EAC ∠+∠=︒∴45E AB BAD '∠+∠=︒即45E AD '∠=︒∴AEDAED '∆∆≌ ∴DE DE '=∴222DE BD EC =+⑵ 关系式222DE BD EC =+仍然成立证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌∴AF AB =，FD DB =FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠又∵AB AC =，∴AF AC =∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=︒-∠-∠=︒+∠ ∴FAE EAC ∠=∠又∵AE AE =∴AFE ACE ∆∆≌∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=︒180135AFD ABD ABC ∠=∠=︒-∠=︒∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴在Rt DFE ∆中222DF FE DE +=即222DE BD EC =+E'E D C B AF E D CB A。

数学人教版八年级上册全等三角形与旋转问题

课题概述八年级学生虽然已经在七年级学习了平行线与相交线，但是平行线与相交线的证明很简单，本学期学习连续学习《三角形》，《全等三角形》，《轴对称》三章，图形变化较多，学生在寻找图形边角关系上还存在问题，证明也有一定难度，只能见一个图形硬性记一个图形，所以本节课设计意图就是将看似分隔的图形通过几何画板的演示整合到一起，形成一个图形的不同变换形式，而实质是不变的，从而帮助学生理解图形的内在联系。

对于以后学习旋转规律图形也会有相当大的帮助。

学习目标阐述（1）通过观察图形的变化过程，探究发现图形变化的实质，从而抓住本质规律，找到证明全等的条件．（2）通过观察几何画板的图形变换的演示，将看似分割的图形整合到一起，抓住事物本质．完成目标（1）的标志是：学生能用旋转的角度理解两个三角形能重合，所以全等，进而理解边角关系，找到证明条件。

完成目标（2）的标志是：学生发挥想象力和创意移动点C，B位置，发现不同图形式可以整合到一起，从而将图形统一，抓住图形本质。

学习者特征分析学生在八年级上学期刚刚学习了《三角形》，《全等三角形》和《轴对称》三章，三大章几何连在一起学习，学生的几何体系还没有建立起来，还不能熟练辨析图形之间的关系，对于图形的变换还比较陌生，对于判定两个三角形全等方法的选择以及利用等边三角形证明两个三角形全等也还有一定难度。

教学策略选择与教学活动设计教学策略：八年级学生好奇心强，对新鲜事物感到新奇，创意无限，喜欢探索。

几何画板的动态演示过程，能激发学生的学习兴趣，帮助学生发现并理解图形的变化过程及变换的实质，让学生能够更积极主动地探索新知。

教学活动设计教师创设背景，由学生发挥想象和创意改变图形，发现图形规律和内在联系，并由学生尝试总结规律，给出证明。

教学资源与工具的设计和使用八年级上册数学课本几何画板V5.05演示正方形旋转过程，通过观察发现题目本质，引导学生观察P点的变化范围，其轨迹像在荡秋千，引导学生观察P在AE’上，P标最大，需使直线AE’倾斜程度最大，那么倾斜NMD ECBA 教学评价与反馈设计1.如图，四边形ACDE,BCMN 为正方形，AM_____BD, ∠MAC_____∠BDC(填<，=，>)第1题第2题2.如图，在ABC 中，D 在AB 上，且ΔCAD 和ΔCBE 都是等边三角形，（1）DE______AB ，（2）∠EDB=_________°3. 如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上任一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点.则∠CMN=_____________°第3题第4题4.已知：如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形. 求证：BD=CE 且BD ⊥CE总结与帮助放飞学生的心灵，尊重学生独特的体验探究学习是一种发现学习，具有深刻的问题性、广泛的参与性、丰富的实践性和开放性。

初中数学全等三角形角6090旋转练习题附解析

初中数学全等三角形角6090旋转练习题附解析一、全等三角形角6090旋转1．如图，在等腰ABC 中，AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，E 是BC 上一点，将E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，连接DE 、CD ．（1）求证：ABE ACD △≌△；（2）当BC ＝6，CE ＝2时，求DE 的长．2．已知ABC 和ADE 都是等腰直角角三角角形；90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是直线BC 上的一动点(点D 不与B 、C 重合)，连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：①BC CE CD =+；②BC EC ⊥ ；（2）在图2中，当点D 在边BC 的廷长线上时，结论①BC CE CD =+是否还成立？若不成立，请直接写出BC CE CD 、、之间存在的数量关系，不必说明理由．（3）在图3中当点D 在边BC 的反向延长线上时，补全图形，不写证明过程，直接写出BC CE CD 、、之间存在的数量关系．3．（1）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠．求证：EF BE FD =+；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．4．已知，四边形ABCD 中，,,,120,60AB AD BC CD BA BC ABC MBN ︒︒⊥⊥=∠=∠=，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交,AD DC （或它们的延长线）于E ，F ．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时，如图（1），易证：AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．5．已知：等边三角形ABC ，直线l 过点C 且与AB 平行，点D 是直线l 上不与点C 重合的一点，作射线DB ，并将射线DB 绕点D 顺时针转动60︒，与直线AC 交于点E （即60BDE ∠=︒）．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ，求证：DE DB =；（2）如图2，2AB =，4CD =，依题意补全图2，试求出DE 的长；（3）当点D在点C右侧时，直接写出线段CE、BC和CD之间的数量关系．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+6交坐标轴于A，B两点，过点C（-6，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE ≌△BOA．（1）求点B的坐标，线段OA的长；（2）确定直线CD的解析式，求点D的坐标；（3）如图2，点M是线段CE上一动点(不与点C，E重合)，ON⊥OM交AB于点N，连接MN，当△OMN的面积最小时，请求点M的坐标和△OMN的面积．（4）如图3，点M是直线CD上一动点，过点M作x轴的垂线，交轴于点Q，连接EQ，若∠EQM=∠ACD，求点M的坐标．7．（探索发现）如图①，已知在△ABC中，∠BAC= 45°，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于F．（1）线段AF与BC的数量关系是：AF BC，（用>，<，=填空）；（2）若∠ABC=67.5°，试猜想线段AF 与BD 有何数量关系，并说明理由．（拓展应用）（3）如图②，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，已知∠BAC=45°，∠C=22.5°，AD=22 ，求△ABC 的面积．8．观察推理：如图1，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线l 过点C ，点A 、B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：△AEC ≌△CDB ；（2）类比探究：如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC=6，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB ′，连接B′C ，求△AB′C 的面积；（3）拓展提升：如图3，∠E =60°，EC=EB=4cm ，点O 在BC 上，且OC =3cm ，动点P 从点E 沿射线EC 以2cm /s 速度运动，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF ．要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间．9．如图①，在正方形ABCD 中，6AB ＝，M 为对角线BD 上任意一点（不与B D 、重合），连接CM ，过点M 作MN CM ⊥，交线段AB 于点N .（1）求证：MN MC ＝；（2）若2:5DM DB ：＝，求证：4AN BN ＝；（3）如图②，连接NC 交BD 于点G ．若3:5BG MG ：＝，求•NG CG 的值．10．已知90ACD ∠=︒，MN 是过点A 的直线，AC DC =，DB MN ⊥于点B ，如图（1）所示.易证BD AB 2CB +=，过程如下：过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E90ACB BCD ∠+∠=︒，90ACB ACE ∠+∠=︒，BCD ACE ∴∠=∠.四边形ACDB 内角和为360︒，180BDC CAB ∴∠+∠=︒.180EAC CAB ∠+∠=︒，EAC BDC ∴∠=∠.又AC DC =，ACE DCB ∴∆≅∆，AE DB ∴=，CE CB =，ECB ∴∆为等腰直角三角形BE 2CB ∴=.又BE AE AB =+，BE BD AB ∴=+，BD AB 2CB ∴+=.（1）当MN 绕A 旋转到如图（2）所示和如图（3）所示两个位置时，BD 、AB 、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对如图所示给予证明.（2）MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，2BD =时，则CD =______，CB =______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角6090旋转1．（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，可得AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，进而可以证明△ABE ≌△ACD ；（2）结合（1）△ABE ≌△ACD ，和等腰三角形的性质，可得∠DCE ＝90°，再根据勾股定理即可求出DE 的长．【详解】（1）证明：∵E 点绕A 点逆时针旋转90°到AD ，∴AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∵∠CAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠EAB ，∵AC ＝AB ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）；（2）∵等腰△ABC 中，AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∠DCA ＝∠ABE ＝45°，∴∠DCE ＝90°，∵BC ＝6，CE ＝2，∴BE ＝4＝CD ，∴DE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．2．（1）见解析（2）CE ＝BC ＋CD ，理由见解析（3）CD ＝BC ＋EC ，理由见解析【分析】（1）只要证明△ABD ≌△ACE （SAS ），可得BD ＝CE ，即可推出BC ＝BD ＋CD ＝EC ＋CD ，再得到∠ECD=90︒即可求解；（2）不成立，存在的数量关系为CE ＝BC ＋CD ，利用全等三角形的性质即可证明；（3）根据题意补全图形，同（1）可证明△ABD ≌△ACE 即可求解．【详解】（1）∵AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝45︒，AD ＝AE ，∠ADE ＝∠AED ＝45︒，∴∠BAC ＝∠DAE ＝90︒，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∴BC ＝BD ＋CD ＝CE ＋CD ；∴∠ACE ＝∠ABD ＝45︒∴∠ECD=∠ACE +∠ACB =90︒∴BC EC ⊥（2）不成立，存在的数量关系为CE ＝BC ＋CD ．理由：由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∴BD ＝BC ＋CD ，∴CE ＝BC ＋CD ；（3）如图3，结论：CD ＝BC ＋EC ．依题意补全图形，理由：由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD EAC AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∴CD ＝BC ＋BD ＝BC ＋CE ．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．3．（1）见证明；（2）结论EF ＝BE +FD 不成立，应当是EF ＝BE ﹣FD ，证明见详解．【分析】（1）延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ．先证明△ABM ≌△ADF ，得到AF ＝AM ，∠2＝∠3，再证明△AME ≌△AFE ，得到EF ＝ME ，进行线段代换，问题得证；（2）在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．先证明△ABG ≌△ADF ，得到AG ＝AF ，再证明△AEG ≌△AEF ，得到EG ＝EF ，进行线段代换即可证明EF ＝BE ﹣FD ．【详解】解：（1）证明：如图，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ．∵∠ABC +∠D ＝180°，∠1+∠ABC ＝180°，∴∠1＝∠D ，在△ABM 与△ADF 中，1AB AD D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△ADF （SAS ）．∴AF ＝AM ，∠2＝∠3．∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠2+∠412=∠BAD ＝∠EAF ． ∴∠3+∠4＝∠EAF ，即∠MAE ＝∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM AF MAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AME ≌△AFE （SAS ）．∴EF ＝ME ，即EF ＝BE +BM ，∴EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +FD 不成立，应当是EF ＝BE ﹣FD ．证明：如图，在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵在△ABG 与△ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ，∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD ＝∠EAF 12=∠BAD ，∴∠GAE ＝∠EAF ．在△AGE 与△AFE 中，AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG ≌△AEF ，∴EG ＝EF ，∵EG ＝BE ﹣BG ，∴EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．4．图（2）成立，图（3）不成立；图（2）中有AE CF EF +=，理由见解析；在图（3）中，有结论EF AE CF =-，理由见解析【分析】根据已知可以利用SAS 证明△ABE ≌△CBF ，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE ＝∠CBF ＝30°，△BEF 为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE +CF ＝EF ．同理图2可证明是成立的，图3不成立．【详解】解：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，AE ＝CF ，在△ABE 和△CBF 中，90AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）；∴∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ；∵∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∴∠ABE ＝∠CBF ＝30°，∴AE ＝12BE，CF ＝12BF ； ∵∠MBN ＝60°，BE ＝BF ，∴△BEF 为等边三角形；∴AE +CF ＝12BE +12BF ＝BE ＝EF ；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC 至点K ，使CK ＝AE ，连接BK ，在△BAE 和△BCK 中，90AB CB A BCK AE CK =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩则△BAE ≌△BCK ，∴BE ＝BK ，∠ABE ＝∠KBC ，∵∠FBE ＝60°，∠ABC ＝120°，∴∠FBC +∠ABE ＝60°，∴∠FBC +∠KBC ＝60°，∴∠KBF ＝∠FBE ＝60°，在△KBF 和△EBF 中，BK BE KBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△KBF ≌△EBF ，∴KF ＝EF ，∴KC +CF ＝EF ，即AE +CF ＝EF ．图3不成立，AE 、CF 、EF 的关系是AE ﹣CF ＝EF ．理由如下：延长DC 至G ，使CG ＝AE ，同理可知，△BAE≌△BCG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△GBF≌△EBF，∴EF＝GF，∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．【点睛】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）见解析；（2）DE的长为23或27；（3）CD= BC+CE或BC=CD+CE．【分析】（1）过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．根据平行线的性质结合等边三角形的判定和性质可得出∠DFB=∠ACB=60°，∠ECD=60°，∠EDC=∠FDB，CD=DF．由此即可证出△CDE≌△BDF，从而得出DE=DB；（2）分两种情况：①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH⊥CD于H．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可；（3）分两种情况考虑：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可．【详解】解：（1）如图1，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵DF ∥AC ，CD ∥AB ，∴∠DFB=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠ECD=60°，∴∠CDF=60°，CD=DF ，∵∠BDE=60°，∴∠EDC+∠CDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，∴∠EDC=∠FDB ．在△CDE 和△BDF 中，有60ECD BFD CD DFEDC BDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE=DB ．（2）分两种情况：①当D 在点C 右侧时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．如图2所示．由（1）可知，CF=CD=4，CB=AB=2，∴BF=2，∴BD 是等边三角形△CDF 的高，∴BD=32CD=23 ∴DE=BD=3②当D 在点C 左侧时，过点D 作BC 的平行线与CA 于点F ，作BH ⊥CD 于H ．如图3所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠CAB=60°，∵DF ∥BC ，CD ∥AB ，∴∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠CAB=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠DCB=120°，∠DFE=120°，∴∠CDF=60°，CD=DF ，∵∠BDE=60°，∴∠EDF+∠FDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，∴∠EDF=∠CDB ．在△CDB 和△EDF 中，有120BCD EFD CD DFBDC EDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDB ≌△EDF （ASA ），∴DE=DB ．在R t △BCH 中，∠BCH=60°，∠CBH=30°，CB=AB=2，∴CH=1，3在R t △BDH 中，DH=DC+CH=5，3 ∴22225(3)27DB DH BH =+=+=∴DE=7，综上，DE 的长为327（3）分两种情况：①当点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．如图1所示．由（2）可知，CD=CF ，CE=BF ，∴CD=BC+BF=BC+CE ，②当点E 在线段AC 上时，过点D 作AC 的平行线与CB 交于点F ．如图4所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵DF ∥AC ，CD ∥AB ，∴∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴△CDF 是等边三角形，∠CFD=60°，∴∠CDF=60°，CD=DF=CF ，∠BFD=120°，∠DCE=120°，∵∠BDE=60°，∴∠EDC+∠EDF=60°，∠FDB+∠EDF=60°，∴∠EDC=∠FDB ．在△CDE 和△BDF 中，有120ECD BFD CD DFEDC BDF ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴CE=BF ．∴BC=CF+BF=CD+CE ．综上所述，当点D 在点C 右侧时，线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系是CD= BC+CE 或BC=CD+CE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．6．（1）（0，6），3；（2）（61855，）；（3）（65-，125），185；（4）（32-，9 4），（32，154）．【分析】（1）利用x轴与y轴的特征求直线y=-2x+6与两轴的交点即可；（2）利用△COE ≌△BOA．求出E（0，3）设CD的解析式为y=kx+b，将C、E代入求出CD解析式，由CD交AB于D，联立解方程组13226y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩即可；（3）由△COE ≌△BOA．推出CO=BO，∠OCE=∠OBA，利用同角的余角相等推出∠COM =∠EON，进而可证△COM≌△BON(ASA)，得△MON为等腰直角三角形，要使△OMN的面积最小，需OM最小，此时OM⊥CE 由△COE面积桥OC OE65OM==CE5即可求出面积最小值，利用△MFO∽△COE，得MF FO2==635可求MF，FO即可；（4）可证△EQO∽△CEO由性质QO OE=OE OC求出OQ，当点Q在x轴的负半轴上时，Q（32-，0）由点M在CD上，当32x=-时求函数值得M1（32-，94）；当点Q在x轴的正半轴上时，Q（32，0）由点M在CD上，当32x=时求函数值M2（32，154），综合得M的坐标为（32-，94），（32，154）．【详解】（1）当x=0时，y=6，则B（0，6），当y=0时，-2x+6=0，x=3，A(3，0)，OA=3；（2）∵△COE ≌△BOA，∴OE=OA=3，OC=OB=6，∴E（0，3），C(-6,0)，设CD的解析式为y=kx+b，过C（-6，0）和E（0，3），则360 bk b=⎧⎨-+=⎩，解得312 bk=⎧⎪⎨=⎪⎩，CD 的解析式为：132y x =+， ∵CD 交AB 于D ， ∴13226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得65185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点D 坐标为D （61855，）；（3）∵△COE ≌△BOA ，∴CO=BO ，∠OCE=∠OBA ，∵ON ⊥OM ，∠COB=90º，∴∠COM+∠MOE=90º,∠MOE+∠EON=90º，∴∠COM =∠EON ，∴△COM ≌△BON(ASA)，∴OM=ON ，∴△MON 为等腰直角三角形， S △MON =211OM ON=OM 22，要使△OMN 的面积最小，需OM 最小，此时OM ⊥CE，由△COE 面积得，11CE OM=OC OE 22，OC OE OM==CE 535， S △MON 最小=221118OM =?=2255⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过M 作MF ⊥OC 于F ，∴∠FMO+∠FOM=90º，∠MCO+∠MOC=90º，∴∠FMO=∠MCO ，∵∠MFO=∠COE=90º，∴△MFO ∽△COE ，∴MF FO OM ==OC OE CE 即65MF FO 25===63535， ∴212MF=6=55⨯，6FO=5， ∵点M 在第二象限，∴M （65-，125）；（4）∵MQ ⊥x 轴，∴MQ ∥OE ，∴∠MQE=∠QEO ， ∵∠EQM=∠ACD ，∴∠QEO=∠OCE ，∵∠QOE=∠EOC ，∴△EQO ∽△CEO ，∴QO OE =OE OC， ∴OQ=2OE 93==OC 62，当点Q 在x 轴的负半轴上时，Q （32-，0），由点M 在CD 上，CD 的解析式为：132y x =+，当32x =-时1393224y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， M 1（32-，94），当点Q 在x 轴的正半轴上时，Q （32，0），由点M 在CD 上，CD 的解析式为：132y x =+，当32x=时13153224y⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭，M2（32，154），综合得M的坐标为（32-，94），（32，154）．．【点睛】本题考查直线与两轴的交点，直线解析式，两直线的交点，最小面积，三角形全等的性质，勾股定理，三角形相似，掌握直线与两轴的交点求法，会用待定系数法求直线解析式，会利用解方程组求两直线的交点，会利用点到直线的距离最小求最小面积，利用三角形全等的性质进行线段、角的转化，利用勾股定理求边长，会利用三角形相似的性质解决问题是关键．7．（1）=；（2）AF=2BD，见解析；（3）8【分析】（1）证出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AE，证明△CBE≌△FAE（ASA），即可得出结论；（2）结论：AF=2BD．只要证明△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质以及（1）得到的结论即可解决问题；（3）如图中，作CH⊥AB交AB的延长线于H，延长CH交AD的延长线于G．只要证明BC=2AD，利用三角形面积公式12BC AD⨯，即可解决问题．【详解】（1）∵∠BAC=45°，BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AE，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CBE=∠C+∠FAE=90°，∴∠CBE =∠FAE，在△CBE和△FAE中，90 CEB FEA BE AE CBE FAE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CBE ≌△FAE （ASA ），∴AF=BC ；（2）结论AF=2BD ．理由：∵∠BAC=45°，∠ABC=67.5°，∴∠C=180︒-∠BAC-∠ABC=67.5°，∴∠C=∠ABC ，∴△ABC 是等腰三角形，且AB=AC ，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=12BC ，由（1）得：AF=BC=2BD ；（3）如图，作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ，延长CH 交AD 的延长线于G ．∵∠AHC=90°，∠HAC=∠HCA=45°，∴AH=HC ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADB=∠BHC=90°，∵∠ABD=∠CBH ，∴∠GAH=∠BCH ，∵∠AHG=∠CHB=90°，∴△AHG ≌△CHB ，∴BC=AG ，∵∠ACB=22.5°，∠HCA=45°，∴∠ACD=∠GCD=22.5°，又∵CD ⊥AG ，∴△AGC 是等腰三角形，且GC=AC ，∴2，∴2，∴△ABC 的面积为：114222822BC AD ⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（1）证明见详解；（2）18；（3）2.5【分析】(1）根据题干可知本题考查全等三角形证明，先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD ，则可根据“AAS”证明△AEC ≌△CD ．(2)根据图2和条件，作B'D ⊥AC 于D ，先证明△B'AD ≌△A B'D 得到B'D=AC=6，则可根据三角形面积公式计算；(3)根据图3，利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF ，再证明△BOF ≌△CPO 得到PC=OB=1，则EP=CE ＋CP=5，然后计算点P 运动的时间t ．【详解】(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC ＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB ，又∵AC=BC ，∴△AEC ≌△CDB(AAS)；(2)如图2，作B'D ⊥AC 于D ，∵斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB'，∴AB’=AB ，∠B’AB=90°，即∠B′AC ＋∠BAC=90°，而∠B ＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC ，∴△B’AD ≌△A BD(AAS)，∴B′D=AC=6，∴△A B′C 的面积=6×6÷2=18；(3)如图3，由旋转知，OP=OF ，∵△BCE 是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO ＋∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP ＋∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF ，在△BOF 和△PCO 中∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO ，OF=OP∴△BOF ≌△PCO ，∴CP=OB ，∵EC=BC=4cm ，OC=3cm ，∴OB=BC-OC=1，∴CP=1，∴EP=CE ＋CP=5，∴点P 运动的时间t=5÷2=2.5秒．【点睛】本题难道角度特别是需要作辅助线，要明确本题考点几何的综合变换，结合全等三角形及辅助线技巧，大胆猜想，小心求证．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）152. 【分析】(1)如图，过M 分别作//ME AB 交BC 于点E ，//MF BC 交AB 于点F ，则四边形BEMF 是平行四边形，先证明四边形MEBF 是正方形，继而证明MFN MEC ≅，即可得结论；(2)由(1)得//FM AD ，//EM CD ，根据比例线段可得 2.4AF =， 2.4CE =，再根据MFN MEC ≅可得 2.4FN EC ==，从而求得AN 、BN 长即可得结论；(3)把DMC 绕点C 逆时针旋转90得到BHC △，连接GH ，DMC BHC ≅，进而可推导得出90MBH ∠=，90MCH ∠=，证明MNC 是等腰直角三角形，继而证明MCG HCG ≅，可得MG=HG ，根据题意设3BG a =，则5MG GH a ==，根据勾股定理可求得4MD a =，再结合正方形的性质可求得a 的值，继而证明MGC NGB ~，根据相似三角形的性质即可求得答案.【详解】(1)如图，过M 分别作//ME AB 交BC 于点E ，//MF BC 交AB 于点F ，则四边形BEMF 是平行四边形，四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=，45ABD CBD BME ∠=∠=∠=，ME BE ∴=，∴平行四边形MEBF 是正方形，ME MF ∴=，CM MN ⊥，90CMN ∴∠=，90FME ∠=，CME FMN ∴∠=∠，MFN MEC ∴≅，MN MC ∴=；(2)由(1)得：//FM AD ，//EM CD ， 25AF CE DM AB BC BD ∴===， 2.4AF ∴=， 2.4CE =，MFN MEC ≅，2.4FN EC ∴==，4.8AN ∴=，6 4.8 1.2BN =-=，4AN BN ∴=；(3)把DMC 绕点C 逆时针旋转90得到BHC △，连接GH ，DMC BHC ≅，90BCD ∠=，MC HC ∴=，DM BH =，CDM CBH ∠=∠，45DCM BCH ∠=∠=. 90MBH ∴∠=，90MCH ∠=，MC MN =，MC MN ⊥，45MNC ∴=是等腰直角三角形，45MNC ∴∠=，45NCH ∴∠=，MCG HCG ∴≅，MG HG ∴=，:3:5BG MG =，∴设3BG a =，则5MG GH a ==，在Rt BGH 中，4BH a ==，则4MD a =，正方形ABCD 的边长为6，BD ∴=12DM MG BG a ∴++==2a ∴=，2BG ∴=，2MG =， MGC NGB ∠=∠，45MNG GBC ∠=∠=，MGC NGB ∴，GC MG GB NG∴=， 152CG NG BG MG ∴==. 【点睛】本题考查的是四边形的综合题，涉及了正方形判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，正确把握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.10．（1）详见解析；（2）2CD =，1CB =1【解析】【分析】 ()1过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E ，证明ACE ≌DCB ，则ECB 为等腰直角三角形，据此即可得到BE =，根据BE AB AE =-即可证得；()2过点B 作BH CD ⊥于点H ，证明BDH 是等腰直角三角形，求得DH 的长，在直角BCH 中，利用直角三角形中30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．【详解】解：()1如图()2：2AB BD CB -=．证明：过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E ，90ACD ∠=， 90ACE DCE ∠∠∴=-，90BCD ECD ∠∠=-，BCD ACE ∠∠∴=．DB MN ⊥，90CAE AFC ∠∠∴=-，90D BFD ∠∠=-，AFC BFD ∠∠=，CAE D ∠∠∴=，又AC DC =，ACE ∴≌DCB ，AE DB ∴=，CE CB =，ECB ∴为等腰直角三角形，2BE CB ∴=．又BE AB AE =-，BE AB BD ∴=-，2AB BD CB ∴-=．如图()3：2BD AB CB -=．证明：过点C 作CE CB ⊥于点C ，与MN 交于点E ，90ACD ∠=， 90ACE ACB ∠∠∴=+，90BCD ACB ∠∠=+，BCD ACE ∠∠∴=．DB MN ⊥， 90CAE AFB ∠∠∴=-，90D CFD ∠∠=-，AFB CFD ∠∠=，CAE D ∠∠∴=，又AC DC =，ACE ∴≌DCB ，AE DB ∴=，CE CB =，ECB ∴为等腰直角三角形， 2BE CB ∴=．又BE AE AB =-，BE BD AB ∴=-， 2BD AB CB ∴-=．()2MN 在绕点A 旋转过程中，有两种情况：i .如图（1）：易证ACE ≌DCB ，CE CB =，ECB ∴为等腰直角三角形，45AEC CBD ∠∠∴==，过D 作.DH CB ⊥则DHB 为等腰直角三角形．2BD BH =，1BH DH ∴==．直角CDH 中，30DCH ∠=，22CD DH ∴==，3CH =31CB CH HB ∴=+=ii .如图（2）：过D 作DH CB ⊥交CB 延长线于H ．同理可得，2CD =，31CB CH HB =-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．。

旋转中的全等三角形3

旋转中的全等三角形上海市嘉定区黄渡中学徐丽娜教学目标：1.根据旋转的性质，找到图形变化中的变量与不变量，通过图形的变化过程找到全等三角形，感受变量中的不变关系。

2.通过观察、思考、发现、推理、归纳、交流的过程中提高发现规律的能力及逻辑思维能力。

3.从简单到复杂的探究过程中体验数学的奇妙、感受数学的美好与乐趣。

教学重难点：教学重点：寻找旋转过程中的全等三角形，找到不变量、变量中的等量及变量中的不变关系。

教学难点：寻找旋转中的全等三角形。

教学准备：学生：学习单教师：尺、多媒体课件、电子白板设计说明：旋转是初中数学中十分重要的图形运动，通过学生熟悉的等腰直角三角形的运动，寻找旋转过程中的变量与不变量，继而找到全等三角形，从而找到本课重点：变量中的不变关系。

在学过图形的运动以及全等三角形后，学生已经有了一定的学习方法和解决问题的能力，但是在处理此类动态问题时思维显得还不够有序和缜密，有些同学甚至无从入手，本课将图形的运动与全等三角形以及一些特殊图形的性质有机融合，让学生体会数学的奇妙与乐趣，从而不害怕数学，喜欢数学。

第 1 页共8 页第 2 页共 8 页一、新课导入1、如图1，已知等腰直角△AOB 与等腰直角△COD ，∠AOB=∠COD=90°，∠AOB 与∠COD 重合，初始位置如图1-1，点C 在AO 上，点D 在BO 上，△COD 绕点O 顺时针旋转360°，以下图1-2到图1-8是变化过程中的一些图像，（1）你觉得在此过程中哪些量在变化？又有哪些量是不变的？（2）变化的量中有没有不变的关系？图1-1 图1-2图1-3 图1-4图1-5 图1-6图1-7图1-8提示：猜一猜AC 与BD 之间的数量关系。

（简述你的理由。

）二、变式探究1、如图2，已知等边△AOB与等边△COD，∠AOB=∠COD=60°，初始位置如图2-1，∠AOB与∠COD重合，点C在AO上，点D在BO上，等边△COD绕点O顺时针旋转360°，以下图2-2到图2-9是变化过程中的一些图像，请问：AC始终等于BD吗？（根据图2-6简述你的理由）图2-1 图2-2 图2-3 图2-4图2-5 图2-6图2-7 图2-8 图2-9第 3 页共8 页3、如图3，已知正方形AOBE与Rt△COD，∠AOB=∠COD=90°，初始位置如图3-1，∠AOB与∠COD重合，点C在AO上，点D在BO上，直角△COD绕点O顺时针旋转360°，以下图3-2到图3-8是变化过程中的一些图像，请问：AC始终等于BD吗？ AC与BD的夹角是多少度？图3-1 图3-2 图3-3 图3-4图3-5 图3-6 图3-7 图3-8第 4 页共8 页4、如图，已知在等腰直角△OAB中，OA=OB，∠AOB =90°，AB在直线l上，初始位置如图5-1，点C为射线l上一动点，从A点左侧向右侧移动，连接OC，以OC为一边且在OC的右侧作正方形OCED，请问：AC始终等于BD吗？图4-3图4-1 图4-2图4-4 图4-5 图4-64、回家作业：已知两正方形，（也可尝试其他图形，）仿照以上变化，感受旋转中的不变关系。

中考数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及解析

中考数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及解析一、全等三角形双等腰旋转1．如图1，在等腰ABC 中，AB AC =，BAC a ∠=，点P 是线段AB 的中点，将线段PC 绕点P 顺时针旋转α得到PD ，连接BD ．（1）如图2，若60α=︒，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD 和BC 之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）（2）如图3，若90α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系，并说明理由．（3）如图4，若120α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系为______．答案：（1）图形见详解，BC=AB=2BD ；（2）BC=BD+BP ，理由见详解；（3）BC =BD+BP【分析】（1）先补全图形，再连接CD ，可得是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可解析：（1）图形见详解，BC =AB =2BD ；（2）BC =BD 2BP ，理由见详解；（3）BC =BD 3BP【分析】（1）先补全图形，再连接CD ，可得CPD △是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可得到结论；（2）取BC 的中点F ，连接PF ，推出BPF △是等腰直角三角形，从而得BF 2BP ，再证≌，进而即可求解；明BDP FCP≌，可得BD=CF，从而得3PF=3BP=BF，进而即可得到结论．（3）由BDP FCP【详解】解：（1）补全图形如下：BC=2BD，理由如下：连接CD，∵线段PC绕点P顺时针旋转 =60°得到PD，∴CP=DP，∠CPD=60°，∴CPD△是等边三角形，∴∠CDP=∠DCP=60°，∵点P是线段AB的中点，∠A=60°，AB=AC，∠ACB=30°，∴ABC是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=12∴∠BCD=60°-30°=30°，∴BC平分∠PCD，∴BC是PD的垂直平分线，∴BD=PB，即：BC=AB=2BD；（2）取BC的中点F，连接PF，∵∠A=90°，AB=AC，∴ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°，△是等腰直角三角形，∴BPF∴BF2BP，BP=PF，∵∠DPC=∠BPF=90°，∴∠BPD=∠FPC，又∵PD =PC ，∴BDP FCP ≌，∴BD =CF ，∵BC =BF +FC ， ∴BC =BD +2BP ；（3）由第（2）题可知：BDP FCP ≌，∴BD =CF ，∵∠BAC =∠DPC =120°，PF ∥AC ，PF =12AC ，又∵BP =12AB ，AB =AC ， ∴3PF =3BP =BF ，∴BC =BF +CF =BD +3BP ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．2．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．（3）如图③，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，33BC =+，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．答案：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）．【分析】（1）根据，AD=AE ，运用SAS 证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把绕点解析：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 23=+ 【分析】（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD∵ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △∴DAE 90BAC ∠=∠=︒∴D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠∴D CAE BA ∠=∠∵BA=CA ，AD=AE∴ABD ACE ≅∴ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD∵ACB 45B ∠=∠=︒∴ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE ⊥BD故答案为：CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）如图②，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，则ACE ABG ≅∴AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒∵BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒∴GAD DAE 45∠=∠=︒ 在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADG ADE ≅∴ED=GD∵GBD 90∠=︒ ∴222BD BG DG +=即222BD EC DE +=（3）如图③，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，∴AEC AFB ≅∴AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒∵CAB 120∠=︒，AB=AC∴ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒∴FBD 60∠=︒∵EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒∴DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD∴ADE ADF ≅∴DF=DE∵以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形∴以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形∴BDF 是直角三角形若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒ ∴BF=2BD=EC ，DF 3BD DE == ∵()BC BD DE EC BD 2BD 33333BD BD =++=++=+=+∴BD 1=∴DE 3=∴BE BD DE 13=+=+若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒∴BD=2BF=2EC ，DF 3BF DE ==∵()BC BD DE EC 2BF BF 33333BF BF =++=++=+=+∴BF 1=∴BD=2，DE 3=∴BE 23=+【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．如图1，已知ABC 和EFC 都是等边三角形，且点E 在线段AB 上．（1）过点E 作//EG BC 交AC 于点G ，试判断AEG △的形状并说明理由；（2）求证：//BF AC ；（3）如图2，若点D 在射线CA 上，且ED EC =，求证：AB AD BF =+．答案：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根解析：（1）AEG △是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，再根据平行线的性质可得60AEG ABC ∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根据等边三角形的性质可得,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=︒，从而可得ACE BCF ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得60CBF CAE ∠=∠=︒，从而可得CBF ACB ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证；（3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得,DAE EB AE F BF ∠=∠=，再根据等腰三角形的性质可得D ACE ∠=∠，从而可得D BCF ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理可得BEF BCF D ∠=∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD BE =，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】（1）AEG △是等边三角形，理由如下：如图，过点E 作//EG BC 交AC 于点G ， ABC 是等边三角形，60BAC ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，60AEG ABC ∴∠=∠=︒， ∴AEG 是等边三角形；（2）ABC 和EFC 是等边三角形，,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=∴︒，ACB BCE ECF BCE ∴∠-∠=∠-∠，即ACE BCF ∠=∠，在ACE △和BCF △中，AC BC ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCF SAS ∴≅，60CBF CAE ∴∠=∠=︒，CBF ACB ∴∠=∠，//BF AC ∴；（3）由（2）知，//BF AC ，ACE BCF ≅，DAE EBF ∴∠=∠，AE BF =，ED EC =，D ACE ∴∠=∠，由（2）已证：ACE BCF ∠=∠，D BCF ∴∠=∠， ABC 和EFC 是等边三角形，60ABC EFC ∠∴∠==︒，在BEF 中，180120BEF EBC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠，在BCF △中，180120BCF EFC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， BEF BCF D ∴∠=∠=∠，在ADE 和BEF 中，DAE EBF D BEF AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE BEF AAS ∴≅，AD BE ∴=，AB BE AE AD BF ∴=+=+．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键．4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒，AD AE =.（1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒.①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由. （2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，点D 在线段BC 上运动。