全等三角形与旋转问题

板块

考试要求

A 级要求

B 级要求

C 级要求

全等三角形的性质及判

定

会识别全等三角形

掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题

会运用全等三角形的性

质和判定解决有关问题

基本知识

把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．

很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；

知识点睛

中考要求

第四讲 全等三角形与旋

转问题

②对应直线的交角等于旋转角．

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．

【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点

重、难点

例题精讲

【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把

菱形ABCD 以A 为中心( )．

A ．顺时针旋转60°得到

B ．顺时针旋转120°得到

C ．逆时针旋转60°得到

D ．逆时针旋转120°得到

【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE

于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

K

G

F

E

D

C B

A

【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．

M D N

E

C B

F

A

【例5】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于

M ，N 点．求证：CM CN =．

N

M

E

D

C

B

A

【补充】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

【补充】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．

请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；

⑶CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．

求证：AE CG =．

G F

E D

C

B

A

【例7】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求

证：CDE ∆是等边三角形．

M D

N

E

C

B

A

【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和

CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )

P

M

B

C D

E

A

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．非等腰三角形

【例8】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．

D

E

C

B

A

【例9】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否

一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

P

D

C B

A

【例10】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，

EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．

O

B E

C

F A

【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．

5

432

1

O

H

B

E D

K

G C

F A

【例11】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且

EA AF ⊥． 求证：DE BF =．

F

E

D C

B

A