全等三角形与旋转问题

A •钝角三角形
B •直角三角形
C •等边三角形
D •非等腰三角形
七年级数学下---全等三角形
【1】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM 、 CBN 是等边三角形. 请你证明：⑴ AN BM ；(2) DE II AB ；(3) CF 平分 AFB .
【
2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM 、 CBN 是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点, 求证： CDE 是等边三角形.
【3】如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形 ABC 和CDE ( ACE 120°，点P 与点M 分别是 线段BE 和AD 的中点，贝U CPM 是
A
E
A
E
【4】如图，等边三角形 ABC 与等边DEC 共顶点于C 点.求证：AE BD .
【5】如图，D 是等边 ABC 内的一点，且 BD AD , BP AB , DBP DBC ，问 BPD 的度数是 否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.
【9】如图所示，ABC 是边长为1的正三角形，BDC 是顶角为120的等腰三角形，以D
为顶点作
【6】如图，等腰直角三角形ABC 中，Z B 90，AB a ，O 为AC 中点，EO OF .求证：BE BF
为定值. 【7】在等腰Rt ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使
则以x 、m 、 n 为边长的三角形的形状是（
MCN 45，记 AM m ，MN ）。

A .锐角三角形 B .直角三角形
BN n ，
C .钝角三角形
D .随 x 、m 、 n 的变化而变化
C
一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长。

【8】请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC ,点D、E分别为线
段BC上两动点，若DAE 45 •探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并
对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其
它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.
图
1
【12】平面上三个正三角形ACF , ABD , BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD 平分.
【10】在等边
ABC 的两边AB , AC 所在直线上分别有两点 M , N , D 为ABC 外一点，且 MDN 60， BDC 120 ， BD CD ，探究：当点 M ， N 分别爱直线 AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间
的数量关系及
⑴如图①，当点M ,N 在边AB ,AC 上，且DM=DN
时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式
此时L =
⑵如图②，当点M , N 在边AB ，AC 上，且DM
DN 时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出
AMN 的周长与等边 ABC 的周长L 的关系。

图
【11】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB = AD ，ZB=ZD = 90，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点, 且
ZEAF= - /BAD .求证：EF = BE FD 。

2
你的猜想并加以证明;
⑶如图③，当点M , N 分别在边AB , CA 的延长线上时，若
AN=x ，贝U Q =
ABC 、 CDE 、 EHK 都是等边三角形，且 A 、D 、K 共线，AD DK .
求证：
HBD 也是等边三角形.
【13】已知：如 B
C
E
(2)如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD ，/B+ ZD = 180 , E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,
且ZEAF= - /BAD ，
(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.
2
面积。

求证：AD 平分 CDE .
相等的理由.
【14】如图所示，在五边形ABCDE 中，B E
90 ，AB CD AE BC DE 1，求此五边形的
【15】 在五边形ABCDE 中，已知 AB AE ， BC DE CD ，
ABC
AED 180°，连接 AD
.
【16】如图，已知ABC 和ADE 都是等边三角形,
B 、
C 、
D 在一条直线上，试说明C
E 与AC CD
D
实用标准文案
【17】在梯形ABCD 中，AB //CD ，
A 90，A
B 2，B
C 3，C
D 1，
E 是 AD 中点，试判断 EC 与
EB 的位置关系，并写出推理过程.
【18】在等腰直角 ABC 中，ACB 90°, AC BC , M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动,
MQ MP 交AC 于点Q ，试说明 MPQ 的形状和面积将如何变化.
【19】等边ABD 和等边CBD 的边长均为1，E 是BE AD 上异于A D 的任意一点，F 是CD 上 点，满足AE
CF 1，当
E
、F
移动时，试判断
BEF 的形状.
B
C
答案：【
1
】（
1）： ACM、CBN是等边三角形，••• MC AC , CN CB , ACN
•ACN也 MCB , • AN BM ；⑵由ACN也 MCB易推得NDC也 BEC , 所以CD CE , 又
MCN 60°，进而可得DEC为等边三角形.易得DE II AB .⑶过点C作CG AN于G , CH BM于H，由ACN也MCB ;禾【」用AAS进而再证BCH也 NCD，可得AFC BFC，故CF平分AFB .
【21：ACN 也 MCB，•AN BM，ABM ANC ；又：。

、E 分别是AN、BM 的中点，
•BCE也 NCD，.・・CE CD，BCE NCD ;
•DCE NCD NCE BCE NCE NCB 60 ; • CDE 是等边三角形
【3】易得ACD也BCE .所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的.又M为
线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得.所以CP CM 且,
PCM 60°,故CPM是等边三角形，选C.
【41：ABC是等边三角形，• ACB 60 , AC BC .
• BCD DCA 60，同理ACE DCA 60 , DC EC . • BCD ACE
在BCD与ACE 中,
BC AC
BCD ACE • BCD 也 ACE , • BD AE .
DC EC
【5】连接CD ,将条件BD AD , BP AB这两个条件，易得ACD也BCD ( SSS), 得BCD
ACD - ACB 30 ,
2
由BP AB BC , DBP DBC , BD BD （公共边），知BDP也 BDC(SAS),.'. BPD BCD 30 . 故BPD的度数是定值.
MCB
【6】连结OB 由上可知， Z1 2 90 ,
2 Z
3 90° , 1
3，而 Z4 C 45 , OB
OC .
• OBE 也 OCF , • BE FC ,• BE BF CF BF
BC a .
【7】如图，将 CBN 绕点C 顺时针旋转 90 , 得
CAD ，连结 MD ，贝U AD BN n , CD
CN
,
Z ACD Z BCN , -ZMCD
ZACM ZACD
ACM Z BCN
90° 45° 45°
MCN .
二 MDC 也 MNC ,：MD
MN x 又易得 DAM 45° 45 90°，•在Rt AMD 中, 又T AB AC , •
• AF AC ； T FAE FAD DAE
FAD 45 ；
EAC
BAC
BAE
90
DAE DAB 45 DAB ; • FAE EAC ;
又T AE AE ；• -AFE 也 ACE ； -FE
EC , AFE ACE 45 ；
AFD ABD ' 180 ABC 135 ;•
DFE AFD AFE 135 45 90 ;
• ••在Rt DFE 中； 2 DF 2 2 口仃 2 2 2 FE DE 即 DE BD EC ；
【9】如图所
示,
延长 AC 至U E 使CE BM . 在BDM 与CDE 中，
因为BD CD ,
MBD
ECD 90°,
BM
CE ，所以 BDM 也 CDE ，故MD 二 AFD 也
FAD BAD , AFD ABD ; ED .
ABD ; • AF AB , FD DB ; 有 m 2 n 2 x 2
，故应选(B)
【8 】（1） DE 2 BD 2 EC 2
证明：根据 AEC 绕点A 顺时针旋转90得到 ABE ；二 AEC 也 ABE
• BE EC , AE AE , C ABE ,
EAC EAB ;在 Rt ABC 中；T AB AC ;
• •• ABC ACB 45 ; • ABC ABE 90 ；即
2 2 2
EBD 90 ；• EB BD ED ； 又I DAE 45 ; • BAD EAC 45 ・ ・ 2
AED ; -DE DE ；• • DE ⑵关系式 DE 2 BD 2 EC 2仍然成立；证明：将
ADB 沿直线AD 对折，得 AFD ，连 FE
EAB 7
EC BAD 45 ;即 EAD 45 ;
2
BD
因为BDC 120°, MDN 60°，所以BDM NDC 60° .又因为BDM CDE ,
所以MDN EDN 60°.在MND 与END 中，DN DN , MDN EDN 60°, DM DE , 所以MND也 END，贝U NE MN，所以AMN的周长为2 .
【10】BM+NC=MN ;Q-
L 3
⑵猜想：仍然成立；证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE; Q BD CD,且BDC 120，
DBC DCB 30 ；由ABC是等边二角形，MBD NCD 90，MBD 也ECD (SAS) DM DE, BDM CDE，EDN BDC MDN 60 ；在MDN 与EDN 中；
DM DE
MDN EDN MDN也EDN (SAS)；MN NE NC BM ；
DN DN
AMN的周长Q AM AN MN =(AM BM) (AN NC) = AB AC 2AB 7
Q - 2
而等边ABC的周长L 3AB ；L 3 ；⑶2X 3L；
【11 】证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG . tzABG = /ABC= ZD = 90，AB = AD，
1
二ABG 也 ADF .「•AG = AF， 1 2 .二 1 3 2 3 EAF BAD .
2
•••zGAE= ZEAF .又AE = AE,「AEG 也 AEF . ^EG= EF. vEG=BE+BG . AEF= BE + FD ⑵(1)中的结论EF BE FD仍然成立.
【12】连接DE与DF ；
DBA EBC，BAD CAF …DBE ABC，BAC DAF ；
DB AB
• ••在DBE 与ABC 中；DBE ABC ; /. DBE 也ABC (SAS) ; A DE CA FC
BE BC
DA BA
在DFA 与BCA 中DAF BAC ；• DFA 也BCA(SAS) ; • DF BC EC ；
AF AC
•DECF为平行四边形，• EF , CD互相平分.
【13】连结EB，V CE CD , CE EA , BE AD，所以BE AD，并且BE与AD的夹角为60 ,
延长EB 交AK 于M，贝U EBH 360 BHD HDE BED 300 HDM MDE MED
180 HDM 180 60 MDE MED 180 HDM HDK .
又因为HK AD BE , BH HD •所以BEH 也 DKH •所以HK HE，EHD EHD DHK BHE .
【14】连接AF，则发现ABC也AEF，且FD 1，AF AC，AE AB，ADF是底、高各为1的三角形，其面积
为1，而ACD与AFD全等，从而可知此五边形的面积为1 .
2
【15】连接AC .由于AB AE ， ABC AED 180° •我们以A 为中心
, 将ABC 逆时针旋转到AEF 的位置.因AB AE ，所以B 点与E 点重合，而 AEF AED
ABC AED 180°, 所以D 、E 、F 在一条直线上，C 点旋转后落在点F 的位置, AF AC ， EF BC . 所以DF DE EF DE BC CD .在 ACD 与AFD 中，因为
AC AF ，CD FD ， AD AD ，
故ACD 也AFD ，因此 ADC ADF ，即AD 平分 CDE . 【16】 • ••CE 【17】 答案：••• AC AB ，
BD ；又：BD BC CAE BAD CD AC CD ；
答案：延长 BE 交CD 延长线于点 ，AE • CE AD AC CD ； F . T E 是 AD 中点，• DE AE , F
E
••• AB II CD , A 90 ,二 EDF EAB 90 , ABE DFE 在AEB 和FED 中，
ABE DFE
EAB EDF ;二 AEB也 FED , /• FE BE ;又：AB 2, BC 3,CD 1 , /. CF BC
AE DE
FC BC
在FCE和BCE中，••- CE CE ；••• FCE 也 BCE，二 CE EB
FE BE
【18】答案：连接CM .因为AC BC且ACB 90°，所以 B 45° .
因为M是AB的中点，所以AMC BMC 90°，ACM 45°且CM BM，贝U ACM B .
因为MQ MP，所以QMC 90°CMP PMB ，所以QCM也PBM，
所以QM PM •因此MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变.
MPQ的面积与边MP的大小有关.当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小;
当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大.
【19】答案：由条件AE CF 1,且DF CF 1，得AE DF .
因为AB DB， A BDF 60°，所以ABE也 DBF，因此BE BF，ABE DBF .
因为EBF EBD DBF EBD ABE ABD 60°，所以BEF为等边三角形.。