全等三角形与旋转问题专题

全等三角形与旋转问题

中考要求

知识点睛

基本知识

把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．

很明显，旋转变换具有以下基本性质：

①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；

②对应直线的交角等于旋转角．

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．

重、难点

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后

证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是

本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定

是整个直角三角形的重点

难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性

质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，

决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图

案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．

【解析】 A

【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是

把菱形ABCD 以A 为中心_____________。

A ．顺时针旋转60°得到

B ．顺时针旋转120°得到

C ．逆时针旋转60°得到

D ．逆时针旋转120°得到

G F

E D C B

A

【解析】 D

【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交

CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

K

G

F

E

D

C B

A

【解析】 C

【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．

M D N

E

C B

F

A

【解析】 ∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，

∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =

【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．

【例5】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC

例题精讲

于M ，N 点．求证：CM CN =．

N

M

E

D

C

B

A

【解析】 ∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形

∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒ ∵B ，C ，E 三点共线

∴180BCD DCE ∠+∠=︒，180BCA ACE ∠+∠=︒ ∴120BCD ACE ∠=∠=︒ 在BCD ∆与ACE ∆中 BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴BCD ACE ∆∆≌， ∴CAN CBM ∠=∠

∵120BCD ACE ∠=∠=︒，60BCM NCE ∠=∠=︒ ∴60ACD ∠=︒

在BCM ∆与ACN ∆中 60BC AC BCM ACN CBM CAN =⎧⎪

∠==︒⎨⎪∠=∠⎩

∴BCM ACN ∆∆≌，∴CM CN =．

【补充】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

G

M H D N

E

C B

F A

【解析】 过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，

利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =，故CF 平分AFB ∠．

【补充】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．

请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；

⑶CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B F

A

【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．

60MCN ∠=与三角形各内角相等，

及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等…

推到而得的：AFC BFC ∠=∠；

AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥

ACN MCB ∆∆≌，ADC MCE ∆∆≌，NDC BEC ∆∆≌； DEC ∆为等边三角形．

⑴∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，

∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =

⑵由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=， 进而可得DEC ∆为等边三角形．易得DE AB ∥．

⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，

利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．

【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、

CG ．求证：AE CG =．

G F

E D

C

B

A

【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠

∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ∆和ADE ∆中 CD AD CDG ADE DG DE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴CDG ADE ∆∆≌ ∴AE CG =

【例7】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，

求证：CDE ∆是等边三角形．

M D

N

E

C

B

A

【解析】 ∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠

又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，

∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠

∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴CDE ∆是等边三角形

【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和

CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是_____________。