沪科版数学九年级下册-垂径定理学案
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
垂径定理的逆定理-沪科版九年级数学下册教案
垂径定理的逆定理-沪科版九年级数学下册教案一、知识点概述本节课主要掌握垂径定理的逆定理。
通过本节课的学习，将会：1.掌握垂径定理的逆定理的概念。
2.能够灵活应用垂径定理的逆定理解决相关问题。
二、重点难点分析1. 重点本节课的重点是垂径定理的逆定理的概念和定理的应用。
2. 难点本节课的难点是如何灵活运用垂径定理的逆定理解决相关的问题。
三、课堂教学设计1. 教学目标通过本节课的学习，学生将会：1.掌握垂径定理的逆定理的概念。
2.能够灵活应用垂径定理的逆定理解决相关问题。
2. 教学重点掌握垂径定理的逆定理的概念和定理的应用。
3. 教学难点如何灵活运用垂径定理的逆定理解决相关的问题。
4. 教学步骤（1）引入新知识引用实际问题，让学生思考如何确定垂线。
（2）讲解垂线讲解垂线的概念以及它的相关性质。
（3）讲解垂径定理讲解垂径定理的概念以及它的相关性质。
（4）讲解垂径定理的逆定理讲解垂径定理的逆定理的概念以及它的相关性质。
（5）练习让学生在课堂上完成一些相关的练习，加深对知识点的理解。
（6）作业布置相关的作业，在课后巩固学生对知识点的掌握和应用。
5. 教学要点•垂线的概念和性质。
•垂径定理和垂径定理的逆定理的概念和应用。
四、作业1.完成课堂上所布置的相关练习。
2.完成课后的作业。
五、教学反思本节课的难点在于如何灵活运用垂径定理的逆定理解决相关的问题。
教师需要多给学生提供类似的实际问题，并引导学生在实际问题中发现垂线的应用。
这样能够更好地帮助学生理解知识点，并能够更好地应用到实际问题中。
沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》教学设计1
沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》教学设计1一. 教材分析沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》是本节课的主要内容。
该定理是几何中的一个重要定理，它对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
教材通过引入实例，引导学生探究并证明垂径定理的逆定理，培养学生的几何思维和证明能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了垂径定理的相关知识，具备了一定的几何思维和证明能力。
但部分学生对于抽象的几何证明还存在一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的逆定理，并能运用其解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳、证明等方法，培养学生的几何思维和证明能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的逆定理的证明及其应用。
2.难点：对于抽象几何图形的证明和解决问题的方法。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生建立几何模型。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
3.实践操作法：学生动手操作，观察实验现象，归纳总结定理。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、多媒体课件、几何模型等。
2.学生准备：课本、笔记本、作图工具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考如何运用几何知识解决问题。
2.呈现（10分钟）教师展示垂径定理的逆定理，引导学生观察并分析定理的内涵。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同完成一些与垂径定理逆定理相关的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师针对学生的练习情况，进行讲解和辅导，帮助学生掌握垂径定理的逆定理。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理的逆定理解决更复杂的问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容，巩固所学知识。
沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(2)垂径定理
DDBA27.3 垂径定理（2）[学习目标]1、掌握垂径定理推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想. [学习重难点]能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.一、课前预习1、垂径定理： .2、如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦（不是直径），CD 与AB 交于点M ，且AM=BM ，问CD 垂直于AB 吗？为什么？提问：如果AB 是直径结论还成立吗？为什么？3、如果把第（2）题中的条件“AM=BM ”改成“»»AD BD =”，结论还成立吗？为什么？4、我们知道过A 、B 两点的圆的圆心一定在线段AB 的 上， 所以，弦AB 的垂直平分线必经过 .5、如图，在O e 中，弦CD 与弦AB 交于点M.（1）如果AM =BM ，»»AD BD =，那么CD 与AB 垂直吗？（2）如果CD AB ⊥，垂足为点M ，»»AD BD =，那么AM 与BM 相等吗？二、课堂学习1、由课前预习2可以归纳得到：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.2、由课前预习3可以归纳得到：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.3、在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径. 由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上. 于是得到：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.4、由课前预习5可以归纳得到：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦.如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦.4、总结上面的讨论，可以概括为：在圆中，对于某一条自线“经过圆心”、“垂直于弦”、 “平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中， 如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.5、例题1 如图，已知O e 中，C 是»AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ，120AOB ∠=o ， AD=8，求OA 的长.（提示：已经有OC “经过圆心”、“平分弦所对的弧”，所以由垂径定理推论可以得到“垂直于弦”、“平分弦”）6、例题2 已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧. （提示：弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧.）课堂小结BA三、课堂练习 1、如图，已知AD 是O e 的直径，»»»AB BC CD ==. （1) 求»BD所对的圆心角的大小； （2）OC 与BD 垂直吗？为什么？2、如图是一块残缺的圆形砂轮片，试画出这块砂轮片原来的图形，3，如图，已知O e 的半径长为3厘米，半径OB 与弦AC 垂直，垂足是点D ，AC 长为3厘米. 求：(1)AOB ∠的大小； （2）CD 的长.四、课后练习1、如图，已知O e 的半径OC 过弦AB 的中点D ，如果»AC 的长是20厘米，那么»AB 的长是 厘米.2、如图，已知C 是»AB 的中点，半径OC 与弦AB 相交于点D ， 如果60,6OAB AB ∠==o 厘米，那么AOD ∠= 度， CD= 厘米.3、已知：如图， AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点.求证：.AMN CNM ∠=∠4、（提高题）已知：如图，MN 是O e 的弦，AB 是O e 的直径，AB MN ⊥，垂足为点P ，半径OC 、OD 分别交MN 于点E 、F ，且OE=OF.求证：（1）ME=NF ；（2）¼».MCND =。
沪科版初中数学九年级下册【说课稿】-垂径定理
最新沪科版初中数学九年级下册【说课稿】-垂径定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1垂直于弦的直径性质一．教学背景分析1、学习任务分析“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（沪科版）九年级下册第24章《圆》第2节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。
“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。
“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。
2、学生情况分析学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。
对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。
但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。
3、重点难点的定位教学垂点：垂径定理及其推论。
教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，（2）领悟垂径定理中的对称美。
二．教学目标设计:1.知识与技能目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
2.过程与方法目标：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
3.情感、态度与价值观：对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。
从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。
三．课堂结构设计：《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。
因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：1、欣赏美——营造问题情境2、探究美——揭秘核心问题3、徜徉美——问题变式发散4、品味美——重建知识体系课堂教学应以学生为主体，教师为主导。
沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(3)垂径定理
BABA BACA P27.3 垂径定理（3）[学习目标]1、能运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、掌握运用垂径定理及其推论时辅助线的常用添法. [学习重难点]会运用垂径定理及推论解决有关问题.一、课前预习1、已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧.2、已知：如图，线段AB 、交O e 于C 、D 两点，且OA=OB ， 求证：AC=BD.3、如图，有一圆弧形门拱的拱高CD 为1米，跨度AB 为4米，求这个门拱的半径.二、课堂学习例题1 如图，已知O e 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是»AB 的中点. 求AC 的长. （提示：把AC 放到直角三角形中去求，这里可以联结 、 ）（问题：添辅助线时这里可以写“作OC AB ⊥”吗？）例题2 如图，已知AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，,OM AB ON CD ⊥⊥ ，垂足分别是点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P. 求证：PA=PC. （提示：先证明AM=CN 和PM=PN ）例题3 如图，已知O e 的半径长R 为5，弦AB 与弦CD 平行，它们之间的距离为7，AB 长6，求弦CD 的长.（问题：过点O 作,OE AB OF CD ⊥⊥ ，垂足分别为E 、F ，可否马上得到EF=7？）课堂小结POBACDFOE B A C D P ON M B A C DO B CBCE DOA四、课堂练习1、已知：如图，PB 、 PD 与O e 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分BPD ∠.求证：¼¼.ABD CDB =2、如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=o，OF CD ⊥，垂足为点F ，DE=7，EO=2. 求CD 的长.3、已知O e 的半径长为5，弦AB 与弦CD 平行，AB=6，CD=8. 求AB 与CD 之间的距离。
四、课后练习1、已知：如图，O e 中的弦AB 、CD 交于点P ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点，»».AC BD = 求证：PMN V 是等腰三角形.2、如图，已知点A 、B 、C 分别在O e 上，AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求O e 的半径长.3、已知ABC V 是直径长为10厘米的O e 的内接等腰三角形，且底边BC=8厘米，求ABC S V .4、如图，已知O e 中，直径CD 与弦AB 垂直，垂足为E ，10,2CD DE == ，求AB 的长.5、已知：如图，1O e 与2O e 相交于点P 、Q ，点C 是线段12O O 的中点，AB 过点P 且与CP 垂直，点A 、B 分别是AB 与1O e 、2O e 的交点. 求证：.AP BP =。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(1)--垂径定理
BAOBA27.3 垂径定理（1）[学习目标]1、知道圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线；2、经历垂径定理的探索和证明过程，掌握并能运用垂径定理进行证明及计算；3、会添圆中的常用辅助线：半径、弦心距（垂直于弦的半径或直径）.[学习重难点]垂径定理的探索证明及其应用.一、课前预习1、思考：圆是中心对称图形，圆是不是轴对称图形？操作：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合.由此说明：圆是对称图形，任意一条所在的直线都是它的对称轴.2、问题：如图，CD是Oe的直径，AB是Oe的弦，AB CD⊥，垂足是点M. 那么AM与BM是否相等？»AD与»BD是否相等？利用圆是轴对称图形的性质，可知以CD为折痕将Oe翻折后，点A能与点重合，则线段AM与重合，（即AM= ）；»AD与重合，»AC与重合.（即»AD= ，»AC= ）3、上面探索得到的结论是肯定的，你能用推理的方法来证明吗？试着写出证明过程.证明：（提示：联结OA、OB）二、课堂学习1、归纳得到垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径这条弦，并且这条弦所对的弧.用数学语言表达为：∵OM CD⊥（或直径CD AB⊥）∴AM=，»AD=，»AC=.2、例题1 已知：如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC= BD. （提示：作OM AB⊥于M）3、例题2 一千三百多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形. 已知桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37. 4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径长（精确到0. 1米）.解：如图，用»AB表示桥拱，»AB所在圆的圆心为O ，Oe的半径长为R. 联结AB，过圆心O作半径OC垂直于弦AB，垂足为点D. 根据垂径定理，可知D是AB的中点，C是»AB中点，则CD就是拱高. 由题设知4、概念：由圆的弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，例题2中的拱高也叫弓形高.（说明：弓形的弧可以是劣弧，也可以是优弧或半圆. 弓形中的曲线一定是圆弧，拱形中的曲线不一定是圆弧. ）课堂小结三、课堂练习1、如图，已知Oe的弦AB长为l0，半径长R为7，OC表示AB的弦心距，求OC的长.2、已知：Oe的半径长为50厘米，弦AB长50厘米.求：（1）点O到AB的距离；（2）AOB∠的大小。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径定理》教学设计
（1）请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习垂径定理过程中的收获和困惑。
（2）针对自己的困惑，提出改进措施，为下一节课的学习做好准备。
注意事项：
1.要求学生在作业过程中，注重解题步骤的规范性和逻辑性。
2.鼓励学生积极参与思考题，培养他们的探究意识和创新能力。
3.课后总结要认真对待，发现问题并及时解决，提高学习效率。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握垂径定理的内容，能够准确判断圆的直径所对的圆周角是直角。
2.能够运用垂径定理解决实际问题，如求圆的直径、半径等。
3.掌握垂径定理的证明方法，提高演绎推理能力。
4.能够运用垂径定理推导出圆的相关性质，如圆周角定理、弦切角定理等。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论以下问题：“垂径定理在生活中的应用有哪些？”、“如何证明垂径定理？”等。
2.交流分享：各小组汇报自己的讨论成果，其他小组进行评价和补充，教师适时给予指导和点拨。
3.深入探讨：引导学生探讨垂径定理与其他几何定理的联系，如圆周角定理、弦切角定理等。
（四）课堂练习
4.组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，对几何学产生浓厚的兴趣。
2.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，树立自信心。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
1.设计具有层次性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：判断题、选择题、填空题和解答题，涵盖垂径定理的发现、证明和应用等方面。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 (1) 垂径定理 教案
§27.3 （1）垂径定理教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：掌握垂径定理，能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学难点：对垂径定理的探索和证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件，圆形纸片教学过程：一、复习引入师：什么是轴对称图形？生：把一个图形沿着某一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
师：请你判断下列哪些图形是轴对称图形？师：圆是轴对称图形吗？让我们来共同研究一下。
老师拿出事先准备好的圆形纸片，把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论。
生：圆是轴对称图形。
师：你知道它的对称轴是什么吗？生：经过圆心的直线（它的直径）师：哪位同学说的对呢？生：对称轴是直线，而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线，或者是直径所在直线。
结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
观察并回答：操作：我们在圆形纸片上把刚才的折痕描绘出来，标记为CD。
在此纸片上再任意增加一条直径AB。
师：请问两条直径的位置关系是什么？生：两条直径始终是互相平分的。
师：把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，直径CD 是否一定平分弦AB ？ 生：不一定二、新课1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？2、得出猜想：当CD ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。
师：思考：CD 是以点O 为圆心的直径，过直径上任一点E 作弦AB ⊥CD,将圆O 沿CD 对折，比较图中的线段和弧，你能发现有哪些相等的量？（教师用电脑课件演示图中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-26.3垂径定理 教案
26.3垂径定理一、教学目标：（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理的结论进行证明，并能通过构造直角三角形解决一些简单的计算问题；（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．教学重点：垂径定理及运用教学难点：运用垂径定理解决实际问题的能力二、知识点整理：请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【学生答】：这些图形都是轴对称图形。
（那么，你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。
）【学生答】：等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆。
（圆是不是轴对称图形我们还没有研究过，它不算学过的轴对称图形。
刚才**同学提出了圆也是轴对称图形，他的说法对吗？让我们来共同研究一下。
下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。
首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？）【学生答】：圆是轴对称图形。
师：那么你知道它的对称轴是什么样的吗？【学生答】：它的直径经过圆心的直线（有同学说是直径，有同学说是经过圆心的直线，谁说的对呢？同学们讨论一下。
）【学生答】：对称轴是直线而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线。
（现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。
那么看图，AB是⊙O的直径，而CD是垂直AB的弦，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD（学生答）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？）【学生答】：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。
（学生完成） 根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题，展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。
引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。
通过示例，解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。
学生之间互相评价，分享解题经验和思路。
4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。
6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。
6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。
第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 (1)垂径定理 教案
2、思考：如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，且，垂足为，则图中有哪些相等的量？为什么？答：线段，，. 证明：分别联结.∵，,∴,，得.又∵CD是⊙O的直径,∴,即，∴给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径3．归纳定理我们得到了圆的一个性质定理：垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧（平分弦所对的优弧和劣弧）.简述为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的弧.符号语言：∵过圆心0，，∴，（垂径定理）.注意：结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧.将弧平分的点是这条弧的中点.4．辨析：看下列图形，是否能使用垂径定理？检验学生知识点掌握程度加强文字的理解，学会根据题意画出图形。
训练学生的灵活运用数学知识解决归纳小结：垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，实质是指“一条过圆心的直线（或直线部分）与圆的一条弦具有垂直关系”.(二)例题示范：例题1：如图，已知，以点为圆心的两个圆中，大圆的弦交小圆于两点.求证：.证明：过点作于点.由垂径定理，得，同理：，∴，即.例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）分析：如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.2、如何确定圆心的位置？3、图中哪些表示圆O的半径？4、如何建立等量关系？解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=∵ OC⊥AB，且OC过圆心问题的能力检验学生掌握情况HB DAO C∴AD=AB=18.7在Rt△AOD中，∠ADO=90°∵AD+OD=OA∴18.7+=答：桥拱所在圆的半径约为27.9米.(三)、巩固练习1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.(四)、课堂小结知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．五、作业：练习册：习题27.3（1）培养学生的归纳概括能力课内诊断练习与教学调整1、在下列命题中，不正确的是（）A.一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外B.一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线C.两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆外切D.圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点2、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心、2为半径的圆必定（）A.与x轴相离，与y轴相切B.与x轴、y轴都相离C.与x轴相切，与y轴相离D.与x轴、y轴都相切3、的半径为5，圆心O到直线的距离为3，则直线与的位置关系是课后作业练习册：习题27.3（1）学生学习结果评价课后反思垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性.。
九年级数学下册 24 圆 课题 垂径分弦学案 (新版)沪科版
课题：垂径分弦【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，理解并掌握垂径定理及推论．2．在对圆的对称性和垂径定理的探索中，对其各组量之间的推导能够融会贯通．【学习重点】垂径定理的推导及应用．【学习难点】垂径定理的推导及应用．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：推论中强调平分弦的弦不能是直径，否则不成立．情景导入生成问题情景导入：什么是轴对称图形？圆是轴对称图形吗？如何验证？它的对称轴是什么？答：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线就是对称轴．在纸上画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕把⊙O折叠，可发现直径两旁部分完全重合．因此圆是轴对称图形，直径所在直线是它的对称轴．自学互研生成能力知识模块一垂径定理及其推论阅读教材P14～P15，完成以下问题：1．什么是垂径定理？答：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．2．如图，垂径定理有哪些要素？可得出哪些推论？答：①过圆心；②垂于弦；③平分弦(不是直径)；④平分劣弧；⑤平分优弧．归纳：将以上五个要素中的两个作为已知条件可得出另外三个．据此可得出以下推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②平分弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．范例1：如图，已知⊙O 的直径AB⊥弦CD 于点E ，下列结论中一定正确的是( B )A ．AE ＝OEB ．CE ＝DEC ．OE ＝12CE D ．∠AOC ＝60°仿例1：(遂宁中考)如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB ＝6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC 为( B ) A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 方法指导：注意运用垂径定理时构造直角三角形．方法指导：注意将实际问题转化为纯数学问题，通过垂径定理构建直角三角形模型．垂径定理常与勾股定理相结合构造直角三角形，可用来计算弦长、半径及弦心距等．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．对照答案，提出疑惑，小组解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．仿例2：(包头中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦．点E 是BC ︵的中点，OE 交BC 于点D ，连接AC.若BC ＝6，DE ＝1，则AC 的长为8．知识模块二 垂径定理的应用范例2：在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面的宽AB ＝160cm ，则油的最大深度为( A )A ．40cmB ．60cmC ．80cmD ．100cm,(范例2图)) ,(仿例1图)) ,(仿例2图))仿例1：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为(3，2)．仿例2：如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF为6cm.交流展示生成新知1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一垂径定理及其推论知识模块二垂径定理的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：___________________________________________________________。
九年级数学下册24.2圆的基本性质(第2课时)垂径定理学案沪科版
24．2 圆的对称性第2课时垂径定理学前温故1．在Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝2，BC＝4,CM是中线,以C为圆心，错误!为半径画圆，则A、B、M与圆的位置关系是( ）．A．A在圆外，B在圆内，M在圆上B．A在圆内，B在圆上,M在圆外C．A在圆上，B在圆外，M在圆内D．A在圆内，B在圆外，M在圆上解析：Rt△ABC中，AB＝错误!＝错误!＝2错误!，CM＝错误!AB＝错误!，又2＜错误!＜4，故A在圆内，B在圆外, M在圆上．答案：D2．已知平面上一点到⊙O的最长距离为8 cm,最短距离为 2 cm，则⊙O的半径是__________．解析:本题分两种情况：(1)点P在⊙O内部时，如图①所示，PA＝8 cm，PB＝2 cm，直径AB＝8＋2＝10(cm）,半径r＝错误!AB＝错误!×10＝5（cm）；(2）点P在⊙O外部时，如图②所示，直径AB＝PA－PB＝8－2＝6（cm）,半径r＝错误!×6＝3（cm）．答案：3 cm或5 cm新课早知1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．3．定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．圆心到弦的距离叫做弦心距．1．垂径定理【例1】赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27。
9米,跨度（弧所对的弦长)为37。
4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离）吗？分析:根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．解：如图，AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O.过点O作OC⊥AB于D，交AB于点C。
根据垂径定理，则D是AB的中点,C是AB的中点，CD为拱高．在Rt△OAD中，AD＝错误!AB＝37.4×错误!＝18。
7(m），OA＝27。
9 m，∴OD＝错误!＝错误!≈20.7(m）．∴CD＝OC－OD≈27.9－20。
九年级数学下册27.1.3垂径定理教案沪教版五四制.doc
垂径定理及其推论（运用平行线分线段成比例定理证明H 是EF 的中点，图二0H 是CD 垂直平分线证明EH 二EF ）例3如图，00的直径AB=15cm,有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A,点D 与B 不重合）, 且CE 丄CD 交AB 于E, DF 丄CD 交AB 于F.（1） 求证：AE=BF （过点0作CD 的垂线）（2） 在动弦CD 滑动的过程屮，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由.（定值S 二54） ” ----- 、—例4如图，在O0内，弦CD 与直径AB 交成45°角,若弦CD 交直径AB 于点P,且半+ PD 22•如图1, OO 的半径为6cm, AB. CD 为两弦，且AB 丄CD,垂足为点E,若CE=3cm, DE 二7cm,则AB 的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 4迈cmD. 8近cm3•有下列判断：①肓径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③肖•径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴冇无A. 1cmB. 2cmC. y[2cmD. y/Scm数条.其中正确的判断冇（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.如图2,同心圆中，大圆的弦交AB于C. D若AB二4, CD二2,圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为（）6. 如图，00的直径为10,弦AB 二& P 是弦AB 上的一个动点，那么0P 长的取值范|韦I 是 _____ .7. 如图，已知有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB 二16cm,拱高CD 二4cm,那么拱形的半径是 _____ m.8. 如图,直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分）,水面的宽度昇〃为800mm,求水的最大深度⑦A. 3:2B. V5 :2C. 75 : V2D. 5:45.等腰 外接圆三角形腰长为4cm,底角为3（）。
九年级数学下册 27.1.3 垂径定理教案 沪教版五四制
垂径定理及其推论教学目标垂径定理的内容及其推论重点、难点垂径定理的内容及其推论考点及考试要求会灵活运用垂径定理的内容及其推论计算及证明。
教学内容知识点梳理垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且 ．推论1：①平分弦（不是 ）的直径 ，并且 ． ②弦的 经过 ，并且 ．③平分弦所对的一条孤的直径, ，并且 ． 推论2．圆的两条平行弦 ．垂径定理及推论1中的三条可概括为：经过 ； ②垂直于 ； ③平分 (不是直径)； ④平分弦所对的 ； ⑤平分弦所对的 ． 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】 例1 如图AB ．CD 是⊙O 的弦，M ．N 分别是AB ．CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ．(联结OM,ON)例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．求证：CE=DF ．A BD C O ·N M O DC MA Bl•问题一图1 OHFE D CBA l•问题一图2 O H F E DC BAl•问题一图3OH FE D C BA(运用平行线分线段成比例定理证明H 是EF 的中点，图二OH 是CD 垂直平分线证明EH=EF)例3 如图，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE⊥CD 交AB 于E ，DF⊥CD 交AB 于F ． （1）求证：AE ＝BF （过点O 作CD 的垂线）（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由．（定值S=54）例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：22PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． （联结OC ，过点O 作CD 的垂线，定值等于2）【课堂练习】1．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）． A ．1cm B ．2cm C ．cm 2 D ．cm 32．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB ．CD 为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ） A ．10cm B ．8cm C ．cm 24 D ．cm 283．有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条．其中正确的判断有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C ．D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）O A B C D E FmA BCDPO．A BDCO 800 A ．3:2 B ．5:2 C ．5:2 D ．5:45．等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm6．如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 ． 7．如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _ __m ．8．如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ．9．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为 ． 10．已知在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA 的3倍,C 为弧AB 的中点,AB ．OC 相交于点M ．试判断四边形OACB 的形状,并说明理由．A B C D BP A O D CBA MCBAO A D EC B ·图1A ·C DB 图211．如图，在⊙O 中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC ．BD 交直径MN 于E 、F ．求证：ME=NF ．（作AB 的垂线）【课后作业】 1． 已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD⊥AB，垂足为M ．且OM=3cm ，则CD= ．2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB= cm ． 3．若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是 ．4．已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R= ，⊙O 的周长为 ． ⊙O 的面积为 ． 5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是 ．6．⊙O 中，AB ．CD 是弦，且AB∥CD，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD ．BC ，则梯形ABCD 的面积等于 ．7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB ．CD 交于E 点，AC=BC ，OF⊥CD 于F ，OF=2cm ，则∠BED= ．8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN∥EF，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 ．O A B D C E FM N · A E F BC DO。
九年级数学下册242圆的基本性质第2课时垂径定理学案新版[沪科版](1)
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24．2 圆的对称性第2课时 垂径定理学前温故1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝4，CM 是中线，以C 为圆心，5为半径画圆，则A 、B 、M 与圆的位置关系是( )． A ．A 在圆外，B 在圆内，M 在圆上B ．A 在圆内，B 在圆上，M 在圆外C ．A 在圆上，B 在圆外，M 在圆内D ．A 在圆内，B 在圆外，M 在圆上解析：Rt△ABC 中，AB ＝22＋42＝20＝25，CM ＝12AB ＝5，又2＜5＜4，故A 在圆内，B 在圆外， M 在圆上．答案：D2．已知平面上一点到⊙O 的最长距离为8 cm ，最短距离为 2 cm ，则⊙O 的半径是__________．解析：本题分两种情况：(1)点P 在⊙O 内部时，如图①所示，PA ＝8 cm ，PB ＝2 cm ，直径AB ＝8＋2＝10(cm)，半径r ＝12A B ＝12×10＝5(cm)；(2)点P 在⊙O 外部时，如图②所示，直径AB ＝PA －PB ＝8－2＝6(cm)，半径r ＝12×6＝3(cm)． 答案：3 cm 或5 cm新课早知1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．3．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．圆心到弦的距离叫做弦心距．1．垂径定理【例1】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．解：如图，AB 表示主拱桥，设AB 所在圆的圆心为O.过点O 作OC⊥AB 于D ，交AB 于点C.根据垂径定理，则D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 为拱高．在Rt△OAD 中，AD ＝12AB ＝37.4×12＝18.7(m)，OA ＝27.9 m ， ∴OD＝OA 2－AD 2＝27.92－18.72≈20.7(m)．∴CD＝OC －OD≈27.9－20.7＝7.2(m)．∴赵州桥的拱高为7.2 m.点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长：弦长a 、圆半径r 、弦心距d 、弓形高h.它们之间的关系有r ＝h ＋d (或r ＝h －d )，r 2＝d 2＋(a 2)2. 2．垂径定理的推论【例2】 学习了本节课以后，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由．分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上．解：小勇得出的结论正确．理由：如图，CD是AB的垂直平分线，连接OA、OB.因为OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．由垂直于弦的直径的性质，可知弦AB的垂直平分线CD平分弦AB所对的两条弧．点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等．1．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )．A．2 cm B. 3 cmC．2 3 cm D．2 5 cm答案：C2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE为( )．A．矩形B．平行四边形C．正方形D．直角梯形答案：C3．(2011·浙江嘉兴中考)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )．A．6 B．8C．10 D．12答案：A4．如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝__________，CD＝__________.答案：4 95．如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.证明：过O作OE⊥AB于E，则AE＝EB，CE＝ED.∴AE－CE＝BE－DE.∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，∴AC＝BD.。
九年级数学下册27.3垂径定理(3)教案沪教版五四制
准备
多媒体课件，教学工具学Fra bibliotek活动形式讲练结合
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习一
如图,CD是O的直径,CD⊥AB,垂足为点E,请说明AC=BC.
下面两种说理的方法都正确吗?若正确,请填写理由.
知识呈现：
新课探索一
例题1如图,已知O的半径长为25,C是AB的中点,且AC=30.求弦AB长.
课内练习一
1.已知:如图,PB,PD与O分别交于点A、B和点C、D,且PO平分∠BPO.求证：ABD=CDB.
例5如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
例6如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，
ON⊥CD，垂足分别是点M、N，BA、DC的延长线交于点P．
求证：PA=PC．
例7如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求弦CD的长．
课堂小结：在圆中解决与弦有关问题时经常作的辅助线是什么？
（在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形.为应用垂径定理创造条件.）
课外
作业
练习册习题27.3（3）
垂径定理
课题
27.3(3)垂径定理
课型
新授课
教
学
目
标
1、掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.
2、培养观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能.
重点
掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.
难点
在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形.
沪科版2019-2020年九年级数学下册学案：24.2 第2课时 垂径分弦
24.2 圆的基本性质第2课时 垂径分弦［学习目标］1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. ［学法指导］本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用，学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明；学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用. ［学习流程］一、导学自习1．阅读教材p16有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？2. 阅读教材p14“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？ 归纳：圆是__ __对称图形， ____________ ________都是它的对称轴；3. 阅读教材内容，自己动手操作： 按下面的步骤做一做：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个O ，沿圆周将圆剪下，作O 的一条弦AB ；第二步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂足为E ； 第三步，将O 沿着直径折叠.你发现了什么？归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有 ，相等的弧有 .二、研习展评活动1：（1）如图2，怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论. 叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧.定理的几何语言：如图2CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥____________,____________,_____________∴(3)推论：___________________________________________________________________________． 活动2 ：垂径定理的应用如图3，已知在O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离（弦心距）为3cm ，求O 的半径.(分析：可连结OA ，作OC AB ⊥于C ) 解：小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
（图1）CABEOCABDEO（图2）B A O（图3）(2)如图4，根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦心距”构成直角三角形，则r d a 、、的关系为 ，知道其中任意两个量， 可求出第三个量. ［课堂小结］1.垂径定理是 ，定理有两个条件，三个结论。
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你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
垂直于弦的直径性质
一、明确学习目标
1、理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及推论。
2、通过折叠等方法理解圆是轴对称图形，从而进一步理解垂径定理及其推论。
二、自主预习
阅读教材内容，完成自主预习区。
ห้องสมุดไป่ตู้三、合作探究
四、当堂检测
五、拓展提升
六、课后作业
---------------------赠予---------------------