二次函数与圆结合的压轴题

图6

x

y F

E H N M

P

D C B A

O

二次函数和圆

【例题1】 (芜湖市）

已知圆Ｐ的圆心在反比例函数k

y x

=

(1)k >图象上,并与ｘ轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C （0,1). (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次

函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为Ｄ,

问当k 为何值时,四边形ＡDBP 为菱形.

【例题２】(湖南省韶关市)

25.如图6,在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形,OA=4，AB=2,直线

3

2

y x =-+与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段ＤE 上的动点.

（1)求Ｍ、D 两点的坐标；

（2）当Ｐ在什么位置时,PA=ＰＢ?求出此时P 点的坐标；

(3)过P 作PH ⊥B Ｃ,垂足为H ，当以PM 为直径的⊙Ｆ与BC 相切于点N 时，求梯形P ＭBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程）2８. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2,0),⊙A与x轴交于Ｅ、F两点,与y轴交于C、D两点，过点Ｃ作⊙A的切线BＣ，交x轴于点B.

（１）求直线CＢ的解析式；

(2）若抛物线y=ax2＋bｘ+c的顶点在直线ＢC上，与x

轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式;

（３)试判断点C是否在抛物线上?

（４）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△ＡOＣ相似?直接写出两组这样的点．

【例题4】（绵阳市）２5.如图，已知抛物线y = ax2 + ｂx－3与x轴交于Ａ、Ｂ两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M(１,ｍ)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙Ｍ的半径为5.设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为Ｅ.

(1）求m的值及抛物线的解析式;

(2)设∠DBC = α,∠CＢE＝β，求sin（α－β)的值；

（3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以Ｐ、A、C为顶点的三角形与△BCＥ相似?若存在,请指出点P的位置，并直接写出点Ｐ的坐标;若不存在,请说明理由.

【例题5】（南充市)2５.如图,点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B.

已知抛物线2

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y x bx c =

++过点Ａ和Ｂ，与y 轴交于点C . （1)求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．2(ﻫ）点Q (8,m )在抛物线2

16

y x bx c =++上,点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求ＰＱ+ＰB 的最小值．

（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求ＯE 所在直线的解析式.

【例题6】(山西省临汾市)26． 如图所示,在平面直角坐标系中，

M 经过原点O ,且与x 轴、y 轴分别

相交于(60)(08)A B --，，，两点．

(1)请求出直线AB 的函数表达式;

(2)若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ,顶点C 在M 上,开口向下,且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；

（3)设（2)中的抛物线交x 轴于D E ，两点，在抛物线上是否存在点P ,使得1

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PDE ABC S S =△△？若存在,请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

【例题

7】在△ＡB Ｃ中,∠A =90°，AB =4,AC ＝3，M 是AB

∥BC 交

A Ｃ于点N ．以MN 为直径作⊙O ,并在⊙O 内作内接矩形AMPN .（1)用含x 的代数式表示△ＭＮP 的面积Ｓ; (2)当x 为何值时，⊙O 与直线ＢＣ相切?

x

(3)在动点M 的运动过程中,记△ＭＮP 与梯形BCN Ｍ重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求ｘ为

何值时,y 的值最大，最大值是多少？

【例题8】如图，点Ｐ在y 轴上,半径为3的⊙P 分别交ｘ轴于Ａ、Ｂ两点，ＡB=4,交y 轴负半轴于点Ｃ,连

接AP 并延长交⊙P 于点Ｄ，过D 作⊙Ｐ的切线分别交x 轴、ｙ轴于点F 、G ； （1)求直线FG 的解析式;

(2）连接ＣＤ交ＡB 于点E,求PCD tan 的值; （３)设Ｍ是劣弧BC 上的一个动点，连接DM 交x 轴于点Ｎ,问:是否存在这样的一个常数k,始终满足AN ·AB+DN ·ＤM ＝Ｋ,如果存在，请求出K 的值,如果不存在，请说明理由；

A B M N D O

A B C M N P 图 1

O A

B M N 图 3

O