数字信号处理第四章
数字信号处理第四章 模拟滤波器频率变换、冲激响应不变法、双线性变换法
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
＝
x(t)
y(t)
取样
取样
x(n) = x(nT)
?
y(n) = y(nT)
?
＝
响应不变
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
其中
取样
其中
另，根据数字系统响应
冲激响应不变原则！
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
模拟滤波器：
（M<N）
部分分式分解
冲激响应不变准则：
数字滤波器：
因此，双线性变换不改变系统稳定性
4.4 双线性变换法
4、频率预畸变
0
高频进行压缩
无混叠，有畸变
频率越高，畸变越大
预畸变
预畸变公式：
根据数字滤波器设计指标，求对应模拟滤波器设计指标时，需预先进行畸变
4.4 双线性变换法
5、双线性变换法设计滤波器步骤
（1）确定数字滤波器技术指标
（Hz表示）
（弧度表示）或
1）带通：计算几何中心
0
若
，则
代替
若
，则
代替
若
，则令
4.2.4 模拟滤波器的频率变换
带通带阻滤波器衰减参数选择
几何对称：
若实际给出的指标不满足几何对称，如何应对？
2）带阻：计算几何中心
0
若
，则
代替
若
，则
代替
若
，则令
固定靠近
的两个值
以让过渡带更窄为选择标准（靠近中心，指标更严）
模拟转数字滤波器
已知一个模拟滤波器H(s)，如何得到数字滤波器H(z)？
3）设计归一化低通滤波器，得到传输函数
数字信号处理DSP第4章
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
数字信号处理 第4章 FFT基本思想和2种基本的FFT
= −W
W的对称性
W的可约性
2 rk WN rk = WN / 2
长序列变成短序列 若N → 2个N / 2
2 则N 2次复述乘法 →（N / 2）= N 2 / 2次复数乘法 2
从信号的特殊性上考虑
– 如奇、偶、虚、实性
W 0 X (0) X (1) W 0 = X (2) W 0 0 X (3) W
对 N = 2M ， 共可分 M 次，即 m = 0,1,L , M − 1，
8点FFT时间抽取算法信号流图
每一级有 N/2 个如下的“蝶形”单元：
xm ( p )
xm +1 ( p )
W
r N
xm (q)
−1
xm +1 (q )
算法讨论（ “级”的概念、碟形单元、 “组” 的概念、旋转因子的分布、码位倒置）
r =2l ,r =2l +1
A(k ), B(k )
C(k) = D(k) =
N / 4−1 l =0
∑x(4l)W
l =0
lk N/4
, k = 0,1,..., N / 4 −1
N / 4−1
lk x(4l + 2)WN / 4 , k = 0,1,..., N / 4 −1 ∑
k A(k) = C(k) +WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1 k A(k + N / 4) = C(k) −WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1
x(6)
n N
N n = 0,1,L , 2
由此得到基本 运算单元
g (0) g (1) g (2) g (3)
数字信号处理课件第四章资料
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。
数字信号处理第四章
第四章线性时不变离散时间系统的频域分析一、传输函数和频率响应clear;M = input('Enter the filter length M: ');w = 0:2*pi/1023:2*pi;num = (1/M)*ones(1,M);den = [1];h = freqz(num, den, w);subplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]')xlabel('\omega /\pi');ylabel('Phase in radians');M=2 M=10 M=15幅度谱为偶对称，相位谱为奇对称，这是一个低通滤波器。
M越大，通带越窄且过渡带越陡峭。
使用修改后的程序P3.1，计算并画出当w=[0,pi]时传输函数的因果线性时不变离散时间系统的频率响应。
它表示哪种类型的滤波器？w = 0:pi/511:pi;num = [0.15 0 -0.15];den = [1 -0.5 0.7];如下列图1这是一个带通滤波器。
图1 图2Q4.3对下面的传输函数重做习题Q4.2：，式〔4.36〕和式〔4.37〕给出的两个滤波器之间的区别是什么？你将选择哪一个滤波器来滤波，为什么？w = 0:pi/511:pi;num = [0.15 0 -0.15];den = [0.7 -0.5 1];如上图2也是一个带通滤波器，这两个滤波器的幅度谱是一样的，相位谱不太一样，我会选择第一个带通滤波器，因为它的相位谱更加平滑，相位失真小。
《数字信号处理》第四章 相关分析
r12 ( )
x1
(t
)
x2
(t
)dt
x1 (t
)x2 (t)dt
r21( )
x1
(t
)x2 (t)dt
x1
(t
)
x2
(t
)dt
以及
rxx ( )
x(t)x (t )dt x (t)x(t )dt
一、自相关函数的性质
1、自相关函数rxx(τ)的极大值在τ=0处，是实数。
rxx ( ) rxx (0)
证明：
rxx ( )
x(t)x (t )dt
x2 (t)dt x2 (t )dt
x2 (t)dt
x2 (u)du
y2 (t)dt
将其代入均方误差，得到这种近似的最小均方误差为
min
xe2 (t)
x2 (t)dt
x(t
)
y(t
)dt
2
y2 (t)dt
第一节 相关
式中右边第一项 x2 (t)dt表示了原信号x(t)的能量。
若将上式用原信号能量归一化成为相对误差，则有
第二节 相关函数的性质
这是由于：
① r(τ)完全由它的能量谱或功率谱P(f )来决定； ② P(f ) =∣X(f )∣2
具有相同的振幅谱而不同相位谱的信号，可以 有相同的自相关函数。
第一节 相关
此时，相关函数r(τ)具有如下性质：
r12 ( ) r21( )
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
数字信号处理第四章-数字滤波器的结构
3).H (z)
Y (z) X (z)
(1 bz1) (1 az1)
y(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1)
9
10
11
w w
12
转置流图：
w(n) y(n)
原流图：
w(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1) 两边作Z变换：
w(n) x(n) aw(n 1) y(n) w(n) bw(n 1) 两边作Z变换：
乘法系数为复数，运算量增加； 系统的稳定性依赖于零、极点相互抵消，对实
现的精度要求很高。在存在有限字长效应的情 况下，有可能造成系统不稳定。
54
确保所有零点、极点在单位圆内。 55
（h(n)为实数）
第k对 极点， 即第k 个与第 N-k个 谐振器 合并
56
谐振频 率不变
还有两点需要注意：（存在实根） 57
1
前言
线性时不变系统用单位冲击响应来表示 系统函数实际上单位冲击响应的Z变换 系统函数反映线性时不变系统的特性 大多数的信号处理可看成是对信号的滤波操作 数字滤波器实际上就是线性时不变系统
因此数字滤波器可以表示为：
2
前言
M
bk zk
H(z) Y(z) / X (z)
k 0 N
1 ak zk
从信号流图中：
可以清楚地看到系统中的运算步骤和运 算结构。FFT时用到了该特点。
运算结构可以直观反映所需的存储单元 和运算次数。由于是数字实现，必然存 在系统误差，运算结构同时也可以反映 系统误差的累积问题。 下面讨论的IIR和FIR滤波器结构将涉及 上述问题。
14
1
15
无限冲击响应滤波器的特点
82
数字信号处理-第四章(加绪论共八章)精品PPT课件
21
4.1.2 小结
• 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 •幅度特性取决于h(n)。 •设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的 条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为 奇对称时，其相频特性中还应加一个固定 相移π。
22
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h(N 1 n)
H z zN1H z1
N 1
N 1
H z hnzn hN 1 nzn
N 1 n0
n0
N 1
h(m)z N 1m z N 1 h m z m
m0
m0
zN 1H z1
1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点
4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是 频率的线性函数，即 ()
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d () d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
N1
H e j h n e jn H e j () H ()e j
26
截短并移位的脉冲响应
过渡带带宽＝阻带边缘频率－通带边缘频率 设计中用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带带宽/2) 27
20
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求 幅度函数H (ω)。
解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶
对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
《数字信号处理教学课件》第四章 快速傅立叶变换
l
)W
( 2l 1) N /2
k
l0
l0
N / 41
N / 41
x5
(l
)W
lk N/
4
Wk N /2
x6
(l
)W
lk N/
4
l0
l0
X
5
(
k
)
W
K N/
2
X
6
(
k
)
X2(k)
X
5
(k
)
W
k N
/
2
X
6
(
k
)
X 2 (k
N 4)
X
5
(
k
)
W
k N
/
2
X
6
(
得到：
x(2r) x1(r) x(2r 1) x2(r)
r 0,..., N 2 1
带入DFT中
X (k) DFT[ x(n)]
N 1
x(n)WNnk n0
N 1
N 1
x(
n)W
nk N
x(n)W
nk N
n0
n为 偶 数
n0
n为 奇 数
N点 DFT
复乘：
N2
N/2点 DFT
N/2点 DFT
N/4点 DFT N/4点 DFT N/4点 DFT N/4点 DFT
…….
N
2
N
2
2 2
N2 2
N
数字信号处理 第二版 第四章
02
12
Z 12
1
H 2 (Z )
22
Z 1
图4-10 三阶IIR滤波器并联结构
30
并联型的特点： ①系统实现简单； ②极点位置可单独调整； ③运算速度快（可并行进行）； ④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小， 对字长要求低。 缺点： 不能直接调整零点。
31
三、转置结构 如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将 输入和输出交换，其系统图表示
9
§4-2 IIR数字滤波器的结构
一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应 h(n) 是无限长的。 2、系统函数 H ( z)在有限Z平面（0 z ）
上有极点存在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入 的反馈。
10
二、基本结构 1、直接I型
π
ω
3
数字滤波器的实现方法： a.利用通用计算机编程，即软件实现；
b.数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。
二、数字滤波器的系统函数与差分方程 1、系统函数 一个数字滤波器的系统函数一般可表示 为有理函数形式：
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
k
M
k
1 ak z k
k b z k
M
1 ak z
k 1 M1
k 0 N
k
A
(1 p z ) (1 q z
1
k k
M2
1
)(1 qk z )
1
1 1 1 (1 c z ) (1 d z )(1 d z ) k k k k 1 k 1
k 1 N1
第四章 数字滤波网络
Topics
精品文档-数字信号处理(吴瑛)-第4章
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
由于1点序列的DFT值为其序列本身，因此在最后一次分
解后，流图中已经没有直接计算DFT的环节。第三次分解旋转
因子为
W20 ，WN运0 算流图如图4.3.4
由以上例子我们可以看出，由于每一次分解都是按输入序
列在时域上的次序是偶数还是奇数来抽取的，最终分解成N个1
点DFT，因此称为基2时分FFT。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 提高DFT运算效率的基本途径 4.3 基2时分FFT算法 4.4 基2频分FFT算法 4.5 IDFT的快速算法 4.6 实序列DFT的有效计算方法 4.7 线性调频Z(Chirp-Z)变换算法 习题与上机题
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引 言
利用旋转因子的可约性，即
W nkm Nm
WNnk
，
X(k)
X
(k)
N 2
1
x1
(r
)WNrk/
2
WNk
N 2
1
x2
(r
)WNrk/
2
,
0 k N 1
r 0
r 0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
由于X1(k)和X2(k)都隐含周期性，周期为 N ，因此上式 2
X (k) X~1(k) WNk X~2 (k), 0 k N 1
N 2
)
X1(k
)
WNk
X
2
(k
)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k),
0 k N 1 2
X
(k
N 2
)
X1(k
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
nk / m N /m
nk N
j
e e j 1 e 0 ( k N / 2) k 特殊点： WN 1 WNN / 2 1 WN WN
2 mnk mN
W
mnk mN
W
nk N
W
j
2 N N 2
FFT 算法的基本思想： 利用DFT 系数的特性，合并DFT 运算中的某些项， 把长序列DFT 短序列DFT，从而减少其运算量。
倒位序
x(n) n (n2n1n0 ) 2
倒位序
000 100 010 0 4 2
自然序
0 1 2 000 001 010
110
001 101
6
1 5
3
4 5
011
100 101
011
111
3
7
6
7
110
111
例 计算
x(n) 0,1,2....31 。计算 N 32 点FFT。用时间抽取输入倒序算法，
x3 (l )
数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2
数字信号处理 第四章
线性相关的FFT算法
1. 2. 3. 4.
计算步骤： X 求N点FFT， ( k ) DFT x ( n ) ； Y 求N点FFT， ( k ) DFT y ( n ) ； 求乘积，R ( k ) X ( k )Y ( k ) ； r 求N点IFFT， ( n ) IDFT R ( k ) 。 同样，可以利用已有的FFT程序计算IFFT， 求 1 1
mF 3 2 N log
2
3 N N N 1 log 2
2
N
线性卷积的FFT算法
[结论]：用线性相位FIR滤波器来比较直接计算 线性卷积和FFT法计算线性卷积这两种方法 的乘法次数，得
Km md mF ML 3 2 N 1 log 2 N 2 ML 3 2M L 11 log 2 M L 1 2
算法原理 运算量 按时间抽选的FFT算法的特点
按时间抽选的FFT算法的特点
原位运算（同址运算）
运算规律：每级（每列）计算都是由N/2个蝶形运 算构成，每一个蝶形结构完成下述基本迭代运算：
X m ( k ) X m 1 ( k ) X m 1 ( j )W Nr r X m ( j ) X m 1 ( k ) X m 1 ( j )W N
第4章 快速Fourier变换(FFT)
4.1 引言 4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 4.3 按时间抽选(DIT)的基－2FFT算法(库利－ 图基算法) 4.4 按频率抽选(DIF)的基－2 FFT算法（桑德 －图基算法） 4.5 离散Fourier反变换(IDFT)的快速计算方法 4.10 线性卷积与线性相关的FFT算法
《数字信号处理》 第4章
右图为描述倒位序的树状图(N=8)
5 倒位序的实现
对照表
变址功能
产生倒序数的十进制运算规律 N=2M，用M位二进制数表示，则从左至右的十进制权值为：
N 1 4
x1(2l)WNk22l
N 1 4
x1(2l
1)WNk22l1
r0
l0
l0
N1
N1
4
4
x3(l)WN kl4WN k2 x4(l)WN kl4
l0
l0
X 3(k) W N k2X 4(k),k0 ,1 ,
,N 1 2
式中
N1 4
N1 4
X3(k)DFTx3(l) x3(l)WN kl4 X4(k)DFTx4(l) x4(l)WN kl4
47线性调频变换chirp变换算法471算法原理已知序列xn0nn1是有限长序列其z变换为为适应z可沿z平面更一般的路径取值就沿z平面上的一段螺线作等分角的采样z的这些采样点zk为因此有其中a决定起始采样点z0的位置a0表示z0的矢量半径长度通常取a010表示z0的相角0表示两相邻采样点之间的角度差w0一般为正值表示螺线的伸展率图471线性调频变换在平面的螺线采样当mn即时各采样点zk就均匀等间隔地分布在单位圆上这就是求序列的dft
N
W N k(N n)W N (N k)nW N kn,
W
2 N
1
N
k
WN 2
WNk
利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并且可以 将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，以减少DFT的运算 次数。
《数字信号处理》课件第4章
2
N 1
N2 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
复数加法次数为
N N 1 2N N 2 2 2 2
由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。 既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且N=2M, N/2仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解。
J 0, 1, 2, 3
这种算法使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级， 为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造 了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来， 人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的 杜哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分裂 基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论基 2FFT
x1
(2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l 0
l 0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk / 2
x4
(l
)WNk
l /
4
l 0
l 0
X 3 (k ) WNk/ 2 X 4 (k )
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
204.8
N lbN 5120
2
这样，就使运算效率提高200多倍。图4.2.5为FFT算法
和直接计算DFT所需复数乘法次数CM与变换点数N的关 系曲线。由此图更加直观地看出FFT算法的优越性，显
然，N
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
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第四章线性时不变离散时间系统的频域分析一、传输函数和频率响应例4.1传输函数分析Ｑ4.1ｃｌear;M = input('Enter the filteｒ lｅｎgtｈＭ: ')；w ＝ 0:2*pi/１０23:2*ｐi；nuｍ = (１/M)*ｏｎｅs(1，Ｍ)；dｅn ＝ [1];h = freｑz(nuｍ，den, w）;ｓｕｂplot（２,１,１)plot(w／pi,aｂs（ｈ));gridtiｔｌｅ（'Mａgｎiｔude Sｐectrum ｜Ｈ（e^{j\ｏmeｇa})｜')xlａbel('\omeｇa ／\pｉ＇);yｌabel('Amｐlitude');sｕbplｏt(２,１,２)plｏt(w/pi,aｎgｌe(h))；ｇriｄtitle('Pｈaｓe Speｃｔrum arg［H(e^{j\omega})]')xｌａbｅl('\omeｇａ／\pi');ylabel('Phase in rａdianｓ＇）;Ｍ=２M=1０M=15幅度谱为偶对称，相位谱为奇对称,这是一个低通滤波器。
M越大,通带越窄且过渡带越陡峭。
Q4．2使用修改后的程序Ｐ3.1,计算并画出当w=［0,pｉ]时传输函数的因果线性时不变离散时间系统的频率响应。
它表示哪种类型的滤波器？w = 0:pi／５1１:pi;nuｍ =[0.１５ 0 －0.１5];deｎ = ［１ -0.５０．７]；如下图１这是一个带通滤波器。
图1图2Q4.3对下面的传输函数重做习题Q4.２：，式(4.36）和式(４.37)给出的两个滤波器之间的区别是什么？你将选择哪一个滤波器来滤波,为什么？w = 0：pi／5１1:pi；nuｍ = ［０.15 0 -０.15];den = [０.7 －0.５ 1]；如上图2也是一个带通滤波器,这两个滤波器的幅度谱是一样的，相位谱不太一样,我会选择第一个带通滤波器,因为它的相位谱更加平滑，相位失真小。
Q４.4 使用MAＴLＡB计算并画出当ｗ=［0,pi]时因果线性时不变离散时间系统的群延迟。
系统的传输函数为。
ｃlf;w ＝０：ｐi/511:ｐｉ;num = ［1 -1.２1］;den = [1 －1.3 1.04 -0.２2２]；h= ｇrpｄelay(nｕm，den,w);plｏt(w/ｐｉ,ｈ);xｌabｅl('ｗ／ｐｉ＇）;ylａｂel('群延迟'）；Q4．５使用Ｑ３．5０中编写的程序，分别计算并画出式(4.36)和式（4．37)确定的两个滤波器的冲激响应中的前一百个样本。
讨论你的结果。
clｆ;nuｍ = [0.15 0 -0.1５];den ＝ [０.7 -０.5 1］;L = iｎｐut（'输入样本数 L: ＇);［ｇ t］＝ impz(ｎum,den,L）;stem（t,ｇ);tｉtle(［'前 ',num2sｔｒ(L),' 脉冲响应的样本＇]);xlaｂｅl('时间序号ｎ＇）;ylabel('h[n］'）;(4.36）式（4.37）式由图可知：这些情节由impz给生成的因果的脉冲响应实现的H(ｚ)。
我们观察到Q4.3因果滤波器与H(z）在(４.36）稳定，这意味着Ｈ[n]是绝对可和,我们看到交替和指数衰减的脉冲响应。
在另一方面,因果编档人员与H（ｚ)在(4.37)极点以外的单位圆,是不稳定的。
不足为奇的是,相应的ｈ[n］上图显示与n指数增长。
Q4．6 传输函数的极零点图同样能分析线性时不变离散时间系统的性质。
使用命令zplａｎe可以很容易地得到系统的极零点图。
使用zpｌane分别生成式（4.36)和式(4.3７）确定的两个滤波器的极零点图。
讨论你的结果。
clf;ｎｕm = ［0．1５ 0 -0.１5］；deｎ＝［1 -0.５0．7];[z ｐ k］＝ tｆ2zpｋ(num，den）;ｄｉsp(＇Zeros：＇)；diｓp（z);ｄiｓp('Ｐｏｌes：＇);dｉsp(p);inpｕt('Hit <rｅturn＞ｔｏ conｔiｎue．.．');［sｏs ｋ] = ｚｐ2soｓ(ｚ,ｐ,k）input('Hit <reｔｕrn> tｏｃontiｎue.．．'）;zｐｌａｎe（ｚ,p);式(４．36）式(4.37)由图可知：过滤器在(4.３６)在单位圆和两极因此它的因果实现稳定；较低的图显示过滤器(4.3７)极点在单位圆外,其因果关系的实现是不稳定的。
二、传输函数的类型例4.２滤波器Ｑ4．7ｃlｆ;fc = ０.25;ｎ= ［-6.5:1:6.５］;y = 2＊fc*siｎｃ（2*fｃ＊n)；k = n+６.5;stｅm(k,y）；ｔitle('Ｎ＝ 1４');axis(［０13 -０.2 0.６]);ｘlabel(＇Time ｉndｅx n');ylａbel（＇Aｍｐｌituｄe');gｒid;图1 图2如图１低通有限冲激滤波器的长度为14,决定滤波器长度的语句为ｎ = ［-6．5:1:６．5]，而控制截止频率的参数是ｆｃ = 0.25。
Ｑ4.８fc = 0．45;n ＝[-９.５：1:9.5］;y ＝ 2*fc*ｓｉｎc(2*fc*n）;k ＝ｎ+9.5；ｓteｍ(ｋ，y）；tｉtｌe('N = ２０');axiｓ（[0 １9 -０．2 0.7］）;xｌabeｌ(＇Ｔime iｎdｅx n＇)；ylａbel(＇Ampliｔｕde＇);grid;修改参数fc和ｎ,得到如上图2,可知低通有限冲激滤波器的长度变为2０．Ｑ４.９clf;fc = 0.６５;ｎ = [-7.０:１:7.0]；ｙ = 2*ｆc*sinc(2*fｃ*ｎ)；k = n＋７．０;ｓtｅm（ｋ,y)；titlｅ(＇N = 1４＇);ａxis（[0 14 －0.4 1.4]）；xｌabｅl（'Tｉme ｉndex ｎ');yｌaｂel（'Amplｉtｕde＇）;griｄ;Q4.１0cｌear;Ｎ= inpｕt('Ｅntｅｒｔhｅ filtｅｒtimｅｓｈift N: ');No２ = N/2；fc = ０．25;n = [-No2:1:No2］；y = 2*ｆc*sinｃ(2*fc*n);w = 0:ｐi／5１1:pi；h = freqｚ（y, ［1], ｗ); ｐlot(w／ｐi,abs(ｈ));grid；tiｔle（strcat('｜H（ｅ^{j\omega｝)｜, N＝',nｕm2str(N))）;xｌａｂｅｌ('\ｏmega /＼pi'）；yｌabｅl(＇Ａmpｌiｔuｄe');上图依次分别为N=5,1０,30,１00的四幅图，从这四幅图可以看出随着阶数Ｎ的增大,低通滤波器的过渡带越来越窄，阻带衰减越来越快，滤波器越来越接近理想低通滤波器。
Q4．11ｃｌf;M = 2；ｎｕｍ = ｏｎeｓ（１,M)/Ｍ;［ｇ,ｗ] ＝ gaｉn(nuｍ,1);plｏt（w/pｉ,g）;ｇriｄaxｉs([0 1 -５0 ０.5])xlａbel('\oｍega ／\pｉ');yｌabel（'Ｇain in ｄB');ｔitlｅ(['Ｍ = ',ｎuｍ２ｓtr(M)])可以验证3ｄB截止频率在π/２处。
Q4．１2clear;K = iｎpｕt（'Ｅnter tｈe ｎuｍber of ｓeｃtionｓ K: ＇）；Ｈｚ = [1］;for i＝1：K;Hz ＝ｃoｎv(Hz,[1 1]);end;Hｚ＝（0.5）^K * Hz；[g，w］= gain(Hz,1);ＴhreedＢ＝ -3*oｎes(１，lｅngth(g)）；t1 = 2＊acoｓ（(０.5)^（1／（２*K）))＊ｏｎes(1，5１２)/ｐi;t2 = -5０:50.5/51１:0．５;ｐlot（w／pi,g,w/pi,TｈrｅedB,t１,ｔ2）;griｄ；ａxiｓ([０１ -50 0．5]）xlabel（'＼ｏmega /\pi'）;yｌabel(＇Gａin in dB');ｔiｔle(［'K = ',nｕm２sｔｒ(K),'; Ｔheoreｔical \ｏｍega_{ｃ} = ＇,num2ｓtr （t１(1）)]）;Ｑ4.13ｃlear；M = iｎｐuｔ('Enteｒ the filteｒｌength M: ')；n = 0:M-１;ｎum = （-1）.＾n .* oｎes（1,M）/Ｍ;[ｇ,w] = ｇain(nｕm,1);plot（w/pｉ,g)；grid;axiｓ(［0 1 －50 0.5]);ｘlａbｅl('\ｏmega /＼pｉ＇);ｙlabel('Ｇaｉｎ in dB＇）;tiｔle（['M = '， num２sｔｒ（M)］);其3ｄB截止频率约为0.82piQ4.14 设计一个在０.４５ｐｉ处具有3ｄＢ截止频率ｗc的一阶无限冲激响应低通滤波器和一阶无限冲激响应高通滤波器。
用MＡTＬAB计算并画出它们的增益响应，验证设计的滤波器是否满足指标。
用ＭATLAＢ证明两个滤波器是全通互补和功率互补的。
Q４．１５级联10个式(4.15)所示一阶无限冲激响应低通滤波器,设计一个在０.3pi处具有3dB截止频率ｗc的无限冲激响应低通滤波器。
把它与一个具有相同截止频率的一阶无限冲激响应低通滤波器的增益响应作比较。
Q4.16 设计一个中心频率ｗｏ在0.61ｐi处、3dB带宽为0.5１pi的二阶无限冲激响应带通滤波器。
由于式(４.20）是α的二次方程，为了产生相同的3dＢ带宽,参数α将有两个数值，得到的传输函数HBP(z）也会有两个不同的表达式。
使用函数zplane可产生两个传输函数的极零点图,从中可以选择一个稳定的传输函数。
用MATLＡB计算并画出你所设计的滤波器的增益响应,并验证它确实满足给定的条件。
用设计的稳定无限冲激响应带通滤波器的传输函数的参数α和β,生成一个二阶无限冲激响应带阻滤波器的传输函数HBＳ(ｚ）。
用MＡTLAB证明HＢＰ（ｚ)和ＨBＳ(z)都是全通互补和功率互补的。
Q４.17 用MＡTLAB计算并画出一个梳状滤波器的幅度响应，该梳状滤波器是在Ｌ取不同值的情况下，由式（4.40)给出的原型有限冲激响应低通滤波器得到的。