常州大学数值分析07-08试卷A及参考答案

江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题参考解答

一、（10分）叙述防止误差的几个基本原则，并举一例说明其在数值计算中的应用。 答：防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数；

2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减；

4） 避免使用不稳定的算法；

5） 注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分 例如：当x 充分大时，即1x >>时，计算

可以用表达式

来计算，以避免相近数相减。 ………… 5 分

二、(15分)（1）叙述Lagrange 插值或Newton 插值方法的方法思想。

(2) 设(1)0,(2)3,(3)10f f f ===, 试求)(x f 的二次Newton 插值多项式。 解：（1）拉格朗日插值、牛顿插值的方法思想分别如下： 对于给定的节点(,),0,1,2,,i i x y i n = 拉格朗日插值通过引入满足如下条件的基函数

1,

(),0,

i j j i

l x j i

=⎧=⎨

≠⎩ 构造如下形式的插值多项式

()()n

n i i i P x l x y ==∑

其中0()

()()n

j i j i

j

j i

x x l x x x =≠-=

-∏。 ………… 4 分

牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式

01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++--

其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保

证在增加节点时， 原先的计算量能够被充分利用。………… 4 分 (2) 根据列表函数可得差商表如下：

0 0 0 3 3 0 10 7 2

)(x f 的二次Newton 插值多项式为

()3(1)2(1)(2)P x x x x =-+--

即

2()231P x x x =-+。………… 7 分

三、（15分）（1）简要叙述求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想。

（2）并在下述迭代公式 a

）1k x += b

）1k x += 中选用选一收敛的迭代公式来求方程3

2

10x x --=在0 1.5x =附近的一个根, 精度 为

31

102

-⨯。 解：（1）求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想：

将方程()0f x =改写成

()x x ϕ=

由给定的初始近似解0x ，给出如下迭代公式

1()k k x x ϕ+=，0,1,2,

k =，

如果上述迭代序列{}k x 收敛，即

lim *k k x x →∞

=

则*x 为方程()0f x =的根。 （2）将方程3

2

10x x --=改写成

321x x =+

由此可得到相应的迭代公式

1k x +=

由于上述迭代公式的迭代函数在0 1.5x =处的导数的绝对值小于1，因此迭代公式a) 在

0 1.5x =附近具有局部收敛性。

上述方程的根可以通过迭代a ）得到，计算结果如下：

四、（10分）叙述确定线性函数y ax b =+拟合下述列表函数的步骤

20

(,)(())n

i i i a b ax b f x ϕ==+-∑

第二步，令

00a

b

ϕ

ϕ∂=∂∂=∂

上述方程是关于所求参数,a b 的线性方程组。

第三步，解上述方程组可得所求参数,a b ，由此可得到用线性函数拟合上述列表函数的最小二乘解。

………… 5 分

五、（15分）叙述复化梯形积分公式n T 计算()b a

f x dx ⎰

的方法思想，并用复化梯形公式n T 计

算积分

320

sin I x dx π

=⎰,

其中3n ≥。

解：方法思想：由截断误差可知, 当区间长度b －a 较大时, 梯形求积公式的误差较大. 为此，利用积分关于区间具有可加性, 将[a ，b]区间上的积分, 分成若干小区间上的积分, 以此来减少积分区间长度引起的误差. 这就引入了复合求积公式. 具体如下： 设分点,()/i x a ih h b a n =+=-将区间[a ，b]分成n 等分，则

1

1

()()i

i n

b

x a

x i f x dx f x dx -==∑⎰⎰

将每个小区间上的积分都用梯形公式给出，则得计算定积分的复化梯形公式如下：

11()[()()]2

n

b i i n a

i h

f x dx f x f x T -=≈+=∑⎰

利用上述公式，取3n =时，可得如下计算结果：

s = 0.3771。

六、（15分）求解微分方程初值问题

0'(,),

()y f x y a x b y a y =≤≤⎧⎨

=⎩

的数值解法通常需要把区间[,]a b 进行m 等分, 设分点为i x a ih =+，()/h b a m =-；然后求函数()y x 在节点i x 处值()i y x 近似值i y 。由此可知初值问题数值解法的关键在于如何由()i y x 的近似值i y 得到1()i y x +的近似值1i y +。试给出一种实现从由()i y x 的近似值i y 得到1()i y x +的近似值1i y +的方法思想，在此思想下给出一个具体的实现方法，并利用此方法取步长2.0=h ，求解微分方程初值问题 2,00.4

(0)1y x xy x y '=-≤≤⎧⎨

=⎩

解：基于差商替代导数可以给出实现从由()i y x 的近似值i y 得到1()i y x +的近似值1i y +的

Euler 方法如下：

1(,),0,1,2,

,i i i i y y hf x y i m +=+=，

其中1i i h x x +=-。

上述方程的数值解为：

x = 0 0.20 0.40 y = 1.00 1.00 0.96 七、（10分）用列选主元的Gauss 消去法或LU 分解法求解方程组：

123211741062100x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪

-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解：用LU 分解法上述方程组，设 A ＝LU

则有

L =[ 1 0 0 -2 1 0 -1 2 1] U =[ 2 -1 1

0 -1 2 0 0 -3] 解方程组Ly b =可得 y = 7 8 -9