插值计算与插值多项式
第四章-多项式与插值
a0 a1 x0 a0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1 xn an xnn yn
方程组系数矩阵取行列式
1 x0 x0n
| A | 1 x1 x1n ( xi x j ) 0
ni j0
1 xn xnn
故方程组有唯一解. 从而插值多项式P(x)存在而且是唯一旳.
yi = interp1(x,y,xi,’ linear’ )
线性插值（缺省）
yi = interp1(x,y,xi,’ spline’ )
三次样条
yi = interp1(x,y,xi,’ cubic’ )
三次插值
例3 已知数据表如下，分别求 y＝0.9，0.7，0.6，0.5
处 x 旳值。
x
y
注：多项式求值还有一种函数是polyvalm，其调用 格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要
求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式旳值。
3. 多项式旳四则运算 (1)多项式旳加减法
function p3 = poly_add(p1,p2)
n1=length(p1); n2 = length(p2);
yp=zeros(size(xp));
a(:,j)=a(:,j+1).*x;
for k=1:n+1
end
பைடு நூலகம்
yp=yp + coeff(k)*xp.^(n+1-k);
coeff=a\y;
end
plot(xp,yp, x,y, ' ro')
三、Lagrange插值多项式
1.插值基函数
定义:若n 1个n次多项式 l k (x) (k 1, 2,..., n 1)
插值的概念和各种基本方法
插值的概念和各种基本方法插值是一种基于已知数据点的函数关系来估计未知数据点的方法。
在实际应用中，由于各种原因，我们经常只能通过有限的数据点来描述一个函数关系，而无法得到函数的精确表达式。
因此，通过插值方法，我们可以根据已知数据点推断出未知数据点的值，从而进行进一步的分析和预测。
插值的基本方法可以分为两类：多项式插值和非多项式插值。
1.多项式插值方法多项式插值是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点，并且在插值区间内的其他位置也能够比较好地拟合实际数据。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值：拉格朗日插值是利用拉格朗日多项式来进行插值的方法。
给定 n+1 个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值函数可以表示为：L(x) = Σ(yi * li(x))其中，li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，i ≠ j，函数 L(x)即为插值函数。
-牛顿插值：牛顿插值是通过对已知数据点进行差商运算来构造插值多项式的方法。
牛顿插值多项式可以表示为：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1))其中，f[x0, x1, ..., xi]表示 x0, x1, ..., xi 对应的差商。
2.非多项式插值方法非多项式插值方法是通过其他函数形式进行插值的方法，常用的非多项式插值方法包括分段线性插值和样条插值。
-分段线性插值：分段线性插值是将插值区间划分为多个小区间，然后在每个小区间内用线性函数来逼近实际数据。
具体地，给定相邻的两个已知数据点(x0,y0)和(x1,y1)，分段线性插值函数可以表示为：L(x)=(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0)+y0-样条插值：样条插值是利用分段多项式函数来进行插值的方法。
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
各种插值法的对比研究
各种插值法的对比研究插值法是指通过已知数据点来估计两个数据点之间的未知数值。
在实际生活和科学研究中，经常会遇到需要插值的情况，例如气象预测、金融分析、图像处理等。
本文将对比介绍几种常见的插值方法，包括线性插值、多项式插值、样条插值和逆距离加权插值。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法，假设两个数据点之间的值变化是线性的。
根据已知数据点的坐标和对应的值，通过线性方程推断两个数据点之间的值。
优点是计算简单快速，但缺点是对数据变化较快的情况下估计效果较差。
2.多项式插值：多项式插值假设两个数据点之间的值变化是一个多项式函数。
通过已知数据点的坐标和对应的值，使用多项式拟合方法求解多项式函数的系数，再根据该多项式求解两个数据点之间的值。
多项式插值可以准确拟合已知数据点，但在插值点较多时容易出现振荡现象，且对数据点分布敏感。
3.样条插值：样条插值是一种平滑的插值方法，通过构建分段连续的多项式函数来逼近整个数据集。
根据已知数据点的坐标和对应的值，通过求解一组多项式函数的系数，使得在相邻区间之间函数值连续，导数连续。
样条插值可以减少振荡现象，对于插值点密集的情况能更好地逼近原始数据。
4.逆距离加权插值：逆距离加权插值是一种基于距离的加权插值方法，根据已知数据点与插值点之间的距离，对每个已知数据点进行加权平均得到插值点的值。
该方法认为距离较近的数据点对插值结果的影响更大。
逆距离加权插值简单易用，对数据点的分布不敏感，但对于距离较远的数据点容易受到较大的干扰。
在实际应用中，选择合适的插值方法需要根据数据的特点和要求来决定。
若数据变化较简单、平滑，可以选择线性插值或多项式插值；若数据变化复杂，存在振荡现象，可以选择样条插值；若数据点分布较稀疏，可以选择逆距离加权插值。
此外，还有一些其他的插值方法，如Kriging插值、径向基函数插值等，它们根据不同的假设和模型进行插值，具有一定的特点和适用范围。
综上所述，对于选择合适的插值方法，需要根据具体问题和数据特点来综合考虑，结合不同方法的优缺点进行比较研究，以得到更准确和可靠的插值结果。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点
多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。
通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。
Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。
1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。
插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。
Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。
3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。
设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。
插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。
(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。
(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。
5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。
插值公式与插值定理
插值公式与插值定理插值公式与插值定理是数值分析中的重要概念，用于近似计算函数在给定节点上的值。
本文将介绍插值公式与插值定理的基本原理和应用。
一、插值公式的基本原理在插值问题中，我们希望根据已知节点上函数的取值，推导出该函数在其他节点上的近似值。
插值公式是一种通过已知节点上的函数值，以及插值节点与已知节点之间的关系，来计算待插值节点上函数值的方法。
插值公式一般可以写为：\[f(x) = \sum_{i=0}^{n}L_i(x)f(x_i)\]其中，$f(x)$是待插值函数，$x_i$是已知节点，$f(x_i)$是已知节点上的函数值，$L_i(x)$是拉格朗日插值基函数。
拉格朗日插值基函数的表达式为：\[L_i(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\]它具有性质：在节点$x_i$处，$L_i(x_i)=1$；在其他节点$x_j(j\neq i)$处，$L_i(x_j)=0$。
利用插值公式可以在给定节点上计算函数的近似值，从而实现对函数的插值。
二、插值定理的基本原理插值定理是插值公式的理论基础，它指出了插值问题的存在唯一性，并提供了误差估计的方法。
插值定理的基本表达式为：\[f[x_0,x_1,...,x_k] = \frac{f^{(k)}(c)}{k!}\]其中，$[x_0,x_1,...,x_k]$是插值节点$x_0,x_1,...,x_k$上的差商，$f^{(k)}(c)$是函数$f(x)$在节点$x_0,x_1,...,x_k$之间某一点$c$的$k$阶导数。
根据插值定理，如果函数$f(x)$在插值节点$x_0,x_1,...,x_k$处的值已知，并且函数的$k$阶导数存在，则可以通过差商的计算求得$f^{(k)}(c)$的值，从而得到插值多项式。
插值定理还提供了误差估计的方法。
在一般情况下，插值多项式与原函数之间存在误差。
可以通过插值定理的结果来估计这个误差。
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
拉格朗日插值与多阶多项式
拉格朗日插值与多阶多项式在数学领域中，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于通过已知的数据点构造一个多项式函数，以逼近未知函数。
这种方法以法国数学家约瑟夫·拉格朗日的名字命名，他在18世纪提出了这一概念。
拉格朗日插值的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在已知数据点处与未知函数相等。
这个多项式函数被称为拉格朗日插值多项式。
它的形式为：P(x) = Σ yi * Li(x)其中，P(x)是拉格朗日插值多项式，yi是已知数据点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数Li(x)的定义如下：Li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)其中，i ≠ j，xi和xj是已知数据点的横坐标。
通过拉格朗日插值，我们可以在已知数据点处构造一个多项式函数，从而近似地描述未知函数的行为。
这个多项式函数的阶数取决于已知数据点的个数。
如果已知数据点的个数为n+1，那么拉格朗日插值多项式的最高阶数为n。
多阶多项式是指多项式函数的阶数大于1的情况。
在拉格朗日插值中，我们可以通过增加已知数据点的个数来构造更高阶的多项式函数，从而提高近似的精度。
然而，需要注意的是，随着阶数的增加，多项式函数的复杂性也会增加。
高阶多项式函数可能会在数据点之间产生震荡现象，这被称为龙格现象。
为了避免这种情况，我们需要谨慎选择数据点，以及适当控制多项式函数的阶数。
除了拉格朗日插值，还有其他插值方法，例如牛顿插值和埃尔米特插值。
这些方法都有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
总结起来，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，通过构造多项式函数来近似描述未知函数的行为。
多阶多项式可以提高近似的精度，但需要注意控制阶数，以避免龙格现象的出现。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
通过插值方法，我们可以更好地理解和分析数据，从而为问题的解决提供有力的支持。
第二章插值法多项式插值的存在性
第二章 插值法⏹ 多项式插值的存在性 ⏹ Lagrange 插值 ⏹ Newton 插值 ⏹ Hermit 插值 ⏹ 分段低次插值 ⏹ 三次样条插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系)(x f y =在某个区间[]b a ,是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间a ，b]上一些离散点上的函数值、导数值等,因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的方法之一.在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值. 2.1 插值多项式的存在唯一性 2.1.1 插值问题设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，且已知函数在区间],[b a 上n+1个互异点n x x x ,,,10 处的函数值)(i i x f y = i=0,1,…,n ，若存在一个简单函数)(x p y =，使其经过)(x f y =上的这n+1个已知点),(,),,(),,(1100n n y x y x y x （图5-1），即n i y x p i i ,,1,0 ,)( == （2.1.1）那么，函数)(x p 称为插值函数，点n x x x ,,,10 称为插值节点，],[b a 称为插值区间,求)(x p 的方法称为插值法,)(x f 称为被插函数。
若)(x p 是次数不超过n 的多项式,记为)(x p n ，即n n n x a x a a x p +++= 10)(则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若)(x p 为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
各种插值方法比较
各种插值方法比较插值是一种常见的数据处理技术，用于估计缺失数据或填充数据空缺。
在数据分析、统计学和机器学习等领域中，插值可以帮助我们处理缺失数据或者对连续数据进行平滑处理。
常见的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值、Kriging插值等。
1.线性插值：线性插值是一种简单但广泛使用的插值方法，基于原始数据中的两个点之间的直线来估计缺失点的值。
这种方法适用于数据分布较为均匀的情况，但对于非线性的数据，可能会导致估计值与实际值之间的较大误差。
2.多项式插值：多项式插值是通过使用多项式函数来拟合原始数据，从而估计缺失点的值。
多项式插值方法具有较高的灵活性，可以在不同的数据点之间产生平滑曲线，但在数据点较多时，可能会导致过拟合问题。
3.样条插值：样条插值是一种常见的插值方法，它通过使用分段多项式函数来拟合数据，从而在数据点之间产生平滑曲线。
样条插值方法克服了多项式插值的一些问题，同时在数据点较少的情况下也能有效地估计缺失点的值。
4. Kriging插值：Kriging插值是一种基于统计学和地理学原理的插值方法，它考虑了数据点之间的空间关系，并使用半变异函数来估计缺失点的值。
Kriging插值方法适用于具有空间相关性的数据，例如地理信息系统中的地形数据或环境监测数据。
除了上述常见的插值方法之外，还有一些其他的插值方法，如逆距离加权插值、最近邻插值、高阶插值等。
5.逆距离加权插值：逆距离加权插值方法假设距离越近的数据点对估计值的贡献越大，它根据数据点之间的距离来计算权重，并将其与对应数据点的值进行加权平均来估计缺失点的值。
逆距离加权插值方法适用于数据点密集、分布不均匀的情况，但对于噪声较大或异常值较多的数据，可能会导致估计值的不准确。
6.最近邻插值：最近邻插值方法简单和直观，它假设与缺失点距离最近的已知点的值与缺失点的值相同。
这种方法适用于数据点之间的空间相关性较强，但在数据点分布不均匀或者缺失点周围的数据点值变化较大的情况下，可能会导致估计值的不准确。
(西南交大戴克俭版)计算方法 多项式插值
(5.7)
其中
x x1 l0 ( x ) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
11
5.2 拉格朗日插值法
已知函数 y f ( x)在x0,x1,x2处的函数值分别为y0， y1,y2在式（5.6）中当n=2时，Lagrange插值多项式为 L2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x) f ( x2 )l2 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x1 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 (5.8) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 其中
3
5.1 插值法多项式存在性与唯一性
若P(x)是次数不超过n的多项式，即
Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
(5.2)
其中ai是实数，则称Pn(x)为插值多项式，相应的插值方 法称为多项式插值。 若P(x)是分段多项式，则称为分段插值。 若P(x)是三角多项式，则称为三角插值。
式中(a,b)且与x有关。
(n 1)!
i 0
13
5.2 拉格朗日插值法
⒈ Lagrange插值误差估计
定理5.3 如果f (n+1)(x)在区间(a,b)上有界，即存在常数 Mn+10，使得 | f ( n1) ( x) | M n1， x (a，b) 则有截断误差估计
插值的基本概念
插值的基本概念插值（interpolation）是指在已知有限个数据点的情况下，通过某种数学方法构造出一个函数，使得这个函数在这些数据点上的函数值都与已知的数据相符合。
插值方法常被用于曲线拟合，图像处理，计算机辅助设计，地图制作等领域。
插值方法主要分为三类：多项式插值法、样条插值法和分段线性插值法。
以下分别介绍这三种方法的基本概念。
1. 多项式插值法多项式插值法是指用一个n次多项式来逼近已知的n+1个数据点，从而得到一个插值函数。
插值函数的形式为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn其中a0, a1, a2, ... , an是n+1个待求系数，取决于已知数据点的值。
为了求得这些系数，需要使用某种算法，如拉格朗日插值法或牛顿插值法。
这两种方法都能够精确地通过已知点，并可方便地计算任意点的函数值。
但是，随着数据点的数量增加，多项式插值方法的计算量将急剧增加，可能导致算法不稳定或数值不可信。
2. 样条插值法样条插值法是一种更为复杂的插值方法，它将插值函数分为若干个小区间，并在每个区间内用一个低次多项式来逼近已知的数据点。
这些局部多项式的系数由已知数据点的值和导数共同决定，使得插值函数在各区间内的函数值和导数连续。
这种连续性和光滑性可以使得插值函数更加符合实际情况，尤其是较大的数据集。
3. 分段线性插值法分段线性插值法是一种简单而有效的插值方法，它在每两个连续的已知数据点间构造一条直线来逼近数据点，并用这些直线段拼接起来形成一个分段线性函数。
虽然这种方法没有样条插值法那么精确，但它计算简单，不需要过多的计算资源。
在实际应用中，分段线性插值法与其他插值方法搭配使用，以提高算法的效率和精度。
总之，插值方法是数学计算和图像处理等领域中不可或缺的工具之一。
通过使用适当方法的插值，可以更加准确和高效地处理数据和图像，从而得到更加可靠的结果。
插值法的简便计算
插值法的简便计算插值法是一种常见的数值分析方法，用于在给定的数据点之间估计未知函数的值。
在实际应用中，插值法的计算可能会比较复杂，但是有一些简便的计算方法可以帮助我们更快地完成插值计算。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它可以通过已知的数据点来估计未知函数的值。
其基本思想是：假设已知n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并且这些点两两不同，那么可以构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。
然后，通过这个多项式来估计未知函数在某个点x0处的值f(x0)。
拉格朗日插值法的计算比较繁琐，但是可以通过一些简便的计算来减少计算量。
具体来说，可以使用以下公式来计算多项式P(x)：P(x)=Σ(yi*li(x))其中，li(x)是拉格朗日基函数，定义为：li(x)=Π((x-xj)/(xi-xj))(i≠j)这个公式中，Π表示连乘积，xi和xj是已知的数据点，i≠j。
通过这个公式，我们可以快速计算出多项式P(x)的值。
二、牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它也可以通过已知的数据点来估计未知函数的值。
其基本思想是：假设已知n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并且这些点两两不同，那么可以构造一个n次插值多项式N(x)，使得N(xi)=yi(i=1,2,...,n)。
然后，通过这个多项式来估计未知函数在某个点x0处的值f(x0)。
牛顿插值法的计算也比较繁琐，但是可以通过一些简便的计算来减少计算量。
具体来说，可以使用以下公式来计算插值多项式N(x)：N(x)=b0+b1(x-x1)+b2(x-x1)(x-x2)+...+bn(x-x1)(x-x2)...(x-xn)其中，bi是牛顿插值系数，可以通过以下公式来计算：bi=Δyi/Δxi(i=1,2,...,n)其中，Δyi和Δxi分别表示相邻数据点的函数值和自变量之差。
2. 插值公式
§2 插值公式一、 不等距节点插值公式(差商插值多项式)已知单变量函数f(x)的n+1个节点n x x x x ,,,,210 及其对应的函数值)(k k x f y =),,,2,1,0(n k = 对于插值区间}]{max },{min [00i ni i ni x x ≤≤≤≤上任一点x ,函数值f(x)可按下面的差商插值多项式计算:)()())(())(()()()()(110,,2,1,0102,1,001,00x R x x x x x x y x x x x y x x y y x R x P x f n n n n n +---+++--+-+=+=-式中n y y y ,,2,1,02,1,01,0,, 分别为},,,{10n y y y 的一阶差商，二阶差商，...，n 阶差商。
可按下列程序从左到右逐列进行计算∶表中一阶差商 ii ii i i x x y y y --=+++111, )1,,1,0(-=n i二阶差商ii i i i i i i i x x y y y --=++++++21,2,12,1, )2,,1,0(-=n i三阶差商ii i i i i i i i i i i x x y y y --=+++++++++32,1,3,2,13,2,1, )3,,1,0(-=n i…………………………………… n 阶差商1,,2,1,0,,2,1,,2,1,0x x y y y n n n n --=-差商插值多项式中的余项)())(()!1()()(10)1(n n n x x x x x x n f x R ---+=+ ξ}{m a x }{m i n00i ni i ni x x ≤≤≤≤≤≤ξ 余项也可以写成)())(()(10,,1,0,n n x n x x x x x x y x R ---=式中n x y ,,1,0, 表示},,,,{10n y y y y 的n+1阶差商。
插值法计算方法举例
插值法计算方法举例插值法是一种用来通过已知数据点的近似值来推测未知数据点的方法。
它通常用于数据的平滑和预测，尤其在缺少数据或数据不完整的情况下。
以下是一些插值法的具体计算方法举例：1. 线性插值法（Linear Interpolation）：线性插值法是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点(x1, y1)和(x2, y2)，要推测处于两个数据点之间的未知点(x, y)。
线性插值法通过使用已知点之间的线性关系来计算未知点的值。
具体公式为：y=y1+(x-x1)*((y2-y1)/(x2-x1))2. 多项式插值法（Polynomial Interpolation）：多项式插值法通过使用一个低次数的多项式函数来逼近已知数据点，并预测未知数据点。
常见的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
其中，拉格朗日插值使用一个n次多项式来逼近n个已知点，而牛顿插值使用差商（divided differences）和差商表来逼近已知点。
具体公式为：P(x) = a0 + a1 * (x - x1) + a2 * (x - x1) * (x - x2) + ... + an * (x - x1) * (x - x2) * ... * (x - xn-1)3. 样条插值法（Spline Interpolation）：样条插值法是一种更复杂的插值方法，它通过拟合已知数据点之间的线段和曲线，来推测未知数据点。
常见的样条插值方法包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。
样条插值法具有良好的平滑性和曲线性质，通常在连续数据的插值和平滑方面效果更好。
具体公式为：S(x) = Si(x)，其中x属于[xi, xi+1]，Si(x)是第i段（i = 1, 2, ..., n-1）中的插值函数。
4. 逆距离加权插值法（Inverse Distance Weighting, IDW）：逆距离加权插值法是一种基于距离的插值方法，通过使用已知数据点的权重来推测未知数据点。
数值分析中的插值方法
数值分析中的插值方法在数值分析中，插值是一种通过在已知数据点之间估计未知数据点的方法。
它是一种常见的数据处理技术，用于填补数据间的空白，揭示数据间的关联性，或者建立数据模型。
在本文中，我们将讨论数值分析中的几种常见的插值方法。
一、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
假设有n个离散数据点，我们想要在这些点之间插值得到未知数据点的值。
拉格朗日插值可以通过构建一个n次多项式来实现。
例如，给定三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，我们可以假定插值多项式为：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)是拉格朗日插值多项式的基函数，由以下公式得到：L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))利用这些基函数，我们可以得到插值多项式P(x)，从而计算出未知点的值。
二、牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，也是基于多项式的。
与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构建插值多项式。
差商是一种表示数据间差异的指标，它可以用于计算插值多项式的系数。
对于n个数据点，差商可以由以下递归公式计算得到：f[x0] = f(x0)f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0)基于差商，我们可以得到牛顿插值多项式的表达式：P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x - x0) + f[x0, x1, x2] * (x - x0) * (x - x1) + ...利用牛顿插值，我们可以通过已知数据点构建插值多项式，进而估计未知点的值。
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法引言：多项式插值是数值分析中常用的一种方法，用于通过已知数据点构造一个多项式函数，以逼近或插值这些数据点。
本文将介绍多项式插值的基本概念、插值多项式的计算方法以及应用场景。
一、多项式插值的基本概念在实际问题中，我们经常需要通过有限个数据点来近似或还原一个函数。
多项式插值是一种常见的数值方法，通过构造一个多项式函数来逼近或插值已知的数据点。
多项式插值的基本思想是：假设我们有n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi为已知的节点，yi为对应的函数值。
我们希望找到一个次数不超过n的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
这个多项式P(x)就是我们要求解的插值多项式。
二、拉格朗日插值多项式的计算方法拉格朗日插值多项式是多项式插值的一种常用方法。
它的基本思想是构造n次多项式，使得多项式在每个节点上都满足插值条件。
具体计算步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造n 次拉格朗日基函数：Li(x) = Π[j=0, j≠i]^(n) (x-xj) / (xi-xj)，其中i=0,1,...,n。
2. 构造拉格朗日插值多项式：P(x) = Σ[i=0]^(n) yi * Li(x)，其中i=0,1,...,n。
三、牛顿插值多项式的计算方法牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
它的基本思想是通过差商来递推计算插值多项式的系数。
具体计算步骤如下：1. 根据已知的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，计算差商表：f[x0] = y0，f[x1] = (y1-y0) / (x1-x0)，f[x2] = (f[x2]-f[x1]) / (x2-x1)，...f[xn] = (f[xn]-f[xn-1]) / (xn-xn-1)。
2. 构造牛顿插值多项式：P(x) = f[x0] + Σ[i=1]^(n) f[x0, x1, ..., xi] * Π[j=0]^(i-1) (x-xj)，其中i=1,2,...,n。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公式,求 7
p2(x) = +
(x–x1)(x–x2) (x0–x1)(x0–x2) (x–x0)(x–x1) (x2–x0)(x2–x1)
y0 + y2
(x–x0)(x–x2) (x1–x0)(x1–x2)
y1
x0=1, x1=4, x2=9
y0=1, y1=2, y2=3
(7–4)(7–9)
(7–1)(7–9)
i=0, 1, 2
解: 用待定系数法, 将各节点值依次代入所求多项式, 得
解上述方程, 将求出的a0, a1, a2 代入 p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多项式
6.2.2 拉格朗日插值多项式
❖ 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式
p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x) 。 当 插 值 点 增 加 到 n+1 个 时 ， 我 们 可 以 利 用
6.1 插值法的数学描述
设函数y=f(x) 在区间[a, b]上连续, x0 , x1 , , xn 是 [a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 f (x0 ), f (x1), , f (xn ) ,即 yi f (xi ) 若存在一个 f(x)的近似函数 (x),满足
x1
（给定的三个点在一条直线上）
例6.6 已知f (x)的观测数据
x 0124
f (x) 1 9 23 3
构造Lagrange插值多项式
解 四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为
l0
(x)
(x (0
1)( x 1)(0
2)( x 2)(0
4) 4)
1 8
1 3
3 1
2
f (1.5) p(1.5) 1.25
（2） 抛物插值
抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之
一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0 ，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式
P(x) a2 x2 a1x a0
使满足二次插值条件：
P(xi ) yi (i 0,1,2)
为了构造满足插值条件 p(xi ) f (xi ) (i=0,1,2,…,n ) 的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形, 然后再推广到一般形式。 6.2.1 线性插值与抛物插值 （1）线性插值
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 f(x)在两个互异的点 x0 ，x1 的值，y0 f (x0 ), y1 f (x1)
y1
的线性组合得到，其系数分别为 y0，y1
称 l0 (x),l1(x)为节点 x0 , x1的线性插值基函数
线性插值基函数 l0 (x),l1(x) 满足下述条件
xi
x0
x1
l0 (x)
1
0
l1 ( x)
0
1
并且他们都是一次函数。
注意他们的特点对下面的推广很重要 于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
x3
7 8
x2
7 4
x
1
l1 ( x)
(x 0)(x 2)(x 4) (1 0)(1 2)(1 4)
1 3
x3
2x2
8 3
x
l2
(x)
(x (2
0)( x 0)(2
1)( x 1)( 2
即:
lk
(xi
)
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k )知, x0 , x1, , xk1, xk1, , xn 都是n次 lk (x) 的零点,故可设
lk (x) Ak (x x0 )( x x1 ) (x xk1 )( x xk1 ) (x xn )
,现要求用线性函数 p(x) ax b 近似地代替f(x)。选
择参数a和b, 使 p(xi ) f (xi )(i 0,1) 。称这样的线性函数 P(x)为f(x)的线性插值函数 。
线性插值
线性插值多项式
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
l0 (x) c(x x1)( x x2 )
1
再由另一条件 l0 (x0 ) 1
确定系数 c (x0 x1)(x0 x2 )
从而导出
l0
(x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
P(x)的参数 a0 , a1, a2 直接由插值条件决定，
jk
j0
jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式lk (x)(k 0,1, , n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
P(xi ) f (xi ) (i 0,1,2, , n) 的n次代数插值多项式。
P(x) l0 (x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn 事实上，由于每个插值基函数 lk (x)(k 0,1, , n) 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
方程组的解唯一。
类似地可以构造出满足条件：l1(x1) 1, l1(x0 ) 0, l1(x2 ) 0
的插值多项式
l1 (x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
及满足条件：l2 (x2 ) 1, l2 (x0 ) 0, l2 (x1) 0 的插值多项式
(x
x0 )
p1 ( x)
它也可变形为
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 (x)
x x0 x1 x0
显然有：
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
p(xi ) f (xi ) (i 1,2, , n)
则称 p(x) 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点 xi为插值节点, R(x)= f (x) p(x) 称为插值余项, 区间 [a, b]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插
插值的几何意义
6.2 拉格朗日（Lagrange）插值
)
y0
(x (x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
y1
(x (x2
x0 x0
)( )(
x x1) x2 x1
)
y2
p(x) (x 1)(x 2) 1 (x 0)(x 2) 2 (x 0)(x 1) 3 (0 1)(0 2) (1 0)(1 2) (2 0)(2 1)
这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点
(x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2 ) 的抛物线 y P(x) 近似代替曲线
y f (x) , 如下图所示。因此也称之为抛物插值。
抛物插值函数
y
y0
y1
y=L2(x) y1
y=f(x)
O
x0
x1
x2
x
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
x x0 x1 y y0 y1
xn1 xn yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x) 的一种
简单的近似表达式,以便于计算点 x xi ,i 0,1,L , n 的函 数值 f (x)，或计算函数的一阶、二阶导数值。
y=p(x) y=f(x)
简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻 找一个解析形式的函数p(x)，近似代替f(x)
y 115 p(115) 10.714
例6.2 已知y=f(x)的函数表
X1 3
y12
求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值
解: 由线性插值多项式公式得
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
x 3 1 x 1 2 1 (x 1)
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例6.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2 求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
x1 x1
)( )(
x x2) x0 x2
)
y0
(x (x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
y1
(x (x2
x0 x0
)( )(
x x1) x2 x1
)
y2
容易看出,P(x)满足条件 P(xi ) yi (i 0,1,2)
例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值