插值计算与插值多项式

1 3
3 1
2
f (1.5) p(1.5) 1.25
（2） 抛物插值
抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之
一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0 ，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式
P(x) a2 x2 a1x a0
使满足二次插值条件：
P(xi ) yi (i 0,1,2)
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例6.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2 求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
,现要求用线性函数 p(x) ax b 近似地代替f(x)。选
择参数a和b, 使 p(xi ) f (xi )(i 0,1) 。称这样的线性函数 P(x)为f(x)的线性插值函数 。
线性插值
线性插值多项式
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
p(x)

y0

y1 x1

y0 x0
n
P( x) lk ( x) yk k 0
是次数不超过n次的多项式 , 称形如上式的插值多项
式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 Ln (x)
例6.5 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式
解:由Lagrange 插值公式
P(
x)

(
(x x0

x1 x1
)( )(
x x2) x0 x2
这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点
(x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2 ) 的抛物线 y P(x) 近似代替曲线
y f (x) , 如下图所示。因此也称之为抛物插值。
抛物插值函数
y
y0
y1
y=L2(x) y1
y=f(x)
O
x0
x1
x2
x
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
)
y0

(x (x1

x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
y1

(x (x2

x0 x0
)( )(
x x1) x2 x1
)
y2
p(x) (x 1)(x 2) 1 (x 0)(x 2) 2 (x 0)(x 1) 3 (0 1)(0 2) (1 0)(1 2) (2 0)(2 1)
Lagrange插值方法写出n次插值多项式pn(x) ，如 下所示：
已知n+1个节点处的函数值
xi
x0
x1
xn
yi
y0
y1
LL
yn
求一个n次插值函数 Ln (x) 满足
Lnwk.baidu.com(x) yi (i 1, 2,L , n)
构造各个插值节点上的基函数 li (x) (i 0,1,L , n) 满足如下条件
xi
x0
x1
x2
L
xn
l0 (x)
1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1
0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项 式 li (x) 的插值问题,使其在各节点 xi 上满足
lk (x0 ) 0, ,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1) 0, ,lk (xn ) 0
(x
x0 )

p1 ( x)
它也可变形为
l0 (x)

x x1 x0 x1
,
l1 (x)

x x0 x1 x0
显然有：
记
l0 (x)

x x1 x0 x1
l1 ( x)

x x0 x1 x0
可以看出
L1 ( x)

x x1 x0 x1
y0

x x0 x1 x0
x1
（给定的三个点在一条直线上）
例6.6 已知f (x)的观测数据
x 0124
f (x) 1 9 23 3
构造Lagrange插值多项式
解 四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为
l0
(x)

(x (0
1)( x 1)(0

2)( x 2)(0

4) 4)


1 8
为了构造满足插值条件 p(xi ) f (xi ) (i=0,1,2,…,n ) 的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形, 然后再推广到一般形式。 6.2.1 线性插值与抛物插值 （1）线性插值
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 f(x)在两个互异的点 x0 ，x1 的值，y0 f (x0 ), y1 f (x1)
其中 Ak 为待定常数。由条件 lk (xk ) 1 ,可求得 Ak
n
Ak (xk x j ) 1 j0 jk
于是
Ak n 1
(xk x j )
j0 jk
代入上式,得
n
(x xj)
lk (x)
j0 jk
n

x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j

x1 x1
)( )(
x x2) x0 x2
)
y0

(x (x1

x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
y1

(x (x2

x0 x0
)( )(
x x1) x2 x1
)
y2
容易看出,P(x)满足条件 P(xi ) yi (i 0,1,2)
例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值
l0 (x) c(x x1)( x x2 )
1
再由另一条件 l0 (x0 ) 1
确定系数 c (x0 x1)(x0 x2 )
从而导出
l0
(x)

(x (x0

x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
P(x)的参数 a0 , a1, a2 直接由插值条件决定，
即 a0 , a1, a2 满足下面的代数方程组：
a0 a0

a1 x0 a1 x1
a2 x02 a2 x12

y0 y1
a0 a1x2 a2 x22 y2
该三元一 次方程组 的系数矩阵
1 1
x0 x1
x02 x12

1 x2 x22
的行列式是范德蒙行列式，当 x0 x1 x2 时，
y 115 p(115) 10.714
例6.2 已知y=f(x)的函数表
X1 3
y12
求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值
解: 由线性插值多项式公式得
p(x)
x x1 x0 x1
y0

x x0 x1 x0
y1
x 3 1 x 1 2 1 (x 1)
jk
j0
jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式lk (x)(k 0,1, , n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
P(xi ) f (xi ) (i 0,1,2, , n) 的n次代数插值多项式。
P(x) l0 (x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn 事实上，由于每个插值基函数 lk (x)(k 0,1, , n) 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
方程组的解唯一。
类似地可以构造出满足条件：l1(x1) 1, l1(x0 ) 0, l1(x2 ) 0
的插值多项式
l1 (x)

(x ( x1

x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
及满足条件：l2 (x2 ) 1, l2 (x0 ) 0, l2 (x1) 0 的插值多项式
i=0, 1, 2
解: 用待定系数法, 将各节点值依次代入所求多项式, 得
解上述方程, 将求出的a0, a1, a2 代入 p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多项式
6.2.2 拉格朗日插值多项式
❖ 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式
p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x) 。 当 插 值 点 增 加 到 n+1 个 时 ， 我 们 可 以 利 用
x x0 x1 y y0 y1

xn1 xn yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x) 的一种
简单的近似表达式,以便于计算点 x xi ,i 0,1,L , n 的函 数值 f (x)，或计算函数的一阶、二阶导数值。
y=p(x) y=f(x)
简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻 找一个解析形式的函数p(x)，近似代替f(x)
即:
lk
(xi
)

ki

1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k )知, x0 , x1, , xk1, xk1, , xn 都是n次 lk (x) 的零点,故可设
lk (x) Ak (x x0 )( x x1 ) (x xk1 )( x xk1 ) (x xn )
x3

7 8
x2

7 4
x
1
l1 ( x)

(x 0)(x 2)(x 4) (1 0)(1 2)(1 4)

1 3
x3

2x2

8 3
x
l2
(x)

(x (2

0)( x 0)(2
1)( x 1)( 2
6.1 插值法的数学描述
设函数y=f(x) 在区间[a, b]上连续, x0 , x1 , , xn 是 [a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 f (x0 ), f (x1), , f (xn ) ,即 yi f (xi ) 若存在一个 f(x)的近似函数 (x),满足
第6章 插值计算与插值多项式
❖ Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次 Lagrange插值公式)；
❖ 牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质; ❖ 埃尔米特(Hermite)插值公式及余项； ❖ 等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条
插值。
插值问题描述
• 设已知某个函数关系 y f (x)在某些离散点上的函数值：
为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,
用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次
插值问题：
求二次式 l0 (x) ,使其满足条件：
l0 (x0 ) 1, l0 (x1) 0, l0 (x2 ) 0
这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:
x1, x2 是 l0 (x) 的两个零点。于是
公式,求 7
p2(x) = +
(x–x1)(x–x2) (x0–x1)(x0–x2) (x–x0)(x–x1) (x2–x0)(x2–x1)
y0 + y2
(x–x0)(x–x2) (x1–x0)(x1–x2)
y1
x0=1, x1=4, x2=9
y0=1, y1=2, y2=3
(7–4)(7–9)
(7–1)(7–9)
y1
的线性组合得到，其系数分别为 y0，y1
称 l0 (x),l1(x)为节点 x0 , x1的线性插值基函数
线性插值基函数 l0 (x),l1(x) 满足下述条件
xi
x0
x1
l0 (x)
1
0
l1 ( x)
0
1
并且他们都是一次函数。
注意他们的特点对下面的推广很重要 于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
p(xi ) f (xi ) (i 1,2, , n)
则称 p(x) 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点 xi为插值节点, R(x)= f (x) p(x) 称为插值余项, 区间 [a, b]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插
插值的几何意义
6.2 拉格朗日（Lagrange）插值
p(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
例6.1 已知 100 10 , 121 11, 求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用 线性插值
p(x) x 121 10 x 100 11
100 121
121 100
l2
(x)

(x (x2

x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
这样构造出来的 l0 (x), l1(x), l2 (x) 称为抛物插值的基函数 取已知数据 y0 , y1, y2 作为线性组合系数,将基函数 l0 (x), l1(x), l2 (x) 线性组合可得
P(x)

(x (x0