高二数学必修五第一单元检测试题
高二数学数学必修五第一、二章检测题(完整资料)
即墨实验高中高二数学综合检测题（解三角形、数列）命题人：金文化 审核人：宋常修 时间：120分钟一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 ．已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项a n 等于（ ）A ．2n －5B ．2n －3C ．2n －1D ．2n ＋1 2 ．△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形3 ．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q = （ ）A ．21-B ．2-C ．2D ．21 4 ．以n n S , T 分别表示等差数列{}{}n n a , b 的前n 项和，若3n n S 7nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．421C ．837 D ．32 5 ．在ABC ∆中，等于则c A b a ,30,15,5ο===（ ）A ．52B ．5C ．52或5D ．以上都不对6 ．在ABC ∆中，若sin sin sin 346A B C ::＝::，则cos C =（ ）A ．2411 B ．2411-C ．2413 D ．2413-7 ．在等差数列{}n a 中，3a =9，9a =3，则12a =（ ）A ．0B ．3C ．6D ．-38 ．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）A ．12B ．221 C ．28D ．369 ．等差数列{}n a 的前m 项和为20，前2m 项和为70，则它的前3m 的和为（ ）A ．130B ．150C ．170D ．21010．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且125,,a a a 成等比数列，则2a 为（ ）A ．-2B ．-3C ．2D ．311．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）A ．41.1B ．51.1 C ．610(1.11)⨯- D ． 511(1.11)⨯-12．ABC ∆中，已知其面积为)(41222c b a S-+=，则角C 的度数为 （ ）A ．︒135B ．︒45C ．︒60D ．︒120二、填空题13．在等差数列{}n a 中，1231215,78,n n n a a a a a a --++=++=155,n S =则n =_____14、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-3．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7664．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且21n n S a =-，若()0,2021n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为（ ） A ．1022B ．1023C ．2046D ．20475．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（ ）（取111275=．．，121.29=）A ．25000元B ．26000元C ．32000元D ．36000元6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．67．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3928．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()*2n n S a n n N =+∈，则{}na 的通项公式为na=（ ）A ．23n -B ．23n -C ．12n -D ．12n -10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．10111．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．27612．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．17．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 18．数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 三、解答题21．已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N（1）求证：数列{}3nn a 是等差数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.（3）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证：37.324n n S n >- 22．已知等差数列{}n a ，且55a =，515S =，首项为1的数列{}n b 满足112n n n n b a b a ++= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）求数列{}n b 前n 项和n T .23．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .若214,n n n a S S a +==+ （1）求证：数列是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 24．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列，②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .25．已知等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，519a =，321S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.3．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.4．D解析：D【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系，再求出1a 后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前n 项和公式求解． 【详解】当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---，∴12n n a a -=， 又11121a S a ==-，11a =，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1， 所以12n na ，由122021n n a -=<得110n -≤，即11n ≤，∴所求和为1112204712S -==-．故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．5．C解析：C 【分析】设1月月底小王手中有现款为1(120%)10000120010800a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，由题意可知16000 1.2(6000)n n a a +-=-，所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，求出12a 即得解. 【详解】设1月月底小王手中有现款为1(120%)1000080040010800a =+⨯--=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21200n n a a +=-，即16000 1.2(6000)n n a a +-=-， 所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴11126000480012a -=⨯，即1112480012600042000a =⨯+=，年利润为420001000032000-=元， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据递推关系1 1.21200n n a a +=-构造数列{6000}n a -，求出新数列的通项关系.6．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-， 可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦， 所以5(219)2k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.7．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.8．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nn S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．9．C解析：C 【分析】由()*2n n S a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-，通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时，11121a S a ==+，解得1 1a =-；当2n ≥时，122(1)n n n a a n a n -=+---．∴121n n a a -=-，∴()1121n n a a --=-．∵112a -=-，∴12nn a -=-， ∴12nn a =-．故选:C ． 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了,n n a S 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题.10．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．11．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析：①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【详解】∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-，则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠，∴123n n a a +=， 则{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，从而223a =，349a =，4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题.14．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =， 所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈， 解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.15．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②，②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576． 【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．17．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析：21n n+ 【分析】当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅，作差即可得到111n n a n a n --=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可； 【详解】解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②；①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n an --=+ 所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+，所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【点睛】 对于递推公式为()1nn a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式；19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下： （1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S .故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。
【数学】高二数学第一章解三角形单元测试题及答案(1)(人教版必修5)
高中数学（必修5）第一章：解三角形测试（一） 班级： 姓名 成果：__________正弦定理与余弦定理：1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角与随意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角与其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边与他们的夹角，求第三边与其他两角.4．断定三角形形态时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些根本关系式进展三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-[根底训练A 组]一、选择题1．在ABC ∆中，角::1:2:3A B C =，则边::a b c 等于（ ）．A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．以4、5、6为边长的三角形肯定是（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形3．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则角A 等于（ ）．A ．3060,或B ．4560,或C ．12060,或D ．30150,或4．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的与是（ ）．A ．90 B ．120 C ．135 D ．1505．在ABC ∆中，若()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 等于（ ）．A ．30 B ．60 C ．90 D ．1206．在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ）． A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 7．在ABC ∆中，若角B A 2=，则边a 等于（ ）．A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 28．在ABC ∆中，)13(:6:2sin :sin :sin +=C B A ，则三角形最小的内角是（ ）．A ．60°B ．45°C ．30°D ．以上都错9．在ABC ∆中，若90C =，则三边的比c b a +等于（ ）． A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2sin 2B A - 10．在ABC ∆中，若():():()5:6:7b c c a a b +++=，则cos B 的值为（ ）．A ．1116B ．1114C ．911D ．7811．在ABC ∆中，若2a b c ===，则角A 的大小为（ ）．A ．030B ．060C ．090D ．012012．在△ABC 中，60A =，45C =，2b =，则此三角形的最小边长为（ ）．A 1B ．1) C 1 D ．1)二、填空题13．在ABC ∆中，若222a b bc c =++，则角A =_________．14．在ABC ∆中，若2,30,135b B C ===，则边a =_________．15．在ABC ∆中，若sin cos cos A B C a b c ==，则△ABC 的形态是_________．16．在ABC ∆中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，证明：C B A c b a sin )sin(222-=-． 18．在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请推断三角形的形态．19．在△ABC 中，若120A B +=，则求证：1=+++c a b c b a ． 20．在△ABC 中，ab =sin sin B C =，面积为b 边的长．在△ABC 中，最大角A 为最小角C 的2倍，且三边,,a b c 为三个连续整数，求,,a b c 值．。
北师大版必修5高二数学第一单元试卷及答案
高二年级数学学科第一单元质量检测试题参赛试卷学校：石油中学 命题人：胡伟红一、 选择题（60分）1．等差数列前10项和为100，前100项和为10。
则前110项的和为A ．-90B ．90C ．-110D ．10 2．两个等差数列，它们的前n 项和之比为1235-+n n ，则这两个数列的第9项之比是A ．35 B ．58 C ．38 D ．473．若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n =A ．13B ．14C ．15D ．14或15 4．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30。
若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为 A ．18 B ．12 C ．10 D ．8 5．等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．260 6．等差数列{}n a 中，01≠a ，10S =45S ，若有k a =91a ，则k = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为A ．3B ．4C ．5D ．6 8．等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于A ．3B ．23 C ．916 D ．49．等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么等于A ．3B ．2C ．－2D ．2±10．设由正数组成的等比数列，公比q =2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于A ．102B ．202C ．162D ．152 11、已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．2312、在单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,黑、白两只蚂蚁均从点A 出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA 1⇒A 1D 1⇒D 1C 1⇒…；黑蚂蚁的爬行路线是AB ⇒BB 1⇒B 1C 1⇒…,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i 段所在的直线必为异面直线(其中i 为自然数),设黑、白蚂蚁都爬完2008段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 0 二、 填空题（20分）1．等差数列{}n a 中5S =25，45S =405。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(答案解析)(1)
一、选择题1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40422．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．353．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（ ）（lg 20.3≈，lg3.80.6≈） A ．40B ．41C ．42D ．434．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2597．记数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，且数列()()11211n n n a a a +++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，则λ的取值范围为（ ） A ．1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,6D ．(],1-∞8．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．89．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ）A ．12-B ．4-C ．4D ．1210．正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则（ ） A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项 B ．n a 的最小值必定为1 C ．当n a 是奇数时，2n n a a +≥D ．n a 的最小值可能为211．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．27612．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n n S n a =+，则数列()2121*1n n a n N a -+⎧⎫⎨⎬⎭∈⋅⎩的前n 项和n T =______. 14．已知数列{}n a ，11a =，12n n a a n +=+，则4a ＝_____．15．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 16．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.18．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．19．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 20．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____． 三、解答题21．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 22．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题). （1）求n a ﹔ （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 25．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.26．已知数列满足递推关系，且10a =，121n n a a -=+. （1）求证：数列{}1n a +为等比数列； （2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2．B解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.3．C解析：C 【分析】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=， 所以至少对折的次数n 是42，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.4．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+， 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-， ()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．5．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n n n n n n n S S λ+++++---<===----， 所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．6．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围. 【详解】数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列， 所以21n n a S =+①， 当1n =时，11a =.当2n ≥时，1121n n a S --=+②， ①﹣②得122n n n a a a --=，整理得12nn a a -=（常数）， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以12n na .所以()()()()111122111121212121n n n n n n n n a a a +++++==-------，则1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----. 由于对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，所以12n T λ+≥恒成立. 即()min 12n T λ+≥，当1n =时，()1min 5113n T T +=+=， 所以523λ≥，解得56λ≥， 所以5,6λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式，考查了裂项求和以及恒成立问题，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.10．A解析：A 【分析】根据题意知，数列{}n a 中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论. 【详解】对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A. 【点睛】本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和【详解】∵∴∴∴即∴即故则故故答案为：【点睛】本题主要考查了利用 解析：21nn + 【分析】根据n S 求数列通项，分析2n ≥时求解数列通项得到()121n n n a n a na -=+-，整理可得()121n n a a n n n -=≥-，即可求出通项公式，代入数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项中进行列项整理，最后利用裂项相消法即可求出数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.【详解】∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S na n --=≥， ∴()()112212n n n n S S n a na n ---=+-≥， ∴()121n n n a n a na -=+-，即()11n n n a na --=， ∴()121n n a a n n n -=≥-， 即11111n n a a a n n -====-，故n a n =， 则()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题.14．【分析】由已知递推关系式利用累加法和等差数列前项和公式可求出通项即可得【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前项和公式求通项公式求数列中的项属于中档题 解析：13【分析】由已知递推关系式12n n a a n +-=，利用累加法和等差数列前n 项和公式，可求出{}n a 通项，即可得4a . 【详解】12n n a a n +-=，∴2121a a -=⨯ ，3222a a -=⨯，4323a a -=⨯，12(1)n n a a n --=⨯-， ∴ []1(11)(1)2123(1)2(1)2n n n a a n n n +---=++++-=⨯=- ，∴ 21n a n n =-+ ，2444113a ∴=-+= ，故答案为：13 【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前n 项和公式求通项公式，求数列中的项，属于中档题.15．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】 因为()*2142n n S n n N T n +=∈-，所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++， 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=， 将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+， 由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.18．【解析】试题分析：因为所以因为数列是等比数列所以即设①又＋…＋②①+②得所以考点：1等比数列的性质；2对数的运算；3数列求和【知识点睛】如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等 解析：992【解析】试题分析：因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．19．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S . 故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。
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高中数学必修五第一章复习测试卷一、选择题 ：1.在△ABC 中，一定成立的等式是( )a b a b cosB a b sinA a b A. sinA= sinB B. cosA= C. sinB= D. cosB= cosA 2. . 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是A ．b = 10 ， A = 45 °，B = 70 ° B ．a = 60 ， c = 48 ， B = 100 ° （ ）C ．a = 7 ，b = 5 ，A = 80 °D ．a = 14 ，b = 16 ， A = 45 °3. 在 ABC 中，已知角 B 45 , c 2 2, b43,则角 A 的值是（ ）3A ． 15°B ．75 °C ． 105 °D ． 75°或15 °4．在 ABC 中，若 a2 ， b 2 2 ， c6 2 ，则 A 的度数是（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 755. 若 sin A cos BcosC则△ABC 为a bc（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．有一个内角为 30°的直角三角形D ．有一个内角为 30°的等腰三角形6.在 ABC 中，已知 B60 ,c 45 , BC 8, AD BC 于 D , 则 AD 长为（ ）A ． （4 3 1)B ． 4（ 3 1)C ． （4 3 3)D ． （433)7. 钝角 ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A ． 1、 2、3、B ．2、 3、4C ．3、 4、5D ． 4、 5、 68．已知 △ ABC 中， a ∶b ∶ c ＝ 1∶ 3 ∶2，则 A ∶B ∶ C 等于 ()A ．1∶ 2∶ 3B ．2∶ 3∶ 1C ． 1∶3∶ 2D ． 3∶ 1∶ 29 在中，C 90 0， 0 0A 45 0，则下列各式中正确的是（）.△ ABCA sin A cos AB sin B cos A Csin A cosB D sin B cosB二、填空题：1、已知在△ABC中，a 2 3, c 6, A 30o，△ABC的面积S.2.设△ ABC 的外接圆半径为R，且已知 AB＝4，∠ C＝ 45°，则 R＝ ________．3.在平行四边形ABCD 中，已知AB 10 3 ， B 60 ， AC30 ，则平行四边形ABCD 的面积．4．在△ABC中，已知2cos B sin C＝sin A，则△ABC的形状是．三、解答题：１、已知 a、 b、 c 分别是△ ABC中角 A、 B、 C 的对边，且 a2c2b2ac .（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）若 c3a ，求 tan A 的值．2. 在四边形 ABCD 中， AC 平分∠DAB，∠ABC=60 0， AC=7 ，AD=6 ，S △ADC= 153，求AB的长. 23. 如果 △ABC 内接于半径为R 的圆，且 2 R2Asin 2C) ( 2 a b ) sin B 求 △ABC(sin,的面积的最大值 .4. 一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 °相距20 里处，随后货轮按北偏西 30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度 .答案：一、 1． C 2. D 3. D 4. A. 5. B 6. D 7. B 8.A二、 1．6 3 或 3 3 2. 2 2 3. 300 3 4.等腰三角形三、 1．（ 1）由余弦定理得cos B a2 c2 b2 1 ，2ac 2且0 B ， B3（ 2）将c 3a 代入 a2 c2 b2 ac ，得 b 7a ，由余弦定理得a2 c 2 b 2 5 7 cos B2ac 140 A , sin A 1 cos2 A 2114tan A sin A 3 cos A 52 ．△ ADC的面积S 1 AD AC sin ∠DAC 1 6 7 sin∠DAC 153 .2 2 2sin ∠DAC 53 , 在△ ABC中，可求BC 5 ，由余弦定理可求 AB 8 。
苏教版数学高二高中数学苏教版必修5第1章解三角形单元测试
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于________．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R ，故1sin 30°＝bsin 60°，解之得b ＝ 3.答案： 32．在三角形中，60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________． 解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos 60°＝492，∴a ＝49. 答案：493．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________三角形．解析：由正弦定理得sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，即sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.由于A 2，B 2，C 2均为锐角，故有A 2＝B 2＝C 2，所以△ABC 为等边三角形． 答案：等边4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－ac ＝b 2，则角B 的大小为________．解析：∵a 2＋c 2－ac ＝b 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∴B ＝60°. 答案：60°5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb，则角A 的大小为________．解析：∵1＋tan A tan B ＝2c b ，∴1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B，即得sin （A ＋B ）cos A sin B ＝2sin C sin B ，∴1cos A＝2，即得cos A ＝12，解得A ＝π3.答案：π36．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝________．解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin Bb，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin 2B 52b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0， ∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.答案：547．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12.所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°. 又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°. 答案：0°＜A ≤30°8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于__________，AC 的取值范围为________．解析：如图，AC sin B ＝1sin A.又B ＝2A ，∴1sin A ＝AC sin 2A ＝AC 2sin A cos A . ∴AC cos A＝2， ∵在锐角△ABC 中，B ＝2A ，∴0<A <π4.又C ＝π－A －B ＝π－3A ，∴0<π－3A <π2，即π6<A <π3.∴π6<A <π4，22<cos A <32. ∴AC ＝2cos A ∈(2，3)． 答案：2 (2，3)9．△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________．解析：由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab sin C ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33sin C ，即tan C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.故填π3.答案：π310．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)①ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)②ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)③①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61211．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x 24x ，将其代入上式，得S △ABC ＝x 1－（4－x 24x ）2＝128－（x 2－12）216，由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 答案：2 212．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．解析：法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，故△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点A 作BC 的高线AE ， 在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝ 22－（12）2＝152，∴sin B ＝AE AB ＝1522＝154.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2.∵cos C ＝14，∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝154.又由正弦定理c sin C ＝b sin B 得sin B ＝b sin C c ＝sin C ＝154.答案：15413．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________． 解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2， ∵(a －c )2≥0， 故a 2＋c 2≥2ac ，即(1＋2cos B )ac ≥2ac ，∴cos B ≥12，∴0＜B ≤π3，∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)，∵0＜B ≤π3，∴π4＜π4＋B ≤π3＋π4， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1，∴22＜sin(B ＋π4)≤1， ∴P 的取值范围为(1， 2 ]． 答案：(1， 2 ] 14．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________．解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α，∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin （β－α）＝BCsin α，∴BC ＝a sin αsin （β－α）.在△BDC 中，由正弦定理得CD sin β＝BCsin ∠BDC， ∴sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sin αsin βh sin （β－α）.又∠BDC ＝90°＋θ，∴sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ.∴cos θ＝a sin αsin βh sin （β－α）.答案：a sin αsin βh sin （β－α）二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3.(1)求bc的值；(2)若AB 边上的高为33，求a 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又∵sin B ∶sin C ＝2∶3，∴b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)∵AB 边上的高为33，A ＝60°，由面积相等可求得b ＝6， 又b c ＝23，∴c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63， ∴a ＝37.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.17．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.解：(1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理，得sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时，B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时，B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一：由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝433.法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0.∴c ＝433，由正弦定理，得sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°.(4)由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝3＞1，三角形无解．18. (本小题满分16分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于点E ，AB ＝2.求：(1)cos ∠CBE 的值； (2)AE 的长．解：(1)因为∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， 所以∠CBE ＝15°.所以cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理知AE sin 30°＝2sin 105°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝6－ 2.19．(本小题满分16分) 如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1)求sin ∠ADB ； (2)求BC 的长．解：(1)不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，即14sin x ＝10sin （120°－x ）， ∴7sin(120°－x )＝5sin x ， 整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2 x ＋cos 2 x ＝1及x ∈(0°，90°)．可解得cos x ＝3926，sin x ＝71326.∴sin ∠ADB ＝71326.(2)在△ABD 中利用正弦定理得， AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，即1471326＝BD 32，解得BD ＝239. 在△BDC 中利用正弦定理得， BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD，即BC sin （90°－∠ADB ）＝239sin 135°， ∴BC ＝239×cos ∠ADBsin 135°＝239×392622＝3 2.20．(本小题满分16分)在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．解：由正弦定理有c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B .又c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A )＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A )＝(2＋6)2cos(75°－A )．①当A＝75°时，(a＋b)max＝8＋4 3.②∵A＋B＝150°，∴0°＜A＜150°，－150°＜－A＜0°.∴cos(75°－A)∈(cos 75°，1]．又(2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6＜a＋b≤8＋4 3.综上，a＋b∈(2＋6，8＋43]．。
(完整word版)高中数学必修五第一章测试题
必修五阶段测试一（第一章 解三角形）时间：120分钟满分：150分、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. （2017江西金溪一中月考）已知△ ABC 中，a = 2, b = 3, B = 60°那么/ A =（ ）A . 45 °B . 90 °C . 130 或 45 °D . 150。
或 30 °n2 .在△ ABC 中，B = -, AB = 8,3 BC = 5,则厶ABC 外接圆的面积为（3. （2017黑龙江鸡西期末）已知锐角厶ABC 的面积为3.3, BC = 4, CA = 3,则角C 的 大小为（）A . 75 °B . 60 °C . 45 °D . 30 °4.在△ ABC 中，sin 2A =sin 2B + sinB s inC + sin 2C ,则 A 等于（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°5.在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且a>b>c, a 2<b 2+ c 2,则/ A 的取 值范围是（ ）7. 在厶ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知8b = 5c , C = 2B ,则cosC8.（2017青海师范大学附属中学月考 ）在厶ABC 中，A = 30 ° B = 60 °C = 90 °那么三 边之比a : b : c 等于（）A . 1 : 2 : 3B . 3 : 2 : 1C . 1 : . 3 : 2D . 2 :, 3 : 1 9.在△ ABC 中，b = 8, c= 8 .3 , S^ ABC = 16 .3，则/ A 等于（）A . 30 °B . 60 °C . 30。
高二数学必修5第一单元测试题及答案解析
【分析】取等比数列 ；令 得 代入验算；只有 选项D满足。
【方法技巧】对于含有较多字母的客观题；可以取满足条件的数字代替字母；代入验证；若能排除3个选项；剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除；可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.
第Ⅱ卷
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题；每小题6分；共30分).
最小值时； _______.
15.如果某人在听到喜讯后的1h内将这一喜讯传给2个人；这2个人又以同
样的速度各传给未听到喜讯的另外2个人……如果每人只传2人；这样继
续下去；要把喜讯传遍一个有2047人（包括第一个人）的小镇；所需时
间为_____h.
三、解答题：解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤（本大题共4小题；
所以第四个等式为
13.(2008广东文)记等差数列 的前 项和为 ；若 ； ；
则该数列的公差 =________.
解析：
14．（2010福建理）设等差数列 的前 项和为 ；若 ； ；
则当 取最小值时； _______.
【解析】n=6
设该数列的公差为 ；则 ；解得 ；
所以 ；所以当 时； 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用；考查二次函数最值的求法及计算能力。
（1）证明：
（2）求公差 的值和数列 的通项公式。
【解析】见教师用书P41页16题
19.（2010陕西理）(本小题满分16分)
已知 是公差不为零的等差数列； 且 成等比数列.
（I）求数列 的通项;（II）求数列 的前n项和
【解析】解 由题设知公差
由 且 成等比数列得
北师大版必修5高二数学第一章测试练习题及答案
高二数学必修五第一单元检测卷(数列)一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1，的一个通项公式是A. n a =B. n aC. n a =D. n a =2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．31 3.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D.3,-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n- D.1(41)3n-6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a a a+++=A ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 10000 9.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±64 11.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中的横线上．13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有 项.14.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .15.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么35a a +=__________. 16. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17（10分）．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.18（12分）．已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ① 求{}n a 的通项公式，并求2009a ；② 若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式19（12分）.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+， （1）求证：{}1n a +是等比数列； （2）求这个数列的通项公式n a .20（12分）已知数列{n a }的前n 项和是n n s n 2205232+-=， （1） 求数列的通项公式n a ； （2） 求数列{|n a |}的前n 项和。
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第一章测试一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >A D ．C >A >B 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．15 D ．－155．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2 6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．解的个数不确定7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C A ．1 B ．2 C. 2 D. 39．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( A.85 B.58 C.53 D.3510.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC A .2π3 B .5π6 C .3π4 D .π311．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为A ．0.5 km B ．1 km C ．1.5 km D .32km12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ) A ．2 B．4＋2 3 C ．4－2 3 D .6－ 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2013．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________． 14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝________，AB ＝________. 16．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sin A ：sin B ：sin C ＝________. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状． a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin (A ＋19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．20．(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝π3，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值．22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.第一章测试答案一、选择题1．C 解析 最大边AC 所对角为B ，则cos B ＝52＋62－822×5×6＝－320<0，∴B 为钝角．2.C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C >B >A .3．C 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6.4．A 解析 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cos B ＝5×7×17＝5.5．A 解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cos A ＝a 2＋(3a )2－(2a )22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cos B ＝(2a )2＋(3a )2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1：2：3.6．A 解析 由b sin B ＝a sin A ，得sin B ＝b sin Aa ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．7．B 解析 根据正弦定理，原式可化为2R ⎝⎛⎭⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b )·b2R ， ∴a 2－c 2＝(2a －b )b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°.8．D 解析 由a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sin C ＝32.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3.9．D 解析 由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得AC ＝3.由正弦定理sin B sin C ＝AC AB ＝35. 10.A 解析 由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3.11．B 解析 如图，AC ＝AB·sin 20°＝sin 20°，BC ＝AB·cos 20°＝cos 20°，DC ＝ACtan 10°＝2cos 210°，∴DB＝DC －BC ＝2cos 210°－cos 20°＝1.12．A 解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bc cos A ＝b 2－2b(6＋2)cos 75°，而cos 75°＝cos (30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝22⎝⎛⎭⎫32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos 75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝b sin C sin B ＝4sin 45°sin 75°＝4(3－1)．14．解析 由B ＝A ＋60°，得sin B ＝sin (A ＋60°)＝12sin A ＋32cos A.又由b ＝2a ，知sin B ＝2sin A. ∴2sin A ＝12sin A ＋32cos A.即32sin A ＝32cos A. ∵cos A ≠0，∴tan A ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 15．解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°. 又S ＝12AB·BC·sin B ，∴10 3＝12AB ×5×sin 60°，∴AB ＝8.16．解析 设⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sin A ：sin B ：sin C ＝11：9：7.三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sin A2sin B， ∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin 2B. 则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B. (2)∵a ＝3b ，由a 2＝b(b ＋c)，得3b 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b. 又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2. 故△ABC 为直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin (A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin (A ＋B)－3＝0，得sin (A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝ 6.S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝126，由正弦定理，得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB＝126×2232＝24(nmile )．(2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD·AC·cos 30°. 解得CD ＝83(nmile )．∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile .20．(12分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B . 由正弦定得知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得 4＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)．∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.21．(12分)在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域； (2)求y 的最大值．解 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝π3，B >0，C >0AC ＝BC sin A ·sin B ＝23sin π3·sin x ＝4sin x .AB ＝BCsin A sin C ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x . ∵y ＝AB ＋BC ＋CA ，∴y ＝4sin x ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＋23⎝⎛⎭⎫0<x <2π3. (2)y ＝4(sin x ＋32cos x ＋12sin x )＋2 3 ＝43sin(x ＋π6)＋2 3.∵π6<x ＋π6<5π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y 取得最大值6 3.22．(12分)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，sin(B －A )＝cos C .＋cos C sin B ，sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )． B －C )(不成立)， ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6，或B －A ＝5π6(舍去)．得A ＝π4，B ＝5π12.所以A ＝π4，C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 32. 得a ＝22，c ＝2 3.。
高二数学必修5数学第一章练习题及答案
高二数学必修五第一单元检测卷(数列)一、选择题：本大题共有12小题：每小题5分：共60分．在每小题给出的四个选项中：有且只有一项是符合题目要求的．1．数列252211，，，，的一个通项公式是A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+ 2．已知数列{}n a 的首项11a =：且()1212n n a a n -=+≥：则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．31 3.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30：前2m 项的和是100：则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．260{}n a 是等比数列：前n 项和21n n S =-：则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n- D.1(41)3n -{}n a ：478a a ⋅=：则1012222log log log a a a +++=A ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0：若a 5、a 9、a 15成等比数列：那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中：125a =：175b =：100100100a b +=：则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 10000{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯：则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中：991a a 、为方程016102=+-x x 的两根：则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±64{}n a 中：若4681012120a a a a a ++++=：则101123a a -的值为A. 6B. 8C. 10D. 1612. 设由正数组成的等比数列：公比q=2：且3030212=a a a ……·：则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题：共6小题：每小题5分：共30分．将答案填在题中的横线上．13.等差数列的前4项和为40：最后4项的和为80：所有各项的和为720：则这个数列一共有 项.14.若｛a n ｝是等差数列：a 3：a 10是方程x 2-3x-5=0的两根：则a 5+a 8= .15.已知{}n a 是等比数列：n a >0：又知2a 4a +23a 5a +4a 6a =25：那么35a a +=__________. 16. 在等差数列{}n a 中：14101619100a a a a a ++++=：则161913a a a -+的值是________三、解答题：本大题共4小题：共60分．解答应写出文字说明：证明过程或演算步骤．17（10分）．已知四个数：前三个数成等比数列：和为19：后三个数成等差数列：和为12：求此四个数.18（12分）．已知数列{}n a 中：13a =：1021a =：通项n a 是项数n 的一次函数： ① 求{}n a 的通项公式：并求2009a ：② 若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成：试归纳{}n b 的一个通项公式19（12分）.已知{}n a 满足13a =：121n n a a +=+：（1）求证：{}1n a +是等比数列： （2）求这个数列的通项公式n a .20（12分）已知数列{n a }的前n 项和是n n s n 2205232+-=：（1） 求数列的通项公式n a ： （2） 求数列{|n a |}的前n 项和。
高中数学人教b版高二必修5习题_第1章_解三角形_综合素质检测
高中数学人教b 版高二必修5习题_第1章_解三角形_综合素质检测第一章综合素质检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A ．6B ．2C ．3D ． 2[答案] D[解析] 在△ABC 中，由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝2×326＝12，又∵B ＝120°，∴C 为锐角，∴C ＝30°，∴A ＝30°，∴a ＝c ＝ 2.2．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.3．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( )A ．31010B ．－31010C ．55 D ．－55[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55.4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，c cos A ＝b ，则△ABC ()A ． 一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是斜三角形D ．一定是直角三角形[答案] D[解析] 解法一：∵c cos A ＝b ，∴sin C cos A ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin A cos C ＝0，∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，又0<c <π，∴C ＝π2，故选D ． 解法二：由余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 是直角三角形． 5．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系为( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°[答案] B[解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425 [答案] A[解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5c sin2B ＝8c sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725. 7．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( )A ．150°B ．120°C ．90°D ．135° [答案] B[解析] 解法一：∵m >0，∴m 2＋3m ＋3>2m ＋3，m 2＋3m ＋3>m 2＋2m .故边m 2＋3m ＋3对的角为最大角，由余弦定理，cos θ＝(2m ＋3)2＋(m 2＋2m )2－(m 2＋3m ＋3)22(2m ＋3)(m 2＋2m )＝－12，∴θ＝120°. 解法二：特值法．取m ＝1，则三边长为5,3,7∴cos θ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴θ＝120°. 8．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实数根，则A 为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在[答案] A[解析] 把已知方程整理得(sin A －sin C )x 2＋2sin B ·x ＋(sin A ＋sin C )＝0，Δ＝4sin 2B －4(sin A －sin C )(sin A ＋sin C )＞0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＞0.∴b 2＋c 2－a 2＞0，∴cos A ＞0，可知A 为锐角．9．若△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且∠C ＝60°，则ab 的值为( )A ．43B ．8－4 3C ．1D ．23 [答案] A[解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.①∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴方程①化为2ab (1＋cos C )＝4，∴ab ＝21＋cos C. 又∵∠C ＝60°，∴ab ＝43. 10．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[答案] B [解析] 由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin60°＝a 2＋b 2－ab ， 得2a 2＋2b 2－5ab ＝0，即a ＝2b 或b ＝2a .当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2；当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2.故△ABC 为直角三角形．11．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( )A ．532B ． 3C ．52D ．5[答案] A[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝10cos A ＝－5， ∴cos A ＝－12，∴sin A ＝32， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝532. 12．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形[答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin (π2－A 1)sin B 2＝cos B 1＝sin (π2－B 1)sin C 2＝cos C 1＝sin (π2－C 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B 1C 2＝π2－C 1， 那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，故假设不成立， 即△A 2B 2C 2是钝角三角形，故选D ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8∶5，则此三角形面积为________．[答案] 40 3[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2得x ＝2，另两边长为16和10，此三角形面积为S ＝12×16×10·sin60°＝40 3. 14．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. [答案] 102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 15.如图，已知梯形ABCD 中，CD ＝2，AC ＝19，∠BAD ＝60°，则梯形的高为__________．[答案] 332[解析] 解法一：∵∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝120°.∵CD ＝2，AC ＝19， ∴19sin120°＝2sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝5719. ∴sin ∠ACD ＝sin(60°－∠CAD )＝35738. ∴AD ＝AC ·sin ∠ACD sin D ＝19×35738sin120°＝3.∴h ＝AD ·sin60°＝332. 解法二：在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos120°，∴AD 2＋2AD －15＝0.∴AD ＝3 (AD ＝－5舍去)．∴h ＝AD sin60°＝332. 16．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．[答案] 2[解析] 如图，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴E 为BC 的中点，且EC ＝ 3.在Rt △AEC 中，AE ＝1，∠ADE ＝45°，在Rt △ADE 中，AD sin ∠AED ＝AE sin45°，∴AD ＝ 2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos A ＝1010，cos C ＝55. (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵cos A ＝1010，cos C ＝55， ∴sin A ＝31010，sin C ＝255， ∴cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝1010×55－31010×255＝－22， ∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝22.又∵0<B <π， ∴B ＝π4. (2)由正弦定理，得a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝4×31010255＝3 2.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×32×4×sin π4＝12×32×4×22＝6. 18．(本题满分12分)在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b 、c 和B 、C ．[解析] 由余弦定理，得6＝b 2＋c 2－2bc cos60°，∴b 2＋c 2－bc ＝6 ①由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－23② ①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3＋1c ＝2， 由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝(3＋1)sin60°6＝6＋24. ∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°.∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角，∴B ＝75°，从而可知C ＝45°.[点评] 求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°. 若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24，∴B ＝75°. 19．(本题满分12分)如图，某海轮以30 n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达点B ，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再航行80 min 到达C 点，求P 、C 间的距离．[解析] AB ＝30×4060＝20，BC ＝30×8060＝40. 在△ABP 中，∠BAP ＝120°，∠ABP ＝30°，∠APB ＝30°，∴BP ＝AB sin ∠APB·sin ∠BAP ＝20sin30°sin120°＝20 3. 在Rt △BCP 中，PC ＝BC 2＋BP 2＝402＋(203)2＝207. ∴P 、C 间的距离为207 n mile.20．(本题满分12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°. (2)由a 2＝b 2＋c 2＋bc ，得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ．∴34＝1－sin B sin C ，∴sin B sin C ＝14. 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12. 因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C ．所以△ABC 是等腰的钝角三角形．另解：∵A ＝120°且sin B ＋sin C ＝1∴sin B ＋sin(60°－B )＝12sin B ＝32cos B ＝sin(B ＋60°)＝1 又60°<B ＋60°<120°∴B ＋60°＝90°，∴B ＝30°从而C ＝30°∴△ABC 为等腰的钝角三角形．21．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C ，求b 及c 的长．[解析] (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π， ∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6c ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26c ＝4. 22．(本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ．(1)求cos A 的值；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为2，求b 、c .[解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13. (2)∵0<A <π，cos A ＝13，∴sin A ＝223. 由S △ABC ＝22，得12bc sin A ＝22， ∴bc ＝6.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴9＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(b ＋c )2－16，∴b ＋c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.。
数学必修五第一章 单元质量测试
第一章单元质量测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果a n＝2005，则序号n等于()A. 667B. 668C. 669D. 670[解析]由题意知，a n＝a1＋(n－1)·d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，令3n－2＝2005，∴n＝669.[答案] C2．等差数列{a n}中，若a2＋a6＋a16为一确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是()A. S13B. S15C. S17D. S19[解析]∵a2＋a6＋a16＝3a1＋21d＝3(a1＋7d)＝3a8＝常数．∴S15＝15(a1＋a15)2＝15a8＝常数，故选B.[答案] B3．如果数列{a n}是等差数列，则()A. a1＋a8<a4＋a5B. a1＋a8＝a4＋a5C. a1＋a8>a4＋a5D. a1a8＝a4a5 [解析]当{a n}是等差数列时，若有m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.∵1＋8＝4＋5，∴a1＋a8＝a4＋a5.[答案] B4．下列四个命题：①若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列；②若{a n }为等差数列，且常数c >0且c ≠1，则数列{ca n }为等比数列；③若{a n }为等比数列，则数列{a 4n }为等比数列； ④非零常数列既是等差数列，又是等比数列． 其中，真命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个[解析] 对于①当a 、b 、c 都为零时，命题不成立；②③④成立． [答案] C5．等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( )A. 23或32B. 23C. 32D. 13或－12[解析] 本题考查等比数列性质． 在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3a 14＝2又a 14＝a 4·q 10， ∴q 10＝23或32，∴a 20a 10＝q 10＝23或32.[答案] A6．一个等比数列它的前4项之和为前2项之和的2倍，则此数列的公比是( )A. 12或－12 B. 1C. 1或－1D. 2或－2 [解析]设这个等比数列首项为a1，公比为q，则a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝2(a1＋a1q)，∴q3＋q2＝1＋q，即(1＋q)(1－q2)＝0.∴q＝±1.[答案] C7．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数n为()A. 11B. 99C. 120D. 121[解析]∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴S n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1＝10，解得n＝120.[答案] C8．[2013·郑州一测]已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4S8＝13，则S8S16＝()A. 18 B.13C. 19 D.310[解析]设a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝A 2， a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝A 3， a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝A 4. ∵数列{a n }为等差数列，∴A 1，A 2，A 3，A 4也成等差数列， ∴S 4S 8＝A 1A 1＋A 2＝13.不妨设A 1＝1，则A 2＝2，A 3＝3，A 4＝4， ∴S 8S 16＝A 1＋A 2A 1＋A 2＋A 3＋A 4＝1＋21＋2＋3＋4＝310.[答案] D9．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，a 1>0，S n 是其前n 项和，若S n 取得最大值，则n 等于( )A. 7B. 8C. 9D. 10[解析] 由3a 4＝7a 7， ∴3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )． ∴a 1＝－334d . 又∵a 1>0， ∴d <0.∴该数列为单调递减数列． ∵S n 取得最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a n >0，a n ＋1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－334d ＋(n －1)d >0，－334d ＋nd <0.解得334<n <374.故n ＝9，故选C. [答案] C10．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升．则第5节的容积为( )A. 1升B. 6766升C. 4744升D. 3733升[解析] 设所构成数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. [答案] B11．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ， (0≤a n ＜12)，2a n －1， (12≤a n <1)，若a 1＝67，则a 2012的值为( )A. 67B. 57C. 37D. 17[解析] a 1＝67∈[12，1)则a 2＝2a 1－1＝57∈[12，1)，a 3＝2a 2－1＝37∈[0，12)，a 4＝2a 3＝67＝a 1，∴a n ＋3＝a n ，∴a 2012＝a 3×670＋2＝a 2＝57. [答案] B12．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为( )A. 4B. 5C. 45D. 15[解析] ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ， a 3＝S 3－S 2＝4t . ∵{a n }为等比数列， ∴(45t )2＝(15t －15)·4t ， ∴t ＝5或t ＝0(舍去)． [答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．)13．仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，…，请你写出堆放层数n 与盒数a n 的一个关系式________．[解析] a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝6， a 4－a 3＝8，…，a n －a n －1＝2n ， 将这n 个式子左右分别相加得： a n －a 1＝(n －1)(4＋2n )2，又a 1＝2， ∴a n ＝n 2＋n －2＋2，即a n ＝n (n ＋1)． [答案] a n ＝n (n ＋1)14．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.[解析] {a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}，四项－24,36，－54,81成等比数列，公比为q ＝－32，∴6q ＝－9.[答案] －915．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.[解析] 由于{a n }为等比数列，其公比为q ，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n＋1得2(a 1q n －1＋a 1q n ＋1)＝5a 1q n，解得q ＝12或q ＝2.由于等比数列{a n }为递增数列且a 1>0, 所以q ＝2.[答案] 216．已知数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝a n －23(n ∈N *)，则使a n ·a n＋2<0成立的n 的值为________． [解析] ∵a 1＝14，d ＝－23， ∴a n ＝14－23(n －1)， ∴a 21＝23>0，a 22＝0，a 23<0. ∴n ＝21满足条件，∴n ＝21成立． [答案] 21三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{a n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . [解] (1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－20，d ＝5， ∴a n ＝5n －25. (2)由(1)a n ＝5n －25，b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25 ＝10n －30.18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项均为正数，且前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)．若a 2，a 4，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式．[解] ∵对任意n ∈N *， 有S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，①∴当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2.当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．② 于是，由①－②整理可得 (a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0. ∵{a n }的各项均为正数， ∴a n －a n －1＝3.当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立．当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立，故a 1＝2舍去．∴a n ＝3n －2.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－3n ，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.[解] 当a n ＝10－3n ≥0时，n ≤3， 所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a n (n ≤3)，a 1＋a 2＋a 3－a 4－…－a n (n ≥4)， ＝⎩⎨⎧n (a 1＋a n )2(n ≤3)，2(a 1＋a 2＋a 3)－(a 1＋a 2＋…＋a n )(n ≥4)，＝⎩⎨⎧－3n 2＋17n2(n ≤3)，3n 2－17n ＋482(n ≥4).20．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n. [解](1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于a n＝a1＋(n－1)d，S n＝n(a1＋a n)2，所以a n＝2n＋1，S n＝n(n＋2)．(2)因为a n＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)，因此b n＝14n(n＋1)＝14(1n－1n＋1)．故T n＝b1＋b2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＝n4(n＋1).所以数列{b n}的前n项和T n＝n4(n＋1).21．(本小题满分12分)已知数列{a n}是公比大于1的等比数列，且a210＝a15，S n＝a1＋a2＋…＋a n，T n＝1a1＋1a2＋…＋1a n，求满足S n>T n的最小正整数n.[解]设数列{a n}的首项为a1，公比为q，根据题意，得(a1q9)2＝a1q14，即a21q18＝a1q14，∴a1q4＝1，即a1＝1q4.∵q>1，∴0<a1<1，从而a n>0，又∵S n＝a1(1－q n) 1－q，∴T n＝1a1(qn－1)q n－q n－1＝1a21q n－1·a1(1－q n)1－q，即T n＝1a21q n－1S n，∵S n>T n>0，∴S nT n＝a21q n－1>1.∴q n－1>1a21＝q8.又∵q>1，故有n－1>8，n>9.∴满足S n>T n的最小正整数n＝10.22．(本小题满分12分)[2012·江苏南京一模]将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{b n}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，，…构成数列{c n}，其前n项和为S n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1，求S n .[解] (1)设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n . (2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且32<13<42，所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3，又a 13＝1，解得q ＝12.由已知可得c n ＝b n q n －1，因此c n ＝2n ·(12)n －1＝n 2n －2. 所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n 2n －2. 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n 2n －1. 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1. 解得S n ＝8－n ＋22n －2.。
高二数学第一.二章单元单元测试新人教A版必修5
高二数学必修5第一、二章单元测试题（时量：晚自习两节课，满分：100分）一、选择题：（本大题共有6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、在C ∆AB 中，若sin cos a b A B=，则B 等于（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 2、已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则下面哪一个数是这个数列的一项（ ） A ．18 B ．21 C ．25 D ．3045.15.4.1615.)(,21,}{.344D C B A a S q S n a n n ==则公比项和为的前等比数列4．已知△ABC 中，ａ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°5．等差数列｛n a ｝中，941,0s s a =>，则前n 项和n s 取最大值时，n 为（ ）A ．6B ．7C ．6或7D ．以上都不对6、各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若102S =，3014S =，则40S 等于（ ）二、填空题：（共有6个小题，每小题5分，共30分） 7、在C ∆AB 中，若30A = ，AB =C 2A =，则C ∆AB 的面积S 是 ．8、若数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则通项公式n a =_____________．137599.{}9,__________.n n S a a a S S ==已知等差数列中，是数列的前n 项和，则102051010.{},5,_______.n n S Sa n S S S ==等比数列中的前项和为若则11.设1)1()(3+-=x x f ，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4(f f f f +++++- 的值为： 。
高中数学必修5第一单元测试题
高中数学必修5第一单元测试题一、选择题〔本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确〕1、在ABC中，sinB〕sinAA、a B、b C 、2R、2Rabb a2、ABC的外接圆的半径为2，且B300，那么b〕A、8B、6C、4D、23、在ABC中，B是最大的角，且a22b2，那么ABC是〔〕A、钝角三角形B 、直角三角形、锐角三角形D、斜三角形4、在ABC中，a6,b5，那么sinA:sinB〕A、6:5B、5：6C、3:5、5、在ABC中，a6,b8,A300，那么sinB〔〕A、3B、3C 、2D、12336、在ABC中，b1,c3,C，那么a=〔〕A、1B、2C、3、27ABC6,b8,C450，那么三角形的〔〕、在中，假设a面积A、242B、122、82D、628、在ABC中，a2b2c23bc，那么A〕A、300、600C、1200D、15009、在ABC中，根据以下条件解三角形，其中有2个解的是〔〕A、b10,A450C700B、a60,c48,B600C、a7,b5,A800D、a14,b16,A45010、在ABC中，假设三角形的三边分别是5,6,7，那么S ABC〔〕A、36B、63C、66D、2311、△ABC中，假设A600,a3，那么sinAabcsinC〔〕sinBA、2B、1C、3D、32212、在ABC中，三边a,b,c与面积s的关系式为S1(a2b2c2),那么角C为〔4A、30B、45C、60D、90二．填空题〔本大题共4小题，共20分〕13、在ABC中，如果sinA:sinB:sinC2:3:4，那么cosC14、在ABC中，a2，那么bcosCccosB，，分别是△的三个内角，，所对的边，假设a1,b，＋＝2，那么sin1 5、bc ABCABCAC BA＝________.1 6、在△中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c假设a2,b2，sinBcosB2，那么角ABCA的大小为________．三、解答题〔写出演算过程和必要的文字说明〕17、〔本小题总分值10分〕在ABC中，sinA3,sinAcosA,a35,b5，求c518、〔本小题总分值12分〕在ABC中，，求证：c(acosBbcoaA)a2b219、〔本小题总分值12分〕在ABC中，a3,b2,B450，求A,C及c20、〔本小题总分值12分〕在ABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边，b2ac，且a2c2acbc.求：(1)A的大小；(2)bsinB的值.c21、〔本小题总分值12分〕a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c 3asinC ccosA(1)求A；〔2〕假设=2，△ABC的面积为3，求,a b22、〔本小题总分值12分〕河对岸有两目标A,B ，但不能到达。
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2019—2019高二数学必修五第一单元检测试题数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，以下是查字典数学网为大家整理的高二数学必修五第一单元检测试题，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
1.有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于直角三角形;③正弦定理仅适用于钝角三角形;④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值;⑤在△ABC中，sinA sinB sinC=a b c.
其中正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析①②③不正确，④⑤正确.
答案 B
2.在△ABC中，若A=60，B=45，BC=32，则AC=()
A.43
B.23
C.3
D.32
解析由正弦定理，得ACsinB=BCsinA，即
AC=BCsinBsinA=32sin45sin60=23.
答案 B
3.在△ABC中，已知b=2，c=1，B=45，则a等于()
A.6-22
B.6+22
C.2+1
D.3-2
解析由正弦定理，得sinC=csinBb=sin452=12，又bc，
C=30，从而A=180-(B+C)=105，a=bsinAsinB，得a=6+22. 答案 B
4.在△ABC中，已知3b=23asinB，cosB=cosC，则△ABC的形状是()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析利用正弦定理及第一个等式，可得sinA=32，A=3，或23，但由第二个等式及B与C的范围，知B=C，故△ABC必为等腰三角形.
答案 B
5.在△ABC中，若3a=2bsinA，则B等于()
A.30
B.60
C.30或150
D.60或120
解析∵3a=2bsinA，
3sinA=2sinBsinA.
∵sinA0，sinB=32，
又0
答案 D
6.在△ABC中，已知a：b：c=4：3：5，则
2sinA-sinBsinC=________.
解析设a=4k，b=3k，c=5k(k0)，由正弦定理，得
2sinA-sinBsinC=24k-3k5k=1.
答案 1
7.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=105，B=45，b=22，则边c=________.
解析由A+B+C=180，知C=30，
由csinC=bsinB，得c=bsinCsinB=221222=2.
答案 2
8.在△ABC中，若tanA=13，C=150，BC=1，则AB=________. 解析∵tanA=13，sinA=110 .
在△ABC中，ABsinC=BCsinA，
AB=BCsinAsinC=1012=102.
答案 102
9.在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a b c=________. 解析由A+B+C=180及A：B：C=1:2:3，知A=18016=30，
B=18026=60，C=18036=90.
a：b：c=sin30：sin60：sin90=12：32：1=1：3：2. 答案 1：3：2
10.如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2.
(1)求cosCBE的值;
(2)求AE.
解(1)∵BCD=90+60=150，CB=AC=CD，
CBE=15.
cosCBE=cos15=cos(45-30)=6+24.
(2)在△ABE中，AB=2，
由正弦定理，得
AEsin45-15=2sin90+15，
故AE=2sin30sin75=2126+24=6-2.
11.△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c 且acosA=bcosB，求a+bc的取值范围.
解∵acosA=bcosB，sinAcosA=sinBcosB，
sin2A=sin2B.
∵2A,2B(0,2)，2A=2B，或2A+2B=，
A=B，或A+B=2.
如果A=B，那么a=b不合题意，A+B=2.
a+bc=sinA+sinBsinC=sinA+sinB=sinA+cosA
=2sinA+4.
∵ab，C=2，A0，2，且A4，
a+bc(1，2).
12.在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=13.
(1)求sinA;
(2)设AC=6，求△ABC的面积.
解(1)∵sin(C-A)=1，-
C-A=2.
∵A+B+C=，A+B+A+，
B=2-2A，sinB=sin2-2A=cos2A=13.
1-2sin2A=13.
sin2A=13，sinA=33.
(2)由(1)知，A为锐角，cosA=63，
sinC=sin2+A=cosA=63，
由正弦定理得AB=ACsinCsinB=66313=6.
S△ABC=12ABACsinA=126633=32.
最后，希望小编整理的高二数学必修五第一单元检测试题对您有所帮助，祝同学们学习进步。