高中数学必修五测试题 高二文科数学(必修五)
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷

高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分,其中选择题共75分,填空题共25分,解答题共50分。
试卷难度:0.63一.选择题(共15小题,满分75分,每小题5分)1.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.82.(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏3.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.1104.(5分)已知数列{a n}、{b n}、{c n},以下两个命题:①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列;②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列;下列判断正确的是()A.①②都是真命题B.①②都是假命题C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题5.(5分)一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,n∈N*,则该函数的图象是由关系式a n+1()A.B.C.D.6.(5分)若数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.[﹣1,1)C.[﹣2,1)D.7.(5分)数列{a n}是正项等比数列,{b n}是等差数列,且a6=b7,则有()A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10大小不确定8.(5分)已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*)若(n∈N*),b1=﹣λ,且数列{b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是()A.B.λ<1C.D.9.(5分)设△A n B n C n的三边长分别是a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n∈N*,若b1>c1,b1+c1=2a1,b n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列10.(5分)《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺11.(5分)已知数列{a n}为等差数列,S n其前n项和,且a2=3a4﹣6,则S9等于()A.25B.27C.50D.5412.(5分)《九章算术》是我国古代的数字名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱,A、B两人所得与C、D、E三人所得相同,且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱13.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为s n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的斜率为()A.4B.C.﹣4D.﹣14.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列{b n}满足,若,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.915.(5分)已知函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,且f(x)在(﹣1,+∞)上单调,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{a n}的前100项的和为()A.﹣200B.﹣100C.﹣50D.0二.填空题(共5小题,满分25分,每小题5分)16.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.17.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=.18.(5分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{a n },则此数列的项数为.19.(5分)已知无穷数列{a n },a 1=1,a 2=2,对任意n ∈N *,有a n +2=a n ,数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n (n ∈N *),若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则满足要求的b 1的值为.20.(5分)设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为.三.解答题(共5小题,满分50分,每小题10分)21.(10分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列.22.(10分)设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max {b 1﹣a 1n ,b 2﹣a 2n ,…,b n ﹣a n n }(n=1,2,3,…),其中max {x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n =n ,b n =2n ﹣1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,>M ;或者存在正整数m ,使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列.23.(10分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1.24.(10分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=﹣6.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.25.(10分)已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3,x 3﹣x 2=2. (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式;(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点P 1(x 1,1),P 2(x 2,2)…P n +1(x n +1,n +1)得到折线P 1 P 2…P n +1,求由该折线与直线y=0,x=x 1,x=x n +1所围成的区域的面积T n.高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一.选择题(共15小题,满分75分,每小题5分)1.(5分)(2017•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{a n}的公差.【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=﹣2,d=4,∴{a n}的公差为4.故选:C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.2.(5分)(2017•新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【考点】89:等比数列的前n项和;88:等比数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;54 :等差数列与等比数列.【分析】设这个塔顶层有a盏灯,由题意和等比数列的定义可得:从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列,结合条件和等比数列的前n项公式列出方程,求出a 的值.【解答】解:设这个塔顶层有a盏灯,∵宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列,又总共有灯381盏,∴381==127a,解得a=3,则这个塔顶层有3盏灯,故选B.【点评】本题考查了等比数列的定义,以及等比数列的前n项和公式的实际应用,属于基础题.3.(5分)(2017•新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110【考点】8E:数列的求和.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{b n}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N+),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,即为2n ﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;方法二:由题意求得数列的每一项,及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,分别分别即可求得N的值.【解答】解:设该数列为{a n},设b n=+…+=2n﹣1,(n∈N+),则=a i,由题意可设数列{a n}的前N项和为S N,数列{b n}的前n项和为T n,则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2,),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,可知当N为时(n∈N+即为2n﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,A项,由=435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A 项符合题意.B项,仿上可知=325,可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二:由题意可知:,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1, (2)﹣1,每项含有的项数为:1,2,3,…,n,总共的项数为N=1+2+3+…+n=,所有项数的和为S n:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,则①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N >100,∴该款软件的激活码440.故选A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.4.(5分)(2017•上海模拟)已知数列{a n}、{b n}、{c n},以下两个命题:①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列;②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列;下列判断正确的是()A.①②都是真命题B.①②都是假命题C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.【分析】对于①不妨设a n=2n,b n=3n、c n=sinn,满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,但是不满足c n=sinn是递增数列,对于②根据等差数列的性质和定义即可判断.【解答】解:对于①不妨设a n=2n,b n=3n、c n=sinn,∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,但c n=sinn不是递增数列,故为假命题,对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,不妨设公差为分别为a,b,c,∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a,b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b,a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c,设{a n},{b n}、{c n}的公差为x,y,x,∴则x=,y=,z=,故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列,故为真命题,故选:D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义,以及命题的真假,属于基础题.5.(5分)(2017•徐汇区校级模拟)一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,n∈N*,则该函数的图象是()A.B.C.D.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】31 :数形结合;51 :函数的性质及应用.=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N*),根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系,我们不难得到,f(x)的图象在y=x上方.逐一分析不难得到正确的答案.=f(a n)>a n知:f(x)的图象在y=x上方.【解答】解:由a n+1故选:A.【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.(5分)(2017•河东区二模)若数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.[﹣1,1)C.[﹣2,1)D.【考点】82:数列的函数特性.【专题】32 :分类讨论;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】由a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,可得:(﹣1)n+2016•a<2+,对n分类讨论即可得出.【解答】解:a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,∴(﹣1)n+2016•a<2+,n为偶数时:化为a<2﹣,则a<.n为奇数时:化为﹣a<2+,则a≥﹣2.则实数a的取值范围是.故选:D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(5分)(2017•宝清县一模)数列{a n}是正项等比数列,{b n}是等差数列,且a6=b7,则有()A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82:数列的函数特性.【专题】54 :等差数列与等比数列.【分析】由于{b n}是等差数列,可得b4+b10=2b7.已知a6=b7,于是b4+b10=2a6.由于数列{a n}是正项等比数列,可得a3+a9=≥=2a6.即可得出.【解答】解:∵{b n}是等差数列,∴b4+b10=2b7,∵a6=b7,∴b4+b10=2a6,∵数列{a n}是正项等比数列,∴a3+a9=≥=2a6,∴a3+a9≥b4+b10.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质,属于中档题.8.(5分)(2017•湖北模拟)已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*)若(n∈N*),b1=﹣λ,且数列{b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是()A.B.λ<1C.D.【考点】82:数列的函数特性.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列,首项为+1=2,公=(n﹣2λ)•2n,根据数列的单调性即可求出λ的范围.比为2,再代值得到b n+1【解答】解:∵数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*),∴=+1,化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列,首项为+1=2,公比为2,∴+1=2n,=(n﹣2λ)(+1)=(n﹣2λ)•2n,∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列,>b n,∴b n+1∴(n﹣2λ)•2n>(n﹣1﹣2λ)•2n﹣1,解得λ<1,但是当n=1时,b2>b1,∵b1=﹣λ,∴(1﹣2λ)•2>﹣λ,故选:A.【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.(5分)(2017•海淀区校级模拟)设△A n B n C n的三边长分别是a n,b n,c n,△A nB nC n的面积为S n,n∈N*,若b1>c1,b1+c1=2a1,b n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列【考点】82:数列的函数特性.【专题】54 :等差数列与等比数列;58 :解三角形;59 :不等式的解法及应用.【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1,由b n+1+c n+1﹣2a1=(b n+c n+1﹣2a n),b1+c1=2a1得b n+c n=2a1,则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值,另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,根据b n﹣c n+1=(c n﹣b n),得b n﹣c n=,可知n→+∞时b n→c n,+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴c1,+c n+1=+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),由题意,b n+1∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,﹣c n+1=,又由题意,b n+1∴b n﹣(2a1﹣b n+1)==a1﹣b n,b n+1﹣a1=(a1﹣b n)=(b1 +1﹣a1).∴b n=a1+(b1﹣a1),c n=2a1﹣b n=a1﹣(b1﹣a1),=•=单调递增.可得{S n}单调递增.故选:B.【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式,综合考查学生分析解决问题的能力,有较高的思维抽象度,属于难题.10.(5分)(2017•汉中二模)《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由题意,该女子从第一天起,每天所织的布的长度成等差数列,其公差为d,由等差数列的前n项和公式能求出公差.【解答】解:由题意,该女子从第一天起,每天所织的布的长度成等差数列,记为:a1,a2,a3,…,a n,其公差为d,则a1=5,S30=390,∴=390,∴d=.故选:B.【点评】本题查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.11.(5分)(2017•徐水县模拟)已知数列{a n}为等差数列,S n其前n项和,且a2=3a4﹣6,则S9等于()A.25B.27C.50D.54【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题.【分析】由题意得a2=3a4﹣6,所以得a5=3.所以由等差数列的性质得S9=9a5=27.【解答】解:设数列{a n}的首项为a1,公差为d,因为a2=3a4﹣6,所以a1+d=3(a1+3d)﹣6,所以a5=3.所以S9=9a5=27.故选B.【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题.12.(5分)(2017•安徽模拟)《九章算术》是我国古代的数字名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱,A、B两人所得与C、D、E三人所得相同,且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;21 :阅读型;33 :函数思想;51 :函数的性质及应用;54 :等差数列与等比数列.【分析】设A=a﹣4d,B=a﹣3d,C=a﹣2d,D=a﹣d,E=a,列出方程组,能求出E所得.【解答】解:由题意:设A=a﹣4d,B=a﹣3d,C=a﹣2d,D=a﹣d,E=a,则,解得a=,故E所得为钱.故选:A.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质、等差数列的性质的合理运用.13.(5分)(2017•南开区模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为s n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的斜率为()A.4B.C.﹣4D.﹣【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】54 :等差数列与等比数列.【分析】设出等差数列的首项和公差,由已知列式求得首项和公差,代入两点求直线的斜率公式得答案.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S2=10,S5=55,得,解得:.∴过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)的直线的斜率为k=.故选:A.【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,训练了两点求直线的斜率公式,是基础题.14.(5分)(2017•枣阳市校级模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列{b n}满足,若,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.9【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】34 :方程思想;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由S3=9,a2a4=21,可得3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21,可得a n.由数列{b n}满足,利用递推关系可得:=.对n取值即可得出.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵S3=9,a2a4=21,∴3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21,联立解得:a1=1,d=2.∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1.∵数列{b n}满足,∴n=1时,=1﹣,解得b1=.n≥2时,+…+=1﹣,∴=.∴b n=.若,则<.n=7时,>.n=8时,<.因此:,则n的最小值为8.故选:C.【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.(5分)(2017•安徽一模)已知函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,且f(x)在(﹣1,+∞)上单调,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{a n}的前100项的和为()A.﹣200B.﹣100C.﹣50D.0【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由函数图象关于x=﹣1对称,由题意可得a50+a51=﹣2,运用等差数列的性质和求和公式,计算即可得到所求和.【解答】解:函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),可得a50+a51=﹣2,又{a n}是等差数列,所以a1+a100=a50+a51=﹣2,则{a n}的前100项的和为=﹣100故选:B.【点评】本题考查函数的对称性及应用,考查等差数列的性质,以及求和公式,考查运算能力,属于中档题.二.填空题(共5小题,满分25分,每小题5分)16.(5分)(2017•江苏)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=32.【考点】88:等比数列的通项公式.【专题】34 :方程思想;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列.【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(5分)(2017•新课标Ⅱ)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=.【考点】8E:数列的求和;85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和,然后化简所求的表达式,求解即可.【解答】解:等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,可得a2=2,数列的首项为1,公差为1,S n=,=,则=2[1﹣++…+]=2(1﹣)=.故答案为:.【点评】本题考查等差数列的求和,裂项消项法求和的应用,考查计算能力.18.(5分)(2017•汕头三模)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{a n},则此数列的项数为134.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,运用等差数列通项公式,以及解不等式即可得到所求项数.【解答】解:由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故a n=15n﹣14.由a n=15n﹣14≤2017得n≤135,∵当n=1时,符合要求,但是该数列是从2开始的,故此数列的项数为135﹣1=134.故答案为:134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用,考查等差数列的通项公式的运用,考查运算能力,属于基础题19.(5分)(2017•闵行区一模)已知无穷数列{a n},a1=1,a2=2,对任意n∈N*,=a n,数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n(n∈N*),若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次,则满足要求的b1的值为2.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】35 :转化思想;48 :分析法;5M :推理和证明.【分析】依题意数列{a n}是周期数咧,则可写出数列{a n}的通项,由数列{b n}满足b n﹣b n=a n(n∈N*),可推出b n+1﹣b n=a n=⇒,,+1,,…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则b2=b6=b10=…=b2n﹣1,b4=b8=b12=…=b4n,可得b8=b4=3即可,【解答】解:a1=1,a2=2,对任意n∈N*,有a n+2=a n,∴a3=a1=1,a4=a2=2,a5=a3=a1=1,∴a n=﹣b n=a n=,∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1,b2n+1﹣b2n=a2n=2,∴b2n+2﹣b2n=3,b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3,b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3,b2﹣b1=1,,,,,,,…,=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2,b4=b8=b12=…=b4n,解得b8=b4=3,b2=3,∵b2﹣b1=1,∴b1=2,故答案为:2【点评】本题考查了数列的推理与证明,属于难题.20.(5分)(2017•青浦区一模)设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn,若数列{a n}是单调递增数列,则实数b的取值范围为(﹣3,+∞).【考点】82:数列的函数特性.【专题】35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】数列{a n}是单调递增数列,可得∀n∈N*,a n+1>a n,化简整理,再利用数列的单调性即可得出.【解答】解:∵数列{a n}是单调递增数列,∴∀n∈N*,a n>a n,+1(n+1)2+b(n+1)>n2+bn,化为:b>﹣(2n+1),∵数列{﹣(2n+1)}是单调递减数列,∴n=1,﹣(2n+1)取得最大值﹣3,∴b>﹣3.即实数b的取值范围为(﹣3,+∞).故答案为:(﹣3,+∞).【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三.解答题(共5小题,满分50分,每小题10分)21.(10分)(2017•江苏)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列.【考点】8B :数列的应用.【专题】23 :新定义;35 :转化思想;4R :转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1)═2×3a n ,根据“P (k )数列”的定义,可得数列{a n }是“P (3)数列”;(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{a n }从第3项起为等差数列,再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系,可知{a n }为等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{a n }首项为a 1,公差为d ,则a n =a 1+(n ﹣1)d ,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1),=2a n +2a n +2a n ,=2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)证明:当n ≥4时,因为数列{a n }是P (3)数列,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ,①,因为数列{a n }是“P (2)数列”,所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1,②,a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1,③,②+③﹣①,得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ,即2a n =a n ﹣1+a n +1,(n ≥4),因此n ≥4从第3项起为等差数列,设公差为d ,注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4, 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4(a 3+d )﹣a 3﹣(a 3+2d )﹣(a 3+3d )=a 3﹣d ,因为a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4(a2+d)﹣a2﹣(a2+2d)﹣(a2+3d)=a2﹣d,也即前3项满足等差数列的通项公式,所以{a n}为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.22.(10分)(2017•北京)设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,b n﹣a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(1)若a n=n,b n=2n﹣1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.【考点】8B:数列的应用;8C:等差关系的确定.【专题】32 :分类讨论;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)分别求得a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,代入即可求得c1,c2,c3;由(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1)≤0,则b1﹣na1≥b k﹣na k,则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立;﹣n,c n+1(2)由b i﹣a i n=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),分类讨论d1=0,d1>0,d1<0三种情况进行讨论根据等差数列的性质,即可求得使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列;设=An+B+对任意正整数M,存在正整数m,使得n≥m,>M,分类讨论,采用放缩法即可求得因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n≥m时,>M.【解答】解:(1)a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,当n=1时,c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0,当n=2时,c2=max{b1﹣2a1,b2﹣2a2}=max{﹣1,﹣1}=﹣1,当n=3时,c3=max{b1﹣3a1,b2﹣3a2,b3﹣3a3}=max{﹣2,﹣3,﹣4}=﹣2,下面证明:对∀n∈N*,且n≥2,都有c n=b1﹣na1,当n∈N*,且2≤k≤n时,则(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1),=[(2k﹣1)﹣nk]﹣1+n,=(2k﹣2)﹣n(k﹣1),=(k﹣1)(2﹣n),由k﹣1>0,且2﹣n≤0,则(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1)≤0,则b1﹣na1≥b k﹣na k,因此,对∀n∈N*,且n≥2,c n=b1﹣na1=1﹣n,c n+1﹣c n=﹣1,∴c2﹣c1=﹣1,∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立,+1∴数列{c n}是等差数列;(2)证明:设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,下面考虑的c n取值,由b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,b n﹣a n n,考虑其中任意b i﹣a i n,(i∈N*,且1≤i≤n),则b i﹣a i n=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n,=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),下面分d1=0,d1>0,d1<0三种情况进行讨论,①若d1=0,则b i﹣a i n═(b1﹣a1n)+(i﹣1)d2,当若d2≤0,则(b i﹣a i n)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)d2≤0,则对于给定的正整数n而言,c n=b1﹣a1n,此时c n+1﹣c n=﹣a1,∴数列{c n}是等差数列;当d2>0,(b i﹣a i n)﹣(b n﹣a n n)=(i﹣n)d2>0,则对于给定的正整数n而言,c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n,﹣c n=d2﹣a1,此时c n+1∴数列{c n}是等差数列;此时取m=1,则c1,c2,…,是等差数列,命题成立;②若d1>0,则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数,故必存在m∈N*,使得n≥m时,﹣d1n+d2<0,则当n≥m时,(b i﹣a i n)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i≤n),因此当n≥m时,c n=b1﹣a1n,此时c n﹣c n=﹣a1,故数列{c n}从第m项开始为等差数列,命题成立;+1③若d1<0,此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数,故必存在s∈N*,使得n≥s时,﹣d1n+d2>0,则当n≥s时,(b i﹣a i n)﹣(b n﹣a n n)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i ≤n),因此,当n≥s时,c n=b n﹣a n n,此时==﹣a n+,=﹣d2n+(d1﹣a1+d2)+,令﹣d1=A>0,d1﹣a1+d2=B,b1﹣d2=C,下面证明:=An+B+对任意正整数M,存在正整数m,使得n≥m,>M,若C≥0,取m=[+1],[x]表示不大于x的最大整数,当n≥m时,≥An+B≥Am+B=A[+1]+B>A•+B=M,此时命题成立;若C<0,取m=[]+1,当n≥m时,≥An+B+≥Am+B+C>A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M,此时命题成立,因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n≥m时,>M;综合以上三种情况,命题得证.【点评】本题考查数列的综合应用,等差数列的性质,考查与不等式的综合应用,考查“放缩法”的应用,考查学生分析问题及解决问题的能力,考查分类讨论及转化思想,考查计算能力,属于难题.23.(10分)(2017•北京)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1.【考点】8E:数列的求和;8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出等差数列的公差,然后求{a n}的通项公式;(Ⅱ)利用已知条件求出公比,然后求解数列的和即可.【解答】解:(Ⅰ)等差数列{a n},a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2,所以{a n}的通项公式:a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1+4d=9,等比数列{b n}满足b1=1,b2b4=9.可得b3=3,或﹣3(舍去)(等比数列奇数项符号相同).∴q2=3,}是等比数列,公比为3,首项为1.{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==.【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用,数列求和以及通项公式的求解,考查计算能力.24.(10分)(2017•新课标Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.【考点】8E:数列的求和;89:等比数列的前n项和.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8,a1==,a2==,由a1+a2=2,列方程即可求得q及a1,根据等比数列通项公式,即可求得{a n}的通项公式;(2)由(1)可知.利用等比数列前n项和公式,即可求得S n,分别求得S n+1,S n+2,显然S n+1+S n+2=2S n,则S n+1,S n,S n+2成等差数列.。
高中数学必修五同步练习题库:基本不等式(简答题:较难)

基本不等式(简答题:较难)1、(1)已知x<,求函数y=4x-2+的最大值;(2)已知x>0,y>0且=1,求x+y的最小值.2、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是,且1+2+3+…+n=2n+1-n-2.(n∈N*)(1)求数列{}的通项公式(2)设四边形的面积是,求(3)在(2)条件下,求证: .3、在平面直角坐标系中,已知椭圆,如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.(1)求的最小值;(2)若,求证:直线过定点.4、如图设计一幅矩形宣传画,要求画面面积为4840 cm2,画面上下边要留8cm空白,左右要留5cm空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画面所用纸张面积最小?5、设函数的定义域均为,且是奇函数,是偶函数,,其中为自然对数的底数.(1)求的解析式,并证明:当时,;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.6、已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2<0(m∈R)的解集为M.(1)当M为空集时,求m的取值范围;(2)在(1)的条件下,求的最大值;(3)当M不为空集,且M [1,4]时,求实数m的取值范围.7、已知直线l经过点P(2,2)且分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于A、B两点,O为坐标原点.(1)求面积的最小值及此时直线l的方程;(2)求的最小值及此时直线l的方程.8、. 问:是否存在正数m,使得对于任意正数,可使为三角形的三边构成三角形?如果存在:①试写出一组x,y,m的值,②求出所有m的值;如果不存在,请说明理由.9、若,,且|k+b|=|-kb|(k>0).(Ⅰ)用k表示数量积;(Ⅱ)求的最小值.10、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是,且1+2+3+…+n=2n+1-n-2.(n∈N*)(1)求数列{}的通项公式(2)设四边形的面积是,求(3)在(2)条件下,求证: .11、已知函数(其中,是自然对数的底数),为导函数.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)对任意,恒成立,求整数的最大值.12、已知函数,.(1)求证:();(2)设,若时,,求实数的取值范围.13、(2011年苏州B19)某企业有员工共100名,平均每人每年创造利润10万元.为了进一步提高经济效益,该企业决定优化产业结构,调整部分员工从事第三产业.经测算,若x(20≤x≤50,x∈)名员工从事第三产业,则剩下的员工平均每人每年创造的利润可提高20%,而从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为万元.(1)如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润,至少比原来的年总利润多150万元,求可从事第三产业员工的最少人数与最多人数;(2)如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大,求从事第三产业的员工人数.14、(2014年苏州B18)如图,在中,,,(1)求的长和的值;(2)延长到,延长到,连结,若四边形的面积为,求的最大值.15、在中,内角、、所对的边分别是、、,不等式对一切实数恒成立.(1)求的取值范围;(2)当取最大值,且的周长为9时,求面积的最大值,并指出面积取最大值时的形状.16、已知数列满足:.(1)求证:;(2)求证:.17、已知函数,(为常数).(1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切,求实数的值;(2)若函数在定义域上存在单调减区间,求实数的取值范围;(3)若,,且,都有成立,求实数的取值范围.18、宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛(如图所示),按设计要求扇环的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米,设小圆弧所在圆的半径为米,圆心角(弧度).(1)求关于的函数关系式;(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米,设花坛的面积与装饰总费用之比为,求关于的函数关系式,并求出的最大值.19、(本小题满分10分)已知正数满足:,若对任意满足条件的:恒成立,求实数的取值范围.20、(1)已知x<,求函数y=4x-2+的最大值;(2)已知x>0,y>0且=1,求x+y的最小值.21、已知实数,且,若恒成立.(1)求实数m的最小值;(2)若对任意的恒成立,求实数x的取值范围.22、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知正实数满足:.(1)求的最小值;(2)设函数,对于(1)中求得的,是否存在实数,使得成立,说明理由.23、选修4—5:不等式选讲设,求证:.24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数,(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范围.25、给定数列(1)判断是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数.使对都成立? 若存在,找出的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.26、已知a,b是正常数,,求证:,指出等号成立的条件;(2)利用(1)的结论求函数的最小值,指出取最小值时x的值.27、已知函数(1)解关于的不等式;(2)若存在,使得的不等式成立,求实数的取值范围.28、已知,证明:,并利用上述结论求的最小值(其中.29、如图,已知小矩形花坛ABCD中,AB=3 m,AD=2 m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2,AN的长应在什么范围内?(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由.30、已知函数.(1)当时,求函数的极值;(2)若对,有成立,求实数的取值范围.31、某工厂建一个长方形无盖蓄水池,其容积为4800m3,深度为3m。
(完整版)高中数学必修五综合测试题 含答案

.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷(选择题)一、单选题1.数列的一个通项公式是( )0,23,45,67⋯A .B . a n =n -1n +1(n ∈N *)a n =n -12n +1(n ∈N *)C .D .a n =2(n -1)2n -1(n ∈N *)a n =2n2n +1(n ∈N *)2.不等式的解集是( )x -12-x ≥0A .B .C .D . [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3.若变量满足 ,则的最小值是( )x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A .B .C .D . 4-5-314.在实数等比数列{a n }中,a 2,a 6是方程x 2-34x +64=0的两根,则a 4等于( )A . 8B . -8C . ±8D . 以上都不对5.己知数列为正项等比数列,且,则( ){a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A . 1B . 2C . 3D . 46.数列前项的和为( )11111,2,3,4,24816n A . B . C .D .2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7.若的三边长成公差为的 等差数列,最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为( )A .B .C .D .1541534213435348.在△ABC 中,已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A . 30°B . 60°C . 30°或150°D . 60°或120°9.下列命题中正确的是( )A . a >b ⇒ac 2>bc 2B . a >b ⇒a 2>b 2C . a >b ⇒a 3>b 3D . a 2>b 2⇒a >b.10.满足条件,的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A . 1个B . 2个C . 无数个D . 不存在11.已知函数满足:则应满足( )f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A .B .C .D .-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312.已知数列{a n }是公差为2的等差数列,且成等比数列,则为( )a 1,a 2,a 5a2A . -2B . -3C . 2D . 313.等差数列的前10项和,则等于(){a n }S 10=15a 4+a 7A . 3B . 6C . 9D . 1014.等差数列的前项和分别为,若,则的值为( ){a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A .B .C .D . 3547581219第II 卷(非选择题)二、填空题15.已知为等差数列,且-2=-1,=0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16.在中,,,面积为,则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17.已知中,,, ,则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18.若数列的前n 项和,则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19.直线下方的平面区域用不等式表示为________________.x -4y +9=020.函数的最小值是 _____________.y =x +4x -1(x >1)21.已知,且,则的最小值是______.x ,y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22.解一元二次不等式(1) (2)-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.(1)求边上的中线的长;BC AD (2)求△的面积。
高中数学必修五测试题 高二文科数学(必修五)

2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题(A )(必修五)一、选择题(每题5分,共10小题)1.设a 、b 、c 、d∈R,且a >b,c >d,则下列结论正确的是( ) A .a+c >b+dB .a-c >b-dC .ac >bdD .a d >b c211两数的等比中项是( ) A .2B .-2C .±2D .以上均不是3.若三角形三边长的比为5∶7∶8,则它的最大角和最小角的和是( ) A .90°B .120°C .135°D .150°4.数列{a n }中,2n a 2n 29n 3=-++,则此数列最大项的值是( )A .103B .11088C .11038D .1085.若△ABC 的周长等于20,面积是BC 边的长是 ( ) A .5B .6C .7D .86.在数列{a n }中,a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N *),则35a a 的值是( ) A .1516B .158C .34 D .387.在△ABC 中,角A ,B 均为锐角,且cosA >sinB ,则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形8.在等差数列{a n }中,2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=24,则此数列的前13项之和等于( ) A .13B .26C .52D .1569.数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 ( )A . 211n-B .211n+C .211(1)n ++ D .211(1)n -+ 10.已知不等式(x + y )(1x + ay)≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .2B .4C .6D .8二、填空题(每题5分,共5小题) 11.数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项.12. 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =1,b =2,cos C =14,则sin B =________.13. 已知点(x,y )满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______.14.如图,在四边形ABCD 中,已知AD⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC 的长为______. 15.在△ABC 中,给出下列结论:①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形; ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3. 其中正确结论的序号为 . 三、解答题(共6小题,共75分)16.(12分)已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a,b .(2)解不等式ax 2-(ac+b )x+bc<0.17.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=3a cos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.18.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n.(1)求a3,a4; (2)证明:{a n+1-2a n}是等比数列;(3)求{a n}的通项公式.19.(12分)设函数()cosfθθθ=+,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为12⎛⎝⎭,求f(θ)的值;(2)若点P(x,y)为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.20.(13分)某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x 元时,销售量可达到15-0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的 利润=售价-供货价格,问:(1)每套丛书定价为100元时,书商能获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书定价为多少元时,单套丛书的利润最大?21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和,且1151,15b a S ===(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知916a =,求50a 的值; (2)设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+,求n T .参考答案1.设a 、b 、c 、d∈R,且a >b,c >d,则下列结论正确的是( ) (A )a+c >b+d (B )a-c >b-d (C )ac >bd (D )a d >b c1.【解析】选A .由不等式的可加性可知a+c >b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时,B 不一定成立, C ,D 中a 、b 、c 、d 符号不定,不一定成立. 2.11两数的等比中项是( )A .2B .-2C .±2D .以上均不是2.【解析】设等比中项为x ,则x 2=1)1)=4.所以x=±2.故应选C .答案:C3.若三角形三边长的比为5∶7∶8,则它的最大角和最小角的和是( ) (A )90° (B )120° (C )135° (D )150°3.【解析】选B .设三边长为5x,7x,8x ,最大的角为C ,最小的角为A .由余弦定理得:()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°.4.数列{a n }中,2n a 2n 29n 3=-++,则此数列最大项的值是( )(A )103 (B )11088 (C )11038(D )108 4.【解析】选D .根据题意结合二次函数的性质可得:22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时,a n =108为最大值.5.若△ABC 的周长等于20,面积是103,A=60°,则BC 边的长是 ( ) A .5B .6C .7D .85.解析:由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒,则bc=40.又a+b+c=20,所以b+c=20-a .由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7.答案:C6.在数列{a n }中,a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N *),则35a a 的值是( ) (A )1516 (B )158 (C )34 (D )386.【解析】选C .当n=2时,a 2·a 1=a 1+(-1)2,∴a 2=2; 当n=3时,a 3a 2=a 2+(-1)3,∴a 3=12; 当n=4时,a 4a 3=a 3+(-1)4,∴a 4=3;当n=5时,()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=,, 7.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 7.解析:cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角,则,,222A B A B C πππ->+<>,选C .答案:C8.在等差数列{a n }中,2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=24,则此数列的前13项之和等于( ) (A )13 (B )26 (C )52 (D )1568.【解析】选B .∵2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4.()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9.数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 ( )A . 211n -B . 211n +C . 211(1)n ++D . 211(1)n -+9.解析:因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案:D10.已知不等式(x + y )(1x + ay )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A .2B .4C .6D .810.解析:不等式(x +y )(1ax y+)≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则1y axa x y+++≥1a +≥24(舍去),所以正实数a 的最小值为4,选B . 答案:B11.数列{a n }的通项公式a n是此数列的第 项.解析:因为a n ,所以n=9. 答案:91 4,则sin B=________12.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=.12.15 4[解析] 由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,所以b=c,B=C,所以sin B=sin C=1-cos2C=154.13.已知点(x,y)满足x0y0x+y1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x的取值范围是_______.13.【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A(1,0),B (0,1),故过B时u最大,u max=1,过A点时u最小,u min=-1.答案:[-1,1]14.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC的长为______.14.【解析】在△ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即142=x2+102-2·10x·cos60°,整理得x2-10x-96=0,解之得x1=16,x2=-6(舍去).由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠=,∴BC=16sin135︒·sin30°=.答案:15.在△ABC中,给出下列结论:①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形;④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.其中正确结论的序号为.解析:在①中,cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故①正确;在②中,b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确;在③中,cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角,但△ABC不一定是锐角三角形,故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3,故A=30°,B=60°,C=90°,所以确.答案:①16.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)解不等式ax 2-(ac+b )x+bc<0,即x 2-(2+c )x+2c<0,即(x-2)(x-c )<0,所以①当c>2时,不等式(x-2)(x-c )<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c )<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c )<0的解集为∅.17.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b sin A =3a cos B .(1)求角B 的大小;(2)若b =3,sin C =2sin A ,求a ,c 的值.17.解:(1)由b sin A =3a cos B 及正弦定理a sin A =b sin B,得 sin B =3cos B ,所以tan B =3,所以B =π3. (2)由sin C =2sin A 及a sin A =csin C,得c =2a . 由b =3及余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得9=a 2+c 2-ac ,将c =2a 代入得, a =3,c =23.18.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n.(1)求a 3,a 4;(2)证明:{a n+1-2a n }是等比数列;(3)求{a n }的通项公式.(1)解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2,由2a n =S n +2n 知:2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,得a n+1=S n+2n+1, ①所以a 2=S 1+22=2+22=6,S 2=8,a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40.(2)证明:由题设和①式得:a n+1-2a n =(S n +2n+1)-(S n +2n )=2n+1-2n =2n ,所以{a n+1-2a n }是首项为a 2-2a 1=2,公比为2的等比数列.(3)解:a n =(a n -2a n-1)+2(a n-1-2a n-2)+…+2n-2(a 2-2a 1)+2n-1a 1=(n+1)·2n-1.19. (12分)设函数()3sin cos f θθθ=+,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点P (x,y ),且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,求f (θ)的值;(2)若点P (x,y )为平面区域Ω: 1,1,1x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f (θ)的最小值和最大值.解:(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos ,2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以31()3sin cos 3 2.2f θθθ=+=⨯+= (2)作出平面区域(即三角形区域ABC )如图,其中A (1,0),B (1,1),C (0,1),则0≤θ≤2π.又()cos 2sin .6f πθθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭. 故当62ππθ+=,即3πθ=时, max ()2f θ=; 当66ππθ+=,即θ=0时, min ()1f θ=.20.某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x 元时,销售量可达到15-0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格,问:(1)每套丛书定价为100元时,书商能获得的总利润是多少万元?(2)每套丛书定价为多少元时,单套丛书的利润最大?20. 【解析】(1)每套丛书定价为100元时,销售量为15-0.1×100=5(万套),此时每套供货价格为30+105=32(元),故书商所获得的总利润为5×(100-32) =340(万元). (2)每套丛书售价定为x 元时,由150.1x 0x 0-⎧⎨⎩>>,得0<x <150. 依题意,单套丛书利润 P=x-(30+10150.1x -)=x-100150x--30, ∴P=-[(150-x )+100150x -]+120, ∵0<x <150,∴150-x >0,由(150-x )+100150x-≥)150x -=2×10=20, 当且仅当150-x =100150x-,即x=140时等号成立,此时P max =-20+120=100.答:(1)当每套丛书售价定为100元时,书商能获得总利润为340万元;(2)每套丛书售价定为140元时,单套丛书的利润取得最大值100元.21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和,且1151,15b a S ===( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知916a =,求50a 的值;(Ⅱ)设122111n n n n T S S S ++=++⋅⋅⋅+,求n T . 20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ){}n b 为等差数列,设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+== 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= …………………………………………………………………………2分 设从第3行起,每行的公比都是q ,且0q >,2294,416,2,a b q q q ===……………………4分 1+2+3+…+9=45,故50a 是数阵中第10行第5个数,而445010102160.a b q ==⨯=……………………………………………………………………7分 (Ⅱ)12n S =++…(1),2n n n ++=…………………………………………………………8分 1211n n n T S S ++∴=++…21n S + 22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++…22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++…11)221n n +-+ 1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++友情提示:本资料代表个人观点,如有帮助请下载,谢谢您的浏览!。
(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题1.在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()sin sin sin c C a A b a B =+-,角C 的角平分线交AB 于点D ,且3CD =,3a b =,则c 的值为( )A .72B .473C .3D .232.如图,某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B 处,此时测得俯角为45.已知小车的速度是20km/h ,且33cos 8AOB ∠=-,则此山的高PO =( )A .1 kmB .2km 2C . 3 kmD . 2 km3.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则ABC 的面积222221()22a b c S ab ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.根据此公式,若cos (2)cos 0a B b c A +-=,且2224b c a ,则ABC 的面积为( ) A .6B .23C .3D .324.如图,四边形ABCD 中,CE 平分ACD ∠,23AE CE ==,3DE =,若ABC ACD ∠=∠,则四边形ABCD 周长的最大值( )A .24B .1233+C .183D .()353+5.在ABC 中,π6A =,1,2a b ==,则B =( ) A .4π B .34π C .4π或34πD .6π或56π6.在△ABC 中,若2223a c b ab -+=,则C =( ). A .45°B .30°C .60°D .120°7.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为106 m (如图),则旗杆的高度为( )A .10 mB .30 mC .3mD .6 m8.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边,若1,3a b ==B 是,A C 的等差中项,则角C =( ) A .30B .45︒C .60︒D .90︒9.设ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知2cos 0b a C -=,()sin 3sin A A C =+,则2bca =( ) A 7 B 14 C .23D 610.在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,22sin BAC ∠=32AB =3BD =, 则cos C ( ) A .63B 3C .23D .1311.在ABC 中,60A ∠=︒,4AC =,23BC =ABC 的面积为 A .3B .4C .23D 312.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A 、B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是( ) A .35mB .10mC .490013m D .521m二、填空题13.在ABC 中,点M 是边BC 的中点,3AM =,2BC =,则2AC AB +的最大值为___________.14.已知ABC 中,内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,且222sin 2a b c c B a a+--=,则B =___________.15.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则角B =______.16.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若6a =,2c b =,则ABC 面积的最大值是______.17.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,1a =,3B π=,当ABC ∆的面积等于3时,tan C =__________.18.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积2228a b c S +-=,D为线段BC 上一点.若ABD △为等边三角形,则tan DAC ∠的值为___________. 19.如图,A ,B 两点都在河的对岸(不可到达),在所在的河岸边选取相距30m 的C ,D 两点,测得75ACB ∠=︒,45BCD ∠=︒,30ADC ∠=︒,45ADB ∠=︒,其中A ,B ,C ,D 四点在同一平面内,则A ,B 两点之间的距离是_______m .20.在ABC 中,cos cos 3A B +=,23AB =sin sin A B +取最大值时,ABC 的外接圆半径为________. 三、解答题21.已知在ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若3a b =,求cos(2)B C +的值.22.在三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若2b cos B =a cos C +c cos A (1)求角B 的大小;(2)若线段BC 上存在一点D ,使得AD =2,且AC 6=CD 3=1,求S △ABC .23.在①π2=+A C ,②5415cos -=c a A ,③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3b =,且______,______,求c .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.24.如图,观测站C 在目标A 的南偏西20方向,经过A 处有一条南偏东40走向的公路,在C 处观测到与C 相距31km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走,走20km 到达D 处,此时测得,C D 相距21km ,求,D A 之间的距离.25.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答. ①()3cos cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b cC a-=③tan tan tan 3tan tan A B C B C ++=.已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c , . (1)求A ;(2)若2,10a b c =+=,求ABC 的面积.26.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西45°的方向上,仰角为α,行驶300米后到达B 处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为β,若β=45°,则此山的高度CD 和仰角α的正切值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B 解析:B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值,由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+,结合3a b =可求得a 、b 的值,再利用余弦定理可求得c 的值. 【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-,由正弦定理可得()22c a b a b =+-,可得222a b c ab +-=,由余弦定理可得:2221cos 22a b c C ab +-==,0C π<<,所以3C π=, 由ABC ACD BCD S S S =+△△△,有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅,得ab a b =+,所以234b b =,0b >,43b ∴=,34a b ==, 由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选:B. 【点睛】方法点睛:在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则如下: (1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”; (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”; (3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”; (4)代数式变形或者三角恒等变换前置;(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.2.A解析:A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=,45BPO ∠=,设PO h =,在Rt POA △,Rt POB 中 求出3AO h =,BO h =,在AOB 中,由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知:PO ⊥平面AOB ,903060APO ∠=-=,904545BPO ∠=-=,7.520 2.560AB =⨯=km , 设PO h =,在POA 中,tan AO APO PO ∠=,tan 60AOh=,所以3AO h =, 在POB 中,tan BO BPO PO ∠=,tan 45BOh=,所以BO h =, 在AOB 中,由余弦定理可得:2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯, 所以)2222.532333h h h h =+-⨯⎛ ⎝⎭⨯,即2252544h =,解得:1h =, 所以山的高1PO =, 故选:A.3.C解析:C 【分析】首先根据正弦定理化简已知,求得1cos 2A =,再根据余弦定理求bc ,最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=,sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠,1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=,解得:4bc =,根据面积公式可知S === 故选:C 【点睛】关键点点睛,本题考查数学文化,理解面积公式,对于面积公式可变形为S =4.D解析:D 【分析】ACD △和CDE △中,结合正弦定理可求得6ACE DCE π∠=∠=,这样可得,DC AC ,在ABC 中,由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅,应用基本不等式可得AB BC +的最大值,从而可得四边形ABCD 周长的最大值.【详解】设ABC ACD ∠=∠2θ=,(0,)2πθ∈,∵CE 平分ACD ∠,∴DCE ACE θ∠=∠=, 又AE CE =,∴EAC ACE θ∠=∠=,AE CE ==DE =AD =ACD △中,由正弦定理得sin sin CD AD DAC ACD =∠∠,则CD ==, CDE △中,2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=,由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠,则2sin CD θθθ==,∴θ=,解得cos θ=,6πθ=,∴3CD ==,ACD △中,由角平分线定理得AC AE CD DE ==,得236AC =⨯=. ABC 中,23ABC πθ∠==,由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅,即2222223136()3()()()44AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+,当且仅当AB BC =时等号成立,12AB BC +≤,此时ABC 为等边三角形.∴AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+故选:D . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,考查基本不等式求最值,在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量.本题解题关键是求出6ACE π∠=.5.C解析:C 【分析】由正弦定理解三角即可求出B . 【详解】在ABC 中,π6A =,1,a b ==, 所以sin sin a b A B=,即112=sin B =故4B π=或34π, 故选:C【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角中的应用,考查了运算能力,属于中档题.6.B解析:B 【分析】根据余弦定理,可以求出C 角的余弦值,进而根据C 为三角形内角,解三角方程可以求出C 角.【详解】∵222a c b -+=,∴2222a b c cosC ab +-==又∵C 为三角形内角 ∴30C =︒.故选B . 【点睛】本题考查余弦定理的应用,属基础题.7.B解析:B 【分析】作图,分别求得∠ABC ,∠ACB 和∠BAC ,然后利用正弦定理求得AC ,最后在直角三角形ACD 中求得AD . 【详解】 解:如图,依题意知∠ABC =30°+15°=45°,∠ACB =180°﹣60°﹣15°=105°, ∴∠BAC =180°﹣45°﹣105°=30°, 由正弦定理知BC ACsin BAC sin ABC=∠∠,∴AC BC sin BAC=∠•sin ∠ABC1062122=⨯=3m ), 在Rt △ACD 中,AD 32=•AC 32=⨯3=30(m ) 即旗杆的高度为30m . 故选B . 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用.结合了正弦定理等基础知识,考查了学生分析和推理的能力.8.A解析:A 【详解】由题设可得060B =,运用正弦定理可得311sin sin 60sin 2A A =⇒=,则030A =或0150A =,但a b AB <⇔<,应选答案A .9.D解析:D 【分析】根据正弦定理把角化边,可得3a b =,进一步得到2cos 3C =,然后根据余弦定理,可得c =,最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中,sin sin a b A B=,由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=,所以3a b =①,又2cos 0b a C -=②,由①②可知:2cos 3C =,又2222cos 23a b c C ab +-==③,把①代入③化简可得:c =,则()2293bc b a b ==, 故选:D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用,难点在于将c 用b 表示,当没有具体数据时,可以联想到使用一个参数表示另外两个参数,属于中档题.10.A解析:A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒,代入利用诱导公式化简sin BAC ∠,求出cos BAD ∠的值,根据余弦定理求出AD 的长度,再由正弦定理求出BC 的长度,求得sin C ,再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果 【详解】0AD AC ⋅=,可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒,90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()sin sin 90cos BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中,AB =BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时,AD AB >,不成立,故设去 当3AD =时,在ABD 中,由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos BAD ∠=,可得1sin 3BAD ∠=,则sin ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠,90DAC ∠=︒3cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目,熟练运用余弦定理,正弦定理以及诱导公式是解题的关键,注意解题过程中的计算,不要计算出错,本题有一定综合性11.C解析:C 【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ,利用三角形内角和求出角C ,再利用三角形的面积公式求出三角形的面积,求得结果. 【详解】因为ABC ∆中,60A ∠=︒,4AC =,BC = 由正弦定理得:sin sin BC ACA B=,4sin B=,所以sin 1B =, 所以90,30B C ︒︒∠=∠=,所以14sin 302ABC S ︒∆=⨯⨯= C. 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题,在解题的过程中,需要注意根据题中所给的条件,应用正弦定理求得sin 1B =,从而求得90,30B C ︒︒∠=∠=,之后应用三角形面积公式求得结果.12.D解析:D 【分析】设塔底为O ,设塔高为h ,根据已知条件求得,OA OB 的长,求得AOB ∠的大小,利用余弦定理列方程,解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ,设塔高为h ,由已知可知,OA OB h ==,且150AOB ∠=,在三角形AOB 中,由余弦定理得222352cos15033h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭,解得h =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用,考查利用余弦定理解三角形,属于基础题.二、填空题13.【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用 解析:10【分析】用余弦定理表示出,AC AB ,求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值. 【详解】记AMC α∠=,则AMB πα∠=-, 在AMC 中,2222cos 3123423AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-,同理在AMB 中可得2423AB α=+,∴228AB AC +=,设22AB x =,22AC x =,(0,)2x π∈.则12422222(2sin cos )210(cos )25AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+,其中cosθθ==θ是锐角, 显然存在0(0,)22x ππθ=-∈,使得0sin()1x θ+=,∴2AC AB +的最大值为故答案为: 【点睛】关键点点睛:本题考查余弦定理,考查换元法求最值.解题方法是用余弦定理表示出,AB AC,得出228AB AC +=,利用三角换元法AB x =,AC x =,(0,)2x π∈.这里注意标明x 的取值范围.在下面求最值时需确认最值能取到,然后结合三角函数的性质求最值.14.(或)【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化整理已知条件最后变形为求角的值【详解】根据余弦定理可知所以原式变形为根据正弦定理边角互化可知又因为则原式变形整理为即因为所以(或)故答案为(或)【点睛】方解析:135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化,整理已知条件,最后变形为tan 1B =-,求角B 的值. 【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=,所以原式222sin 2a b c c B a a+--=,变形为cos sin b C c B a -=,根据正弦定理边角互化,可知sin cos sin sin sin B C C B A -=, 又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+, 则原式变形整理为sin cos B B -=, 即tan 1B =-,因为()0,180B ∈,所以135B =(或34π) 故答案为135(或34π)【点睛】方法点睛:(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到;(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.15.【分析】由正弦定理及可得结合两角差余弦公式可得进而可得到值【详解】由正弦定理及可得:在中∴即∴又B 为三角形内角∴=故答案为:【点睛】本题考查三角形中求角的问题涉及到正弦定理两角差余弦公式考查计算能力 解析:π3B =【分析】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,结合两角差余弦公式可得tanB =B 值.【详解】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得:πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,在ABC 中,sin 0A ≠,∴πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+∴tanB =B 为三角形内角,∴B =3π故答案为:3π. 【点睛】本题考查三角形中求角的问题,涉及到正弦定理,两角差余弦公式,考查计算能力,属于基础题.16.【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】∵∴可得∴由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为:【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思 解析:12【分析】先根据余弦定理求出cos A ,结合平方关系求得sin A ,利用三角形的面积公式及二次函数可求ABC 面积的最大值. 【详解】∵6a =,2c b =,∴2222644cos b b b A =+-,可得22536cos 4b A b-=,∴sin A ==,由()2223043600b --≥,可得2436b ≤≤,即26b ≤≤,则ABC 的面积221sin sin 122S bc A b A b ====≤,当且仅当2360b =时,即b =故答案为:12. 【点睛】本题主要考查三角形的面积最值,常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解,侧重考查数学运算的核心素养.17.【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛:解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出 解析:-【解析】由题意1sin 23acπ=4c =⇒=,则b ==,所以由余弦定理cos C ==sin C ==tan (C ==-- 点睛:解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =,进而运用余弦定理求出边b ==,然后再运用余弦定理求出cos C ==,进而求出sin C ==tan (C ==- 18.【分析】由及三角形面积公式余弦定理可得又利用两角差的正切公式展开计算即可【详解】因为所以由三角形面积公式及余弦定理得所以又为等边三角形所以故答案为:【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用涉及到 解析:8-+【分析】由2228a b c S +-=及三角形面积公式,余弦定理可得1tan 2C =,又()tan tan 60DAC C ︒∠=-,利用两角差的正切公式展开计算即可.【详解】因为2228a b c S +-=, 所以,由三角形面积公式及余弦定理得12cos sin 28ab C ab C =, 所以tan C =sin 1cos 2C C =, 又ABD △为等边三角形,所以()tan tan 60DAC C ︒∠=-=3tan 23185313tan 23C C --==-+++.故答案为:853-+【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,涉及到两角差的正切公式,三角形面积公式,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.19.【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解:如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴(米)即AB 之间的距离为米解析:1015 【分析】本题先在ACD △中,得出30CAD ADC ∠=∠=︒,得CD 的值,然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长,最后在ABC 中由余弦定理,算出21500AB =,即可得到A ,B 之间的距离. 【详解】解:如图所示,∵75ACB ∠=︒,45BCD ∠=︒,30ADC ∠=︒, ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒,∴在ACD △中,18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠, ∴30AC CD ==.∵在BCD 中,60CBD ∠=︒, ∴由正弦定理,得30sin 75sin 60BC =︒︒,可得sin 753020375sin 60BC ︒=⋅=︒︒.在ABC 中,由余弦定理,得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=,∴1015AB =(米),即A ,B 之间的距离为1015米. 故答案为:1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题,是中档题.20.2【分析】设与两边平方后相加可得即可知时最大可得角再利用正弦定理即可求解【详解】设则又因为所以所以所以当时此时的外接圆半径为故答案为:2【点睛】本题主要考查了正弦定理二倍角公式三角函数的性质同角三角解析:2 【分析】设sin sin A B t +=与cos cos 3A B +=两边平方后相加,可得2322cos()A B t +=+-,即21cos()2t A B +-=,可知A B =时,sin sin =+t A B 最大,可得角C ,再利用正弦定理即可求解. 【详解】设sin sin A B t +=,则()2222sin sin sin sin 2sin sin t A B A B A B =+=++, 又因为()2223cos cos cos cos 2cos cos A B A B A B =+=++,所以222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos t A A B B A A B B +=+++++22cos()B A =+-,所以21cos()2t A B +-=,所以当A B =时,max 1=t ,23C π∠=, 此时ABC 2323=.故答案为:2 【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系,属于中档题.三、解答题21.(Ⅰ)3π;(Ⅱ)17-.【分析】(Ⅰ)利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.(Ⅱ)利用正弦定理的边角互化可得sin 3sin A B =,再由23A B π+=求出tan B =,再利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】(Ⅰ)∵22(sin sin )sin sin sin A B C A B -=-∴由正弦定理得22()a b c ab -=-,即222a b c ab +-=∴1cos 2C =, 又∵(0,)C π∈∴3C π=;(Ⅱ)∵3a b =,∴由正弦定理得sin 3sin A B =, ∵23A B π+=,∴2sin 3sin 3B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴tan B =,∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin B B == ,∴11sin 22sin cos 214B B B B === ∴1cos(2)cos 2cos sin 2sin 7B C B C B C +=-=-22.(1)3π;(2. 【分析】(1)由2b cos B =a cos C +c cos A ,利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sin B cos B =sin (A +C ),再根据诱导公式化简可得cos B 12=,结合B ∈(0,π)可得角B 的大小.(2)由余弦定理求得cos C 的值,可得C 的值,利用三角形内角和公式求得A 的值,再利用正弦定理求得AB 的值,从而求得S △ABC 12=⋅AB ⋅AC ⋅sin A 的值. 【详解】(1)∵2b cos B =a cos C +c cos A ,∴根据正弦定理,可得2sin B cos B =sin A cos C +sin C cos A , 即2sin B cos B =sin (A +C ).又∵△ABC 中,sin (A +C )=sin (180°﹣B )=sin B >0 ∴2sin B cos B =sin B ,两边约去sin B 得2cos B =1,即cos B 12=, ∵B ∈(0,π), ∴B 3π=.(2)∵在△ACD 中,AD =2,且AC =CD =1,∴由余弦定理可得:cosC222==, ∴C 4π=,∴A =π﹣B ﹣C 512π=, 由sin sin AC AB B C=sin sin 34ABπ=,∴AB =2, ∴S △ABC 12= ⋅AB ⋅AC ⋅sin A 12= ⋅2⋅⋅sin (46ππ+)=⋅(sin4πcos 6π+cos 4πsin 6π)=⋅4+)= 【点睛】解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边”;求三角形面积的最大值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值. 23.答案见解析. 【分析】选条件①②.结合3b =,得545cos c a b A -=,进而根据边角互化整理得:cos 45B =,3sin 5B =,再结合π2=+A C ,得π22B C =-,故3cos25C =,进而得sin C =最后利用正弦定理求解.选条件①③.结合已知由面积公式得sin 2a C =,结合π2=+A C ,得π22B C =-,故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==,所以3sin24cos2C C =,再根据π0π2A C <=+<02πC <<,进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =,利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③.结合3b =,得545cos c a b A -=,进而根据边角互化整理得:cos 45B =,再根据面积公式得10ac =,由余弦定理得2225a c +=,联立方程解得c =c =.【详解】解:方案一:选条件①②.因为5415cos -=c a A ,3b =,所以545cos c a b A -=, 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=. 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+, 所以5cos sin 4sin B A A =. 因为sin 0A >, 所以cos 45B =,3sin 5B ==. 因为π2=+A C ,πABC ++=,所以π22B C =-, 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,所以21cos21sin 25C C -==. 因为()0,πC ∈,所以sin 5C =, 在ABC中,由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二:选条件①③. 因为1sin 32S ab C ==,3b =,所以sin 2a C =.因为π2=+A C ,πABC ++=,所以π22B C =-. 在ABC 中,由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以3sin cos 2cos2C CC=,即3sin24cos2C C =.因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<,02πC <<, 所以sin20C >,所以cos20C >. 又22sin 2cos 21C C +=,所以3cos25C =, 所以21cos21sin 25C C -==,所以sin 5C =. 在ABC中,由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b Cc BC C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭.方案三:选条件②③.因为5415cos -=c a A ,3b =,所以545cos c a b A -=, 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=, 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+, 所以5cos sin 4sin B A A =. 因为sin 0A >, 所以cos 45B =,3sin 5B ==. 因为1sin 32S ac B ==,所以10ac =.(ⅰ) 在ABC 中,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-, 所以2225a c +=.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)解得c =c =.【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正、余弦定理,三角形内角和定理等)建立联系,从而求得三角形的部分定量关系,体现了理性思维、数学探索等学科素养,考查逻辑思维能力、运算求解能力,是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ,则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=,再结合边角互化求解. 24.15公理. 【分析】先求出cos BDC ∠,进而设ADC α∠=,则sin ,cos αα可求,在ACD △中,由正弦定理求得AD ,即可得到答案. 【详解】由题意知21,31,20CD BC BD ===,在BCD △中,由余弦定理可得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯,设ADC α∠=,则1sin 7αα==,可得11sin()sincos cossin 333272714πππααα+=+=⨯+⨯=在ACD △中,由正弦定理得21sin()sin33ADππα=+,所以sin()153AD πα=+=,即所求的距离为15公理. 【点睛】平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解;(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用共同条件,求出结果. 25.(1)3A π=;(2)2. 【分析】第(1)小问:方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系,化简后求得3A π=;方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比,再化简求得3A π=;方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-,再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到3A π=;第(2)小问:由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==可以得到关于,b c的关系式,再结合b c +=2bc =,最后求得三角形的面积即可.【详解】()1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=()2sin sin A C B A +=,2sin sin A A A =又()0,A π∈, 所以sin 0A ≠,所以tan A = 所以3A π=方案②:由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C =-=+-=+-所以2cos sin sin 0,A C C -= 即2cos sin sin ,A C C = 又()0,C π∈, 所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2A = 所以3A π=方案③:因为tan tan tan tan A B C B C ++=所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅-()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=tan tan tan tan B C A B C = 又()0A B C π∈,,,, 所以tan 0,tan 0B C ≠≠,所以1tan ,2A A == 所以3A π=()2由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==,得224b c bc =+-即()243b c bc +=+,又因为b c += 所以2bc =所以1sin 2ABC Sbc A ==【点睛】解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边”;求三角形面积的最大值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值.26.1. 【分析】设山的高度CD =x ,在ABC 中,利用正弦定理求得CB ,AC ,在Rt BCD 中,由∠CBD =45°得CD =CB ,然后在Rt ACD 中,由tan CDACα=求解. 【详解】设山的高度CD =x 米,由题可得∠CAB =45°,∠ABC =105°,AB =300米,∠CBD =45°. 在ABC 中,得:∠ACB =180°-45°-105°=30°, 利用正弦定理可得sin 30sin 45sin105AB CB AC==, 所以()300sin 45300sin1053002,15062sin30sin30CB AC ⨯⨯====+,在Rt BCD 中,由∠CBD =45°得CD =CB ,在Rt ACD 中可得tan 1CD AC α===。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,23a =,且()11222n n nn S S S n +-+=+≥,若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立,则实数λ的最小值为( ) A .52-B .116C .332D .12.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40423.在数列{}n a 中,11a =-,33a =,212n n n a a a ++=-(*n N ∈),则10a =( ) A .10B .17C .21D .354.两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ,其前.n 项的乘积....分别为,n n A B ,若552a b =,则99A B =( ) A .512B .32C .8D .25.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .(),1-∞B .12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,C .13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D .14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,6.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书于公元466485~年间,其记臷着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺,30天其织布390尺,则该女子织布每天增加的尺数(不作近似计算)为( ) A .1629B .1627C .1113D .13297.已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为( ) A .1011B .910C .89D .28.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若数列{}12n S a -也为等比数列,则43a a =( ).A .2B .1C .32D .129.对于数列{}n a ,定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”,现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则20202020S=( ) A .2019B .2020C .2021D .202210.已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+,5a 是数列{}n a 的最小项,则实数a 的取值范围是( ) A .[40,25]--B .[40,0]-C .[25,0]-D .[25,0]-11.已知数列{}n a 满足123n n a a +-=,11a =,3n n b a =+,则10b =( ) A .92B .103C .2048D .102412.已知{}n a 为等比数列,13527a a a =,246278a a a =,以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是( ) A .4B .5C .6D .7二、填空题13.已知数列{}n a 的首项1a m =,其前n 项和为n S ,且满足2123n n S S n n ++=+,若数列{}n a 是递增数列,则实数m 的取值范围是_______. 14.设数列{}n a 是等比数列,公比2q,n S 为{}n a 的前n 项和,记219n nn n S S T a +-=(*n N ∈),则数列{}n T 最大项的值为__________. 15.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈,都有m n m n a a a ++=成立,72a π=,函数()f x =2sin 24cos 2xx +,记()n n y f a =,则数列{}n y 的前13项和为______. 16.无穷数列{}n a 满足:只要()*,p q a a p q N=∈,必有11p q aa ++=,则称{}n a 为“和谐递进数列”.已知{}n a 为“和谐递进数列”,且前四项成等比数列,151a a ==,22a =,则2021S =_________.17.在等比数列{}n a 中,2514,2==a a ,则公比q =__________. 18.下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中,着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项,则数列{}n a 的一个通项公式为______.19.已知数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,21nn n b a -=+,且1222n n n S T n ++=+-,则2n T =____.20.已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅,若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立,则整数λ的最大值为_____.三、解答题21.已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .22.已知{}n a 是等差数列,{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ,112822,10a b a a ==+=,___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列,②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个,补充在上面的横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分). (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23.已知数列{}n a 满足112a =,1223241n n n a a n ++-=-,n *∈N . (1)设121n n b a n =+-,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,求证:3n S <,n *∈N .24.已知正项数列{}n a 、{}n b ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1143a b +=,21n n S a +=,2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)求数列{}2n n a b 的前n 项和n T . 25.已知数列{}n a ,11a =,121n n a a +=+.(1)求证数列{}1n a +是等比数列; (2)令()2log 1n n b a =+,求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26.已知数列{}n a 满足:12a =,()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ;(3)设2nn n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-,则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭,设272nn n c -=,利用数列的单调性即可求解. 【详解】解:数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,23a =,且()11222n n nn S S S n +-+=+≥, 所以112nn n n n S S S S +--=+-,故()122nn n a a n +-=≥,因为1212a a -=,所以()121nn n a a n +-=≥,所以112n n n a a ---=,2122n n n a a ----=,⋯,1212a a -=, 则1211222n n a a --=++⋯+,故11211222121n n n n a --=++⋯+==--, 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---,所以21nn n S a n -=--,因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立,所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. 设272n n n c -=,则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=, 当4n ≤时,1n n c c +>,当5n ≥时,1n n c c +<, 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=,故λ的最小值为332. 故选:C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式,再利用累加法求出na 的通项;2.B解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3.B解析:B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列,求出公差得到其通项公式,最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-(*n N ∈),212n n n a a a ++∴+=,即数列{}n a 是等差数列, 11a =-,33a =,312a a d ∴=+即312d =-+,则公差2d =,则()11223n a n n =-+-⨯=-(*n N ∈), 所以10210317a =⨯-=. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列,进而求出通项公式进行计算.4.A解析:A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中,如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地,2m p q =+时,则2·m p q a a a =,m a 是p q a a 、的等比中项. 5.C解析:C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,于是可求出n S ,再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<,利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值,可得出实数λ的取值范围. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=,12nn a a -∴=,所以,数列{}n a 为等比数列,且首项为1,公比为2,11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-,由10n n S S λ+-<,得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----,所以,数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增,其最小项为122211213S S -==-,所以,13λ<, 因此,实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,故选C .【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项,其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩,其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题,一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解,考查化归与转化问题,属于中等题.6.A解析:A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题,且已知13030,390a S ==,求公差d .由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=,解之得1629d =,应选答案A . 7.A解析:A 【分析】由题意可知,直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,且直线0x y d +-=过圆心,可求得1a 和d 的值,然后利用等差数列的求和公式求得n S ,利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称, 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,直线0x y d +-=的斜率为1-,则1112a =,可得12a =,且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0,则20d -=,可得2d =,()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=,则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+,()111111n S n n n n ∴==-++, 因此,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查裂项求和,同时也考查了直线与圆的综合问题,以及等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于中等题.8.D解析:D 【分析】分公比是否为1进行讨论,再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,()1111222n S a na a n a -=-=-, 则{}12n S a -不为等比数列,舍去, 当1q ≠时,()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----, 为了符合题意,需11201a a q -=-,得12q =,故4312a q a ==. 故选D . 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式,定义,考查逻辑推理能力以及运算求解能力,属于中档题.9.D解析:D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,得到112333n n n a a a n -+++=⋅,然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+,再利用等差数列求和公式求解. 【详解】∵11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,∴112333n n n a a a n -+++=⋅,当2n ≥时,有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅,两式相减可得:()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+(2n ≥). 当1n =时,13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项,以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选:D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用,属于中档题.10.D解析:D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立,参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立, 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥, 当6n ≥时,有()56a n n ≤-恒成立,故0a ≤, 当14n ≤≤时,有()56a n n ≥-恒成立,故25a ≥-, 当5n =时,a R ∈, 故250a -≤≤. 故选:D. 【点睛】本题考查数列的函数性质:最值问题,此类问题可利用函数的单调性来研究,也可以利用恒成立来研究,本题属于较难题.11.C解析:C 【分析】根据题意得到12n n b b +=,计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=,()1323n n a a +∴+=+,即12n n b b +=, 14b =,910422048b ∴=⨯=.故选:C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式,确定12n n b b +=是解题的关键.12.A解析:A 【分析】先求出首项和公比,得出{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1,从而得出结论. 【详解】{}n a 为等比数列,3135327a a a a ==,32464278a a a a ==, 33a ∴=,432a =,4312a q a ∴==,112a =,543·14a a q ==<. 故{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1, 以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是4, 故选:A . 【点评】本题主要考查等比数列的性质,属于基础题.二、填空题13.【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得:两式相减得:两式相减可得:数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得:将代入可得要使得恒成立只需要解析:15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥,再求得234,,a a a ,根据1234a a a a <<<列不等式,解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得:212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得:141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得:114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ,4a ,6a ,...是以4为公差的等差数列,数列3a ,5a ,7a ,...是以4为公差的等差数列,将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得:252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈,1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为:15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ,考查数列的单调性,属于中档题.14.【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析:3【解析】数列{}n a 是等比数列,公比q 2=,n S 为{}n a 的前n 项和,219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ,2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=, 当且仅当822nn =时取等号, 又,1n N n *∈=或2 时,n T 取最大值19243T =--= .∴ 数列{}n T 最大项的值为3 .故答案为3 .15.【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解:对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析:26【分析】由题意可得11n n a a a +-=,为常数,可得数列{}n a 为等差数列,求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,运用等差数列中下标公式和等差中项的性质,计算可得所求和. 【详解】 解:对*,m n ∀∈N ,都有m n m n a a a ++=成立,可令1m =即有11n n a a a +-=,为常数, 可得数列{}n a 为等差数列, 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++, 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=,可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,113212a a a a +=+=6872a a a π=+==,∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==,∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=.故答案为26. 【点睛】本题考查等差数列的性质,以及函数的对称性及运用,化简运算能力,属于中档题.16.7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为:7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析:7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列,从而易求得2021S . 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列,121,2a a ==,∴344,8a a ==,又15a a =,{}n a 为“和谐递进数列”,∴26a a =,37a a =,48a a =,59a a =,…, ∴数列{}n a 是周期数列,周期为4. ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=. 故答案为:7576.【点睛】本题考查数列新定义,解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列,从而易得结论.17.【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解:∵是等比数列∴∵∴解得:故答案为:【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析:12【分析】本题先用1a ,q 表示2a ,5a ,再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解:∵ {}n a 是等比数列,∴ 21a a q =,451a a q∵24a =,512a =,∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩, 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法,是基础题.18.【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为:【点睛】关键点点睛:本题的关键是迭代法求通解析:817n n a -= 【分析】根据图象的规律,得到前后两项的递推关系,然后利用迭代法求通项,并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =,218181a a =⨯+=+,23281881a a =⨯+=++, 依次类推,1288...1n n n a --=+++,数列{}18n -是首项为1,公比为8的等比数列,所以1881187n n n a --==-, 故答案为:817n n a -=【点睛】关键点点睛:本题的关键是迭代法求通项,重点是得到前后两项的递推关系.19.【解析】所以 解析:22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20.4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解:∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为:4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析:4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立,再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解:∵()102nn a n =+⋅>,∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->, 记232n nn b -=,112121223462n n n n n b n n b n ++--==--, ∴3n ≥时,11n nb b +<,即3n ≥时数列单调递减, 又∵ 1211,24b b =-=, ∴ ()3max 38n b b ==, ∴358λ->,即337588λ<-=,∴整数λ的最大值为4. 故答案为:4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数,考查化归转化思想,是中档题.三、解答题21.(1)21n a n =-;(2)2332n nn S +=-.【分析】(1)利用已知条件列出关于首项与公差的方程组,解方程组即得数列{}n a 的通项公式;(2)先由(1)得到n n n a 2n 122-=,再利用错位相减法求和即可. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩,即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩,所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩, 所以21n a n =-. (2)由(1)得n n n a 2n 122-=, 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++,① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++,② -①②得:21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭,所以2332n nn S +=-. 【点睛】易错点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22.条件选择见解析;(1)n a n =,2n n b =;(2)212222n n n n T +=-++.【分析】选①,(1)列出关于首项与公差、首项与公比的方程组,求出首项与公差、首项与公比,从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)由(1)知2nn n a b n +=+,利用分组求和法,结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.选②,(1)列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式,利用1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式;(2)由(1)知2n n n a b n +=+,利用分组求和法,结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 选①解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==, 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.由题意知132452,24b b b b ⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭,得324522b b b =+, 设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+,即22520q q -+=,解得2q,或12q =,由数列{}n b 为递增等比数列可知12q =不合题意, 所以{}n b 是一个以2为首项,2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=(2)由(1)知2nn n a b n +=+,()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++,()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+, ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.选②解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==, 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.令1n =,则111112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-,122n n S +∴=-当2n ≥时,()()1122222n n n n n n b S S +-=-=---=当1n =时,12b =也满足上式.2n n b =(2)由(1)知2nn n a b n +=+,()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++, ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+, ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.【点睛】方法点睛:利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种:一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 23.(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)直接利用定义证明12n n b b +=即得证;(2)分析得到211321n n a -≤⋅-,再利用等比数列求和得证. 【详解】 解:(1)121n n b a n =+-,1223241n n n a a n ++-=-, 则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--, 又11312b a =+=, 所以数列{}n b 是等比数列; (2)由(1)得,1232322n n n b --=⋅=⋅,N n *∈, 213221n n a n -∴=⋅--,N n *∈, 211n -≥,23210n n a -∴≥⋅->,211321n n a -∴≤⋅-, 当2n ≥时,21231111111111222+23312222211112251132112n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++=+<+=-<-++++⋅-,又11123S a ==<, 综上,3n S <,n *∈N . 【点睛】方法点睛:证明数列不等式常用的方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)数学归纳法;(5)放缩法;(6)反证法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24.(1)13n n a =,12n n b +=;(2)151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】(1)由1n =求得1a ,再風1b ,然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系,知其为等比数列,从而得通项公式,由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+,用累乘的方法求得n b ;(2)用错位相减法求和n T . 【详解】(1)由题意知:1111221S a a a +=+=,113a =,∴11413b a =-=, ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-(1b 也适合), (2)∵123n n n n a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n nn T -+=--⋅⋅. 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,累乘法求通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法:设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.25.(1)证明见解析;(2)()()235412n n nT n n +=++【分析】(1)利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+,证明数列{}1n a +是等比数列;(2)首先求数列{}n b 的通项公式,再利用裂项相消法求和. 【详解】 (1)121n n a a +=+,()1121n n a a +∴+=+,即1121n n a a ++=+,且112a +=, 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列;(2)由(1)可知11222n nn a -+=⋅=, 所以2log 2nn b n ==,()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛:本题第二问考查裂项相消法求和,这样的形式不是连续相消,如果前面剩下两个正数项,那么最后一定剩下两个负数项.26.(1)2nn a n =⋅;(2)()1122n n T n +=-⋅+;(3)12.【分析】(1)利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式; (2)利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ;(3)令2n n n c S S =-,分析数列{}n c 的单调性,由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】(1)数列{}n a 满足:12a =,()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭, 则2140a a =>,323202a a =⨯>,,以此类推,对任意的n *∈N ,0n a >,由已知条件可得()121n n n a a n++=, 3211212223222121n n n n a a a na a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-; (2)1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯,()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯,上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--,因此,()1122n n T n +=-⋅+;(3)21n n n b a n ==,则111123n S n=++++, 令2n n n c S S =-,则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++,则1n n c c +>, 则数列{}n c 为单调递增数列,所以,数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于{}n n a b 型数列,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于{}n n a b +型数列,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列,其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列,利用裂项相消法求和.。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.实数x ,y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则242x y z x +-=-的最大值为( )A .53-B .15-C .13D .952.已知正实数a ,b 满足231a b +=,则12a b+的最小值为( ) A .15B.8+C .16D.8+3.己知x ,y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩,且22z x y =+,若z 的最大值是其最小值的654倍,则a 的值为( ) A .1B .2C .3D .44.若x 、y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则22x y +的最小值为( )A .5B .4C .2D5.已知0x >,0y >,21x y +=,若不等式2212m m x y+>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .4m ≥或2m ≤- B .2m ≥或4m ≤- C .24m -<<D .42m -<<6.已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩,则目标函数=21z x y =+-的最大值为( ) A .6B .7C .8D .97.在各项均为正数的等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,7S =14,则2614t a a =+的最小值为( ) A .9B .94C .52D .28.设x ,y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12,则22a b +的最小值为( ) A .254B .499C .14425D .225499.已知,20a b c a b c >>++=,则ca的取值范围是( ) A .31ca-<<- B .113c a -<<- C .21ca-<<- D .112c a -<<- 10.已知4213332,3,25a b c ===,则 A .b a c << B .a b c << C .b c a <<D .c a b <<11.已知正数x ,y 满足x +y =1,且2211x y y x +++≥m ,则m 的最大值为( ) A .163B .13C .2D .412.设函数2()1f x mx mx =--,若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3},()4f x m <-+恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A .m ≤0 B .0≤m <57C .m <0或0<m <57D .m <57二、填空题13.西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势,实现了气能源需求与供给的东西部衔接,同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中,某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷,勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角,用测量仪器得到此横截圆面的圆心为O ,半径OM ON =且为1米,而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角,需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示,位于峡谷悬崖壁上的两点A ,B 的连线恰好与圆弧拐角相切于点T (点A ,T ,B 在同一水平面内),若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角,其长度不能超过______________米.14.设点(),P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,所表示的区域内(含边界),则目标函数4z x y =-的最大值是_________.15.已知x ,y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,则11x z y -=+,则z 的最大值为________.16.已知1,1,1,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩当z x y =+取到最小值时,xy 的最大值为________.17.已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩,若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1,则28a b+的最小值为__________. 18.已知点(3,3A ,O 是坐标原点,点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩,设z 为OA 在OP 上的投影,则z 的取值范围是__________.19.设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最大值是__________.20.已知a >0,b >0,则p =2b a﹣a 与q =b ﹣2a b 的大小关系是_____.三、解答题21.设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠.(1)若不等式()0f x >的解集为(1,3)-,求,a b 的值; (2)若(1)2,0,0f a b =>>,求19a b+的最小值.22.若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. (1)求m 的值;(2)已知正实数a ,b 满足4a b mab +=,求+a b 的最小值.23.如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ,公园由矩形的休闲区(阴影部分)1111D C B A 和环公园人行道组成,已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米,人行道的宽分别为4米和10米,设休闲区的长为x 米.(1)求矩形ABCD 所占面积S (单位:平方米)关于x 的函数解析式; (2)要使公园所占面积最小,问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米?24.某企业采用新工艺,把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?25.若实数0x >,0y >,且满足8x y xy +=-. (1)求xy 的最大值; (2)求x y +的最小值26.已知a R ∈,若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-.(1)求a 的值;(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立,求实数b 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D解析:D 【分析】首先画出可行域,变形24222x y y z x x +-==+--,利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-,m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率, 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩,解得:1,3x y ==,即()1,3C , 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩,解得:3,1x y =-=,即()3,1B -, 如图,101325BD k -==---,30312CD k -==--,所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,z 的最大值是95.故选:D 【点睛】关键点点睛:本题的关键是变形242x y z x +-=-,并理解z 的几何意义,利用数形结合分析问题.2.D解析:D 【分析】妙用“1”的代换,利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式,求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ,b 满足231a b +=, 则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭,当且仅当34b a b a =,即3133,46a b --==时等号成立,故12a b +的最小值为843+. 故选:D. 【点睛】 思路点睛:利用基本不等式求最值时,需注意取等号条件是否成立. (1)积定,利用2x y xy +≥,求和的最小值;(2)和定,利用()24x y xy +≤,求积的最大值;(3)已知和式(倒数和)或为定值时,妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3.A解析:A 【分析】作出不等式组表示的图象,22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方,由图可观察出最远的点和最近的点,分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象,则阴影部分即为可行域, 由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩,即(2,3)A ,220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >,因为22z x y =+, z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大,22max 2313z =+=,z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方,2min22444z a a ⎛⎫== ⎪++⎝⎭, 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+,整理得245a +=,解得1a =或1a =-(舍去). 故选:A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,关键点是作出可行域,利用z 的几何意义确定点,考查了数形结合思想,属于基础题.4.C解析:C 【分析】由不等式组作出可行域,如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方,故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方,根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图,目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方,故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方,由点到直线的距离公式可知,原点到直线2x y +=的距离为22d ==,所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,作图时,可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+(或y kx b ≥+),明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5.D解析:D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥,再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解:由于0x >,0y >,21x y +=, 所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭, 当且仅当4y x x y =,即122x y ==时等号成立, 由于不等式2212m m x y+>+成立, 故228m m +<,解得:42m -<<. 故实数m 的取值范围是:42m -<<. 故选:D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,一元二次不等式的解法,考查运算能力,是中档题.6.C解析:C 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【详解】由约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图,联立150x x y =⎧⎨+-=⎩,解得A (1,4),化目标函数z =x +2y ﹣1为y 1222x z =-++, 由图可知,当直线y 1222x z =-++过A 时,z 有最大值为8. 故选C .【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了目标函数的几何意义,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.7.B解析:B 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +,然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值. 【详解】 由题意172677()7()1422a a a a S ++===,∴264a a +=, ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++6622262644119(5)(52)444a a a a a a a a =++≥+⋅=,当且仅当62264a a a a =,即622a a =时等号成立. 故选:B . 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查基本不等式求最值.解题基础是掌握等差数列的性质,掌握基本不等式求最值中“1”的代换法.8.C解析:C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式,结合点到直线的距离公式,求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示,由于0,0a b >>,所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方,原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+, 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选:C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.9.A解析:A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--,再代入不等式a b >,b c >,解这两个不等式,即可得a 与c 的比值关系,联立可求ca的取值范围 【详解】解:因为,20a b c a b c >>++=, 所以0,0a c ><,2b a c =--, 因为a b c >>,所以2a c a --<,即3a c >-,解得3ca>-, 将2b a c =--代入b c >中,得2a c c -->, 即a c <-,得1ca<-, 所以31ca-<<-,故选:A【点睛】此题考查一元一次不等式的应用,考查不等式性质的应用,考查转化思想,属于中档题 10.A解析:A【详解】 因为422233332=4,3,5a b c ===,且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增,所以b <a <c . 故选A.点睛:本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题,解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用;三是借助于中间变量比较大小. 11.B解析:B【分析】 根据题意2211x y y x +++=22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5,由基本不等式的性质求出4411+++y x =13(4411+++y x )[(x +1)+(y +1)]的最小值,即可得2211x y y x +++的最小值,据此分析可得答案.【详解】根据题意,正数x ,y 满足x +y =1, 则2211x y y x +++=22(1)(1)11--+++y x y x =(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4=(4411+++y x )﹣5, 又由4411+++y x =13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], =13 [8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163, 当且仅当x =y =12时等号成立, 所以2211x y y x +++=(4411+++y x )﹣5163≥﹣5=13, 即2211x y y x +++的最小值为13,所以3m ≤,则m 的最大值为13; 故选:B .【点睛】 本题主要考查基本不等式的性质以及应用,还考查了转化求解问题的能力,属于中档题. 12.D解析:D【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2-mx +m -5 < 0恒成立,分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法,求m 的范围【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3},()4f x m <-+恒成立即可知:mx 2-mx +m -5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立令g (x )=mx 2-mx +m -5,对称轴为12x =当m =0时,-5 < 0恒成立当m < 0时,有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<,得m < 5,故有m < 0当m >0时,有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<,得507m <<综上,实数m 的取值范围为57m <故选:D【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用,将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题,结合一元二次不等式解法,应用分类讨论的思想求参数范围 二、填空题13.75【分析】设则可得AB 长度的表达式利用凑1法结合基本不等式即可求得答案【详解】设其中延长OM 交AB 于D 过B 做SB 垂线交DO 于G 延长ON 交AB 于E 过A 做SA 垂线交NO 于F 如图所示:在中AF=39则即解析:75【分析】设=MOT θ∠,则可得AB 长度的表达式,利用凑“1”法,结合基本不等式,即可求得答案.【详解】设=MOT θ∠,其中(0)2πθ∈,,延长OM ,交AB 于D ,过B 做SB 垂线,交DO 于G ,延长ON ,交AB 于E ,过A 做SA 垂线,交NO 于F ,如图所示:在Rt AEF 中,AEF θ∠=,AF =39,则sin AF AE θ=,即39sin AE θ=, 在Rt BDG 中,DBG θ∠=,17BG =,则cos BG BD θ=,即17cos BD θ=, 在Rt DOE 中, OT DE ⊥,OT=1,所以11,cos sin DO EO θθ==, 又1122DO EO DE OT ⨯⨯=⨯⨯,所以1sin cos DE θθ=, 所以39171()sin cos sin cos AB f AE BD DE θθθθθ==+-=+-=39cos 17sin 1sin cos θθθθ+-, 因为4sin 3cos 5sin()5θθθϕ+=+≤,其中3tan 4ϕ=,当且仅当2πθϕ+=时,等号成立, 所以1(4sin 3cos )(39cos 17sin )139cos 17sin 15()sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθ++-+-=≥ 22221(68sin 207sin cos 117cos )(sin cos )5sin cos θθθθθθθθ++-+= =2263207112sin sin cos cos 716207555(9tan )sin cos 5tan 5θθθθθθθθ++=++ 71620729tan 755tan 5θθ≥⨯⨯=, 当且仅当169tan tan θθ=,即4tan 3θ=时等号成立, 所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角,其长度不能超过75米.故答案为:75.【点睛】解题的关键是根据题意,得到AB 长度的表达式,难点在于需利用凑“1”法,将表达式化简成齐次式,结合基本不等式求解,考查计算化简的能力,属中档题.14.【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A 时z 取最大值由可得所以故答案为: 解析:163【分析】根据线性约束条件,画出可行域,将目标函数化为直线方程,通过平移即可求得目标函数的最大值.【详解】由题意作出可行域,如图,目标函数4z x y =-可化为4y x z =-,上下平移直线4y x z =-,数形结合可得,当直线过点A 时,z 取最大值,由2103x y x y -+=⎧⎨+=⎩,可得54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以54164333max z =⨯-=. 故答案为:163. 【点睛】方法点睛:求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是:①作图,画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ; ②平移,将l 平行移动,以确定最优解所对应的点的位置;③求值,解有关的方程组求出最优点的坐标,再代入目标函数,求出目标函数的最值.15.4【分析】先分析的几何意义然后利用线性规划求解出的取值范围从而的最大值可求【详解】作出可行域如图所示可以看做其中M 为可行域(阴影区域)内一点因为所以所以所以的最大值为4故答案为:【点睛】结论点睛:常 解析:4【分析】先分析11x y -+的几何意义,然后利用线性规划求解出11x y -+的取值范围,从而z 的最大值可求.【详解】 作出可行域如图所示,11x z y -=+可以看做1PM k ,其中()1,1P -,M 为可行域(阴影区域)内一点,因为()1121PA k --==-,()0.511314PA k ---==-, 所以(]1,2,4PM k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭,所以(]10,4PM k ∈,所以z 的最大值为4,故答案为:4.【点睛】结论点睛:常见的非线性目标函数的几何意义:(1)y b z x a -=-:表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率; (2)()()22z x a y b =-+-(),x y 到点(),a b 的距离;(3)z Ax By C =++:表示点(),x y 到直线0Ax By C ++=22A B +倍. 16.【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示:将目标函数变形为由图可知当直线与直线重解析:14【分析】根据约束条件作出可行域,将目标函数变形为y x z =-+,通过平移可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时,z 取得最小值,再利用基本不等式求解即可.【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域,如图所示:将目标函数z x y =+变形为y x z =-+,由图可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时,z 取得最小值,此时1x y +=, 所以21()24x y xy +≤=,当且仅当x y =且1x y +=,即12x y ==时等号成立. 所以xy 的最大值为14. 故答案为:14【点睛】 本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式,解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域,准确地理解目标函数的几何意义.17.【解析】分析:画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解:画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时 解析:【解析】分析:画出不等式组表示的平面区域,因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-,由0a b >>可得10a k b-<=-<,因为直线40x y +-=的斜率为-1,所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时,取得最小值1.可得1a b +=.282828()()10b a a b a b a b a b+=++=++,利用基本不等式可得2828281010218b a b a a b a b a b+=++≥+⨯=. 详解:画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部,如图.由100y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B . 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时,取得最小值1.所以1a b +=. 所以28282828()()1010218b a b a a ba b a b a b a b+=++=++≥+⨯=. 当且仅当2810,0b a a b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b ==时,上式取“=”号. 所以28a b+的最小值为18. 点睛:⑴ 线性规划问题应先画出平面区域,求(0)z ax by a b =+>>的最值时,当0b >时,直线z ax by =+越向上平移,z 取值越大;当0b <时,直线z ax by =+越向上平移,z 取值越小;⑵ 用基本不等式求最值时,和定积最大,积定和最小.若,a b m m +=为常数,则111111()()(2)b a a b a b m a b m a b+=++=++,然后利用基本不等式求最值即可. 18.【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z 的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时;当时的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题解析:[]3,3-【分析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠,数形结合求出AOP ∠的取值范围,即求z 的取值范围.【详解】作出可行域,如图所示cos 3OA OPz OA AOP AOP OP ⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦,∴当6AOP π∠=时,max 23cos 36z π==;当56AOP π∠=时,min 523cos36z π==-,z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为:[]3,3-.【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影,属于中档题. 19.16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示:由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然 解析:16【分析】作出不等式组表示的平面区域,由2z x y =+可得2y x z =-+,则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距,截距越大,z 越大,结合图象即可求解z 的最大值.【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域,如图所示:由2z x y =+可得2y x z =-+,则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距,截距越大,z 越大作直线20x y +=,然后把该直线向可行域平移,当直线经过A 时,z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ,此时16z =. 故答案为:16.【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用,求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义.属于中档题.20.【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为:【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键解析:p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小.【详解】因为0a >,0b >,2b p a a =-与2a qb b=-, 所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==,b a =时取等号, 所以p q .故答案为:p q .【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较,作差法的应用是求解问题的关键.三、解答题21.(1)14a b =-⎧⎨=⎩;(2)16. 【分析】(1)由不等式()0f x >的解集(1,3)-.1-,3是方程()0f x =的两根,由根与系数的关系可求a ,b 值;(2)由()12f =,得到1a b +=,将所求变形为1(9)()a ba b ++展开,利用基本不等式求最小值.【详解】解:(1)∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-, 1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根,21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩. (2)由于()12f =,0a >,0b >,则可知232a b +-+=,得1a b +=,所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=, 当且仅当9b a a b=且1a b +=, 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立, 所以19a b+的最小值为16. 【点睛】 易错点睛:在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.22.(1)1;(2)9.【分析】(1)根据不等式与对应方程的关系,列方程求出m 的值;(2)先求得141b a +=,可得14()()a b a b b a +=++,展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值.【详解】(1)不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<, 即[2(2)]0x x m +-<,所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --,又不等式的解集为{|02}x x <<,所以2(2)2m --=,解得1m =;(2)由正实数a ,b 满足4a b mab +=,所以4a b ab +=,所以141b a+=, 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++, 当且仅当26a b ==时取等号,所以+a b 的最小值为9.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,也考查了利用基本不等式求最值,是基础题. 23.(1)1000(20)(8),(0)S x x x =++>;(2)休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米,20米.【分析】(1)先表示休闲区的宽,再表示矩形ABCD 长与宽,最后根据矩形面积公式得函数解析式,注意求函数定义域;(2)根据基本不等式求S 最小值,再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽.【详解】(1)因为休闲区的长为x 米,休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米,所以休闲区的宽为1000x 米;从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x+米, 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x =++>,(2)100020000(20)(8)1160811601960S x x x x =++=++≥+= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号,此时100020x= 因此要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米,20米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.24.(1)400吨;(2)不获利,补40000元.【分析】(1)求得每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-,利用基本不等式求得y x的最小值,利用等号成立的条件求得x 的值,由此可得出结论; (2)令()2211100200800003008000022f x x x x x x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭,求得该函数在区间[]400,600的最大值,进而可得出结论.【详解】(1)由题意可知,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤, 所以,每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x =+-,由基本不等式可得200200y x ≥=(元), 当且仅当1800002x x=时,即当400x =时,等号成立,因此,该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低;(2)令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭,400600x ≤≤,函数()f x 在区间[]400,600上单调递减,当400x =时,函数()f x 取得最大值,即()()max 40040000f x f ==-.所以,该单位每月不能获利,国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用,考查计算能力,属于中等题.25.(1)4;(2)4.【分析】(1)由于0x >,0y >,根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法,即可求出xy 的最大值;(2)根据题意,由0x >,0y >,根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤,通过解一元二次不等式,即可求出x y +的最小值.【详解】解:(1)∵0x >,0y >,∴8xy x y -=+≥80xy +≤,即2)0≤,解得:02<,04xy ∴<≤(当且仅当2x y ==时取等号),∴xy 的最大值为4.(2)∵0x >,0y >,28()()2x y x y xy +∴-+=≤, 即2()()802x y x y +-++≥, 整理得:2()()3204x y x y +++-≥,∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣,∴4x y +≥(当且仅当2x y ==时取等号),所以x y +的最小值为4.【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值,以及一元二次不等式的解法,考查转化思想和运算能力.26.(1)3;(2)6b ≥-【分析】(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ,即可求出a 的值; (2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立,利用分离参数即可求出b 的取值范围.【详解】(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根,将1x =代入方程解得3a =;(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立,即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立, 当0x =时,03≤恒成立,此时a R ∈;当2(]0,x ∈时,不等式可转化为13()b x x -≤+在[0,2]上恒成立,因为13()36x x +≥⨯=,当且仅当1x x =,即1x =时,等号成立, 所以6b -≤,所以6b ≥-,综上,实数b 的取值范围为6b ≥-.【点睛】本题主要考查三个二次式关系的应用,不等式恒成立问题的求法,属于中档题.。
人教版高中数学必修五综合测试题

人教版高中数学必修五综合测试题一、选择题1.不等式x 2≤3x 的解集是:2.不等式的解集是:3. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。
4. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .5. 在约束条件0024x y y x sy x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围()A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]6.已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。
7.在平面直角坐标系中,不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是() A.2228.某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是()A.80B. 85C. 90D.959.设M =2a (a -2)+3,N =(a -1)(a -3),a ∈R ,则有( )A .M >NB .M ≥NC .M <ND .M ≤N10.若关于x 的函数y =2x +m 2x在(0,+∞)的值恒大于4,则( )11.已知定义域在实数集R 上的函数y =f (x )不恒为零,同时满足f (x ·y )=f (x )+f (y ),且当x >1时,f (x )>0,那么当x <1时,一定有( )A .f (x )<-1B .0<f (x )<1C .f (x )>-1D .-1<f (x )<012.不等式log 12(x 2-2x -15)>log 12(x +13)的解集是_________.。
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2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题(A )(必修五)一、选择题(每题5分,共10小题)1.设a 、b 、c 、d∈R,且a >b,c >d,则下列结论正确的是( ) A .a+c >b+dB .a-c >b-dC .ac >bdD .a d >b c211两数的等比中项是( ) A .2B .-2C .±2D .以上均不是3.若三角形三边长的比为5∶7∶8,则它的最大角和最小角的和是( ) A .90°B .120°C .135°D .150°4.数列{a n }中,2n a 2n 29n 3=-++,则此数列最大项的值是( )A .103B .11088C .11038D .1085.若△ABC 的周长等于20,面积是BC 边的长是 ( ) A .5B .6C .7D .86.在数列{a n }中,a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n≥2,n∈N *),则35a a 的值是( ) A .1516B .158C .34 D .387.在△ABC 中,角A ,B 均为锐角,且cosA >sinB ,则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形8.在等差数列{a n }中,2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=24,则此数列的前13项之和等于( ) A .13B .26C .52D .1569.数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 ( )A . 211n -B .211n +C .211(1)n ++D .211(1)n -+10.已知不等式(x + y )(1x + ay)≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .2B .4C .6D .8二、填空题(每题5分,共5小题) 11.数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项.12. 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =1,b =2,cos C =14,则sin B =________.13. 已知点(x,y )满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______.14.如图,在四边形ABCD 中,已知AD⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC 的长为______. 15.在△ABC 中,给出下列结论:①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形; ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3. 其中正确结论的序号为 . 三、解答题(共6小题,共75分)16.(12分)已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a,b .(2)解不等式ax 2-(ac+b )x+bc<0.17.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=3a cos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.18.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n.(1)求a3,a4; (2)证明:{a n+1-2a n}是等比数列;(3)求{a n}的通项公式.19.(12分)设函数()cosfθθθ=+,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为12⎛⎝⎭,求f(θ)的值;(2)若点P(x,y)为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.20.(13分)某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x 元时,销售量可达到15-0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的 利润=售价-供货价格,问:(1)每套丛书定价为100元时,书商能获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书定价为多少元时,单套丛书的利润最大?21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和,且1151,15b a S ===(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知916a =,求50a 的值; (2)设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+,求n T .参考答案1.设a 、b 、c 、d∈R,且a >b,c >d,则下列结论正确的是( ) (A )a+c >b+d (B )a-c >b-d (C )ac >bd (D )a d >b c1.【解析】选A .由不等式的可加性可知a+c >b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时,B 不一定成立, C ,D 中a 、b 、c 、d 符号不定,不一定成立.2. 11两数的等比中项是( )A .2B .-2C .±2D .以上均不是2.【解析】设等比中项为x ,则x 2=1)1)=4.所以x=±2.故应选C . 答案:C3.若三角形三边长的比为5∶7∶8,则它的最大角和最小角的和是( ) (A )90° (B )120° (C )135° (D )150° 3.【解析】选B .设三边长为5x,7x,8x ,最大的角为C ,最小的角为A . 由余弦定理得:()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°.4.数列{a n }中,2n a 2n 29n 3=-++,则此数列最大项的值是( )(A )103 (B )11088 (C )11038(D )108 4.【解析】选D .根据题意结合二次函数的性质可得:22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时,a n =108为最大值.5.若△ABC 的周长等于20,面积是103,A=60°,则BC 边的长是 ( ) A .5B .6C .7D .85.解析:由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒,则bc=40.又a+b+c=20,所以b+c=20-a .由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7.答案:C6.在数列{a n }中,a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n≥2,n∈N *),则35a a 的值是( ) (A )1516 (B )158 (C )34 (D )386.【解析】选C .当n=2时,a 2·a 1=a 1+(-1)2,∴a 2=2; 当n=3时,a 3a 2=a 2+(-1)3,∴a 3=12; 当n=4时,a 4a 3=a 3+(-1)4,∴a 4=3;当n=5时,()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=,, 7.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 7.解析:cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角,则,,222A B A B C πππ->+<>,选C .答案:C8.在等差数列{a n }中,2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=24,则此数列的前13项之和等于( ) (A )13 (B )26 (C )52 (D )1568.【解析】选B .∵2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4.()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9.数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是( )A . 211n-B . 211n+C . 211(1)n ++ D . 211(1)n -+ 9.解析:因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案:D10.已知不等式(x + y )(1x + ay )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A .2B .4C .6D .810.解析:不等式(x +y )(1ax y+)≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则1y axa x y+++≥1a +4(舍去),所以正实数a 的最小值为4,选B .答案:B11.数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则10-3是此数列的第 项.解析:因为a n =1n n +-=10-3,所以n=9. 答案:912. 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =1,b =2,cos C =14,则sin B =________. 12.154 [解析] 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =1+4-2×1×2×14=4,解得c =2,所以b =c ,B =C ,所以sin B =sin C =1-cos 2C =154.13. 已知点(x,y )满足x 0y 0x+y 1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______.13.【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A (1,0),B (0,1),故过B 时u 最大,u max =1,过A 点时u 最小,u min =-1. 答案:[-1,1]14.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC的长为______.14.【解析】在△ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即142=x2+102-2·10x·cos60°,整理得x2-10x-96=0,解之得x1=16,x2=-6(舍去).由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠=,∴BC=16sin135︒·sin30°=.答案:15.在△ABC中,给出下列结论:①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形;④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.其中正确结论的序号为.解析:在①中,cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故①正确;在②中,b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确;在③中,cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角,但△ABC不一定是锐角三角形,故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3,故A=30°,B=60°,C=90°,所以∶2,故④不正确.答案:①16.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b .(2)解不等式ax 2-(ac+b )x+bc<0.【解】(1)因为不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2-3x+2=0的两个实数根,且b>1. 由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)解不等式ax 2-(ac+b )x+bc<0,即x 2-(2+c )x+2c<0,即(x-2)(x-c )<0, 所以①当c>2时,不等式(x-2)(x-c )<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c )<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c )<0的解集为∅.17.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b sin A =3a cos B .(1)求角B 的大小;(2)若b =3,sin C =2sin A ,求a ,c 的值.17.解:(1)由b sin A =3a cos B 及正弦定理a sin A =b sin B,得 sin B =3cos B ,所以tan B =3,所以B =π3. (2)由sin C =2sin A 及a sin A =csin C,得c =2a . 由b =3及余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得9=a 2+c 2-ac ,将c =2a 代入得, a =3,c =23.18.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n .(1)求a 3,a 4;。