高三一轮复习练习题
高三一轮复习化学练习题及答案
1．N A代表阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．常温常压下，124gP4中所含P—P键数目为4N AB．100mL1mol·L−1FeCl3溶液中所含Fe3+的数目为0.1N AC．标准状况下，11.2L甲烷和乙烯混合物中含氢原子数目为2N AD．密闭容器中，2molSO2和1molO2催化反应后分子总数为2N A2．NaOH溶液滴定邻苯二甲酸氢钾（邻苯二甲酸H2A的K a1=1.1×10−3 ，K a2=3.9×10−6）溶液，混合溶液的相对导电能力变化曲线如图所示，其中b点为反应终点。
下列叙述错误的是A．混合溶液的导电能力与离子浓度和种类有关B．Na+与A2−的导电能力之和大于HA−的C．b点的混合溶液pH=7D．c点的混合溶液中，c(Na+)>c(K+)>c(OH−)3．用0.100 mol·L-1 AgNO3滴定50.0 mL 0.0500 mol·L-1Cl-溶液的滴定曲线如图所示。
下列有关描述错误的是A．根据曲线数据计算可知K sp(AgCl)的数量级为10-10B．曲线上各点的溶液满足关系式c(Ag+)·c(Cl-)=K sp(AgCl)C．相同实验条件下，若改为0.0400 mol·L-1 Cl-，反应终点c移到aD．相同实验条件下，若改为0.0500 mol·L-1 Br-，反应终点c向b方向移动4．常温下将NaOH溶液滴加到己二酸（H2X）溶液中，混合溶液的pH与离子浓度变化的关系如图所示。
下列叙述错误的是A ．K a2（H 2X ）的数量级为10–6B ．曲线N 表示pH 与()()2lgc HX c H X -的变化关系C ．NaHX 溶液中c(H ＋)>c(OH －)D ．当混合溶液呈中性时，c(Na ＋)>c(HX －)>c(X 2－)>c(OH －)=c(H ＋) 5．下列化学方程式中，不能正确表达反应颜色变化的是 A ．向CuSO 4溶液中加入足量Zn 粉，溶液蓝色消失Zn+CuSO 4Cu+ZnSO 4B ．澄清的石灰水久置后出现白色固体Ca(OH)2+CO 2CaCO 3↓+H 2OC ．Na 2O 2在空气中放置后由淡黄色变为白色2Na 2O 22Na 2O+O 2↑D ．向Mg(OH)2悬浊液中滴加足量FeCl 3溶液出现红褐色沉淀3Mg(OH)2+2FeCl 32Fe(OH)3+3MgCl 26．绚丽多彩的无机颜料的应用曾创造了古代绘画和彩陶的辉煌。
高三数学一轮复习【解析几何】练习题
高三数学一轮复习【解析几何】练习题1.已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的值可以是()A.－1B.1C.3D.5答案ABC解析由题意得两圆内切或外切，∴|O1O2|＝2＋1或|O1O2|＝2－1，∴|a|＝3或|a|＝1，∴a＝±3，或a＝±1.故选ABC.2.设椭圆C：x28＋y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是() A.|PF1|＋|PF2|＝4 2B.离心率e＝6 2C.△PF1F2面积的最大值为4 2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－22＝0相切答案AD解析依题意知a＝22，b＝2，c＝2.对于A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝42，所以A正确；对于B，e＝ca ＝222＝22，所以B不正确；对于C，|F1F2|＝2c＝4，当P为椭圆短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为12×2c·b＝c·b＝4，所以C错误；对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线x＋y－22＝0的距离为222＝2，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－22＝0相切，所以D正确.故选AD.3.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A ，B ，则( )A.若A ，B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43 B.若A 在双曲线的右支，则|FA |的最短长度为2 C.|AB |的最短长度为323 D.满足|AB |＝11的直线有4条 答案 BD解析 易知双曲线C 的右焦点为F (5，0).设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋5. 当m ≠0时，直线l 的斜率为k ＝1m . 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋5，16x 2－9y 2＝144.消去x 并整理，得(16m 2－9)y 2＋160my ＋256＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧16m 2－9≠0，Δ＝1602m 2－4×256（16m 2－9）＝962（m 2＋1）>0，解得m ≠34.对于A 选项，当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，则A ，B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，|FA |min ＝c －a ＝5－3＝2，B 选项正确；对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，|AB |＝2a ＝6<323，C 选项错误； 对于D 选项，当A ，B 两点在双曲线右支上，且直线与x 轴垂直时，|AB |＝323.∵323<11，∴过F 的直线有两条；当A ，B 两点分别在双曲线的两个分支上时，∵a ＋c ＝8<11，∴过F 的直线有两条.故满足|AB |＝11的直线有4条，D 选项正确.故选BD. 4.已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，则( ) A.|AB |＝8 B.OA ⊥OBC.△AOB 的面积为2 2D.线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2 答案 AC解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得y 2－4y －4＝0，所以y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，所以x 1＋x 2＝y 1＋1＋y 2＋1＝6，x 1x 2＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4＋4＋1＝1.对于A ，直线AB 过抛物线的焦点，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确； 对于B ，OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋(－4)＝－3≠0，故B 不正确；对于C ，点O 到直线AB 的距离d ＝|－1|12＋12＝22，所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×8×22＝22，故C 正确； 对于D ，线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即(3，2)，所以线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为3，故D 不正确.选AC.5.已知曲线C ：y 2＝m (x 2－a 2)，其中m 为非零常数且a >0，则下列结论正确的是( )A.当m ＝－1时，曲线C 是一个圆B.当m ＝－2时，曲线C 的离心率为22 C.当m ＝2时，曲线C 的渐近线方程为y ＝±22xD.当m >－1且m ≠0时，曲线C 的焦点坐标分别为(－a 1＋m ，0)和(a 1＋m ，0)答案 ABD解析 对于A ，当m ＝－1时，曲线方程为y 2＝－(x 2－a 2)，即x 2＋y 2＝a 2，其是圆心为(0，0)，半径为a 的圆，故A 正确；对于B ，当m ＝－2时，曲线方程为y 2＝－2(x 2－a 2)，即x 2a 2＋y 22a 2＝1，其为焦点在y 轴上的椭圆，且长半轴长为2a ，短半轴长为a ，则半焦距为a ，所以离心率e ＝a 2a ＝22，故B 正确；对于C ，当m ＝2时，曲线方程为y 2＝2(x 2－a 2)，即x 2a 2－y 22a 2＝1，其为焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为a ，虚半轴长为2a ，所以渐近线方程为y ＝±2aa x ＝±2x ，故C 不正确；对于D ，当－1<m <0时，曲线方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，其为焦点在x 轴上的椭圆，且长半轴长为a ， 短半轴长为a－m ，则半焦距为a1＋m ， 所以焦点坐标为(－a1＋m ，0)和(a1＋m ，0)；当m >0时，曲线方程为x 2a 2－y 2ma 2＝1，其为焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴长为a ，虚半轴长为a m ，则半焦距为a1＋m ，所以焦点坐标为(－a 1＋m ，0)和(a 1＋m ，0)，故D 正确.综上所述，选ABD.6.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则( ) A.C 的准线方程为y ＝1 B.线段PQ 长度的最小值为4 C.M 的坐标可能为(3，2) D.OP →·OQ→＝－3答案 BCD解析 对于A ，因为焦点F 到准线的距离为2，即p ＝2，所以抛物线C 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，故A 错误；对于B ，由抛物线性质知当PQ 垂直于x 轴时，|PQ |取得最小值，此时可取P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ |＝4，故B 正确；对于C ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，所以y 1＋y 2＝4m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，当m ＝1时，可得M (3，2)，故C 正确；对于D ，因为y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m (y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，故D 正确.综上所述，选BCD.7.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2＝1(a >0)，其上、下焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.过双曲线上一点M (x 0，y 0)作直线l ，分别与双曲线的渐近线交于点P ，Q ，且点M 为PQ 中点，则下列说法正确的是( ) A.若l ⊥y 轴，则|PQ |＝2B.若点M 的坐标为(1，2)，则直线l 的斜率为14 C.直线PQ 的方程为y 0ya 2－x 0x ＝1D.若双曲线的离心率为52，则三角形OPQ 的面积为2 答案 ACD解析由题意知双曲线C的虚轴长为2b＝2，半焦距为c＝a2＋1，双曲线的渐近线方程为y＝±ax.A项，当l⊥y轴时，M是双曲线的顶点，从而|PQ|＝2b＝2，A项正确；将(1，2)代入双曲线方程，得a2＝2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且P在直线y＝ax 上，则y1＝ax1，y2＝－ax2，y1－y2＝a(x1＋x2)，易知x1＋x2＝2，则y1－y2＝22，又y1＋y2＝4，则y1＝2＋2，x1＝2＋1，所以k l＝y1－2x1－1＝1，B错误；C项，易得l的方程为y－y0x－x0·y0x0＝a2，整理可得y0ya2－x0x＝1，C正确；D项，由e＝1＋1a2＝52，得a＝2，所以双曲线方程为y24－x2＝1，由C项可知l是双曲线的切线，因为双曲线的切线与两条渐近线相交所成三角形的面积为定值ab，所以三角形OPQ的面积为2，D正确.8.已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E 于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影.下列命题正确的是()A.若AB⊥BF，则|AP|＝|PC|B.若P，B，F三点共线，则|AF|＝4C.若|AB|＝|BC|，则|AF|＝2|BF|D.对于任意直线m，都有|AF|＋|BF|>2|CF|答案BCD解析法一如图，由已知条件可得F(1，0)，C(－1，0).由抛物线的对称性，不妨设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).依题意x 1>x 2>0，y 1>0，y 2>0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x消y 整理，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.当Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16－16k 2>0， 即0<k <1时，由根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1.对于A 选项，因为直线BF 的斜率为y 2x 2－1，AB ⊥BF ，所以k ·y 2x 2－1＝－1，即y 2x 2－1·y 2x 2＋1＝－1. 又y 22＝4x 2，所以x 22＋4x 2－1＝0，解得x 2＝5－2(负值舍去)，所以x 1＝5＋2. 所以|AP |＝|AF |＝5＋3，|PC |＝y 1＝8＋45，故|AP |≠|PC |，故A 错误； 对于B 选项，易得P (－1，y 1)， 所以FB →＝(x 2－1，y 2)，FP →＝(－2，y 1).当P ，B ，F 三点共线时，y 1(x 2－1)＋2y 2＝0， 所以k (x 1＋1)(x 2－1)＋2k (x 2＋1)＝0， 两边同时除以k ，得x 1x 2＋3x 2－x 1＋1＝0， 又x 1x 2＝1，故可得x 1＝3， 所以|AF |＝x 1＋1＝4，故B 正确；对于C 选项，过B 作BQ ⊥l ，垂足为Q ，由已知可得AP ∥BQ ，所以|BQ ||AP |＝|BC ||AC |. 又|AB |＝|BC |，所以|AP |＝2|BQ |.由抛物线的定义，得|AF |＝|AP |，|BF |＝|BQ |， 因此|AF |＝2|BF |，故C 正确；对于D 选项，因为|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， 所以|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2≥2x 1x 2＋2＝4，又x 1≠x 2，|CF |＝2，故|AF |＋|BF |>2|CF |成立，故D 正确.法二 对于选项A ，假设|AP |＝|PC |成立，则△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝45°，∠ACF ＝45°，又AB ⊥BF ，所以△BCF 为等腰直角三角形，则点B 在y 轴上，这与已知条件显然矛盾，故|AP |≠|PC |，故A 错误.其他选项同法一进行判断.9.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点.若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( ) A.双曲线的离心率为 3B.双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC.∠PAF 2＝45°D.直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点 答案 ABD解析 因为|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以cos ∠PF 1F 2＝16a 2＋4c 2－4a 22·4a ·2c ＝32，解得c ＝3a ，所以e ＝3，故A 正确；e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝3，所以b 2a 2＝2，即b a ＝±2，所以渐近线方程为y ＝±2x ，故B 正确；因为2c ＝23a ，所以|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，所以∠PF 2F 1＝90°，又因为|AF 2|＝c ＋a ＝(3＋1)a ，|PF 2|＝2a ，所以|AF 2|≠|PF 2|，所以∠PAF 2≠45°，故C 错误；联立直线方程与双曲线方程⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x 2a 2－y 22a 2＝1，化简得7y 2－16y ＋8－2a 2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a 2)＝32＋56a 2>0，所以直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，故D 正确.故选ABD. 10.已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝1，曲线C n ：x 2a n ＋y 2a n ＋1＝1，n ∈N *，则下列说法中正确的是( ) A.若q >0且q ≠1，则C n 是椭圆B.若存在n ∈N *，使得C n 表示离心率为12的椭圆，则q ＝43C.若存在n ∈N *，使得C n 表示渐近线方程为x ±2y ＝0的双曲线，则q ＝－14 D.若q ＝－2，b n 表示双曲线C n 的实轴长，则b 1＋b 2＋…＋b 20＝6 138 答案 ACD解析 若q >0且q ≠1，则a n >0，a n ＋1>0且a n ＋1≠a n ，所以C n 表示椭圆，A 正确；当C n 表示椭圆时，显然q >0且q ≠1，若q >1，则a n ＋1>a n ，e ＝a n ＋1－a na n ＋1＝1－a na n ＋1＝1－1q ，令1－1q ＝12，解得q ＝43；若0<q <1，则a n >a n ＋1，e ＝a n －a n ＋1a n ＝1－a n ＋1a n＝1－q ，令1－q ＝12，解得q ＝34，故B 错误；若C n 表示双曲线，显然q <0，故双曲线C n 的一条渐近线方程为y ＝－a n ＋1a nx＝－qx ，令－q ＝12，解得q ＝－14，C 正确；若q ＝－2，则当n 为偶数时，a n <0，a n ＋1>0，双曲线C n 的焦点在y 轴上，则b n ＝2a n ＋1；当n 为奇数时，则a n >0，a n ＋1<0，双曲线C n 的焦点在x 轴上，则b n＝2a n .所以b 1＋b 2＋…＋b 20＝2(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋2(a 3＋a 5＋…＋a 21)＝4(a 1＋a 3＋…＋a 19)－2＋2a 21＝4×1－2101－2－2＋2×1×210＝3×211－6＝6138，D 正确.。
高三化学一轮复习 训练题—物质结构与性质
高考化学一轮训练题—物质结构与性质1．（2022·湖南·邵东创新实验学校高三期中）碳有多种同素异形体。
部分晶体或分子的结构如图所示：根据图中所示信息，回答下列问题：(1)石墨晶体中不存在的化学键是____ (填字母编号)。
A．共价键B．离子键C．范德华力D．氢键E．金属键(2)下列有关比较或说法中正确的是___________(填字母编号)。
A．沸点：石墨=金刚石＞C60B．三者都不溶于水及有机溶剂(如苯)C．熔点：石墨＞金刚石＞C60D．C60晶体中，与分子A等距离且最近的分子有6个(3)①石墨、金刚石、C60中C原子以sp2杂化的是____；①24g金刚石中含有___________个C-C键①C60晶胞中晶粒A的坐标为(1，0，0)，则晶粒B的坐标为____(4)金刚石的晶胞如图所示，设晶胞边长为a pm，则金刚石的密度为___________g/cm3。
2．（2022·福建省泉州实验中学高三期中）“物质的性质、性能，不仅与组成有关，还与晶体结构有关。
完成如下有关的问题。
(1)铁有δ、γ、α三种同素异形体，如图所示，三种晶体在不同温度下能发生转化。
三种晶体中，与每个铁原子等距离且最近的铁原子：δ-Fe 有8个、γ-Fe 有_______个、α-Fe 有_______个；将铁缓慢加热到1500①再降温到常温，缓慢冷却得固体A 和急速冷却得固体B ，两者密度不同，较大的是固体_______(填“A”或“B”)。
(2)金刚石和60C 都由碳元素组成，_______晶体中构成微粒的配位数较大，原因是_______。
(3)PTC 元件(热敏电阻)的主要成分3BaTiO 热稳定性好、介电常数高，在小型的变压器、话筒中都有应用。
晶体中，Ba 在由12个O 围成的十四面体(六个正方形、八个正三角形)的中心，Ti 在由6个O 围成的正八面体的中心，则O 在由_______围成的立体结构的中心。
2024届全国高考数学一轮复习好题专项(导数的综合应用)练习(附答案)
2024届全国高考数学一轮复习好题专项（导数的综合应用）练习一、基础练习1．（2021ꞏ沙坪坝区ꞏ重庆一中高三其他模拟）已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 310x e a x b +-++≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，则当3b a+取最大值时，实数a 的值为（ ） A ．3eB ．31e +C ．4eD ．41e +2．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）已知函数()e ax f x =a 的取值范围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．（2021ꞏ四川遂宁市ꞏ高三三模（理））已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e4．（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知f （x ）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝xxe ，若关于x 的方程2f 2（x ）+（2a ﹣1）f （x ）﹣a ＝0有且只有2个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1e ，﹣22e ] B ．[﹣1e ，﹣22e ） C ．（﹣22e，0）D ．（﹣22e ，0）∪{﹣1e}5．（2021ꞏ宁夏银川市ꞏ高三其他模拟（理））平行于x 轴的直线与函数ln ,0,(),0,x x f x e x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．1e e-B ．1e e+C ．eD ．2e6．（2021ꞏ正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知2m <-，若关于x 的不等式22e 2x mx n x +<+恒成立，则实数n 的取值范围为（ ） A ．[)3e,+∞B ．)2e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．[)2e,+∞7．【多选题】（2021ꞏ河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点8．（2021ꞏ黑龙江大庆市ꞏ高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________m 3（不计损耗）． 9．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.10．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若函数ln ()1xxf x ae x=--只有一个零点，则实数a 的取值范围是 ________． 二、提升练习1．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若不等式ln x ax b ≤+恒成立，则2a b +的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．ln 2D ．52.（2021ꞏ北京高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，则()f x 有两个零点； ②0k ∃<，使得()f x 有一个零点； ③0k ∃<，使得()f x 有三个零点； ④0k ∃>，使得()f x 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．3．（2021ꞏ四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +．（1）求a 的值； （2）证明：()0f x >．4．（2021ꞏ全国高三其他模拟（理））已知函数()()ln e xf x x m x -=+-.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，求m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当0x >时，()0f x >； （3）当1m >时，求()f x 的零点个数.5．（2021ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数2211()(1)ln (0)22f x x a x a x a a =-+++>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围.6．（2021ꞏ河北高三其他模拟）已知函数2ln 1()(ln )()2k x f x x k x+=+∈R . （1）当0k =时，求证：()1f x ≤； （2）当0k ≠时，讨论()f x 零点的个数.7．（2021ꞏ重庆市育才中学高三二模）已知函数()x f x e =，()1g x ax =+. （1）已知()()f x g x ≥恒成立，求a 的值；（2）若(0,1)x ∈，求证：21ln 11()x x f x x-+-<. 8.（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x+=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<.9．（2021ꞏ重庆高三二模）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值． （1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<． 10．（2021ꞏ江苏南通市ꞏ高三一模）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >. （1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>. 三、真题练习1．（2021ꞏ全国高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.2.（2021ꞏ全国高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．3．（2021ꞏ全国高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 4.（2020·山东海南省高考真题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．5．（2020·浙江省高考真题）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．6.（2019·全国高考真题（理））已知函数.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线的切线.()11ln x f x x x -=-+e x y =参考答案一、基础练习1．（2021ꞏ沙坪坝区ꞏ重庆一中高三其他模拟）已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 310x e a x b +-++≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，则当3b a+取最大值时，实数a 的值为（ ） A ．3e B ．31e +C ．4eD ．41e +【答案】C 【答案解析】不等式(3)10lnx e a x b +-++…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，化为不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，必然有0a >．令1=x e，化为：31b a e +…．令4a e =，1b =．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出结论． 【答案详解】解：不等式(3)10lnx e a x b +-++…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 则不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 则0a >． 令1=x e，则131a b e -+--…，化为：31b a e +…． 令4a e =，1b =．不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即不等式20lnx ex -+…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 令()2f x lnx ex =-+，则1()1()e x e f x e x x --'=-=，可得：1=x e 时，函数()f x 取得极大值即最大值，1(1120f e=--+=， 满足题意．可以验证其他值不成立． 故选：C ．2．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）已知函数()e ax f x =a 的取值范围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【答案解析】函数零点即方程ax e =的解，2ax e x =（0x >），取对数得2ln ax x =，此方程有两个解，引入函数()ln 2g x x ax =-，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【答案详解】显然(0)1f =，()e ax f x =有两个零点，即方程ax e =，2ax e x =在(0,)+∞上有两个解，两边取对数得到2ln ax x =，令()ln 2g x x ax =-，1()2g x a x '=-，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞， 因为()g x 有两个零点，则11ln 1022g a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭， 解得12e a <.所以正数a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C ．3．（2021ꞏ四川遂宁市ꞏ高三三模（理））已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e【答案】A 【答案解析】首先根据()0h x ≥求出2x ≥，进而参变分离解决恒成立的问题即可. 【答案详解】因为()()2xh x x e =-，所以()0h x ≥，即2x ≥，所以当2x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，即()2122xa a x e x x -≥-， 即()()1222xx e x ax -≥-， 当2x =时，()()1222xx e x ax -≥-恒成立，符合题意；当()2,x ∈+∞时，有12xe ax ≥，即2xe xa ≥，令()2x e m x x =，则()()2210x e x m x x-'=>，所以()m x 在()2,x ∈+∞上单调递增，而()22m e =，所以2e a ≥，故选：A.4．（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知f （x ）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝xxe ，若关于x 的方程2f 2（x ）+（2a ﹣1）f （x ）﹣a ＝0有且只有2个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1e ，﹣22e ]B ．[﹣1e ，﹣22e ） C ．（﹣22e，0）D ．（﹣22e ，0）∪{﹣1e}【答案】D 【答案解析】利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出1()f x e≤；结合题意得出()f x 在[]02，有且仅有1个解，计算(0)(2)f f 、的值即可. 【答案详解】当[]02x ∈，时()xxf x e =， 则1()x xf x e-'=令()=0f x '，解得1x =，所以当[]01x ∈，时()0f x '>，()f x 单调递增； 当[]12x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减， 所以max 1()(1)f x f e==，故1()f x e≤在定义域上恒成立，由22()(21)()0f x a f x a +--=有且只有2个实数根， 得方程[]12()()02f x a f x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦有2个解，又1()f x e≤，所以111()022f x e -≤-<，则()f x 在[]02，有且仅有1个解， 因为22(0)0(2)f f e ==，，则220a e <-<或1a e-=， 所以220a e-<<或1a e =-，即实数的取值范围是2210e e ⎛⎫⎧⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， 故选：D5．（2021ꞏ宁夏银川市ꞏ高三其他模拟（理））平行于x 轴的直线与函数ln ,0,(),0,x x f x e x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．1e e-B ．1e e+C ．eD ．2e【答案】D 【答案解析】画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可. 【答案详解】根据题意，画出()f x 的图象如下所示：令()f x t =，(0)t >，故可得lnx t =，解得t x e =；e t x -=，解得e x t=-.故可得(),,,te A e t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0)t >， 故()teAB g t e t==+，(0)t >， 故可得()2te g t e t ='-，()30te g t e t'=+>'恒成立， 故()g t '是单调递增函数，且()10g '=，关于()0g t '<在()0,1成立，()0g t '>在()1,+∞成立， 故()g t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 故()()12min g t g e e e ==+=. 即||AB 的最小值为2e . 故选：D6．（2021ꞏ正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知2m <-，若关于x 的不等式22e 2x mx n x +<+恒成立，则实数n 的取值范围为（ ） A ．[)3e,+∞ B ．)2e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．[)2e,+∞【答案】D 【答案解析】参变分离可得222e x mx x n +-<，研究函数()222exmx xf x +-=，根据导函数()()22e x m x x m f x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=以及2m <-，可得函数()f x 的极大值为22222e 0e m m f m -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，当2x >，()2220ex mx x f x -+=<，所以()2max 2e m f x -⎡⎤=⎣⎦，根据()f x 的最大值的范围即可得解. 【答案详解】由22e 2xmx n x +<+，得222exmx x n +-<， 令()222exmx xf x +-=，则()()22e xm x x m f x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=，当2m <-时，210m-<<， 函数()f x 在2,m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在2,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 的极大值为22222e 0e mm f m -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，极小值为()24220e m f -=<， 且2x >时，()2220ex mx x f x -+=<，所以()2max 2e m f x -⎡⎤=⎣⎦，由2m <-， 得22e 2e m -<，由()f x n <恒成立，得2e n ≥， 故选：D ．7．【多选题】（2021ꞏ河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点 【答案】ACD 【答案解析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况. 【答案详解】因为对于任意x ∈R ，都有()()()()3e e x x x x a xf x f -=-+---=--， 所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确.又()2e e 3xxx a f x =++-'，令()f x a '=-，得2e e 30x x x -++=(*)，因为e 0x >，e 0x ->，所以方程(*)无实数解，即曲线()y f x =的所有切线的斜率都不可能为a -，故B 错误.若()f x 为增函数，则()f x ¢大于等于0，即2e e 3x x a x -≤++，2e e 32x x x -++≥， 当且仅当0x =时等号成立，所以2a ≤，故C 正确.令()0f x =，得0x =或2e e x x x a x --+=(0x ≠).设()2e e x x g x x x--=+，则()()()21e 1e 2x x x x x x g x -'=-+++，令()()()1e 1e x xx x t x -=-++，则()()e exxx x t -='-.当0x >时，()0t x '>，当0x =时，()0t x '=，当0x <时，()0t x '>，所以函数()t x 为增函数，且()00t =，所以当0x >时，()0t x >，从而()0g x ¢>，()g x 单调递增.又因为对于任意0x ≠，都有()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 综上，()g x 在(),0-?上单调递减，在()0,+?上单调递增，则直线y a =与()y g x =最多有2个交点，所以()f x 在R 上最多有3个零点，故D 正确. 故选ACD .8．（2021ꞏ黑龙江大庆市ꞏ高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________m 3（不计损耗）． 【答案】916. 【答案解析】设长方体的底面边长为,a b ，高为h ，由题可得3217244V b b b =--+，求出函数导数，判断单调性，即可求出最值. 【答案详解】设长方体的底面边长为,a b ，高为h ，则由题可得1a b =+，()411a b h ++=，则可得784b h -=，则708b <<， 则该容器容积()32781712444b V abh b b b b b -==+⋅⋅=--+，217176624212V b b b b ⎛⎫⎛⎫'=--+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>，V 单调递增；当17,28b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<，V 单调递减， ∴当12b =时，max 916V =，即该容器容积的最大值为916. 故答案为：916.9．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.【答案】8 c m 2π+ ()32128 c m 2ππ+ 【答案解析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，根据已知条件可得出262h r π+=-，根据柱体的体积公式可得()23262V r r πππ+=-，利用导数可求得V 的最大值及其对应的r 的值，即为所求.【答案详解】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h . 则由题意可得2212r h r π++=，所以()1222622r h r ππ-++==-.由0h >，得122r π<+. 故容器的容积()22232212660222V r h r r r r r πππππππ++⎛⎫⎛⎫==-=-<< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.()232122V r r πππ+'=-，令0V '=，解得0r =（舍）或82r π=+. 显然当80,2r π⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，0V '>，函数()23262V r r πππ+=-单调递增； 当812,22r ππ⎛⎫∈⎪++⎝⎭时，0V '<，函数()23262V r r πππ+=-单调递减. 所以当8cm 2r π=+时，V 取得最大值， 此时2862cm 22h ππ+=-⨯=+，()23281282cm 22V ππππ⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭+. 故答案为：8 c m 2π+；()32128 c m 2ππ+. 10．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若函数ln ()1xxf x ae x=--只有一个零点，则实数a 的取值范围是 ________． 【答案】0a ≤或1a e= 【答案解析】将函数的零点转化为方程ln (0)x x x a x xe +=>的根，令ln ()xx xg x xe +=，利用导数研究函数的图象特征，即可得到答案； 【答案详解】ln ln 10(0)x x x x xae a x x xe +--=⇔=>， 令ln ()xx x g x xe+=，则'2()(1ln )()x x x x g x x e +--=， ''()01ln 0,()01ln 0,g x x x g x x x >⇔--><⇔--<令()1ln u x x x =--，则'1()10u x x=--<在0x >恒成立， ∴()1ln u x x x =--在(0,)+∞单调递减，且(1)0u =， ∴''()001,()01g x x g x x >⇒<<<⇒>，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且1(1)g e=，当x →+∞时，()0g x →， 如图所示，可得当0a ≤或1a e =时，直线y a =与ln xx x y xe +=有且仅有一个交点， 故答案为：0a ≤或1a e=1．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若不等式ln x ax b ≤+恒成立，则2a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．ln 2D ．5【答案】C 【答案解析】构造函数()ln f x ax x b =-+，根据函数的单调性及最值可得ln 1b a ≥--，故22ln 1a b a a +≥--，再构造()2ln 1g x x x =--，求得函数()g x 的最小值即可. 【答案详解】由ln x ax b ≤+恒成立，得ln 0ax x b -+≥， 设()ln f x ax x b =-+，()1f x a x'=-， 当0a ≤时，()0f x ¢<，()f x 在()0,+?上单调递减，不成立；当0a >时，令()0f x ¢=，解得1x a=，故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()10f x f a ⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，即11ln 0a b a a ⎛⎫⋅-+≥ ⎪⎝⎭，ln 1b a ≥--，练提升22ln 1a b a a +≥--，设()2ln 1g x x x =--，()12g x x'=-， 令()0g x ¢=，12x =， 故()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()1112ln 1ln 2222g x g ⎛⎫⎛⎫≥=⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2ln 2a b +≥， 故选：C.2.（2021ꞏ北京高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，则()f x 有两个零点； ②0k ∃<，使得()f x 有一个零点； ③0k ∃<，使得()f x 有三个零点； ④0k ∃>，使得()f x 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______． 【答案】①②④ 【答案解析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【答案详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确； 对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确； 对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点， 若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k ek ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解， 因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t ee k e =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，当lg 0100ek e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.3．（2021ꞏ四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +． （1）求a 的值； （2）证明：()0f x >．【答案】（1）2a =；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证()()2222ln 0xf x x x e ex e x =-+->，即()12ln 2x x x e e x--+>，构造函数()()222x g x x e e-=-+，()ln xh x x =，利用导数说明其单调性与最值，即可得到()()>g x h x ，从而得证； 【答案详解】解：（1）因为()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，所以()()222xef x x e ae x'=-+-，()22332222e ef ae e =+=+'，解得2a =．（2）由（1）可得()()2222ln xf x x x e ex e x =-+-即证()()()2212ln 22ln 02x x x f x x x e ex e x x e e x-=-+->⇔-+>． 令()()222x g x x e e-=-+，()()21x g x x e -=-'，于是()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()11g x g e≥=（1x =取等号）． 又令()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=，于是()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以()()1h x h e e≤=（x e =时取等号）．所以()()>g x h x ，即()0f x >．4．（2021ꞏ全国高三其他模拟（理））已知函数()()ln e xf x x m x -=+-.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，求m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当0x >时，()0f x >； （3）当1m >时，求()f x 的零点个数.【答案】（1）1m =；（2）证明见答案解析；（3）有一个零点. 【答案解析】（1）利用导数的几何意义求解即可（2）利用导数，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，由()00f =，即可证明()0f x >在()0,∞+上恒成立 （3）由（2）可知当1m >且0x >时，()()ln 1e0xf x x x ->+->，即()f x 在()0,∞+上没有零点，再根据，0x m +>，得到x m >-， 对(),0x m ∈-进行讨论，即可求解 【答案详解】解：（1）因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，所以()112f '=， 因为()()11e x f x x x m -+-'=+， 所以()11112f m ='=+，解得1m =. （2）由（1）得当1m =时，()()()21e 11e 11ex xx x f x x x x -+-=+-=++'， 当0x >时，因为()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增， 因为()00f =，所以()0f x >在()0,∞+上恒成立. （3）由（2）可知当1m >且0x >时，()()ln 1e 0xf x x x ->+->，即()f x 在()0,∞+上没有零点，当(),0x m ∈-时，()()()()2e 111e e x xxx m x m f x x x m x m -++--=+-=++'，令()()2e 1xg x x m x m =++--，(),0x m ∈-，则()e 21xg x x m =++-'单调递增，且()e21e 10mm g m m m m ---=-+-=--<'，()00g m '=>，所以()g x '在(),0m -上存在唯一零点，记为0x ，且()0,x m x ∈-时，()0g x '<，()0,0x x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,m x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增， 因为1m >， 所以()e0mg m --=>，()010g m =-<，因为()()00g x g <，所以()00g x <，所以()g x 在()0,m x -上存在唯一零点1x ，且在()0,0x 上恒小于零， 故()1,x m x ∈-时，()0g x >；()1,0x x ∈时，()0g x <，所以()f x 在()1,m x -上单调递增，在()1,0x 上单调递减，且()0ln 0f m =>， 所以()f x 在(),0m -上至多有一个零点， 取()e 2e ,0mm x m m -=-+∈-， 则有()()22ln e 0mf x x m m <++=，所以由零点存在定理可知()f x 在(),0m -上只有一个零点， 又f (0)不为0，所以()f x 在(),m -+∞上只有一个零点.5．（2021ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数2211()(1)ln (0)22f x x a x a x a a =-+++>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见答案解析；（2）01a <<+或a e >.【答案解析】 （1）求得()'fx ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）根据（1）的结论，结合函数的极值以及零点个数，求得a 的取值范围. 【答案详解】 （1）()()()'1x x a f x x--=，当01a <<时，由()'00f x x a >⇒<<或1x >，所以()f x 在()0,a ，()1,+∞单调递增，由()'01fx a x <⇒<<，所以()f x 在(),1a 单调递减；当1a >时，由()'001fx x >⇒<<或x a >，所以()f x 在()0,1，(),a +∞单调递增，由()'01f x x a <⇒<<，所以()f x 在()1,a 单调递减；当1a =时，()()2'10x f x x-=≥⇒()f x 在()0,∞+单调递增.（2）1(1)(1(12f a a ⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦，()(ln 1)f a a a =-， 由（1）知当01a <<时，()f x 在x a =处，有极大值，且()0f a <，此时函数有一个零点； 当1a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，且()10f <，此时函数有一个零点；当1a >时，()0,1，(),a +∞单调递增，()1,a 单调递减，()f x 在x a =处，有极小值，()f x 在1x =处，有极大值，则当()10f <，或()0f a >时函数有一个零点，有11a <<或a e >.综上：01a <<+或a e >.6．（2021ꞏ河北高三其他模拟）已知函数2ln 1()(ln )()2k x f x x k x+=+∈R . （1）当0k =时，求证：()1f x ≤； （2）当0k ≠时，讨论()f x 零点的个数.【答案】（1）证明过程见解答；（2）当0k <时，()f x 有两个零点，当0k >时，()f x 有一个零点． 【答案解析】（1）将0k =代入，对()f x 求导，得到其单调性，判断其最值，即可得证；（2）令t lnx =，则()0f x =即为2102t k t t e ++=，显然0t ≠，进一步转化为212t k t t e +-=，令21()(0)t t h t t t e+=≠，利用导数作出()h t 的大致图象，进而图象判断方程解的情况，进而得到函数()f x 零点情况． 【答案详解】（1）证明：当0k =时，1()(0)lnx f x x x +=>，则2()lnxf x x'=-， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单减，()f x f ∴…（1）1=，即得证；（2）令t lnx =，则()0f x =即为2102t k t t e++=，当0t =，即1x =时，该方程不成立，故1x =不是()f x 的零点； 接下来讨论0t ≠时的情况，当0t ≠时，方程可化为212tk t t e +-=， 令21()(0)t t h t t t e +=≠，则222()tt th t t e++'=-，当0t <时，22220t t ++-=-<…，当且仅当t =当0t >时，22220t t +++=+>…，当且仅当t =时取等号，∴当0t <时，()0h t '>，()h t 单增，当0t >时，()0h t '<，()h t 单减，且当0t →时，()h t →+∞，(1)0h -=，当1t <-时，()0h t <，当0t >时，()0h t >， 函数()h t 的大致图象如下：由图象可知，当02k -<，即0k >时，212t k t t e +-=只有一个解，则()f x 有一个零点，当02k ->，即0k <时，212tk t t e +-=有两个解，则()f x 有两个零点． 综上，当0k <时，()f x 有两个零点，当0k >时，()f x 有一个零点． 7．（2021ꞏ重庆市育才中学高三二模）已知函数()x f x e =，()1g x ax =+. （1）已知()()f x g x ≥恒成立，求a 的值；（2）若(0,1)x ∈，求证：21ln 11()x x f x x-+-<. 【答案】（1）1a =；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）作差，设()()()1x h x f x g x e ax =-=--，利用导数求出()h x 的最小值为(ln )ln 10h a a a a =--≥，只需1ln 10a a +-≤；设1()ln 1a a aϕ=+-，利用导数求出min ()(1)0a ϕϕ==，解出1a =； （2）利用1x e x >+把原不等式转化为证明1ln 111x x x x -+-<+，即证：21ln 10x x x-++>， 设21()ln 1F x x x x=-++，利用导数求出最小值，即可证明.【答案详解】（1）设()()()1x h x f x g x e ax =-=--，()x h x e a '=-，当0a ≤时，()0x h x e a '=->，()h x 单增，当,()x h x →-∞→-∞，不满足恒成立 当0a >，()h x 在(,ln )x a ∈-∞单减，()h x 在(ln ,)x a ∈+∞单增， 所以()h x 的最小值为(ln )ln 10h a a a a =--≥，即11ln 0a a --≥，即1ln 10a a+-≤ 设1()ln 1a a a ϕ=+-，21()a a aϕ-'=，所以()ϕx 在(0,1)x ∈单减，()ϕx 在(1,)+∞单增， 即min()(1)0a ϕϕ==，故1ln 10a a+-≤的解只有1a =，综上1a =（2）先证当(0,1)x ∈时，1x e x >+恒成立.令()1x h x e x =--，求导()10x h x e '=->，所以()h x 在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0h x h >=，所以1x e x >+所以要证1ln 11x x x e x -+-<，即证1ln 111x x x x-+-<+， 即证211ln 1x x x x x x +-++-<+，即证：21ln 10x x x -++>， 设21()ln 1F x x x x=-++，求导22111()2(1)20F x x x x x x x '=--=--<，所以()F x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10F x F >=>，即原不等式成立.所以当(0,1)x ∈时，如1ln 11()x x f x x-+-<成立. 8.（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x+=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<. 【答案】（1）当()0,x e ∈时，()f x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）将0a =代入函数，并求导即可分析单调性；（2）求导函数，讨论当0a =，01a <<与1a ≥时分析单调性，并判断是否有极大值，再求解极大值，即可证明．【答案详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+ 当0a =时，()ln x f x x =，()21ln xf x x -'=， 令()0f x '=，得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；（2）()()()()()22ln ln xx a x x a x ax a f x x x x a -+-+++'==+， 令()()()()ln ,0,g x x x a x a x =-++∈+∞， 则()()ln g x x a '=-+，由()f x 的定义域是()0,∞+，易得0a ≥，当0a =时，由（1）知，()f x 在x e =处取得极大值，所以()1==M f e e. 当1a ≥时，()0g x '<在()0,x ∈+∞上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()ln 0g x a a <-<，所以()0f x '<，故()f x 没有极值. 当01a <<时，令()0g x '=，得1x a =-，所以当()0,1x a ∈-时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x a ∈-+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以当()0,1x a ∈-时，()ln 0g x a a >->，又()110g a a -=->，()0-=-<g e a a ，且1-<-e a a ，所以存在唯一()01,∈--x a e a ，使得()()()0000ln g x x x a x a =-+⋅+，当()00,x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减.所以当0x x =时，()f x 取得极大值，所以()()000ln x a M f x a x +==+，所以()()()()000000011ln M x a x x a x a x a x a x a=++-=++-+⋅+++. 令0x a t +=，则()1,t e ∈，设()1ln h t t t t t=+-，()1,t e ∈， 则()21ln 0h t t t'=--<， 所以()h t 在()1,e 上单调递减， 所以()12<<h t e ，所以12<<M e. 综上，若函数()f x 存在极大值M ，则12M e≤<． 9．（2021ꞏ重庆高三二模）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值． （1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<． 【答案】（1）211b e -≤；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）由条件求出a ，然后由()1f x bx ≤-可得1ln 1+x b x x≤-，然后用导数求出右边对应函数的最小值即可；（2）11()(1)e 1(1)(xx g x x x e x x'=--+=--，令()1e x h x x =-，然后可得存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即01ex x =，即00ln x x =-，然后可得0max 000000000012()()(2)ln (2)12x m g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--，然后判断出函数2()12G x x x=--的单调性即可. 【答案详解】 （1）∵1()f x a x'=+，(1)10f a '=+=，∴1a =-，由已知()1f x bx ≤-，即ln 1x x bx -≤-，即1ln 1+x b x x≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令1ln ()1x t x x x =+-，则22211ln ln 2()x x t x x x x --'=--=，易得()t x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增， ∴2min 21()()1t x t e e==-，即211b e -≤． （2）()()(2)e (2)e ln x x g x f x x x x x =+-=--+，则11()(1)e 1(1)(xx g x x x e x x'=--+=--． 当114x <<时，10x -<，令()1e xh x x=-， 则21()e 0xh x x'=+>，所以()h x 在1[,1]4上单调递增．∵121(()e 202h h x ==-<，(1)10h e =->，∴存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即01ex x =，即00ln x x =-． ∴当01(,)4x x ∈时，()0h x <，此时()0g x '>； 当0(,1)x x ∈时，()0h x >，此时()0g x '<； 即()g x 在01(,)4x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减，则0max 000000000012()()(2)ln (2)12xm g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--． 令2()12G x x x =--，1(,1)2x ∈，则22222(1)()20x G x x x '-=-=>，∴()G x 在1(,1)2x ∈上单调递增，则1()(42G x G >=-，()(1)3G x G <=-， ∴43m -<<-．∴()()430m m ++<．10．（2021ꞏ江苏南通市ꞏ高三一模）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >. （1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>.【答案】（1）答案见答案解析；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）求函数的导数，分类讨论，解不等式即可求解；（2）根据极值点可转化为1x ，2x 是方程2210-+=ax x 的两个不相等的正实数根，可得12x >且1x ≠，要证122x x +>，只要证212x x >-，利用构造函数的单调性证明即可. 【答案详解】（1）由题意得()21212ax ax x f x x x-+=+='-(0x >). 令()0f x '>，则2210ax x -+>.①当()2240a ∆=--≤，即1a ≥时，2210ax x -+>在()0,∞+上恒成立，即()f x 的增区间为()0,∞+；②当()2240a ∆=-->，即01a <<时，10x a -<<或1x a+>，即()f x 的增区间为10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭.综上，当1a ≥时，()f x 的增区间为()0,∞+；当01a <<时，()f x 的增区间为10,a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）因为()221x x ax xf -+'=(0x >)，()f x 有两个极值点1x ，2x ， 所以1x ，2x 是方程2210-+=ax x 的两个不相等的正实数根，可求出 从而()2240a ∆=-->，0a >，解得01a <<. 由2210-+=ax x 得221x a x -=. 因为01a <<，所以12x >且1x ≠.令()221x g x x -=，12x >且1x ≠，则()()321x g x x-'=，所以当112x <<时，()0g x '>，从而()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，从而()g x 单调递减， 于是1222122121x x a x x --==(12112x x <<<). 要证122x x +>，只要证212x x >-，只要证明()()212g x g x <-. 因为()()12g x g x =，所以只要证()()112g x g x <-. 令()()()()()1111122112212122x x F x g x g x x x ---=--=-- 则()()()()1113311212212x x F x xx --⎡⎤-⎣⎦'=+-()()()11331121212x x x x --=+- ()()1331111212x x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()()()22211111331141222x x x x x x x ⎡⎤--+-+⎣⎦=-.因为1112x <<， 所以()10F x '>，即()1F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()110F x F <=，即()()112g x g x <-， 所以212x x >-，即122x x +>.1．（2021ꞏ全国高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >. 练真题（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【答案详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a <<时，()0f x '<；当1x a>时，()0f x '>； 所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点， 所以()y f x =的图象在x 轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭， 故33ln 0a +>即1a e>. 2.（2021ꞏ全国高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．【答案】1；证明见答案详解 【答案解析】（1）由题意求出'y ，由极值点处导数为0即可求解出参数a ； （2）由（1）得()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-，1x <且0x ≠，分类讨论()0,1x ∈和(),0x ∈-∞，可等价转化为要证()1g x <，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-在()0,1x ∈和(),0x ∈-∞上恒成立，结合导数和换元法即可求解（1）由()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--，()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-， 又0x =是函数()y xf x =的极值点，所以()'0ln 0y a ==，解得1a =； （2）由（1）得()()ln 1f x x =-，()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-，1x <且0x ≠，当 ()0,1x ∈时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x >-< ， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；同理，当(),0x ∈-∞时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x <-> ， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；令()()()1ln 1h x x x x =+--，再令1t x =-，则()()0,11,t ∈+∞ ，1x t =-， 令()1ln g t t t t =-+，()'1ln 1ln g t t t =-++=，当()0,1t ∈时，()'0g x <，()g x 单减，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=； 当()1,t ∈+∞时，()'0g x >，()g x 单增，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=； 综上所述，()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-在()(),00,1x ∈-∞ 恒成立3．（2021ꞏ全国高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可。
高三物理一轮复习练习题(带答案解析)
高三物理一轮复习练习题（带答案解析）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1、香烟燃烧，过程中能产生的有害成分达3000余种.其过程中会释放一种危险的放射性元素“钋()21084Po ”，21084Po 发生m 次α衰变和n 次β衰变后产生了新核铋()20683Bi ，下列说法正确的是( )A.α衰变就是化学中的分解反应B.1,1m n ==C.新核铋()20683Bi 的中子数比质子数多43个 D.21084Po 衰变产生的α粒子可以穿透1 cm 厚的钢板 【答案】1、答案：B解析：α衰变是原子核衰变的一种形式，是核反应，不是化学中的分解反应，A 错误；21084Po 比20683Bi 多1个质子，多3个中子，发生α衰变是放出42He ，发生β衰变是放出01e -，根据质量数守恒和电荷数守恒有28384,4206210m n m -+=+=，解得1,1m n ==，B 正确；新核铋()20683Bi 的质子数为83个，中子有20683123-=个，中子数比质子数多1238340-=个，C 错误；α粒子的穿透能力弱，不能穿透1 cm 厚的钢板，D 错误.2、如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁.将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v 匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L ，墨汁图样与木板边缘交点P Q 、恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g ，则该单摆的等效摆长为( )2gv 2gL 225gL 225gv【答案】2、答案：B=2T ==正确. 3、如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知P Q M 、、三颗卫星均做匀速圆周运动，虚线圆是P Q 、卫星轨道的包围圆，其中P 是地球同步卫星，则这三颗卫星( )A.运行的周期P Q M T T T =>B.线速度大小Q P M v v v <<C.受到的引力M P Q F F F >=D.具有的机械能P Q M E E E =>【答案】3、答案：A解析：根据22224πMm v G m m r r r T ==，可得2v T ==P Q M r r =>，则运行的周期P Q M T T T =>，A 正确；根据v =Q P M v v =<，B 错误；三个卫星的质量关系不确定，则不能确定受到的引力大小关系以及机械能大小关系，C 、D 错误.4、已知无穷大均匀带电平板在其周围空间激发与平板垂直的匀强电场.现在水平无穷大带电平板上方某点固定一点电荷Q +.一质量为m 、带电荷量为q -的小球以点电荷为圆心做匀速圆周运动，其中AC BD 、分别为圆周轨迹的水平和竖直直径，重力加速度为g ，静电力常量为k ，下列说法正确的是( )A.无穷大平板带正电B.圆周上的场强在B点有最小值，在D点有最大值D.若A、【答案】4、答案：C+对小球的库仑力提供向心力，所解析：因小球做匀速圆周运动，所以只能是点电荷Q=，则无穷大平板在空间激发的以小球的重力与平板对小球的电场力平衡，即Eq mg、两大平板激发的电场方向竖直向下，即平板带负电，故A错误；固定点电荷在B D点产生场强的方向分别为竖直向下和竖直向上，而平板所激发的场强方向竖直向下，所以B点处合场强为两场强之和，D点为两者之差，所以B点场强最大，D点场强最、两点处的合场强方向相互垂直，则两电场方向在两点处与水小，故B错误；若A C=R=v从足够长的粗糙斜面底端上滑，2 s后回到出发点，物块的速度v、位移s随时5、物块以初速度间t的变化关系图像可能是( )A. B. C. D.【答案】 5、答案：D解析：本题借助s t -图像和v t -图像考查对图像意义的理解和牛顿第二定律的应用。
2025届高三化学一轮复习++硫及其氧化物练习题(解析)
2025届高考一轮复习 硫及其氧化物一、单选题1．在下列反应中硫元素只表现氧化性的是( ) A ．2Al ＋3S=====△Al 2S 3B ．S ＋2H 2SO 4(浓)=====△2H 2O ＋3SO 2↑ C ．H 2S=====△H 2＋SD ．3S ＋6NaOH=====△2Na 2S ＋Na 2SO 3＋3H 2O 答案 A解析 A 项，该反应中S 的化合价由0价变为－2价，S 只体现氧化性，正确；B 项，该反应中S 的化合价由0价、＋6价变为＋4价，S 体现还原性和氧化性，错误；C 项，该反应中S 的化合价由－2价变为0价，S 只体现还原性，错误；D 项，该反应中S 的化合价由0价变为－2价、＋4价，S 体现氧化性和还原性，错误。
2．下列关于硫的叙述正确的是( )A ．硫的非金属性较强，在自然界中只以化合态存在B ．可用水溶解过滤分离硝酸钾和硫黄的混合物C ．硫与金属或非金属反应时都作氧化剂D ．硫的氧化性比氯气强 答案 B解析 硫的非金属性虽然较强，但在自然界中的存在形态既有化合态又有游离态，故A 错误；硝酸钾易溶于水，而硫难溶于水，所以可用水溶解过滤分离硝酸钾和硫黄的混合物，故B 正确；硫与金属反应时作氧化剂，与非金属反应时既可作氧化剂，也可作还原剂，故C 错误；硫的非金属性比氯弱，所以硫的氧化性比氯气弱，故D 错误。
3．下列说法错误的是( )A ．残留在试管内壁上的硫可用热的NaOH 溶液除去B ．硫单质与变价金属反应时一般生成低价态的金属硫化物C ．汞蒸气有毒，实验室里不慎洒落一些汞，可撒上硫粉进行处理D ．单质硫或含硫物质燃烧时，氧气少量时生成SO 2，氧气足量时生成SO 3 答案 D4．单质硫与可溶性硫化物溶液作用生成多硫化物，如Na 2S(aq)＋(x －1)S===Na 2S x (x 一般为2～6)；多硫化物在酸性溶液中不稳定，易歧化；As 2S 3＋2Na 2S 2(aq)===As 2S 5＋2Na 2S 。
高三数学一轮复习《函数的应用》综合复习练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数的应用》综合复习练习题（含答案）一、单选题 1．函数2ln y x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．1(,1)eB ．(1,2)C ．(2,e)D ．(e,)+∞2．已知函数()2sin 4f x x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在区间()0,π上有零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2,2-B ．(2,2⎤-⎦C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．)2,2⎡-⎣3．已知函数()()32,0log ,0x x f x x k x +<⎧=⎨+≥⎩，则“(],3k ∈-∞”是“函数()()1F x f x =-有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE ）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数CRF I 对计算度电成本具有重要影响．等年值系数CRF I 和设备寿命周期N 具有如下函数关系()()CRF 0.05111NNr I r +=+-，r 为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ） A ．0.03B ．0.05C ．0.07D ．0.085．已知函数()f x 的图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．3()e ex x x f x -=+B ．3e e ()x xf x x -+=C ．2()e e x x x f x -=-D ．3e e ()x xf x x --=6．已知函数2ln ,0,()=2,0.xx f x x x x x ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩，若()()g x f x a =-有3个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,0-B ．11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．{}10,1e ⎛⎫⋃- ⎪⎝⎭7．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）([120,500])x ∈之间的函数关系可近似表示为[)[]3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，当处理量x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ） A ．120B ．200C ．240D ．4008．已知函数()232,1,42,1,x x x f x x x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩则函数()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．若函数()2ln f x x x ax =-在区间()0,∞+上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(],0-∞C ．(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知定义在R 上的奇函数()f x 恒有()()11f x f x -=+，当[)0,1x ∈时，()2121x x f x -=+，已知21,1518k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则函数()()13g x f x kx =--在()1,6-上的零点个数为（ ）A ．4个B ．5个C ．3个或4个D ．4个或5个11．已知函数()34,0,0x x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x x a =+-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[)0,2C ．(],1-∞D ．(],2-∞12．设函数()2sin()1(0,0)2f x x πωϕωϕ=+->的最小正周期为4π，且()f x 在[0,5]π内恰有3个零点，则ϕ的取值范围是（ ）A ．50,312ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭B ．0,,432πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．50,612ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．0,,632πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦二、填空题13．已知函数ln ,0()e 1,0xx x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x a =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 14．以模型()e0kxy c c =>去拟合一组数据时，设ln z y =，将其变换后得到线性回归方程21z x =-，则c =______．15．函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 16．设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<≤=_____________附：若()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9544P μσξμσ-<≤+≈．三、解答题 17．已知函数22()1=-f x x ． (1)求()f x 的零点；(2)判断()f x 的奇偶性，并说明理由； (3)证明()f x 在(0,)+∞上是减函数．18．已知函数4()12x f x a a =-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.19．对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足以下条件：①()y f x =在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[],a b D ⊆，使()y f x =在[],a b 上的值域是[],a b ，那么我们把函数()()y f x x D =∈叫做闭函数．(1)判断函数()()110g x x x=->是不是闭函数？（直接写出结论，无需说明理由） (2)若函数()()2111h x x m x m=-++>0为闭函数，则当实数m 变化时，求b a -的最大值． (3)若函数()1e ln 112xx x x k x φ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭为闭函数，求实数k 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数，e 2.7≈）20．已知函数32()f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在=1x -处取得极值． (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()()1g x f x m =+-有三个零点，求m 的取值范围．21．已知函数()()24f x x x a x =-+∈R .(1)若(1,3)x ∈时，不等式2log ()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程(21)(2)|21|80x x f a +++-+=有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围.22．已知函数()ln f x x x =-. (1)求证：()1f x ≤-； (2)若函数()()()xxh x af x a e =+∈R 无零点，求a 的取值范围.23．辆高速列车在某段路程中行驶的速率v （单位：km /h ）与时间t （单位：h ）的关系如图所示．(1)求梯形OABC 的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)记梯形OABC 位于直线()04t a a =<≤的左侧的图形的面积为()g a ，求函数()y g a =的解析式，并画出其图象．24．已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)函数()f x 在区间(),1k k +()k N ∈上有零点，求k 的值；(3)记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k-≥恒成立，求实数k 的取值范围。
2024届高三语文第一轮专项分层复习真题练习——新高考语文现代文阅读(含解析)
2024届高三语文第一轮专项分层复习真题试卷练习——新高考语文现代文阅读（现代文阅读I）【2023年新高考全国I卷】（一）现代文阅读I阅读下面的文字，完成下面小题。
对素食者和肠胃疾病患者来说，藜麦的发现是一个奇迹。
藜麦不含麸质，富含镁和铁，比其他种子含有更多的蛋白质，包括人体无法独自生成的必需的氨基酸。
美国宇航局宣布，藜麦是地球上营养最均衡的食物之一，是宇航员的理想之选。
产于安第斯山的藜麦有一个令西方消费者神往的传说：印加人非常重视藜麦，认为它是神圣的，并且称之为“万谷之母”。
不过，藜麦的爱好者却通过媒体发现了一个令人不安的事实。
从2006年到2013年，玻利维亚和秘鲁的藜麦价格上涨了两倍。
2011年，《独立报》称，玻利维亚的藜麦消费量“5年间下降了34％，当地家庭已经吃不起这种主食了，它已经变成了奢侈品”。
《纽约时报》援引研究报告称，藜麦种植区的儿童营养不良率正在上升。
2013年，《卫报》用煽动性标题提升了人们对这个问题的关注度：“素食者的肚子能装下藜麦令人反胃的事实吗？”该报称，贫穷的玻利维亚人和秘鲁人正在食用更加便宜的“进口垃圾食品”。
《独立报》2013年一篇报道的标题是“藜麦：对你有利--对玻利维亚人有害”。
这些消息传遍了全球，在健康饮食者之中引发了一场良心危机。
在社交媒体、素食博客和健康饮食论坛上，人们开始询问食用藜麦是否合适。
这种说法看似可信，被许多人认可，但是经济学家马克·贝勒马尔等人对此则持保留意见。
毕竟，藜麦贸易使大量外国资金涌入玻利维亚和秘鲁，其中许多资金进入了南美最贫穷的地区。
几位经济学家跟踪了秘鲁家庭支出的调查数据，将种植且食用藜麦的家庭、食用但不种植藜麦的家庭和从不接触藜麦的家庭划分为三个小组。
他们发现，从2004年到2013年，三个小组的生活水平都上升了，其中藜麦种植户家庭支出的增长速度是最快的。
农民们正在变富，他们将这种新收入转化为支出又给周边民众带来了好处。
2025届高三一轮复习课时练习集合试题
2025届高三一轮复习课时练习集合1.已知M,N为全集U的两个不相等的非空子集,若(∁U N)⊆(∁U M),则下列结论正确的是()A.∀x∈N,x∈MB.∃x∈M,x∉NC.∃x∉N,x∈MD.∀x∈M,x∉∁U N2.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}3.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=()A.2B.1C.2D.-134.已知集合A={0,1,2},B={x|y=lg(-x2+2x)},则A∩B=()A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.(0,2)5.已知集合A={x|y=√4-x2},B={x|a≤x≤a+1},若B⊆A,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)6.记集合M={x||x|>2},N={x|y=√2-x},则(∁R M)∩N=()A.{x|-2≤x≤2}B.{x|x>2}C.{x|0≤x<2}D.{x|x<-2}7.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%8.定义集合A,B的一种运算:A B={x|x=a2-b,a∈A,b∈B},若A={-1,0},B={1,2},则A B中的元素个数为()A.1B.2C.3D.49.（多选）若非空集合M,N,P满足M∩N=N,M∪P=P,则()A.P⊆MB.M∩P=MC.N∪P=PD.M∩(∁P N)=⌀10.(多选题)已知集合{x|mx2-2x+1=0}={n},则m+n的值可能为()A.0B.1C.1D.2211.定义集合运算A-B={x|x∈A且x∉B}称为集合A与集合B的差集;定义集合运算AΔB=(A-B)∪(B-A)称为集合A与集合B的对称差,有以下4个命题:①AΔB=BΔA②(AΔB)ΔC=AΔ(BΔC)③A∩(BΔC)=(A∩B)Δ(A∩C)④A∪(BΔC)=(A∪B)Δ(A∪C)则4个命题中是真命题的是.12.已知数集A=[t,t+1]∪[t+4,t+9].若存在λ∈R,使得对任意a∈A都有λ∈A,则称A为完美集,a给出下列四个结论:①存在t∈(0,+∞),使得A为完美集;②存在t∈(-∞,0),使得A为完美集;③如果t∉Z,那么A一定不为完美集;④使得A为完美集的所有t的值之和为-2.其中,所有正确结论的序号是.13.已知集合A={x|ax2-3x-4=0}.(1)若A中有两个元素,求实数a的取值范围;(2)若A中至多有一个元素,求实数的a取值范围.。
高三一轮复习 立体几何全章 练习(9套)+易错题+答案
第九章立体几何与空间向量第1节简单几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1.如图是由哪个平面图形旋转得到的( A )解析:根据面动成体的原理即可解,一个直角三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥.一个直角梯形绕着直角腰旋转一周得到圆台.该几何体的上部分是圆锥,下部分是圆台,圆锥的轴截面是直角三角形,圆台的轴截面是直角梯形,所以这个几何图形是由直角三角形和直角梯形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到.故选A.2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4, AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( C )(A) (B)2 (C) (D)3解析:构建长方体的棱长分别为3,4,12.体对角线长为=13,外接球的半径为,故选C.3.用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为( B )(A)8 (B)(C)(D)解析:若以4作为圆柱的高、2作为底面圆的周长,则圆柱轴截面面积为;若以2作为圆柱的高、4作为底面圆的周长,则圆柱轴截面面积为,所以此圆柱轴截面面积为.故选B.4.正四棱锥S-ABCD的底面边长为4,高SE=8,则过点A,B,C,D,S的球的半径为( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由正四棱锥及其外接球的对称性,球心O在正四棱锥的高线SE上,球半径R=OS=OB,EB=BD=4.所以在直角三角形OEB中,由勾股定理得,(8-R)2+42=R2,解得R=5,故选C.5.三棱锥P-ABC中,△ABC是底面,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,且这四个顶点都在半径为2的球面上,PA=2PB,则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为( B )(A)16 (B)(C)(D)32解析:因为PA,PB,PC两两垂直,又因为三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上,所以以PA,PB,PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径.所以16=PA2+PB2+PC2,因为PA=2PB,则这个三棱锥的三个侧棱长的和PA+PB+PC=3PB+PC,因为5PB2+PC2=16,设PB=4cos α,PC=4sin α,则3PB+PC=cos α+4sin α=sin(α+φ)≤=. 可知其最大值为,选B.6.已知一个四面体其中五条棱的长分别为1,1,1,1,,则此四面体体积的最大值是( B )(A) (B) (C) (D)解析:设四面体为P-ABC,则设PC=X,AB=,其余的各边为1,那么取AB 的中点D,那么连接PD,因此可知,AB垂直于平面PCD,则棱锥的体积可以运用以PCD为底面,高为AD,BD的两个三棱锥体积的和来表示,因此只要求解底面积的最大值即可.由于PD=CD=,那么可知三角形PDC的面积越大,体积越大,可知S△PDC=××sin θ≤=,也就是当PD垂直于CD时,面积最大,因此可得四面体的体积的最大值为××=,选B.二、填空题7.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为.解析:因为圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,①若6π=2πr,r=3,所以圆柱的表面积为4π×6π+2×πr2=24π2+18π;②若4π=2πr,r=2,所以圆柱的表面积为4π×6π+2×πr2=24π2+8π.答案:24π2+8π或24π2+18π8.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.解析:设球的半径为r,则V圆柱=πr2×2r=2πr3,V圆锥=πr2×2r=,V球=πr3,所以V圆柱∶V圆锥∶V球=2πr3∶∶πr3=3∶1∶2.答案:3∶1∶29.将4个半径都是R的球体完全装入底面半径是2R的圆柱形桶中,则桶的最小高度是.解析:由题意知,小球要分两层放置且每层两个,令下层两小球的球心分别是A,B,上层两小球的球心分别是C,D.此时,圆柱底面的半径=两小球半径的和,恰好使小球相外切,且与圆柱母线相切.圆柱的高=上层小球的上方半径+AB与CD间的距离+下层小球的下方半径=2R+AB与CD间的距离.令AB,CD的中点分别为E,F.很明显,四面体ABCD每条棱的长都是2R,容易求出:EC=ED,FA=FB,由EC=ED,CF=DF,得EF⊥CD.由FA=FB,AE=BE,得EF⊥AB.所以EF是AB与CD间的距离,所以圆柱的高=2R+EF.由勾股定理,有CE2+AE2=AC2,CE2=EF2+CF2.两式相减,消去CE,得AE2=AC2-EF2-CF2,所以EF2=AC2-AE2-CF2=(2R)2-R2-R2=2R2,所以EF=R.所以圆柱的高=2r+R=(2+)R.答案:(2+)R10.一个圆锥有三条母线两两垂直,则它的侧面展开图的圆心角大小为.解析:设母线长为l,因圆锥有三条母线两两垂直,则这三条母线可以构成以它们为侧棱、以底面边长为l的正三角形的正三棱锥,故由正弦定理得,圆锥的底面直径2R=,解得R=,因此可知侧面展开图的圆心角大小为π.答案:π11.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°,半径为4的扇形,则这个圆锥的表面积是.解析:因为圆锥的侧面展开图是圆心角为180°,母线长等于4,半径为4的扇形,则这个圆锥的表面积是底面积加上侧面积,扇形面积加上底面面积的和为12π.答案:12π12.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5,从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是.解析:从长方体的一条对角线的一个端点A出发,沿表面运动到另一个端点B,有三种方案,如图是它们的三种部分侧面展开图,AB路程可能是:最短路程是.答案:三、解答题13.某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,求a+b的最大值.解:如图,把几何体放到长方体中,使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱,则长方体的体对角线A 1C=,则它的正视图投影长为A 1B=,侧视图投影长为A1D=a,俯视图投影长为A1C1=b,则a2+b2+()2=2·()2,即a2+b2=8,又≤,当且仅当“a=b=2”时等号成立.所以a+b≤4,即a+b的最大值为4.14.某几何体的三视图如图所示.(1)判断该几何体是什么几何体?(2)画出该几何体的直观图.解:(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体.(2)直观图如图所示.15.已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示.(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图;(2)求出侧视图的面积.解:(1)如图.(2)侧视图中V A===2,则S △VBC=×2×2=6.第2节简单几何体的表面积与体积一、选择题1.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( B )(A)16+2π(B)8+2π(C)16+π (D)8+π解析:由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成,因此V=1×2×4+π×12×2=8+2π.故选B.2.一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为( B )(A)πa2(B)3πa2(C)6πa2(D)πa2解析:由题可知该三棱锥为一个棱长a的正方体的一角,则该三棱锥与该正方体有相同的外接球,又正方体的对角线长为a,则球半径为a,则S=4πr2=4π(a)2=3πa2.故选B.3.一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为( A )(A)πa2(B)2πa2(C)πa2(D)πa2解析:如图,设O1,O2为棱柱两底面的中心,球心O为O1O2的中点.又直三棱柱的棱长为a,可知OO1=a,AO1=a,所以R2=OA2=O+A=,因此该直三棱柱外接球的表面积为S=4πR2=4π×=πa2,故选A.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A) (B)2 (C) (D)解析:由三视图可知,该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成,其体积为V=2×π×12×1=,选D.5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是( C )(A)5 (B)2 (C) (D)解析:由三视图知,该四棱锥的底面是直角梯形,上底长为2,下底长为3,高为,四棱锥的高为h=2,故该四棱锥的底面积S=(2+3)×=,所以该四棱锥的体积V=Sh=××2=.6.已知边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,现沿对角线BD折起,使得二面角A BD C为120°,此时点A,B,C,D在同一个球面上,则该球的表面积为( C )(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π解析:如图,分别取BD,AC的中点M,N,连接MN,则容易算得AM=CM=3,MN=,MD=,CN=,由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上,设球心为O,半径为R,ON=x,则由题设可得解得x=,则R2=+=7,所以球面面积S=4πR2=28π,故选C.二、填空题7.一个圆柱的轴截面为正方形,则与它同底等高的圆锥的侧面积与该圆柱的侧面积的比为.解析:令正方形的边长为a,则圆柱的侧面积S1=2π××a=πa2,与它同底等高的圆锥的侧面积S2=πrl=π××a=,则与它同底等高的圆锥的侧面积与该圆柱的侧面积的比为.答案:8.球O与直三棱柱ABC-A1B1C1的各个面都相切,若三棱柱的表面积为27,△ABC的周长为6,则球的表面积为.解析:设内切球半径为r,那么直三棱柱的底面内切圆半径为r,棱柱的高为2r,由等面积法,则直三棱柱底面面积S 底=r×6=3r,由等体积法,V三棱柱=S底·2r=r·27,所以9r=6r2,解得r=.其表面积为4π×()2=3π.答案:3π9.已知母线长为6,底面半径为3的圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切,则球的体积是 .解析:取圆锥的轴截面,则截面是边长为6的正三角形,正三角形的内切圆的圆心即为球心,R=6××,所以R=,所以V=πR3=4π.答案:4π10.棱长为a的正方体ABCD A 1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F 分别是棱AA1,DD1的中点,则过E,F两点的直线被球O截得的线段长为.解析:设过E,F两点的直线与球O交于M,N,所以△OMN,△OEF均为等腰直角三角形,所以OM=ON=R=a,点O到EF的距离为棱长一半,所以|MN|=2= a.答案: a11.四棱锥P-ABCD的各顶点都在同一球面上,且矩形ABCD的各顶点都在同一个大圆上,球半径为R,则此四棱锥的体积的最大值为.解析:点P到平面ABCD的最大距离为R,设矩形ABCD的长宽分别为x,y,则x2+y2=4R2,四棱锥P ABCD的体积V=xyR≤×=R3,当且仅当x=y=R时,V max=R3.答案:R312.设正四面体ABCD的棱长为a,P是棱AB上的任意一点,且P到平面ACD,BCD的距离分别为d1,d2,则d1+d2= .解析:根据题意,由于正四面体ABCD的棱长为a,各个面的面积为a2,高为a,所以V=×a2×a=×a2×(d1+d2),所以d1+d2= a.答案: a三、解答题13.已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点P,Q在正视图中所示位置,P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长.解:(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧=(2πa)·(a)=πa2,S圆柱侧=(2πa)·(2a)=4πa2,S圆柱底=πa2,所以S 表=πa2+4πa2+πa2=(+5)πa2.(2)沿P点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ===a,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径长为a.14.如图,四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求四面体NBCM的体积.(1)证明:由已知得AM=AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.所以AM=TN,又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)解:因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S △BCM=×4×=2.所以四面体NBCM的体积V N-BCM=×S△BCM×=.15.如图所示,在空间几何体ADE BCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,AD⊥DC,AB=AD=DE=2,EF=4,M是线段AE上的动点.(1)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;(2)在(1)的条件下,平面MDF将几何体ADE-BCF分成两部分,求空间几何体M-DEF与空间几何体ADM BCF的体积之比.解:(1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF.理由如下:连接CE交DF于点N,连接MN.因为M,N分别是AE,CE的中点,所以MN∥AC.又因为MN⊂平面MDF,AC⊄平面MDF,所以AC∥平面MDF.(2)将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF,如图所示,三棱柱ADE-B′CF的体积为V=S△ADE·CD=×2×2×4=8,则几何体ADE-BCF的体积=-=8-×(×2×2)×2=.因为三棱锥M-DEF的体积=×(×2×4)×1=,所以=-=,所以两几何体的体积之比为∶=1∶4.第3节空间图形的基本关系与公理一、选择题1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( C )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m∥α,m∥β,则α∥β(C)若m∥n,m⊥α,则n⊥α(D)若m∥α,α⊥β,则m⊥β解析:设直线a⊂α,b⊂α,a∩b=A,因为m⊥α,所以m⊥a,m⊥b.又n∥m,所以n⊥a,n⊥b,所以n⊥α.故选C.2.下列命题中,错误的是( D )(A)平行于同一平面的两个不同平面平行(B)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交(C)如果两个平面不垂直,那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直(D)若直线不平行于平面,则此直线与这个平面内的直线都不平行解析:当直线l在平面α内,即l⊂α时,直线l不平行于平面α,但平面α内存在直线与直线l平行,可知D选项错误,故选D.3.下列四个命题:①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是( D )(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)②和④解析:①显然错误,因为这两条直线相交才满足条件;②成立;③错误,这两条直线可能平行、相交,也可能异面;④成立,用反证法容易证明.故选D.4.若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( C )①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.(A)①③(B)②③(C)②④(D)①④解析:若α⊥β且直线m⊥α,则在平面β内,一定存在与直线m平行的直线,所以①错误;若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直,故②正确;若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确,故选C.5.设不在同一条直线上的A,B,C三点到平面α的距离相等,且A∉α,则( B )(A)α∥平面ABC(B)△ABC中至少有一条边平行于α(C)△ABC中至多有两条边平行于α(D)△ABC中只可能有一条边平行于α解析:因为A∉α,所以A,B,C均不在平面α内.当A,B,C三点在平面α的同侧时,α∥平面ABC,此时△ABC的三条边都平行于α,排除C,D;当A,B,C三点不在平面α的同侧时,易知△ABC中只有一条边平行于α,此时平面α和平面ABC相交,故选B.6.若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( B )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为l⊥m,m⊥α,所以l∥α或l⊂α.故充分性不成立.若l∥α,m⊥α,一定有l⊥m.故必要性成立.选B.二、填空题7.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,点E在侧棱AA1上(不与A,A1重合),满足∠C1EB=90°,则异面直线BE与C1B1所成的角为,侧棱AA1的长的最小值为.解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CB⊥平面ABB1A1,所以∠CBE=90°,又C1B1∥BC,所以异面直线BE与C1B1所成的角为90°.连接BC1,设AA1=x,AE=m(m>0),则有BE2=1+m2,C1E2=(x-m)2+2,C1B2=1+x2,因为∠C1EB=90°,所以C1B2=C1E2+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+≥2,当且仅当m=,即m=1时,“=”成立.答案:90° 28.四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A1-BCD,使平面A1BD⊥平面BCD,给出下列结论:(1)A1C⊥BD;(2)∠BA1C=90°;(3)四面体A1-BCD的体积为.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填上) 解析:若A1C⊥BD,因为BD⊥CD,A1C∩CD=C,所以BD⊥平面A1CD,所以BD⊥A1D.而由A 1B=AB=1,A1D=AD=1,BD=,得A1B⊥A1D,与BD⊥A1D矛盾,故(1)错.因为CD⊥BD,平面BCD⊥平面A1BD,所以CD⊥平面A1BD,则CD⊥A1B.又A1B⊥A1D,A1D∩CD=D,所以A1B⊥平面A1CD,则A1B⊥A1C,故(2)正确.由(2)知==×·A1D·DC·A1B=,故(3)错.答案:(2)9.在正方体ABCD A 1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.解析:在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因为CD 与平面α不平行,所以它们相交,设α∩CD=Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交.由点P的任意性,知有无数条直线与A1D1,EF,CD都相交.答案:无数10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形.∠ACB =90°,AC=6,BC=CC 1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为.解析:连接A1B,将△A1BC1与△CBC1同时展开形成一个平面四边形A1BCC1,则此时对角线CP+PA1=A1C达到最小,在等腰直角三角形△BCC1中,BC1=2,∠CC1B=45°,在△A 1BC1中,A1B==2,A1C1=6,BC1=2,所以A1+B=A1B2,即∠A1C1B=90°.对于展开形成的四边形A1BCC1,如图,在△A 1C1C中,C1C=,A1C1=6,∠A1C1C=135°,由余弦定理有,CP+PA 1=A1C===5.答案:511. 如图,三棱锥A BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.解析:如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.因为M为AD的中点,所以MK∥AN,所以∠KMC为异面直线AN,CM所成的角.因为AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点,由勾股定理求得AN=DN=CM=2,所以MK=.在Rt△CKN中,CK==.在△CKM中,由余弦定理,得cos∠KMC===.答案:12.如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE 翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是.①BM是定值;②点M在某个球面上运动;③存在某个位置,使DE⊥A1C;④存在某个位置,使MB∥平面A1DE.解析:取DC中点F,连接MF,BF,MF∥A1D且MF=A1D,FB∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB 是定值,所以M是在以B为圆心,MB为半径的球上,可得①②正确;由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE,可得④正确;A1C在平面ABCD中的投影与AC重合,AC与DE不垂直,可得③不正确.答案:③三、解答题13.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解:如图所示,取AC的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EF∥CD.所以∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE=AD=,所以BE=.在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,所以EF=.在Rt△BAF中,AB=1,AF=,所以BF=.在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.证明:(1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面.即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,则R∈α且∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.15.在长方体ABCD A 1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.(1)过P点在空间内作一条直线l,使l∥直线BD,应该如何作图?并说明理由;(2)过P点在平面A1C1内作一条直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈(0°,90°],这样的直线有几条,应该如何作图?解:(1)连接B1D1,BD,在平面A1C1内过P点作直线l,使l∥直线B1D1,则l即为所求作的直线.因为直线B1D1∥直线BD,l∥直线B1D1,所以l∥直线BD.如图(1).(2)在平面A1C1内作直线m,使直线m与B1D1相交成α角,因为BD∥B1D1,所以直线m与直线BD也成α角,即直线m为所求作的直线,如图(2).由图(2)知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈(0,90°].当α=90°时,这样的直线m有且只有一条,当α≠90°时,这样的直线m 有两条.第4节直线、平面平行的判定与性质一、选择题1.若直线l∥平面α,直线a⊂平面α,则l与a的位置关系是( D )(A)l∥a (B)l与a异面(C)l与a相交 (D)l与a没有公共点解析:因为直线平行于平面,那么l与平面内的任何一条直线都没有公共点,因此l与a的位置关系是没有公共点,选D.2.下列条件能推出平面α∥平面β的是( D )(A)存在一条直线a,a∥α,a∥β(B)存在一条直线a,a⊂α,a∥β(C)存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α(D)存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α解析:因为根据面面平行的判定定理可知,如果存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则可以利用线线平行得到面面平行,选D.3.已知直线l,m,平面α,β,则下列命题中:①若α∥β,l⊂α,则l∥β②若α⊥β,l⊥α,则l∥β③若l∥α,m⊂α,则l∥m④若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥β,其中真命题有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:当两个平面平行时,一个平面上的线与另一个平面平行,故①正确;一条直线垂直于两个垂直平面中的一个平面,那么这条直线平行于或包含于另一个平面,故②不正确;④不正确;③中l,m的关系是不相交,故③不正确,故选B.4.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( B )(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④解析:对图①,构造AB所在的平面,即对角面,可以证明这个对角面与平面MNP平行,由线面平行的定义可得AB∥平面MNP;对图④,通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP;对于②,证MP中点为K,延长BA,KN则相交,所以BA与平面MNP相交,②错;对于③平面MNP与直线AB相交于点B,③错.故选B.5.类比平面几何中的定理“设a,b,c是三条直线,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,得出如下结论:①设a,b,c是空间的三条直线,若a⊥c,b⊥c,则a∥b;②设a,b是两条直线,α是平面,若a⊥α,b⊥α,则a∥b;③设α,β是两个平面,m是直线,若m⊥α,m⊥β,则α∥β;④设α,β,γ是三个平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确命题的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①错;②垂直于同一个平面的两条直线平行,正确;③垂直于同一条直线的两个平面平行,正确;④错;两个平面也可能相交.6.在空间中,下列命题正确的是( D )(A)平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β(B)若直线m与平面α内的一条直线平行,则m∥α(C)若平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β(D)若直线a与平面α内的无数条直线都垂直,则不能说一定有a⊥α解析:直线a与平面α内的任意直线都垂直,则有a⊥α,所以D正确.二、填空题7.点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF= .解析:取BC的中点D,连接ED与FD,因为E,F分别是SC和AB的中点,点D为BC的中点所以ED∥SB,FD∥AC,而SB⊥AC,SB=AC=2,则三角形EDF为等腰直角三角形,则ED=FD=1,即EF=.答案:8.正四棱锥S ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P 在这个棱锥表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为.解析:由题意知,点P的轨迹为如图所示的三角形EFG,其中G,F为其所在棱的中点,所以EF=BD=,GE=GF=SB=,所以轨迹的周长为+.答案:+9.将边长为2,一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD,点E,F分别为AC,BD的中点,则下列命题中正确的是.①EF∥AB;②EF⊥BD;③EF有最大值,无最小值;④当四面体ABCD的体积最大时,AC=;⑤AC垂直于截面BDE.解析:因为将边长为2,一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD 折成四面体ABCD,点E,F分别为AC,BD的中点,则可知EF⊥BD,当四面体ABCD的体积最大时,AC=,AC垂直于截面BDE成立.答案:②④⑤10.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.解析:因为平面α∥平面β,所以AB∥CD,①当P在两平面外时,==,所以=,所以BD=.②当P在两平面之间时,=,所以=,所以BD=24,所以BD的长为或24.答案:或2411.给出下列四个命题:①过平面外一点,作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条;②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行;③对确定的两条异面直线,过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行;④对两条异面的直线,都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等.其中正确的命题序号为.解析:①中,成90度角的时候,就只有一条,因此错误.②中是线面平行的性质定理,显然成立.③不正确.④中,利用等角定理,可知成立. 答案:②④12.侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过A 作截面AEF,则截面△AEF周长的最小值为.解析:沿着侧棱VA把正三棱锥V ABC展开在一个平面内,则设VA的另一边为VA′,则AA′即为截面△AEF周长的最小值,且∠AVA′=3×40=120°.△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6.答案:6三、解答题13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=4,AA1=2,点E 在棱C1D1上,且D1E=3.(1)试在棱CD上确定一点E1,使得直线EE1∥平面D1DB,并证明;(2)若动点F在底面ABCD内,且AF=2,请说明点F的轨迹,并探求EF 长度的最小值.解:(1)取CD的四等分点E1,使得DE1=3,则有EE1∥平面D1DB.证明如下:因为D1E∥DE1且D1E=DE1,所以四边形D1EE1D为平行四边形,则D1D∥EE1,因为DD1⊂平面D1DB,EE1⊄平面D1DB,所以EE1∥平面D1DB.(2)因为AF=2,所以点F在平面ABCD内的轨迹是以A为圆心,半径等于2的四分之一圆弧.因为EE1∥DD1,D1D⊥平面ABCD,所以E1E⊥平面ABCD,故EF==.所以当E1F的长度取最小值时,EF的长度最小,此时点F为线段AE1和四分之一圆弧的交点,即E1F=E1A-AF=5-2=3,所以EF==.即EF长度的最小值为.14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E是棱CD的中点,P是棱AA1的中点,(1)求证:PD∥平面AB1E;(2)求三棱锥B-AB1E的体积.(1)证明:取AB1中点Q,连接PQ,则PQ为中位线,PQ A1B1,而正方体ABCD-A1B1C1D1,E是棱CD的中点,故DE A1B1,所以PQ DE,所以四边形PQED为平行四边形.所以PD∥QE,而QE⊂平面AB1E,PD⊄平面AB1E,故PD∥平面AB1E.(2)解:正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABE,故BB1为高,BB1=2,因为CD∥AB,所以S△ABE=S△ABC=AB·BC=×2×2=2.故==BB1·S△ABC=.15.如图,在四面体PABC中,PA=PB,CA=CB,D,E,F,G分别是PA,AC,CB,BP的中点.(1)求证:D,E,F,G四点共面;(2)求证:PC⊥AB;(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形,且AB=2,PC=,求四面体PABC的体积.(1)证明:依题意DG∥AB,EF∥AB,所以DG∥EF,DG,EF共面,从而D,E,F,G四点共面.(2)证明:取AB中点为O,连接PO,CO.因为PA=PB,CA=CB,所以PO⊥AB,CO⊥AB,因为PO∩CO=O,所以AB⊥平面POC,PC⊂平面POC,所以AB⊥PC.(3)解:因为△ABC和△PAB是等腰直角三角形,所以PO=CO=AB=1,因为PC=,OP2+OC2=PC2,所以OP⊥OC,又PO⊥AB,且AB∩OC=O,所以PO⊥平面ABC,=PO·S△ABC=×1×2×1×=.第5节直线、平面垂直的判定与性质一、选择题1.已知直线l,m和平面α, 则下列命题正确的是( C )(A)若l∥m,m⊂α,则l∥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m(C)若l⊥α,m⊂α,则l⊥m(D)若l⊥m,l⊥α,则m∥α解析:A项中直线l与平面α可能平行,可能直线在平面内;B项中直线l,m平行或异面;C项中当直线垂直于平面时,直线垂直于平面内任意直线;D项中直线m与平面α平行或直线在平面内.2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,则四面体P ABC中共有直角三角形个数为( A )(A)4 (B) 3 (C) 2 (D) 1解析:因为PA⊥平面ABC,AB⊥BC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PB⊥CB,所以△ABC,△PBC, △ABP, △APC都是直角三角形,故选A.3.已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( C )(A)n⊥β (B)n∥β,或n⊂β(C)n∥α或n⊂α(D)n⊥α解析:由题意画出图形,容易判断选项.由于直线m⊥n,m⊥α,α⊥β,选项A,中线面可能相交,也可能垂直,选项B中,n与β还可能相交,错误,选项D中,直线不能垂直于平面,故结合图象不难得到选项为C.4.正方体的棱长为1,C,D,M分别为三条棱的中点,A,B是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是( B )(A)(B)(C)(D)解析:过M作AB的垂线MN交AB于N,连接CN.由于CM⊥AB,MN⊥AB,则AB⊥平面CMN,所以,M到面ABCD的距离h是直角三角形CMN的斜边CN上的高.由于BM=,CM=1,MN=,CN=,则结合=求得h=.故选B.。
高三高考语文第一轮复习《古代诗歌鉴赏》练习题(附答案解析)
高三高考语文第一轮复习《古代诗歌鉴赏》练习题（附答案解析）1．阅读下面这首汉代古诗，完成(1)－(2)题。
步出城东门无名氏步出城东门，遥望江南路。
前日风雨中，故人从此去。
我欲渡河水，河水深无梁。
愿为双黄鹄①，高飞还故乡。
【注】①黄鹄：传说中的大鸟，一举千里，仙人所乘。
(1)这首诗主要写了哪两件事？它们之间是什么关系？答：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 解析：本题考查鉴赏诗歌的内容的能力。
概括诗中所述事件，要注意抓住叙事的要素，比如时间是“前日”，地点是“城东门”“江南路”，背景是“风雨中”，人物是“故人”和“我”，行为是送别友人、“还故乡”。
由此可以概括出两件事：游子送友和游子欲归不能。
写游子送友，是为了突出他自己欲归不能的哀愁。
答案：一是游子送友，二是游子欲归不能。
在风雨中送别友人归去，更加衬托出游子的孤独寂寥，越发增添游子的思乡之情，表现出游子不能归乡的哀愁。
(2)这首诗最后两句表达了诗人怎样的思想情感？运用了什么表现手法？请简要分析。
答：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 解析：本题考查鉴赏诗歌的思想情感和表达技巧的能力。
诗中最后两句运用了想象的表现手法，表达了诗人归乡的强烈愿望，思想情感和表现手法都比较容易分析得出。
高三数学一轮复习练习题
高三数学一轮复习练习题一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4，则f(-1)的值为：A. 14B. 4C. -4D. -142. 已知等差数列的前项是a1，公差是d，若a1 = 3，d = 4，则该等差数列的通项公式为：A. an = 3n + 1B. an = 4n - 1C. an = 3n - 1D. an = 4n + 13. 已知函数y = 3x^2 - 4x + 2的图像在直线y = 5上方，则不等式3x^2 - 4x + 2 > 5的解集为：A. (-∞, 1/3)B. (-∞, 1/3) U (2/3, +∞)C. (1/3, 2/3)D. (2/3, +∞)4. 某商品原价为100元，现在打折出售，已知第一次打8折，第二次打6折，第三次打9折，最终的售价是多少元？A. 54.4B. 56.4C. 59.4D. 62.45. 解方程3x^2 + 4x - 5 = 0，其中x的解为：A. x = -5/3 或 x = 1B. x = -5/3 或 x = 5/3C. x = 1 或 x = -5D. x = 5/3 或 x = -1二、填空题1. 已知直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，斜边的长为_______ cm。
2. 若向量a = (3, 2) 和向量b = (4, -1)，则a与b的数量积为 _______ 。
3. 设函数y = a^x + b的图像经过点(1, 3)和(2, 4)，则常数a和b的值分别为 _______ 。
4. 设集合A = {x | -2 < x ≤ 3}，集合B = {x | x < 0 或 x > 4}，则A ∪B的取值范围为 _______ 。
5. 已知直线y = 2x + a与曲线y = x^2 + b相交于一点，则a + b的值为 _______ 。
三、解答题1. 已知正方形ABCD的边长为a，P是AB的中点，Q是CD的中点，连接AC并延长交BC延长线于点E，求证：DE ⊥ PA。
高三数学一轮复习《函数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数》练习题（含答案）第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}|1M x x =>，(){}2|lg 3N x y x x ==-，则M N ⋃为（ ）A ．[)3,+∞B ．()1,+∞C ．()1,3D ．()0,∞+2．若函数f (x )和g (x )分别由下表给出：满足g (f (x ))＝1的x 值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数()22x a xf x -=+的图象关于直线1x =对称，若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<，()()()123g x g x g x ==，则123x x x 的取值范围为（ ）A ．()0,2B ．()0,4C ．()4,6D ．(]4,64．设k >0，若不等式3log ()3xk kx -≤0在x >0时恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．eB ．eln3C ．log 3eD ．35．若,,(0,1)r s t ∈，且45log log lg r s t ==，则（ ） A ．1115104r s t << B ．1113104s r t << C ．1111054t s r <<D ．1111054r t s <<6．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()2022af x x x=-，若()()1202202024f f +=，则()2f -=（ ） A ．2020B ．2020-C ．4045D ．4045-7．设126a =，3log 2b =，ln 2c =则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题 9．函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．10．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合()(){}220,M x f x f x k k R =++=∈，则下列命题正确的是（ ）A ．当0k =时，{}0,5,7M =B ．当1k >时M =∅C ．若{},,M a b c =，则k 的取值范围为()15,3--D ．若{},,,M a b c d =（其中a b c d <<<），则2214a b c d +++=11．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线8x π=对称B ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是192388ω≤< 12．下列各式比较大小，正确的是（ ） A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22-> C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 13．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为1k +次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为()01p p <<，若10k =，运用概率统计的知识判断下列哪些p 值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：lg 0.7940.1≈-）（ ） A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1第II 卷（非选择题）三、填空题14．已知函数()3136f x x x =+-，函数()ln 1x g x m x+=-，若对任意[]11,2x ∈，存在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≤，则实数m 的取值范围为______．15．已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当()0,1x ∈时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.16．化简2011log 5310.06428-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的结果为________．17．定义在R 上的函数()1442x x f x +=+，129101010S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则S 的值是______. 四、解答题18．已知函数2()22f x x ax =++，(1)当1a =时，求函数()f x 在[3,3]-的最大值和最小值； (2)若对于任意x ∈R 都有()0f x >，求实数a 的取值范围．19．解下列方程与不等式（1）2lg(426)lg(3)1x x x +---=（2）222log log (3)x x x <-20．已知函数21()x f x x+=.(1)判断()f x 奇偶性；(2)当(1,)x ∈+∞时，判断()f x 的单调性并证明；(3)在（2）的条件下，若实数m 满足(3)(52)f m f m >-，求m 的取值范围.21．经普查，某种珍稀动物今年存量为1100只，而5年前存量为1000只． (1)在这5年中，若该动物的年平均增长率为a %，求a 的值（结果保留一位小数）； (2)如果保持上述的年平均增长率不变，那么还需要经过几年才能使该动物的存量达到1300只？（精确到1年）22．已知a R ∈，函数()f x x x a =-．(1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）23．某物流公司欲将一批海产品从A 地运往B 地，现有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，这三种工具的主要参考数据如下：若这批海产品在运输过程中的损耗为300元/h ，问采用哪种运输方式比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.参考答案1．D2．A3．C4．B5．A6．D7．B8．D 9．ABD10．ABD11．ACD 12．BC13．CD 14．7,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦15．0 16．27217．1818．(1)()()max min 17,1f x f x ==(2)(19．（1）3x =（2）(4,)+∞ 20．(1)奇函数 (2)增函数 (3)(1,2) 21．(1) 1.9a = (2)9年22．(1)函数()f x 既不是奇函数也不偶函数；(2)当0a >时， 02a m ≤<，a n <≤；当0a <m a ≤<，02a n <≤. 23．当550021s <时，汽车总费用最小；当55004000213s <时，火车总费用最小；当40003s 时，飞机总费用最小（其中s 表示运输路程）。
高三语文一轮复习《修辞手法》练习题(含答案)
高三语文一轮复习《修辞手法》练习题（含答案）一、选择题1．下列各项中，和画波浪线的句子使用的修辞手法相同的一项是（）黄梅戏，原名黄梅调、采茶戏等，起源于湖北黄梅，发展壮大于安徽安庆。
与京剧、越剧、评剧、豫剧并称“中国五大戏曲剧种”。
黄梅戏语言以安庆地方语言为基础，属北方方言语系的江淮官话。
黄梅戏妆容不同于其他剧种那样力求色彩艳丽旖旎，其更像一株氤氲山岚，缱绻万千，追求清秀淡雅。
A．落红不是无情物，化作春泥更护花。
B．蜂房水涡，矗不知其几千万落。
C．连峰去天不盈尺，枯松倒挂倚绝壁。
D．我寄愁心与明月，随君直到夜郎西。
2．下列各项中，和“整个宁波城都在柔弱地颤抖”使用的修辞手法相同的一项是（）A．征蓬出汉塞，归雁入胡天。
B．低眉信手续续弹，说尽心中无限事。
C．塞下秋来风景异，衡阳雁去无留意。
D．诵明月之诗，歌窈窕之章。
3．阅读下面的文字，完成下面小题。
夏衍的报告文学是比较讲究艺术结构的，他改变了过去通讯、报道、速写单纯的结构方式，多做线性叙述，而使作品的结构富于变化，多姿多彩。
如《包身工》巧妙地采用纵横交错的结构方法，以包身工一天的生活劳动为纵线，收放自如地勾连横向事件，使全篇宛如一条斑斓的彩带缀上一串闪光的珍珠，显得玲珑剔透.严谨精美。
在人物刻画和场景的描写上，他善于选择富有特色的典型的生活片段和细节，做特写镜头式的具体描绘，增强了作品的可视性和可感性。
比如包身工早晨喝粥的情景就描绘得相当细腻、逼真。
那对粥的描写，使你仿佛立即看到了猪食；女工们用舌头舔着淋漓在碗边外面的粥汁，蹲在路上和门口就食的情景，使你仿佛听到了她们的饥肠辘辘；至于老板娘用锅焦、残粥搅拌清水来给女工充饥的镜头，把包身工猪狗不如的生活揭示得入木三分，不能不引起人们的满腔悲愤!报告文学，无论是记事，还是写人，都是作者带着自己的观点、感情来写的。
任何一个作者都不会对故事和人物进行纯客观的叙述，而总是把自己的见解和感情诉诸笔端，用以说服、感染读者。
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)
高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）一、单选题1．已知()()12222x x a a a a -++>++，则x 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R 2．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为 A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8 C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,103．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1- 4．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]1,1-是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5．函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()12,1f x f x y f x =+=-的图形关于()1,0对称，且()71f =- 则()2021f =（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数7．若函数()()ln 1x f x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ） A ．1e - B ．2e - C ．e D ．2-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---二、多选题9．已知函数()21e x x x f x +-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值B ．函数()f x 存在3个不同的零点C ．函数()f x 的最小值是e -D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5e f x =，则t 的最大值为2 10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且2()()(32)()x x f x x f x +'<+恒成立，则必有（ ）A ．()(3)181f f >B ．()()261f f <C ．()131162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()332f f <11．若曲线()20y ax a =≠与ln 1y x =+存在公共切线，则实数a 的可能取值是（ ）A ．－1B ．eC ．e 2D ．12 12．下列各式比较大小，正确的是（ ）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 三、填空题 13．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14．函数()()2ln 3x x f x x +=-的零点是__________． 15．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,m m x y x y x y ，则1ni i x ==∑___________.16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2y x 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________.四、解答题17．已知函数()sin x f x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．18．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与空气污染指数()p x 的关系为：()()()()10244f x p x p x k x =-+<≤，其中空气污染指数()p x 与时刻x （小时）和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求空气污染指数()p x 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数()f x 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．19．某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x 元(1≤x ≤50，x ∈N *)，则租出的车辆会相应减少4x 辆.（1）求该汽车租赁公司每天的收入y (元)关于x 的函数关系式；（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?20．已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.21．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域22．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个矩形花园，中间有三个完全一样 的矩形花坛，每个花坛的面积均为294平方米，花坛四周的过道宽度均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x 米，宽为y 米，整个矩形花园的面积为S 平方米.（1）试用x 、y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为多少平方米?参考答案1．B2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．B9．ACD10．BD11．ABC12．BC13．314．1.15．m16．①③④17．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min 22f x e -=- 18．(1)()21x p x x =+，(]0,24x ∈，()max 12p x =; (2)没有超标；19．（1）y=-40x 2+800x +60000(1≤x ≤50，x ∈N *)；（2）390元或400元或410元.20．（1）1m =；（2）116-. 21．[]4,-+∞.22．（1）312832S xy y x =+++；（2）矩形花坛的长为21米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为1250平方米。
高三历史一轮复习《中国古代史》练习题(含答案)
高三历史一轮复习《中国古代史》练习题（含答案）一、单选题1．公元前124 年，汉武帝在长安兴办太学，太学的学习科目为“五经”，一律由儒学五经博士教授，同时下令全国各郡国设置学校。
汉武帝的这些措施A．打破了贵族垄断文化教育的局面B．宣告了“百家争鸣”局面的结束C．确立了儒学在文化上的主导地位D．推动了儒学走向世俗化和生活化2．《诗经》祭祀诗中商人多神化商汤、武丁等祖先，崇尚先王的暴力和武功；而周人塑造的祖先则多是文质彬彬的形象，他们赞颂祖先带领民众在治理田畴、勘察居住点、建筑房屋等方面的贡献。
这反映出西周统治者A．践行儒家民本观念B．执政观念趋向理性C．尤其重视基层治理D．开始强调以文治国3．永乐三年，他率领二万七千八百多人，分乘二百零八艘木制帆船，由太仓的刘家港出发，开始了持续二十八年之久的航海壮举，访问了亚非30多个国家和地区，最远到达非洲东海岸和红海沿岸。
这一壮举，史称A．郑和下西洋B．鉴真东渡C．法显西行D．空海求法4．明朝郑和七下西洋，访问了亚非30多个国家和地区。
600多年来，中国与亚非各国关系的佳话流传不衰。
据此可知，郑和下西洋A．促进中外经济文化交流B．增加政府的财政收入C．推动明朝政治革新进程D．扩大海外贸易的规模5．造成下图所示漫画中“悲剧”的措施是A．使枢密院与“三衙”分权B．将地方精锐部队编入禁军C．设通判与知州彼此制约D．枢密院、三司分割宰相权力6．汉代妇女盛行自由改嫁，而唐代中、上层妇女大多选择守寡。
这种变化折射出A．儒家思想文化的发展B．唐代妇女更自由富足C．妇女贞节观念愈淡薄D．程朱理学观念已普及7．公元10世纪到13世纪是继三国两晋南北朝之后又一个北方少数民族活跃的时期。
少数民族政权在统一多民族封建国家发展中起到了重要作用。
下面是某校学生用列表法梳理知识时制作的表格,由上到下应依次填写的是A．契丹、党项、女真、蒙古B．鲜卑、女真、蒙古、匈奴C．契丹、吐蕃、女真、满洲D．鲜卑、女真、党项、蒙古8．“唐朝统治者具有‘华夷一家’的观念，与300多个国家和地区保持友好交往。
高三第一轮复习数列练习题含答案
第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列{a n}：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A．a n＝(－1)n＋12n－1n2＋n(n∈N＋)B．a n＝(－1)n－12n＋1n3＋3n(n∈N＋)C．a n＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N＋)D．a n＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋)解析观察数列{a n}各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案 D2．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( )．A．27 B．28 C．29 D．30解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案 B3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1(n∈N*)，则a5＝()．A ．－16B ．16C ．31D ．32解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1， 又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)． ∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16. 答案 B4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a 2 014－5＝( )．A ．2 020×2 012B ．2 020×2 013C ．1 010×2 012D ．1 010×2 013解析 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)．所以a 2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D. 答案 D5．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是 ( )． A ．103B.8658C.8258D ．108解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－292n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋8418，∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108. 答案 D6．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为( )． A ．等差数列 B ．等比数列 C ．递增数列D ．递减数列解析 由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋1x在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n}为递增数列．答案 C二、填空题7．在函数f(x)＝x中，令x＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________．答案1，2，3，2， 58．已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＝n(a n＋1－a n)(n∈N*)，则a2＝________；a n＝________.解析由a n＝n(a n＋1－a n)，可得a n＋1a n＝n＋1n，则a n＝a na n－1·a n－1a n－2·a n－2a n－3·…·a2a1·a1＝nn－1×n－1n－2×n－2n－3×…×21×1＝n，∴a2＝2，a n＝n.答案2n9．已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，a n＝f(n)，则a2 013＝________.解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)．故f(x)周期为4，∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝1 2.答案1 210．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5＜a k＜8，则k的值为________．解析∵S n＝n2－9n，∴n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－10，a1＝S1＝－8适合上式，∴a n＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.答案8三、解答题11．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数．12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式． 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.13．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n－1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式， 故a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋(a －3)2n －2，n ≥2. a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)． 14．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数 列{b m }的前m 项和S m .解 (1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28.设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8，因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m＝92m－1－9m－1.于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝9×(1－81m)1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.第2讲等差数列及其前n项和一、选择题1． {a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 B．20C．22 D．24解析由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.答案 B2．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )．A．6 B．7 C．8 D．9解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以S n＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当S n取得最小值时，n＝6.答案 A3．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()．A．－1 B．1 C．3 D．7解析两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.答案 B4．在等差数列{a n}中，S15>0，S16<0，则使a n>0成立的n的最大值为()．A．6 B．7 C．8 D．9解析依题意得S15＝15(a1＋a15)2＝15a8>0，即a8>0；S16＝16(a1＋a16)2＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使a n>0成立的n的最大值是8，选C.答案 C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8B ．7C ．6D ．5解析 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a nb n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案 38．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________． 解析 依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案 69．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，所以d ＝59，所以数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤325，又n ∈N *，前6项均为负值， 所以S n 的最小值为－293. 答案 －29310．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案 11 7 三、解答题11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围． 解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0， 则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列． 13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列， 且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ； 当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值； (2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. 综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－2.(2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1， 所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n ，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)， 从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0， 故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.第3讲 等比数列及其前n 项和一、选择题1.2＋1与2－1两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1D.12解析 设等比中项为x ，则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，即x ＝±1. 答案 C2．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )． A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XYD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )解析 (特例法)取等比数列1,2,4，令n ＝1得X ＝1，Y ＝3，Z ＝7代入验算，选D. 答案 D3．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝( )． A ．2B.12C ．2或12D ．3解析 ∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ， 化简得，2q 2－5q ＋2＝0，由题意知，q >1.∴q ＝2. 答案 A4．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝( )．A ．8B ．15(2＋1)C ．15(2－1)D ．15(1－2)解析∵a 2a 6＝a 24＝8，∴a 21q 6＝8，∴q ＝2，∴S 8＝1－q 81－q＝15(2＋1)．答案 B5．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为( )．A ．4B ．5C.45D.15解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －15·4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.答案 B6．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为 ( )． A.12B.32C ．1D ．－32解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 答案 B 二、填空题7．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．解析 设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}故q 的最小值是33.答案338．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析 由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝4n －1. 答案 4n －19．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．解析 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ∵n ∈N *，∴12≤S n <1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，110．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝13；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析 对于①，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d 是一个非零常数，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列，①正确．对于②，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 2＋a 12)2＝13，因此②正确．对于③，注意到S n＝na1＋n(n－1)2d＝n[a n－(n－1)d]＋n(n－1)2d＝na n－n(n－1)2d，因此③正确．对于④，S n＝na1＋n(n－1)2d，d>0时，S n不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.答案①②③三、解答题11．已知等比数列{a n}中，a1＝13，公比q＝13.(1)S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝1－a n 2；(2)设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列{b n}的通项公式．解 (1)证明因为a n＝13×⎝⎛⎭⎪⎫13n－1＝13n，S n＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n1－13＝1－13n2，所以S n＝1－a n2.(2)b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n＝－(1＋2＋…＋n)＝－n n＋12.所以{b n}的通项公式为b n＝－n n＋12.12．已知数列{a n}的前n项和为S n，在数列{b n}中，b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{b n}的通项公式．(1)证明∵a n＋S n＝n，①∴a n＋1＋S n＋1＝n＋1，②②－①得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，∴2a n＋1＝a n＋1，∴2(a n＋1－1)＝a n－1，∴a n＋1－1a n－1＝12.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列． (2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .13．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)． 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设数列{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)，由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由数列{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0， 代入(*)得a ＝13.14．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n .解 (1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， ∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1，且n ∈N *)．∴a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n (n >1，n ∈N *)，a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ，b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n ) ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n ) ＝4n －13＋(1＋n )n 2.第4讲 数列求和一、选择题1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 解析15242451,5551522a a a a a a S ++==⇒=⨯=⨯=.答案 B2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )． A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15. 答案 A3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0132 014，则项数n 为( )．A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0132 014，解得n ＝2013. 答案 C4．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )． A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30×(3＋119)2＝30×61＝1 830.答案 D5. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }的前10项和T 10＝( )A ．70B ．75C ．80D ．85 解析 由已知a n ＝2n ＋1，得a 1＝3，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3＋2n ＋12＝n(n ＋2)，则b n ＝n ＋2，T 10＝10 3＋122＝75，故选B . 答案 B6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )． A.212B ．6C ．10D ．11解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题7．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12. 答案 －2 2n －1－128．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1· 1－4n 1－4＝13(4n －1)．答案 13(4n－1)9．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ， 所以1b n b n ＋1＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1.则S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案n n ＋110．设f (x )＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，可求得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________． 解析当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)＝4x 14x 1＋2＋4x 24x 2＋2＝2×4x 1＋x 2＋2×(4x 1＋4x 2)4x 1＋x 2＋(4x 1＋4x 2)×2＋4＝1.设S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011，倒序相加有2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝10，即S ＝5. 答案 5 三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎨⎧S 2b 2＝ 6＋d q ＝64，S 3b 3＝ 9＋3d q 2＝960，解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403.(舍去)故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32 n ＋1 n ＋2.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝12S n ，a n ＝12S n －1(n ≥2)，得到a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列． 又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．又a 1＝1不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2.(2)b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝n . ∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －11＋n＝1－11＋n ＝nn ＋1. 13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法． 解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3， ①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13， ②①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n . (2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ， ③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )，即2S n ＝n ·3n ＋1－3(1－3n )1－3，∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34. 探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养． 14．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝10.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．解 (1)设等差数列{b n }的公差为d ， 则⎩⎨⎧ b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎨⎧b 1＝2，d ＝2， 所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且32<13<42，a 10＝b 4＝8， 所以a 13＝a 10q 3＝8q 3，又a 13＝1，所以解得q ＝12. 由已知可得c n ＝b n q n －1，因此c n ＝2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝n 2n －2. 所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n2n －2，12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1，因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1，解得S n ＝8－n ＋22n －2.②由①知c n ＝n2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n (n ＋1)2n －2≥λ. 设f (n )＝n (n ＋1)2n －2， 计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154. 因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(2－n )2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )．因为集合M 的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5].第5讲数列的综合应用一、选择题1．已知{a n}为等比数列．下面结论中正确的是()．A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a21＋a23≥2a1a3＝2a22.答案 B2．满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是()．A．9 B．10 C．11 D．12解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1，S n＝2n－1，则满足S n>1 025的最小n值是11.答案 C3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()．A．5年B．6年C．7年D．8年解析由已知可得第n年的产量a n＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令a n≥150⇒n≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案 C4．在等差数列{a n}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，S n是数列{a n}前n项的和，若S n取得最大值，则n＝()．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 设公差为d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－433a 1>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案 C5．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析 由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)， 则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n . 答案 A6．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎪⎫1－12n解析 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎪⎫1－14n .答案 C二、填空题7．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析 由x 2－x ＜2nx (n ∈N *)，得0＜x ＜2n ＋1，因此知a n ＝2n . ∴S 100＝100(2＋200)2＝10 100.答案 10 1008．已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋cy ＝________.解析 赋值法．如令a ，b ，c 分别为2,4,8，可求出x ＝a ＋b 2＝3，y ＝b ＋c2＝6，a x ＋c y ＝2. 答案 29．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99的值为________．解析 由y ′＝(n ＋1)x n (x ∈N *)，所以在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，故切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1，令y ＝0得x n ＝nn ＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg x 1＋lg x 2＋…＋lg x 99＝lg(x 1·x 2·…·x 99)＝lg 12×23×…×9999＋1＝lg 199＋1＝－2. 答案 －210．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，有如下运算和结论： ①a 24＝38；②数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n 4；④若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)解析 依题意，将数列{a n }中的项依次按分母相同的项分成一组，第n 组中的数的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分母均是n ＋1，分子由1依次增大到n ，第n 组中的各数和等于1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2.对于①，注意到21＝6(6＋1)2<24<7(7＋1)2＝28，因此数列{a n }中的第24项应是第7组中的第3个数，即a 24＝38，因此①正确． 对于②、③，设b n 为②、③中的数列的通项，则b n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n 项和等于12×n (n ＋1)2＝n 2＋n4，因此②不正确，③正确．对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于62＋64＝1012，因此满足条件的a k 应是第6组中的第5个数，即a k ＝57，因此④正确． 综上所述，其中正确的结论有①③④. 答案 ①③④ 三、解答题11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13. (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝4a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝4a 2n －1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列． (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.(1)解 当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，③由①②③解得a 1＝1.(2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，∴a n 2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式，∴a n ＝3n －2n . (3)证明 由(2)得1a n＝13n－2n. 当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n >2，即3n －2n >2n ，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32.13．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T nK n ，求证：c n ＋1>c n (n ∈N *)．(1)解 设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2， 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2.又a 1＝2，d ＝1，所以a 3＝4，即b 2＝4. 所以数列{b n }的首项为b 1＝2，公比q ＝b 2b 1＝2，所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明 因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ， ① 故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1， ∴K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n＝(n ＋3)(2n－1)2n ＋1.c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n ＋1>c n (n ∈N *)．14．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0. (1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件． 证明 (1)由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1， 即a 2＝a 2a 1.因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1＝a 2，又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1， 两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )，即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2a n ＋1＝a 2.综上，a n ＋1a n ＝a 2对所有n ∈N *成立．从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列．(2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知，a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为：1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n 2(1＋a n －12)(n ≥3)， 即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2≤n ＋12(1＋a n 2)(n ≥2)， 当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r 2－1，(r ＝1,2，…，n －1)同为负；当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r 2－1，(r ＝1,2，…，n －1)同为正；因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r 2－1)＞0，即a r 2＋a n －r 2＜1＋a n 2，(r＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n 2)．由此得1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2＜n ＋12(1＋a n 2)．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立.。
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高三一轮复习练习题--------原子结构 元素周期律一、选择题：1.下列叙述错误．．的是( ) A.13C 和14C 属于同一种元素，它们互为同位素B. 1H 和2H 是不同的核素，它们的质子数相等C. 14C 和14N 的质量数相等，它们的中子数不等D. 6Li 和7Li 的电子数相等，中子数也相等2. U 23592是重要的核工业原料，在自然界的丰度很低。
U 23592的浓缩一直为国际社会关注。
下列有关U 23592说法正确的是 ( )A.U 23592原子核中含有92个中子 B.U 23592原子核外有143个电子C.U 23592与U 23892互为同位素 D.U 23592与U 23892互为同素异形体3. 32S 与33S 互为同位素，下列说法正确的是 ( )A.32S 与33S 原子的最外层电子数均为2B.32S 与33S 具有相同的中子数C.32S 与33S 具有不同的电子数D.32S 与33S 具有相同的质子数4.我国科学家在世界上首次合成了三种新核素，其中一种新核素的名称是铪－185，符号185Hf ，下列关于铪－185的叙述，不正确的是 （ ）A.它是一种新的原子B.它是一种新的元素C.它的质量数为185D.它是铪－180的一种新的同位素5.从某微粒的原子结构示意图反映出 ( )A.质子数和中子数B.中子数和电子数C.核电荷数和各电子层排布的电子数D.质量数和各电子层排布的电子数6. -n b X 和+m a Y 两离子的电子层结构相同，则a 等于 （ ）A ．b-m-nB ．b+m+nC ．b-m+nD ．m-n+b7. 两种元素原子的核外电子层数之比与最外层电子数之比相等，则在周期表的前10号元素中，满足上述关系的元素共有A.1对B.2对C.3对D.4对8. 下列各组给定原子序数的元素,不能．．形成原子数之比为1:1稳定化合物的是 A ．3 和 17 B ．1 和 8 C ．1 和 6 D ．7 和 129. X 和Y 两元素的阳离子具有相同的电子层结构，X 元素的阳离子半径大于Y 元素的阳离子半径；Z 和Y 两元素的原子核外电子层次相同，Z 元素的原子半径小于Y 元素的原子半径。
X 、Y 、Z 三种元素原子序数的关系是A.X ＞Y ＞ZB.Y ＞X ＞ZC.Z ＞X ＞YD.Z ＞Y ＞X10. 已知1－18号元素的离子a W 3+、b X +、c Y 2－、d Z －都具有相同的电子层结构，下列关系正确的是（ ）A.质子数c>bB.离子的还原性Y 2－>Z －C.氢化物的稳定性H 2Y>HZD.原子半径X<W11.周期表中16号元素和4号元素的原子相比较，前者的下列数据是后者4倍的是（ ）A ．电子数 B.最外层电子数 C.电子层数 D.次外层电子数12. 下列有关原子结构和元素周期律的表述正确的是（ ）①原子序数为15的元素的最高化合价为＋3②ⅦA族元素是同周期中非金属性最强的元素③第二周期ⅣA族元素的原子核电荷数和中子数一定为6④原子序数为12的元素位于元素周期表的第三周期ⅡA族A．①②B．①③ C．②④ D．③④13. 若短周期中的两种元素可形成原子个数比为3:2的化合物，则这两种元素的原子序数之差不可能是（）A. 1B. 3C. 5D. 614. 同主族两种元素原子的核外电子数的差值可能为（）A．6 B．12 C．26 D．3015. 同主族两种元素原子序数的差值不可能为（）A．16 B.26 C.36 D.4616.有X、Y两种元素，原子序数≤20，X的原子半径小于Y，且X、Y原子的最外层电子数相同(选项中m、n均为正整数)。
下列说法正确的是( )A.若X(OH)n为强碱，则Y(OH)n也一定为强碱B.若H n XO m为强酸，则X的氢化物溶于水一定显酸性C.若X元素形成的单质是X2，则Y元素形成的单质一定是Y2D.若Y的最高正价为+ m，则X的最高正价一定为+ m17. R、W、X、Z为原子序数依次递增的同一短周期元素，下列说法一定正确的是（m,n均为正整数）（）A．若 R (OH)n为强碱，则W（OH）n+1也为强碱B．若HnXOm为强酸，则Y是活泼非金属元素C．若Y的最低化合价为-2，则Z得最高正化合价为+6D．若X的最高正化合价为+5，则五种元素都是非金属元素18. 20XX年3月21日，我国公布了111号元素Rg的中文名称。
该元素名称及所在周期是( )A.钅仑第七周期B.镭第七周期C.铼第六周期D.氡第六周期19. 1999年1月，俄美科学家联合小组宣布合成出114号元素的一种同位素。
以下叙述不正确的是（）A．该元素属于第七周期 B.该元素位于IIIA族C.该元素为金属元素D.该元素性质与Pb相似20. 下列说法正确的是（）A．IA族元素的金属性比IIA族元素的金属性强B．VIA族元素的氢化物中，稳定性最好的其沸点也最高C．同周期非金属氧化物对应的水化物的酸性从左到右依次增强D．第三周期元素的离子半径从左到右逐渐减小21.下列关于元素周期表和元素周期律的说法错误．．的是( )A. Li、Na、K元素的原子核外电子层数随着核电荷数的增加而增多B. 第二周期元素从Li到F，非金属性逐渐增强C. 因为Na比K容易失去电子，所以Na比K的还原性强D. O与S为同主族元素，且O比S的非金属性强22. 短周期元素X、Y、Z的原子序数依次递增，其原子的最外层电子数之和为13。
X与Y、Z位于相邻周期，Z原子最外层电子数是X原子内层电子数的3倍或者是Y原子最外层电子数的3倍。
下列说法正确的是( )A. X的氢化物溶于水显酸性B. Y的氧化物是离子化合物C. Z的氢化物的水溶液在空气中存放不易变质D. X和Z的最高价氧化物对应的水化物都是弱酸23、下列各原子或离子的电子排布式错误的是( )A．Al 1s22s22p63s23p1B．S2-1s22s22p63s23p4C．Na+1s22s22p6D．F 1s22s22p5 24、下列说法正确的是A．原子的种类由原子核内质子数、中子数决定B．分子的种类由分子组成决定C．32He代表原子核内有2个质子和3个中子的氦原子D．178O和188O原子的核外电子数是前者大25、一个电子排布为1s22s22p63s23p1的元素最可能的价态是A．+1 B．+2 C．+3 D．-126、下列图象中所发生的现象与电子的跃迁无关的是A.燃放焰火B.霓虹灯广告C.燃烧蜡烛D.平面镜成像27、有关核外电子运动规律的描述错误的是A．核外电子质量很小，在原子核外作高速运动B．核外电子的运动规律与普通物体不同，不能用牛顿运动定律来解释C．在电子云示意图中，通常用小黑点来表示电子绕核作高速圆周运动D．在电子云示意图中，小黑点密表示电子在核外空间单位体积内电子出现的机会多28、基态碳原子的最外能层的各能级中，电子排布的方式正确的是A B C D29、下列各组元素性质递变情况错误的是A．Li、Be、B原子最外层电子数依次增多B．P、S、Cl元素最高正化合价依次升高C．N、O、F原子半径依次增大D．Na、K、Rb的金属性依次增强30、下列第三周期元素的离子中，半径最大的是A．Na+ B．Al3+ C．S2- D．Cl-31、下列基态原子的电子构型中，正确的是A．3d94s2 B．3d44s2 C．4d105s0 D．4d85s232、下列用核电荷数表示出的各组元素，有相似性质的是A．19和55 B．6和14 C．16和17 D．12和2433、元素电负性随原子序数的递增而增强的是（）A．Na K Rb B．N P As C．O S Cl D．Si P Cl34、对Na、Mg、Al的有关性质的叙述正确的是（）A．碱性：NaOH<Mg(OH)2<Al(OH)3 B．第一电离能：Na<Mg<AlC．电负性：Na>Mg>Al D．还原性：Na>Mg>Al二、非选择题35：下表为元素周期表的一部分，请参照元素①－⑧在表中的位置，用化学用语．．．．回答下列问题：（1）④、⑤、⑥的原子半径由大到小的顺序为_________________________。
（2）②、③、⑦的最高价含氧酸的酸性由强到弱的顺序是_________________________。
（3）①、④、⑤、⑧中的某些元素可形成既含离子键又含极性共价键的化合物，写出其中一种化合物的电子式：____________________。
（4）由表中两种元素的原子按1：1组成的常见液态化合物的稀液易被催化分解，可使用的催化剂为（填序号）_________________。
a.MnO2b.FeCl3c.Na2SO3d.KMnO4(5)由表中元素形成的常见物质X、Y、Z、M、N可发生以下反应：X溶液与Y溶液反应的离子方程式为_____________________，N→⑥的单质的化学方程式为________________。
常温下，为使0.1 mol/L M 溶液中由M电离的阴、阳离子浓度相等，应向溶液中加入一定量的Y溶液至_________________。
36. 已知①A、B、C、D四种物质均含元素X，有的还可能含有元素Y、Z。
元素Y、X、Z的原子序数依次递增。
② X在A、B、C、D中都不呈现它的最高化合价。
③室温下单质A与某种常见一元强碱溶液反应，可得到B和C。
④化合物D受热催化分解，可制得元素Y的单质。
（1）元素X是，Z是。
（2）写出③中反应的化学方程式：。
（3）写出④中反应的化学方程式：。