高三数学典型题专题训练最值问题
高三数学利用导数求最值和极值试题
高三数学利用导数求最值和极值试题1.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是．【考点】利用导数求函数的极值和最值．2.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x3. [2014·长沙模拟]已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【答案】C【解析】∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，y′>0，函数f(x)单调递增；当x>9时，y′＜0，函数f(x)单调递减．故当x＝9时，y取最大值．4.（5分）（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2B．3C．6D．9【答案】D【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．5.如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.（1）求关于的函数关系式？（2）求圆柱形罐子体积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用解直角三角形用将OA，AB表示出来，利用OA是圆柱的底面周长，将圆柱的底面半径用表示出来，圆柱的高就是AB，再利用圆柱的体积公式求出圆柱的体积即为所求关于的函数关系式，注意要标明定义域；（2）设sin=,将圆柱形罐子体积化为关于的函数，注意的范围，求出的导数，利用导数求出单调区间，求出的极值，再求出函数的最大值就是圆柱形罐子体积的最大值.试题解析：（1）（2）令，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，体积取得最大值.【解法2】：（1）连接，在中，设，则设圆柱底面半径为，则，即，，其中.（2）由，得由解得；由解得．因此在上是增函数，在上是减函数．所以当时，有最大值．【考点】1.圆的参数方程；2.圆柱的体积公式；3.利用导数求函数最值；4.运算求解能力.6.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.7.已知为自然对数的底数，设函数，则( )A．是的极小值点B．是的极小值点C．是的极大值点D．是的极大值点【解析】根据题意对函数求导可得,令可得,因为,所以当时,,原函数单调递增,当时,,原函数单调递减,所以为函数的极小值点,故选B.【考点】导函数极值8.设函数f(x)的定义域为R，x0(x≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x)B．－x是f(－x)的极小值点C．－x是－f(x)的极小值点D．－x是－f(－x)的极小值点【答案】D【解析】取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.9.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．【答案】9【解析】依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为910.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．11.已知函数（1）若函数在点处的切线与圆相切，求的值；（2）当时，函数的图像恒在坐标轴轴的上方，试求出的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题综合考查函数与导数及运用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力，考查函数思想、分类讨论思想.第一问，先将代入中，得到切点的纵坐标，对求导，将代入得到切线的斜率，所以点斜式写出切线方程，因为它与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，列出表达式，求出；第二问，对求导，通过分析可转化为当时，恒成立，设，讨论，讨论的正负，通过抛物线的性质，求最小值.试题解析：(1) ，而，故，所以在点处的切线方程为，即，由，配方得，故该圆的圆心为，半径，由题意可知，圆与直线相切，所以，即，解得. （4分）（2）函数的定义域为，，由题意，只需当时，恒成立. （5分）设，，当时，，当时，恒成立，即恒成立，故在上是增函数，∴当时，，（7分）当时，函数的对称轴，则在上是增函数，当时，，∴，∴在上是增函数，∴当时，，（9分）当时，函数的对称轴，在是减函数，，故，∴在是减函数，∴当时，与当时，矛盾，（11分）综上所述，的取值范围是.【考点】1.利用导数求切线的方程；2.点到直线的距离公式；3.利用导数求函数最值.12.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值13.设.(Ⅰ)若，求的单调区间;(Ⅱ) 若对一切恒成立,求的取值范围.【答案】（Ⅰ)的单调递增区间为,的单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将代入得：求的导数，由；便可得的单调区间.（Ⅱ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.试题解析：(Ⅰ)时，,故由得：；由得：；∴的单调递增区间为, 的单调递减区间为(II)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系.14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值2.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.min3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O 为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.4.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.7.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.8.设函数，则函数的各极小值之和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，令，则，令，则，所以当时，取极小值，其极小值为所以函数的各极小值之和，故选D.【考点】1.函数的极值求解；2.数列的求和.9.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析10.已知函数在处取得极值，则取值的集合为 .【答案】.【解析】，，依题意有，从而有，且有，即，解得或，当时，，此时，此时函数无极值，当时，，此时，此时函数有极值，故.【考点】函数的极值11.函数最小值是___________.【答案】【解析】函数求导得.当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，因此函数在处取得最小值，即.【考点】利用导数求函数的最值.12.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.13.设函数，（1）求函数的极大值；（2）记的导函数为，若时，恒有成立，试确定实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】（1）由导函数或求得函数的单调区间，再找极大值;(2) 的导函数是一元二次函数，转化为一元二次函数在上的最值，再满足条件即可.试题解析：(1)令，且当时，得；当时，得或∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和，故当时，有极大值，其极大值为 6分（2）∵ 7分①当时，，∴在区间内单调递减∴，且∵恒有成立∵又，此时， 10分②当时，，得因为恒有成立，所以，即，又得， 14分综上可知，实数的取值范围 . 15分【考点】1.函数的极值；2.一元二次函数的最值.14.已知函数．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．【解析】（Ⅰ）由，得，令，得或．当变化时，及的变化如下表：由，，，即最大值为，． 4分（Ⅱ）由，得．，且等号不能同时取，，即恒成立，即． 6分令，求导得，，当时，，从而，在上为增函数，，． 8分（Ⅲ）由条件，，假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，不妨设，则，且．是以为直角顶点的直角三角形，，，是否存在，等价于方程在且时是否有解． 10分①若时，方程为，化简得，此方程无解；②若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． 14分【考点】利用导数研究函数的单调性、最值。
高三数学 函数的单调性和最值典型例题解析之一
高三数学函数的单调性和最值典型例题解析1．由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.2. 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减. （2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.3.下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意；B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD4.定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号：∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 5.已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2.对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（）A．是奇函数B．有极大值和极小值C．的最小值为，最大值为2D．在上是增函数【答案】B【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；图1根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间“先增后减”，故选B.图2【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.4.设是定义在R上的偶函数，且当时，。
若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）。
A．B．C．D．2【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,则满足即故实数的最大值是.故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.5.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【答案】B【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．6.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.已知，，规定：当时, ；当时,，则（）A．有最小值,最大值1B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值D．有最大值,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数的图像如下,而,故有最小值1,无最大值.【考点】函数图像平移变化9.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.【考点】1、分段函数；2、函数的单调性.10.判断函数f(x)＝e x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．【答案】f(x)在(0，＋∞)上为增函数【解析】(解法1)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴ex1－x2＜1，ex1＋x2＞1，ex1＞0，∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(解法2)对f(x)＝e x＋求导，得f′(x)＝e x－＝(e2x－1)，当x＞0时，e x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．11.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【答案】2【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max +f(x)min=0,∴ymax +ymin=2.12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称．下列结论中，正确的是()A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.14.已知函数y=f(x)满足:对任意的x1<x2≤-1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,则f(-2),f(-),f(-1)的大小关系为()A．f(-2)<f(-)<f(-1)B．f(-2)>f(-)>f(-1)C．f(-2)>f(-1)>f(-)D．f(-)>f(-2)>f(-1)【答案】A【解析】由题意及函数单调性的定义得,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,又-2<-<-1, ∴f(-2)<f(-)<f(-1).15.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是__________.【答案】[0,]【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].16.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f[f(x)]＝x，但f(x)≠x，则称x为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)证明：f[f(x)]＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f ＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，S′(a)＝·.因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.17. {an }为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n，Sn)所在的抛物线可能为()【答案】D【解析】当n≥1时{an }单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.18.设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．【答案】[－3,6]【解析】当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．19.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A．y＝lg(x＋2)B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋【答案】A【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．20.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是()．A．－2≤t≤2B．－≤t≤C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－或t＝0或t≥【答案】C【解析】依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.21.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．【解析】(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，，得证．试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。
函数的极值、最值复习练习高三数学二轮复习
函数的极值、最值一、单项选择题1．下列函数中，不存在极值的是()A．y＝x＋1x B．y＝x exC．y＝x ln x D．y＝－2x3－x2．下列关于函数f(x)＝(3－x2)e x的结论，正确的是()A．f(－3)是极大值，f(1)是极小值B．f(x)没有最大值，也没有最小值C．f(x)有最大值，没有最小值D．f(x)有最小值，没有最大值3．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20 B．18 C．3 D．04．(2022·南充检测)已知函数f(x)＝x3－3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n等于()A．2 B．7 C．2或7 D．3或95．(2022·晋中模拟)已知函数f(x)＝2x ln x＋x2－ax＋3(a>0)，若f(x)≥0恒成立，则a的取值范围为()A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)C．(0,4) D．(0,4]6．(2022·昆明模拟)若函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，设这两个极值点为x1，x2，且x1<x2，则()A．x1∈(1,2) B．a>2C．f(x1)<－3 D．f(x1)>－3二、多项选择题7．(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则() A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线8．(2022·河北名校联盟调研)若存在正实数m，n，使得等式4m ＋a(n－3e2m)·(ln n－ln m)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是()A．－1e B.1e3 C.1e2D．2三、填空题9．函数f(x)＝x－ln|x|的极值点为________．10．已知函数f(x)＝x ln x－x＋2a＋2，若函数y＝f(x)与y＝f(f(x))有相同的值域，则实数a的取值范围是________．11．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．12．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2a x－e x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________．四、解答题13．(2022·西安交大附中模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋a(a∈R)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )在区间[0,3]上的最大值与最小值之差g (a )．14.(2022·许昌模拟)已知函数f (x )＝cos x －1e x .(1)求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)证明：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上存在唯一的极大值点x 0. (参考数据：7<e 2<8，e 3>16，4π1e 2-<)答案：1．D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7．AC 8．ACD9．1 10.(－∞，0] 11.1 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 13．解 (1)因为f (x )＝x 3－3ax ＋a (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．①当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增；②当a >0时，x ∈(－∞，－a )∪(a ，＋∞)时，f ′(x )>0； x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0；故f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上单调递增，在(－a ，a )上单调递减．(2)由(1)可知：①当a ≤0时，f (x )在[0,3]上单调递增，g (a )＝f (3)－f (0)＝27－9a ； ②当a ≥3，即a ≥9时，f (x )在[0,3]上单调递减，g (a )＝f (0)－f (3)＝9a －27；③当0<a <3，即0<a <9时，f (x )在[0，a )上单调递减，在(a ，3]上单调递增，于是f (x )min ＝f (a )＝－2a a ＋a ，又f (0)＝a ，f (3)＝27－8a .故当0<a <3时，g (a )＝27－9a ＋2a a ；当3≤a <9时，g (a )＝2a a ，综上可得，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 27－9a ，a ≤0，27－9a ＋2a a ，0<a <3，2a a ，3≤a <9，9a －27，a ≥9.14．(1)解 因为f (x )＝cos x －1e x ，在x ＝0处的切点为(0,0)，求导得f ′(x )＝－sin x ＋1e x ，所以切线斜率为f ′(0)＝1，所以函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x .(2)证明 因为f (x )＝cos x －1e x ，所以f ′(x )＝－sin x ＋1e x ，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4时， 函数y 1＝－sin x ，y 2＝1e x 均单调递减，所以f ′(x )＝－sin x ＋1e x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上单调递减，因为e 2<8， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝23π611e e 22---<- ＝13e 2－12>138－12＝0， 因为4π1e ,2-< 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π4e -－22<12－22<0，根据零点存在定理可得，f ′(x )存在唯一零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4， 使得f ′(x 0)＝0e x －－sin x 0＝0，又y ＝f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上单调递减， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，x 0时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π4时，f ′(x )<0， 所以x 0是函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上唯一的极大值点．。
高中数学求数列最值的12种题型(含答案)
求数列最值的12种题型题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n2.(1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n2=a n ,又依a 1>0,可以得a n >0并解出：a n =32.a n =-1(舍)即a 1=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n 2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32.（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题2、已知数列{a n }满足：a 1=1,a n +1=a n2a n +1(*n N ∈),数列{b n }的前n 项和S n =12-12(23)n (*n N ∈).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设nn nb C a =,是否存在*m N ∈,使9m C ≥成立？并说明理由.解答：（1）由1111221n n n n na a a a a ++=⇒=++,∴112(1)21n n n a =+-=-,*1()21n a n N n =∈-.由21212()3n n S =-⋅及1121212()(2)3n n S n --=-⋅≥,可得124()(2)3n n n n b S S n -=-=⋅≥,令1n =,则11121212()43b S ==-⋅=也满足上式,∴124()(*)3n n b n N -=⋅∈.1122(2)(21)4()4(21)(33n n n n n b C n n a --==-⋅=-,设m C 为数列{}n C 中的最大项,则12111224(21)()4(23)()33224(21)()4(21)()3327(21)23322521(21)32m m m m m mm m m m C C C C m m m m m m m m ----+⎧-≥-⎪≥⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪-≥+⎪⎩⎧⎧-⋅≥-≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪-≥+⋅≥⎪⎪⎩⎩,∴3m =.即3C 为{}n C 中的最大项.∵2328020(939C ==<,∴不存在*m N ∈,使9m C ≥成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。
解三角形中的最值与范围问题 限时训练--2025届高三数学二轮复习【原卷版】
解三角形中的最值与范围问题一、单项选择题1．(★)(2024·湖北联考)已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝2c cos B ，则b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2的最小值为( ) A ．2 2 B ．3 C ．2 3 D ．42．(★★)(2024·黄山模拟)已知△ABC 为锐角三角形，其外接圆半径为2，C ＝π3，则AB 边上的高的取值范围为( )A ．(0,3]B ．(0,3)C ．(2,3]D ．(2,3)3．(★★)(2023·马鞍山模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2＝a (a ＋b )，则sin 2A sin C －A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，324．(★★★)(2023·河南省实验中学模拟)已知△ABC 中，BC ＝3，角A 的平分线交BC 于点D ，若BD DC ＝12，则△ABC 面积的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多项选择题5．(★)(2023·江西师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＝π3，b＝4，则下列判断中正确的是( )A．若A＝π4，则a＝463B．若a＝92，则该三角形只有一解C．△ABC周长的最小值为12D．△ABC面积的最大值4 36．(2023·深圳中学模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin B＋2sin A cos C＝0，则下列结论正确的是( )A．△ABC是钝角三角形B．sin2 023A＋sin2 023B>sin2 023CC．角B的最大值为π6D．角C的最大值为2π3三、填空题7．(★★)(2023·普宁二中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．8．(★★★)(2024·德州模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若2S＝a2－(b－c)2，则b2＋c2bc的取值范围为____________．四、解答题9．(★★)(2024·苏州模拟)记△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，3c＝3cos B＋b sin A.(1)求A；(2)若点A，D位于直线BC异侧，BD⊥BC，BD＝1，求AD的最大值．10．(★★)(2023·华南师大附中模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b＋c)(sin B＋sin C)＝a sin A＋3b sin C.(1)求角A；(2)求1tan B＋1tan C的最小值．。
高考数学----辅助角与最值问题曲型例题讲解
高考数学----辅助角与最值问题曲型例题讲解【规律方法】第一类：一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±)．（其中ϕ=tan b a ）第二类：二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a b ωωω±=2sin cos cos a x x b x()()ωωωϕϕ±+=±±=sin 2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（ ）A B C ．47D ．17【答案】A【解析】()()41sin cos55f x x x x x x φ⎫=+=+⎪⎭，（其中cos φ=sinφ=当x β=时，()f x 取得最大值，此时()2Z 2k k πβφπ+=+∈，得到()2Z 2k k πβφπ=−+∈，cos cos 2sin 2k πβφπφ⎛⎫=−+== ⎪⎝⎭故选：A.例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．D ．[0,3【答案】A 【解析】由题意，23()3sin cos sin 2cos 2)2f x x x x x x ==−12cos 2)2x x =−(cossin 2sincos 2)66x x ππ=−)6x π=−当2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ时，有723,66x πππ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，当262x ππ−=，即3x π=时，max ()()3f x f π=== 当7266x ππ−=，即23x π=时，min 2()()03f x f π==.即函数()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦.故选：A例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()23sin cos f x x x x =的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．⎡⎣D ．0,3⎡⎣【答案】A【解析】()31cos 2sin 222xf x x −=3π=sin2226x x x −−⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ππ5π2,666x ∴−∈−⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴当ππ2=66x −−，即=0x 时，()min 102f x ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭， 当ππ2=62x −，即π=3x 时，()max f x =， 故()f x的值域为⎡⎢⎣⎦，故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习）函数()222sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=−，则122x x −的最小值是（ ）A ．23π B ．4π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】函数()222sin f x x x +，2cos 21x x =−+，2sin 216x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，因为26x R π−∈，则[]sin 21,16x π⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭所以()[]1,3f x ∈−， 因为()()123f x f x ⋅=−，所以()1f x ，()2f x 一个为()f x 的最大值，一个为最小值，则()1112222262,2262x k k k Z x k ππππππ⎧−=−⎪⎪∈⎨⎪−=+⎪⎩，或()1112222262,2262ππππππ⎧−=+⎪⎪∈⎨⎪−=−⎪⎩x k k k Z x k 解得()1112226,3x k k k Z x k ππππ⎧=−⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩，或()1112223,6ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=−⎪⎩x k k k Z x k所以()12122223x x k k ππ−=−−（i ），或()12125226ππ−=−+x x k k （ii ） 对于（i ），当1221k k −=时，122x x −的最小值是3π， 对于（ii ），当1221−=−k k 时，122x x −的最小值是6π， 综上，122x x −的最小值是6π， 故选：D例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，则()()2211a b −+−最小值是______．【答案】6−【解析】πsin cos 4a x b x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，2，即224a b +≥，则点(),a b 的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于2的同心圆，设点(),a b 的轨迹方程为()2222x y r r +=≥，()()2211a b −+−表示点(),a b 到点()1,1距离的平方，因为221124+=<，所以点()1,1在圆224x y +=内，点()1,1到圆()2222x y r r +=≥上的点的最小值为2r r ≥所以()()2211a b −+−最小值时(226=−故答案为：6−例10．（2022·全国·高三专题练习）函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________.【答案】【解析】()()22222sin sin 4sin 1cos 311cos sin cos 2sin cos 44444xx xf x x x x x x x ===+⎛⎫−−+− ⎪⎝⎭，设4sin cos 3xt x =+，可得4sin cos 3x t x t +=()3x t ϕ+=，其中cos ϕ=，sin ϕ=，因为()[]sin 1,1x ϕ+∈−，所以，3t ≤t ≤≤因此，()f x的最小值为故答案为：例11．（2022·全国·高三专题练习）已知2251x y −+=，,x y R ∈，则22x y +的最小值为____.【解析】因为())222251x y x −+=+=，所以令cos sin x θθ==，解得cos ,x y θθθ=+=，所以22222cos 1sin cos x y θθθθθθ⎫⎫+=++=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭()313cos22222θθθϕ=−=−. 因为()1sin 21θϕ−≤−≤，所以22x y +。
高中数学导数的应用极值与最值专项训练题(全)
高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题1．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( ) A ．a －2b ＝0 B ．2a －b ＝0 C ．2a ＋b ＝0 D ．a ＋2b ＝0 答案 D解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0、13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根∴－2b 3a ＝13， ∴a ＋2b ＝0. 2．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1ln2 B ．－1ln2 C ．－ln2 D ．ln2 答案 B解析 由y ＝x ·2x 得y ′＝2x ＋x ·2x ·ln2令y ′＝0得2x (1＋x ·ln2)＝0∵2x ＞0，∴x ＝－1ln23．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12 答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0，∴b ＞0，f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1综上，b 的范围为0＜b ＜14．连续函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( )A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点 答案 B解析 x >－1时，f ′(x )>0 x <－1时，f ′(x )<0∴连续函数f (x )在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x ＝－1为极小值点．5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643 答案 A解析 y ′＝x 2＋2x －3.令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点．当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值．∴当x ＝1时，y min ＝－173.6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( )A ．x ＝1是最小值点B ．x ＝0是极小值点C ．x ＝2是极小值点D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C.7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)<f (－1) C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 答案 A解析 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．8．函数f (x )＝e －x ·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确 答案 B 解析f ′(x )＝－e －x ·x ＋12x·e －x ＝e －x (－x ＋12x)＝e －x ·1－2x2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝12. 当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e ·12＝12e.二、填空题9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________.答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－1610．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________答案 0<c <43解析 ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx ，∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0) 或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎨⎧f (0)＝c >0f (2)＝13×23－22＋c <0，，解得0<c <4311．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．答案 m <－12解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－12.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案 0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1. ∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1或x ＝13，经检验知x ＝1是函数的极小值点，∴f (x )极小值＝f (1)＝0. 三、解答题 13．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.14．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9；(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．15．已知定义在R上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数．(1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,0)上是增函数，求a的取值范围．解析(1)f(x)＝ax3－3x2，f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，∴a＝2.(2)解法一①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间(－1,0)上是增函数，∴a＝0符合题意；②当a≠0时，f′(x)＝3ax(x－2a)，令f′(x)＝0得：x1＝0，x2＝2a.当a>0时，对任意x∈(－1,0)，f′(x)>0，∴a>0符合题意；当a<0时，当x∈(2a，0)时，f′(x)>0，∴2a≤－1，∴－2≤a<0符合题意；综上所述，a≥－2.解法二f′(x)＝3ax2－6x≥0在区间(－1,0)上恒成立，∴3ax－6≤0，∴a≥2 x在区间(－1,0)上恒成立，又2x<2－1＝－2，∴a≥－2.16．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－ln x.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解析(1)f′(x)＝－2x＋a－1x，∵f(x)在(0，12)上为减函数，∴x∈(0，12)时－2x＋a－1x<0恒成立，即a<2x＋1x恒成立．设g(x)＝2x＋1x，则g′(x)＝2－1x2.∵x∈(0，12)时1x2>4，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，12)上单调递减，g(x)>g(12)＝3，∴a≤3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a 2>0⇒⎩⎨⎧a 2－8>0a >0⇒a >22，∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根，不妨设x 1<x 2， 由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x (x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．1. 已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为 1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.令f ′(x )>0，则x <1a ，∴f (x )在(0，1a )上递增；令f ′(x )<0，则x >1a ，∴f (x )在(1a ，2)上递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，∴ln1a ＝0，得a ＝1.2．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c . 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c .因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9.因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)． 当x ∈(－∞，2－3)时f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加； 当x ∈(2－3，2＋3)时f ′(x )＜0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少； 当x ∈(2＋3，＋∞)时f ′(x )＞0，f (x )在(2＋3，＋∞)上单调增加． 综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根， x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1.由题意知，2＜a －a 2－1＜3，①或2＜a ＋a 2－1＜3.②①式无解．②式的解为54＜a ＜53.因此a 的取值范围是(54，53)．1．“我们称使f (x )＝0的x 为函数y ＝f (x )的零点．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是连续的，单调的函数，且满足f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上有唯一的零点”．对于函数f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1，(1)讨论函数f (x )在其定义域内的单调性，并求出函数极值． (2)证明连续函数f (x )在[2，＋∞)内只有一个零点．解析 (1)解：f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1－2x ＋2＝8－2x 2x ＋1，f ′(x )＝0⇒x ＝2(－2舍去).由表可知，f (x )值在区间(－1,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减． ∴当x ＝2时，f (x )的极大值为f (2)＝6ln3－1.(2)证明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上单调递减，又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，∴f(2)·f(7)<0.∴f(x)在[2,7]上有唯一零点．当x∈[7，＋∞)时，f(x)≤f(7)<0，故x∈[7，＋∞)时，f(x)不为零．∴y＝f(x)在[7，＋∞)上无零点．∴函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1在定义域内只有一个零点．2．(2010·江西高考)设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx(2－x)＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝1 2.3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．分析本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.解(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1，或x>3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)>0，∴f(x)在(－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1)上单调递减，∴f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5.∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f(－1)＝a－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.4．已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．证明当x＞1时，f(x)＞g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明x1＋x2＞2.解析(1)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，1)内是增函数，在(1，＋∞)内是减函数．函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝1 e.(2)由题意可知g(x)＝f(2－x)，得g(x)＝(2－x)e x－2.令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe－x＋(x－2)e x－2，于是F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.当x＞1时，2x－2＞0，从而e2x－2－1＞0，又e－x＞0.所以F′(x)＞0.从而函数F(x)在[1，＋∞)上是增函数．又F(1)＝e－1－e－1＝0，所以x＞1时，有F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)．(3)①若(x1－1)(x2－1)＝0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2＝1，与x1≠x2矛盾．②若(x1－1)(x2－1)＞0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2，与x1≠x2矛盾．根据①②得(x1－1)(x2－1)＜0，不妨设x1＜1，x2＞1.由(2)可知，f(x2)＞g(x2)，g(x2)＝f(2－x2)，所以f(x2)＞f(2－x2)，从而f(x1)＞f(2－x2)，因为x2＞1，所以2－x2＜1，又由(1)可知函数f(x)在区间(－∞，1)内是增函数，所以x1＞2－x2，即x1＋x2＞2.5．已知函数f(x)＝ax3－32ax2，函数g(x)＝3(x－1)2.(1)当a>0时，求f(x)和g(x)的公共单调区间；(2)当a>2时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极小值；(3)讨论方程f(x)＝g(x)的解的个数．解(1)f′(x)＝3ax2－3ax＝3ax(x－1)，又a>0，由f′(x)>0得x<0或x>1，由f′(x)<0得0<x<1，即函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)与(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)，而函数g(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，＋∞)．(2)h(x)＝ax3－32ax2－3(x－1)2，h′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6＝3a(x－2a)(x－1)，令h′(x)＝0，得x＝2a或x＝1，由于2a<1，易知x＝1为函数h(x)的极小值点，∴h(x)的极小值为h(1)＝－a 2.(3)令φ(x)＝f(x)－g(x)＝ax3－32(a＋2)x2＋6x－3，φ′(x)＝3ax2－3(a＋2)x＋6＝3a(x－2a)(x－1)，①若a＝0，则φ(x)＝－3(x－1)2，∴φ(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解；②若a<0，则φ(x)的极大值为φ(1)＝－a2>0，φ(x)的极小值为φ(2a)＝－4a2＋6a－3<0，∴φ(x)的图象与x轴有三个交点，即方程f(x)＝g(x)有三个解；③若0<a<2，则φ(x)的极大值为φ(1)＝－a2<0，∴φ(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解；④若a＝2，则φ′(x)＝6(x－1)2≥0，φ(x)单调递增，∴φ(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解；⑤若a>2，由(2)知φ(x)的极大值为φ(2a)＝－4(1a－34)2－34<0，∴φ(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解．综上知，若a≥0，方程f(x)＝g(x)只有一个解；若a<0，方程f(x)＝g(x)有三个解．。
高三数学利用导数求最值和极值试题
高三数学利用导数求最值和极值试题1. 函数f(x)＝x 3－x 2－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________．【答案】3【解析】f′(x)＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝>0知函数f(x)的图象与x 轴的交点个数为3.2. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )． A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[，2) D ．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得又a >0，解得<a <2，故选D.3. 已知且关于的函数在上有极值,则与的夹角范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ，因为在上有极值，所以【考点】有解，，即，，所以],故选B.【考点】1.函数的导数；2.向量的数量积以及向量的夹角.4. 不等式的解集为，且，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】①当时，不等式对任意实数恒成立；②当时，不等式可变形为，由不等式的解集为，且设，令，解得． 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．由此可知，当时，函数取得极小值，也即最小值，且．．故选A．【考点】利用导数研究函数的极值5.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系6.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.7.已知函数只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪【答案】B【解析】求导得：，所以的极大值为，极小值为.因为该函数只有一个零点，所以或，所以，选B.【考点】1、导数的应用；2、函数的零点；3、解不等式.8.已知且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（）A．①③B．①④C．②④D．②③【答案】D【解析】,函数在处取得极大值，在处取得极小值，由知函数有3个零点，则有，即解得，即，，所以，.【考点】1.函数的极值；2.函数的零点.9.设函数有三个零点，且则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求导数，令，解得故+0—0+又因为，，，，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，.【考点】考查函数的零点.10.已知函数，且函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:因为函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，所以即画出可行域如图所示，为可行域内的点到的距离的平方，由图可知，距离的最小值为距离的最大值为，所以的取值范围为【考点】本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用.点评：对于此类问题，必须牢固掌握导数的运算，利用导数求单调性以及极值和最值.本题导数与线性规划结合，学生必须熟练应用多个知识点，准确分析问题考查的实质，正确答题.11.已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是_______________【答案】或；【解析】本试题主要是考查了一元三次函数的极值问题的运用。
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值.故选D.【考点】函数奇偶性的概念，函数单调性与函数极值.2.函数f(x)＝是( )A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数【答案】B【解析】因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，故为增函数，选B考点:函数的奇偶性和单调性.3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是（）A．y＝B．y＝C．y＝－x2＋2D．y＝lg|x|【答案】C【解析】答案中的四个图象如下，通过图形可知符合题意的选C.【考点】函数图象.4.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对A，函数在上为增函数，符合要求；对B，在上为减函数，不符合题意；对C，为上的减函数，不符合题意；对D，在上为减函数，不符合题意.故选A.【考点】函数的单调性，容易题.(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是5.使函数y＝与y＝log3________．【答案】(－∞，－4)(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．【解析】由y＝log3又函数y＝＝＝2＋，使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k<0，得k<－4.6.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0，解得x>2.7. [2014·济宁模拟]若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.【答案】－6【解析】由图象的对称性，知函数f(x)＝|2x＋a|关于直线x＝－对称，因为函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－＝3，即a＝－6.8.已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∵函数在[0，+∞]上是增函数，∴，∴或，∴或，又∵，∴或.【考点】函数的单调性、不等式的解法.=5.06x-9.(2014·长沙模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L10.15x2和L=2x,其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利2润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元【答案】B【解析】设该公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,利润为L(x)=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15+0.15×+30,由于x为整数,所以当x=10时,L(x)取最大值L(10)=45.6,即能获得的最大利润为45.6万元.10.如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数:①；②；③；④.其中函数是“函数”的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.【考点】1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.11.函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是_________．【答案】(0，2)【解析】∵函数的图象与的图象关于直线对称∴与互为反函数∵的反函数为，∴，．令，则，即，∴，又∵的对称轴为，且对数的底数大于1，∴的递增区间为(0，2)．12.已知，不等式的解集为.（1）求的值；（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）我们首先求出不等式的解集，这个解集与相等，由此可求得；（2），一种方法，这个函数是分段函数，我们把它化为一般的分段函数表达式，以便求出它的最大(小)值，从而求得的最大值，得到的取值范围，也可应用绝对值不等式的性质，求得最大值.试题解析：解法一：（1）由不等式｜2x－a｜－a≤2，得｜2x－a｜≤2＋a，∵解集不空，∴2＋a≥0.解不等式可得{x∣－1≤x≤1＋a}. 3分∵－1≤x≤3，∴1＋a﹦3，即a=2. 5分（2）记g(x)=f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜， 6分4,（x≤－1）则g(x)=－4x,（-1﹤x﹤1）. 8分-4,（x≥1）所以-4≤g(x)≤4，∴｜g(x)｜≤4,因此m≥4. 10分解法二：∵f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜，∵｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤｜(2x－2)－(2x＋2)｜=4. 7分｜2x－2｜－｜2x＋2｜≥｜2x｜－2－（｜2x｜＋2）=－4. 9分∴－4≤｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤4.∴｜f(x)－f(x＋2)｜≤4.∴m≥4. 10分【考点】(1)解绝对值不等式；(2)分段函数的最值，不等式恒成立问题.13.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2是极坐标方程为：，（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求的最小值.【答案】(1);(2)【解析】(1)把代入曲线C2是极坐标方程中，即可得到曲线C2的直角坐标方程；(2)由已知可知P（）,，由两点间的距离公式求出的表达式，再根据二次函数的性质，求出的最小值，然后可得min－.试题解析：(1)，. 4分(2)设P（）,6分时，， 8分. 10分【考点】1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性质.14.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于函数，此函数为偶函数，且在区间上单调递减，A选项错误；对于函数，此函数为偶函数，且当时，，故函数在区间上不单调，B选项错误；对于函数，该函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，C选项错误；对于函数，定义域为，且，故该函数为偶函数，且当时，，结合图象可知，函数在区间上单调递增，合乎题意，故选D.【考点】函数的奇偶性与单调性15.已知函数(),则（）A．必是偶函数B．当时，的图象必须关于直线对称;C．有最大值D．若，则在区间上是增函数;【答案】D【解析】在二次函数上加绝对值符号，相当于把原二次函数在轴下方的图像翻折到上方，原来处于轴上方的图像保持不变.当时画图可知不是偶函数，比如就不是偶函数，排除A；仅有无法说明的图像关于直线对称，比如满足但画图可知图像并不关于直线对称，排除B；的图像两边向上无限延伸，没有最大值，排除C；若，则函数于轴最多有一个交点，故恒有，因此，其对称轴为，开口向上，因此在区间上是增函数，D正确.【考点】1、二次函数图象及变换；2、函数的对称性、单调性与最值.16.已知x∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．【答案】最小值，最大值57.【解析】f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋.∵x∈[－3，2],∴≤2－x≤8.则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值；当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.17.已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值．【答案】，【解析】由f(x)＝＝a＋.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，∴fmax (x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，∴fmax (x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝.18.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则 ()．A．a＞0,4a＋b＝0B．a＜0,4a＋b＝0C．a＞0,2a＋b＝0D．a＜0,2a＋b＝0【答案】A【解析】由f(0)＝f(4)知，f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为－＝2.∴4a＋b＝0.又0和1在同一个单调区间内，且f(0)＞f(1)，∴y＝f(x)在(－∞，2)内为减函数．∴a＞0.故选A.19.定义域为的函数图象上两点是图象上任意一点，其中.已知向量，若不等式对任意恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得点N与在直线AB上，并且由点M的横坐标为.又向量，可得点N的横坐标也为所以点M,N在横坐标相同.所以符合不等式对任意恒成立，则称函数在上的既要大于或等于的最大值，这是解题的关键.由函数在则，.所以==.又因为.所以即求.…的最大值由打钩函数可得时式的最大值是.所以.所以.故选C.【考点】1.向量的知识.2.新定义问题.3.函数的最值.4.恒成立问题.5.大钩函数求最值.20.函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数是定义在上，易知函数的图像是函数的图像向右平移了2014个单位,因为函数的图象关于点对称，所以函数的图像关于点（0,0）对称，即函数是奇函数.由不等式得.又函数是定义在上的增函数，所以，即，设点，由知点在以（3,4）为圆心，1为半径的圆内. （为原点），因为易知圆心到原点的距离为5，所以，所以，即的取值范围是（16,36）.【考点】函数的奇偶性与单调性、点与圆的位置关系21.已知函数。
高中数学中的函数极值与最值测试题
高中数学中的函数极值与最值测试题在高中数学的学习中，函数极值与最值问题一直是重点和难点。
为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，下面我们来一起做一套相关的测试题。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x\）的极小值是（）A －2B 0C 2D 42、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＼ln x\）的最小值为（）A ＼（＼frac{1}｛2}＼）B 1C ＼（＼frac{3}｛2}＼）D 23、已知函数＼（f(x) ＝ x^3 ＋ ax^2 ＋ bx ＋ c\），当＼（x ＝－1\）时取得极大值 7，当＼（x ＝ 3\）时取得极小值，那么＼（a ＋b\）的值为（）A －5B －7C －9D －114、函数＼（f(x) ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）在区间＼（＼frac{1}｛2}， 3\）上的最大值为（）A ＼（＼frac{10}｛3}＼）B ＼（＼frac{5}｛2}＼）C 4D 55、函数＼（f(x) ＝ 2x^3 3x^2 12x ＋ 5\）在区间＼（0, 3\）上的最大值和最小值分别是（）A 5，－15B 5，－4C －4，－15D 5，－166、设函数＼（f(x) ＝ x^3 ＼frac{9}｛2}x^2 ＋ 6x a\），对于任意实数＼（x\），＼（f'（x) ＼geq m\）恒成立，则＼（m\）的最大值为（）A －3B 0C 3D 1二、填空题（每题 5 分，共 20 分）7、函数＼（f(x) ＝ x ＋＼sqrt{1 x}＼）的最大值为________。
8、函数＼（f(x) ＝＼sin^2x ＼cos x\）的最小值为________。
9、若函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ a\）有 3 个不同的零点，则实数＼（a\）的取值范围是________。
10、已知＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2\），＼（x ＼in －1, 1\），则函数＼（f(x)＼）的最大值为________。
高中数学最值问题经典例题
高中数学最值问题经典例题高中数学最值问题的经典例题有很多，以下是其中的几个：1. 求函数f(x)=x^2-2x在区间[0,3]上的最大值和最小值。
解析：这是一个二次函数，其对称轴为x=1，因此在区间[0,1]上是减函数，在区间[1,3]上是增函数。
所以当x=1时，函数取得最小值f(1)=-1；当x=3时，函数取得最大值f(3)=3。
2. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4在区间[-2,2]上的最大值和最小值。
解析：这是一个三次函数，其一阶导数为f'(x)=3x^2-6x，令其为0解得x=0或x=2。
通过判断导数的正负，可以知道函数在区间[-2,0]上是增函数，在区间[0,2]上是减函数。
所以当x=-2时，函数取得最大值f(-2)=0；当x=2时，函数取得最小值f(2)=-4。
3. 求函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最大值。
解析：这是一个三角函数的最值问题，可以通过合角公式将其化为f(x)=√2sin(x+π/4)。
因为sin函数在区间[0,π/2]上是增函数，所以当x=π/4时，函数取得最大值f(π/4)=√2。
4. 求函数f(x)=e^x-x-1在区间[-1,1]上的最大值和最小值。
解析：这是一个指数函数与一次函数的复合函数，其一阶导数为f'(x)=e^x-1。
通过判断导数的正负，可以知道函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间[0,1]上是增函数。
所以当x=-1时，函数取得最大值f(-1)=e^(-1)+1；当x=0时，函数取得最小值f(0)=0。
5. 求函数f(x)=lnx-ax在区间[1,2]上的最大值和最小值。
解析：这是一个对数函数与一次函数的复合函数，其一阶导数为f'(x)=1/x-a。
通过对a进行分类讨论，可以确定函数的单调性，并求出最值。
当a≤1/2时，函数在区间[1,2]上是增函数；当a≥1时，函数在区间[1,2]上是减函数；当1/2<a<1时，函数在区间[1,1/a]上是增函数，在区间[1/a,2]上是减函数。
与圆有关的最值问题-高三数学备考练习
与圆有关的最值问题-高三数学备考练习近几年高考试题分析发现，与圆有关的最值问题是高考热点问题之一。
这类问题既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活。
解决这类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化。
常见类型包括与圆有关的长度或距离的最值问题和与圆上点(x，y)有关代数式的最值问题。
对于长度或距离的最值问题，一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解。
对于与圆上点(x，y)有关代数式的最值问题，常见类型包括形如u＝x－a型、t＝ax＋by型和(x－a)2＋(y－b)2型。
这些问题可以转化为斜率的最值问题、动直线的截距的最值问题和动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题。
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面。
知识拓展包括圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC-r，圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径，以及圆C内一点M的弦长的最大值为直径，最小的弦长为圆心角对应的弧长。
解决与圆相关的最值问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化。
例如，与直线的倾斜角或斜率的最值问题可以利用公式k＝tan(≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值，或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值。
处理方法包括分别讨论斜率的范围和倾斜角的范围。
例6】已知实数x,y满足方程$x^2+y^2-4x+1=0$，求：1) $x$ 的最大值和最小值；2) $y-x$ 的最大值和最小值。
解析】1) 将方程化为标准形式：$(x-2)^2+y^2=3$，得到一个以点 $(2,0)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{3}$ 的圆。
由于 $x$ 的取值范围为 $[2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}]$，所以$x$ 的最大值为 $2+\sqrt{3}$，最小值为 $2-\sqrt{3}$。
历年高考数学真题精选12利用导数研究函数的极值与最值
历年高考数学真题精选(按考点分类)专题十二 极值与最值(学生版)一.选择题(共13小题) (2017-新课标II)若x = -2是函数/(x) = (x 2+ox-l)e^的极值点，则/(劝的极小值为( A ・-1方程3(f(x))2+2af(x) + b = 0的不同实根个数是()(2016・四川)已知a 为函数f(x) = x 3 -I2x 的极小值点,贝lj“ = ( )(2015-新课标I)设函数加"("一1)一or + “，其中a<l,若存在唯一的整数兀。
使 得/(x o )<o,则Q 的取值范围是(6. (2013・浙江)已知壬为自然对数的底数，设函数/(x) = (^-l)(x-l/伙= 1,2),贝lj( )A. 当k = l 时，/(x)在x = l 处取得极小值B. 当& = 1时，/(x)在x = l 处取得极大值C. 当£ = 2时，“V)在x = l 处取得极小值D. 当《=2时，/⑴在x = l 处取得极大值7. (2013-福建)设函数/(X)的泄义域为X ()(A O^O)是/(x)的极大值点，以下结论一宦第］页(共13页)正确的是( )1.D ・1 2. (2013•安徽)若函数f(x) = x y+ax 2+bx + c 有极值点且贝I 」关于X 的A. 3 B ・4C. 5D ・63・(2013-辽宁)设函数/(X)满足 x 2f f(x) + 2Af(x) = -, f X (2) A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值•无极大值 C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值4. A ・-4B. -2C. 4D. 25. 3 A.[―討 3 3B •旨) 3 °•刘)C. -％是-/(x)的极小值点D. -竝是-/(-劝的极小值点8.(2013-湖北)已知函数f(x) = x(l f ix-ax)有两个极值点，则实数"的取值范用是( )A. (-QO.0)B. (0,丄)C. (0,1)D. (O.+x)29.(2013・安徽)已知函数f(x) = x3 + ax2+hx + c有两个极值点舛，心，若/(A-)=^,<X2,则关于A-的方程3(/(x))2 + 2af(x) + b = 0的不同实根个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 610.(2013*湖北)已知a为常数，函数f (x) = x{bix - ax)有两个极值点舛，x2(x}<A,)( )A. /(Aj)>0./(x,)>-|B. /(x1)<0,/(x,)<—C. /(^)>0,/(^2)<-1D. /(^)<0,/^2)>-111.(2011 •福建)若“>0, b>0,且函数f(x) = 4x3-ux2-2bx + 2在x = l 处有极值，则"的最大值等于( )A. 2B. 3C. 6D. 912.(2008-广东)设ueR,若函数$=疋+心，xeRf有大于零的极值点，贝lj( )A・ci <—1 B・ 6/ > — 1 C・ a<——D・ci > ——e e13.(2011-湖南)设直线x = /与函数f(x) = x2,g(x) = /”x的图象分别交于点M, N,则当I MN I达到最小时/的值为( )A. 1B. -C.遁D.遲2 2 2二.填空题(共3小题)14.(2018-江苏)若函数/a)= 2x3-</A-2+l(</e/?)在(0,2)内有且只有一个零点,则/'(x)在［-1, 1］上的最大值与最小值的和为_•15.(2018*新课标I )已知函数/(A)= 2sin.v + sin2x,则/(x)的最小值是_______ .16.(2013-新课标I )若函数f(x) = (\-x2)(x2+ax + b)的图象关于直线x = -2对称,则/(x)的最大值为 ____ ・第2页(共13页)专题十二极值与最值（教师版）一.选择题（共13小题）I. （2017-新课标II）若x = —2是函数fdrX+Q-T 的极值点,则/⑴的极小值为A・-1 【答案】A【解析】函数/(x) = (x2 +心—1)严，可得f (x) = (2x + “)严+ (F + ov _ 1)严，x = -2是函数/(x) = (x2 +心-1)严的极值点，可得：•厂(_2) = (-4 + “)*'+(4_2^_1)*'=0.即7 + “ + (3_2^)= 0・解得a = _l・可得f\x} = (2x - De^1 + (x2 - x - De1-1 = (x2 + x - 2)^ ,函数的极值点为：x = -2, x = l,当x<-2或x>l时，f\x) > 0函数是增函数，A-e(-2J)时，函数是减函数，x = l时，函数取得极小值：f(1)=(12-1-1)^-*=-1.故选A.2. (2013-安徽)若函数f(x) = ^+ax z^bx + c有极值点舛，心，且/(x,) = x,,则关于x的方程3(/(x))2 + 2af(x) + b = 0的不同实根个数是( )A. 3 B・4 C・5 D・6【答案】A【解析】f\x) = 3x2 + lax + b , X],兀是方程3x2+2tix + b = 0的两根，由3(f(X))2 + 2cif (x) + /? = 0 •得兀或x = x2,即 3(/(x))2 + 2iif(x) + b = 0 的根为/(x) = x)或f(x2) = x2的解.如图所示由图象可知f(x) = x,有2个解，/(A) = x2有1个解，因此3(f(x))2+2iif(x) + h = 0的不同实根个数为3.3・(2013-辽宁)设函数/(X)满足x2f(x) + 2xf(x)^—9 f (2)=—,则x>0时，f(x)() x 8A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【答案】D【解析】•••函数 f(X)满足x2f\x} + 2xf(x) = —, :. [x2/(X)]1 =—X X令F(x) = x2f(x),则F f(x) = — , F (2) =4>/ (2)=:匚. x 2由x2f f(x) + 2^f(x) = —f得厂(x)=e ~2Hx).X •X令 0(x) = - 2F(x),则 0(0 = / — 2F(x) = "U ・x:.(p(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+oc)上单调递增,「.祕朗的最小值为卩(2) =e2-2F (2) =0.二倾x)R.又x>0, ••-.WO..”)在(0,乜)单调递增.二.心)既无极大值也无极小值.4.(2016-四川)已知"为函数f(x) = x3-\2x的极小值点，则“=()A. -4B. -2C. 4D. 2【答案】D【解析】r(x) = 3x2-12； ,-.A<-2 时，f(x)>0, —2<xv2 时，f(x)<0tX>2时，f(x) > 0 :.-.x = 2是.f(x)的极小值点；又“为_/(x)的极小值点： a 故选D.5.(2015-新课标I)设函数f(x) = e x(2X-\)-a X + a，其中“<1,若存在唯一的整数兀使得/(x o)<0,则d的取值范围是(【答案】D 【解析】设g(x) =讥2兀-1) , y — ax —a > 由题意知存在唯一的整数X 。
高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析
专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。
高三求最值练习题
高三求最值练习题在高三数学学习中，求最值练习题是非常重要的一部分，它既考察了学生对数学知识的掌握程度，又培养了学生的逻辑思维能力。
下面，将提供一些高三求最值练习题，帮助同学们巩固和提升知识技能。
1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 45x + 125在区间[-5, 5]上的最大值和最小值。
解析：首先，求出函数的导数f'(x) = 3x^2 - 6x - 45。
然后，令导数f'(x) = 0，解得x = -3或x = 5。
将这两个解代入函数f(x)可得到f(-3) = 152和f(5) = -150。
因此，在区间[-5, 5]上，函数的最大值是152，最小值是-150。
2. 在所有的正三角形中，边长之和为10的正三角形具有最大的面积。
求这个最大面积。
解析：设正三角形的边长为x，则三边之和为3x，根据题意3x = 10，解得x = 10/3。
利用海伦公式可以求出正三角形的面积S：S = sqrt(s(s - x)(s - x)(s - x))，其中s为三边之和的一半。
代入数值可得：S =sqrt((10/2)((10/2 - 10/3)(10/2 - 10/3)(10/2 - 10/3))) = sqrt(25/3) = 5sqrt(3)/3。
因此，边长之和为10的正三角形具有最大面积，面积为5sqrt(3)/3。
3. 一份数学试卷共有50道选择题，每题5个选项。
求一个学生答对全部题目的概率。
解析：每道题目有1个正确选项和4个错误选项，答对一道题的概率为1/5，答错一道题的概率为4/5。
因此，答对全部题目的概率为(1/5)^50 = 1/5^50，约为0.00000000000000000000000000000372。
4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(x)的最小值及达到最小值时的x 值。
解析：首先，将函数f(x)转化为完成平方的形式，即f(x) = (x - 2)^2 + 1。
高三数学最值问题
时间
课题
最值问题
设计
1、若动点P在直线 上运动；直线PA、PB与圆 分别切于点A、B；则四边形PAOB的最小值为。
2、设AB是抛物线 的一条弦；若|AB|＝4；则AB的中点M到直线y+1＝0的最短距离为。
3、椭圆 上一点到两焦点的距离之积为m；则m最大时；P点坐标为
。
4、设椭圆 与x轴；y轴的正方向相交于A、B两点；在劣弧AB上取一点C；使得四边形OACB的面积最大；那么最大面积为。
5、设动点P在曲线 （ ）上；定点为A（4,0）；在AP边的上方作正三角形PMA；使得四边形OPMA的面积最大；求点P的坐标。
6、设F1,F2为椭圆 的两个焦点；AB是过焦点F1的一条动弦；求ABF2的面积最大值。
7、已知曲线 ；求曲线上距点A 最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）设B ,求曲线上的点到点B的距离最小值。
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3、动直线y＝k(x－ )与曲线y＝ 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，k的值为________________．
8、在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a，b)到直线l1：y＝x，l2：y＝－x＋1的距离分别为d1，d2，且满足d1＋2d2＝2 ，求a2＋b2的最大值为________．
5、已知实数x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z＝ 的最大值为________________．
6、已知P(x，y)的坐标满足 则 的取值范围为________________．
7、已知实数x，y满足约束条件 若不等式m(x2＋y2)≤(x＋y)2恒成立，则实数m的最大值是________________．
高三数学典型题专题训练最值问题
与平面向量相关的最值问题：
1、如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一动点，若 ＝x ＋y (x，y∈R)，求x＋4y的取值范围．
2、设点A，B，C为单位圆上不同的三点，若∠ABC＝ ， ＝m ＋n (m，n∈R)，则m＋n的最小值为________________．
6、(天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ 的最小值为________________．
7、若正数a，b满足 ＋ ＝1，求 ＋ 的最小值．
与圆相关的范围与最值问题：
1、设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________________．
6、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若 ＝λ ＋μ ，求λ＋μ的最大值．
7、在△ABC中，点P满足 ＝2 ，过点P的直线与AB，AC所以直线分别交பைடு நூலகம்点M，N，若 ＝m ， ＝n (m＞0，n＞0)，求m＋2n的最小值．
利用基本不等式求代数式的最值问题：
1、(苏锡常镇二模)已知a，b均为正数，且ab－a－2b＝0，求 － ＋b2－ 的最小值．
2、若x>0，y>0，且x2＋y2＝1，则 ＋ 的最小值是________________．
3、(苏州调研三)设正实数x，y满足xy＝ ，则y的最小值是________________．
4、已知正实数x，y满足x＋ ＋3y＋ ＝10，则xy的取值范围为________________．
5、已知函数y＝ ＋ 的最大值为M，最小值为m，则 的值为________________．
2、(苏锡常镇一模)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，则 的取值范围为________________．
3、若实数a，b，c，d满足 ＝ ＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值是____________．
4、若关于x的方程x2－(a2＋b2－6b)x＋a2＋b2＋2a－4b＋1＝0的两根x1,x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2＋b2＋4a的取值范围为________________．
3、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的最小值．
4、已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足 ＝ ＋ ，则| |的最小值为________________．
5、已知三角形ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设 ＝x ， ＝y (xy≠0)，求4x＋y的最小值．
4、在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积最大值为16，则实数m的取值范围为____________．
线性约束条件下的非线性目标函数取值范围问题：
1、(扬州一模)若实数x，y满足 则x2＋y2的取值范围_____________．