九年级上册 二次函数单元达标训练题(Word版 含答案)

九年级上册

二次函数单元达标训练题（Word版含答案）

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．已知，抛物线y＝-

1

2

x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.

求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG •CH 为定值.

【答案】（1）2

1

2

2

y x x

=-++；（2）见详解；（3）见详解．

【解析】

【分析】

（1）把点C、D代入y＝-

1

2

x2 +bx+c求解即可；

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】

详解：（1）∵y＝-

1

2

x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），

∴

2

1

222

2

2

b c

c

⎧

-⨯++

⎪

⎨

⎪=

⎩

＝

,

解得：1

2b c =⎧⎨=⎩

. ∴y=-

12

x 2

+x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2

由2

2122y kx y x x =+⎧⎪

⎨=-++⎪⎩

得

12

x 2

+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =-

由2

1=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩

得

12

x 2

+(m-1)x-2=0， ∴124b

x x a

⋅=-

=- 即x p•x m =-4，

∴x m =4p x -=21

k -.

由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩

得x N =

2

1

k -=x M , ∴MN ∥y 轴.

（3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+

22

m

k -∴=

∴直线QG 的解析式为22

m

y x m -=

+ 同理可求直线QH 的解析式为22

n

y x n -=

+； 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩

得

221

=222

m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-

2D x m ∴=-

同理，2E x n =-

设直线AE 的解析式为：y=kx+4，

由2

4122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩

， 得

12

x 2

-(k-1)x+2=0 124b

x x a

∴⋅=-

= 即x D x E =4，

即（m-2）•（n-2）=4 ∴CG•CH=（2-m ）•（2-n ）=4.

2．图①，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点A （﹣1，0），并且与直线y ＝12

x ﹣2相交于坐标轴上的B 、C 两点，动点P 在直线BC 下方的二次函数的图象上．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝1

2

x2﹣

3

2

x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值

为4；（3）Q的坐标为（5

3

，﹣

28

9

）或（﹣

11

3

，

92

9

）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；

（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1

2

x2﹣

3

2

x﹣2），进而根据S

＝S△PHB+S△PHC＝1

2

PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；

（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．

【详解】

解：（1）对于直线y＝1

2

x﹣2，

令x＝0，则y＝﹣2，

令y＝0，即1

2

x﹣2＝0，解得：x＝4，

故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），

将点C的坐标代入上式并解得：a＝1

2

，

故抛物线的表达式为y＝1

2

x2﹣

3

2

x﹣2①；

（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，