新人教版八年级数学下册教案:方差
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20.2 数据的波动程度
第1课时方差
1.掌握方差的定义和计算公式;(重点)
2.会用方差公式进行计算,会比较数
据的波动大小.(重点)
一、情境导入
在生活和生产实际中,我们除了用平均
数、中位数和众数来描述一组数据的集中程
度外,有时需要了解一组数据的离散程度.
乒乓球的标准直径为40mm,质检部门对
甲、乙两厂生产的乒乓球的直径进行检测.
甲、乙两厂生产的乒乓球中各抽样调查
了10只,检测的结果如下(单位:mm):
甲厂:40.0,40.1,39.9,40.0,39.8,
40.2,40.0,40.1,40.0,39.9;
乙厂:40.1,39.8,39.9,40.3,39.8,
40.2,40.1,40.2,39.7,39.9.
你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与
标准的误差更小呢?
二、合作探究
探究点一:方差的计算
【类型一】
根据数据直接计算方差
为了从甲、乙两名同学中选拔一个射击比赛,对他们的射击水平进行了测验,两个在相同条件下各射击10次,命中的环数如下(单位:环):
甲:7,8,6,8,6,5,9,10,7,4
乙:9,5,7,8,6,8,7,6,7,7
(1)求x甲,x乙,s2甲,s2乙;
(2)你认为该选择哪名同学参加射击比赛?为什么?
解析:方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数,根据方差公式计算即可,所以计算方差前要先算出平均数,然后再利用方差公式计算.
解:(1)x甲=(7+8+6+8+6+5+9+10+7+4)÷10=7,s2甲=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]÷10=3,x乙=(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)÷10=7,s2乙=[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]÷10=1.2;
(2)∵s2甲>s2乙,∴乙的成绩稳定,选择乙同学参加射击比赛.
方法总结:用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果就是方差.【类型二】已知原数据的方差,求新
数据的方差
已知数据x1,x2,x3,…,x20的平均数是2,方差是
1
4
,则数据4x1-2,4x2-2,4x3-2,…,4x20-2的平均数和方差是( )
A.2,
1
4
B.4,4 C.6,
1
4
D.6,4
解析:∵x=
1
20
(x1+x2+x3+…+x20)=2,x新=
1
20
(4x1-2+4x2-2+4x3-2+…+4x20-2)=6;s2=
1
10
[(x1-2)2+(x2-2)2+
(x 3-2)2+…+(x 20-2)2]=14,s 2
4x -2=
120[(4x 1-2-6)2
+(4x 2-2-6)2
+(4x 3-2-6)2+…+(4x 20-2-6)2
]=14×16=4.故选
D.
方法总结:掌握数据都加上一个数(或减去一个数)时,方差不变,即数据的波动情况不变,平均数也加或减这个数;当乘以一个数时,方差变成这个数的平方倍,平均数也乘以这个数是本题的关键.
【类型三】 根据统计图表判断方差的
大小
如图是2014年1~12月份某市居
民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图.由
统计图可知,三种价格指数方差最小的是( )
A .居民消费价格指数
B .工业产品出厂价格指数
C .原材料等购进价格指数
D .不能确定 解析:从折线统计图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小,故方差最小的是居民消费价格指数.故选A.
方法总结:折线图不但可以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况.
探究点二:由方差判断数据的波动程度
为了考察甲、乙两种小麦的长势,
分别从中抽取10株麦苗,测得苗高如下(单位:cm):
甲:12,13,14,13,10,16,13,13,15,11
乙:6,9,7,12,11,16,14,16,20,19
(1)将数据整理,并通过计算后把下表
填全:
(2)选择合适的数据代表,说明哪一种小麦长势较好.
解析:(1)中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数);出现次数最多的这个数即为这组数据的众数;(2)方差越小,数据越稳定,小麦长势较好.
所以: (2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差,故甲种小麦苗高整齐,而两种小麦苗高的中位数和平均数相同,故甲种小麦长势较好.
方法总结:平均数表示一组数据的平均程度;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
三、板书设计 1.方差的概念 2.方差的计算公式
通过这节课的教学,让我深刻的体会到只要我们充分相信学生,给学生以最大的自主探索空间,让学生经历数学知识的探究过程,这样既能让学生自主获取数学知识与技能,而且还能让学生达到对知识的深层次理解,更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法,从而增强学生的自主意识,培养学生的探索精神和创新思维.