新人教版八年级数学下册教案：方差

20.2 数据的波动程度

第1课时方差

1．掌握方差的定义和计算公式；(重点)

2．会用方差公式进行计算，会比较数

据的波动大小．(重点)

一、情境导入

在生活和生产实际中，我们除了用平均

数、中位数和众数来描述一组数据的集中程

度外，有时需要了解一组数据的离散程度．

乒乓球的标准直径为40mm，质检部门对

甲、乙两厂生产的乒乓球的直径进行检测．

甲、乙两厂生产的乒乓球中各抽样调查

了10只，检测的结果如下(单位：mm)：

甲厂：40.0，40.1，39.9，40.0，39.8，

40.2，40.0，40.1，40.0，39.9；

乙厂：40.1，39.8，39.9，40.3，39.8，

40.2，40.1，40.2，39.7，39.9.

你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与

标准的误差更小呢？

二、合作探究

探究点一：方差的计算

【类型一】

根据数据直接计算方差

为了从甲、乙两名同学中选拔一个射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两个在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：

甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4

乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7

(1)求x甲，x乙，s2甲，s2乙；

(2)你认为该选择哪名同学参加射击比赛？为什么？

解析：方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．

解：(1)x甲＝(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4)÷10＝7，s2甲＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]÷10＝3，x乙＝(9＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7)÷10＝7，s2乙＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]÷10＝1.2；

(2)∵s2甲＞s2乙，∴乙的成绩稳定，选择乙同学参加射击比赛．

方法总结：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．【类型二】已知原数据的方差，求新

数据的方差

已知数据x1，x2，x3，…，x20的平均数是2，方差是

1

4

，则数据4x1－2，4x2－2，4x3－2，…，4x20－2的平均数和方差是( )

A．2，

1

4

B．4，4 C．6，

1

4

D．6，4

解析：∵x＝

1

20

(x1＋x2＋x3＋…＋x20)＝2，x新＝

1

20

(4x1－2＋4x2－2＋4x3－2＋…＋4x20－2)＝6；s2＝

1

10

[(x1－2)2＋(x2－2)2＋

(x 3－2)2＋…＋(x 20－2)2]＝14，s 2

4x －2＝

120[(4x 1－2－6)2

＋(4x 2－2－6)2

＋(4x 3－2－6)2＋…＋(4x 20－2－6)2

]＝14×16＝4.故选

D.

方法总结：掌握数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数是本题的关键．

【类型三】 根据统计图表判断方差的

大小

如图是2014年1～12月份某市居

民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图．由

统计图可知，三种价格指数方差最小的是( )

A ．居民消费价格指数

B ．工业产品出厂价格指数

C ．原材料等购进价格指数

D ．不能确定 解析：从折线统计图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小，故方差最小的是居民消费价格指数．故选A.

方法总结：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．

探究点二：由方差判断数据的波动程度

为了考察甲、乙两种小麦的长势，

分别从中抽取10株麦苗，测得苗高如下(单位：cm)：

甲：12，13，14，13，10，16，13，13，15，11

乙：6，9，7，12，11，16，14，16，20，19

(1)将数据整理，并通过计算后把下表

填全：

(2)选择合适的数据代表，说明哪一种小麦长势较好．

解析：(1)中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；出现次数最多的这个数即为这组数据的众数；(2)方差越小，数据越稳定，小麦长势较好．

所以： (2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，而两种小麦苗高的中位数和平均数相同，故甲种小麦长势较好．

方法总结：平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

三、板书设计 1．方差的概念 2．方差的计算公式

通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维．