量子力学第四版卷一曾谨言著习题答案第章

——

证明在z

L ˆ的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m

，即ψψ m L z =

[]

x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，

(

)(

)

(

)

011

1 =-=-=-=

∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L

同理有：0=y L 。

附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆy l ˆ的平均值不为零，能够证明：

,2

1

2y x y x l l i m l l -==

说明y x l l ˆˆ不是厄密的。2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。

设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2x L ∆和()2y L ∆ 解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程

()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，

利用基本对易式 L i L L =⨯，

可得算符关系 ()()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2

()

x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2

将上式在lm

值的贡献互相抵消，因此

22y

x L L = 又()[]

222

2

21 m l l L L L z

y

x -+=-=+

()[]

222

2

12

1

m l l L L y

x

-+=

=∴ 上题已证 0==y x L L 。

()()

()[]

222

2

2

2

2

12

1

m l l L L L L L L x x x x

x x -+=

=-=-=∆∴

同理 ()()[]

22212

1

m l l L y -+=

∆。 （补白）若需要严格论证2x l 与2

y l 的相等关系，可设

y x l i l l ˆˆˆ+≡+ y

x l i l l ˆˆˆ-≡- 于是有)ˆˆ(21

ˆ-++=l l l x )ˆˆ(2

ˆ+--=l l i l y 求其符2ˆx l 的平方，用-+l l ˆˆ来表示：

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4

1ˆ2-

-+--++++++=l l l l l l l l l x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4

1ˆ2--+++--+--+=l l l l l l l l l y

再求它们在态im Y 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是

))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41,(ˆ2im im x Y l l l l l l l l Y l --+--++++++= （1）

))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4

1

,(ˆ2im im y Y l l l l l l l l Y l --+++--+--+= （2）

或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的： Ω+++=⎰⎰Ω

--+--+++*d Y l l l l l l l l Y l im im x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((41

2 （3） Ω--+=

⎰⎰Ω

--+++--+*d Y l l l l l l l l Y l im im y )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((412 （4） 按角动量理论：1,)1)((ˆ++++-=m i im Y m l m l Y l

1,)1)((ˆ--+-+=m i im Y m l m l Y l （5）

和正交归一化条件：m m i i im m i d Y Y ,,,'''''*=Ω⎰⎰δ （6） 将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：

0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰+*

++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数

0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰-*--*

d Y Y d Y l l Y m i im im

im 常数 2)1)((ˆˆ +-+=Ω⎰⎰-+*

m l m l d Y l l Y

im

im

2)1)((ˆˆ ++-=Ω⎰⎰

+-*m l m l d Y l l Y im im

注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算， 再代进积分式中，如：

1,)1)((ˆˆˆ-+-++-+=m l im Y m l m l l Y l l

1,ˆ)1)((-+⋅+-+=m l Y l m l m l

m l Y m l m l m l m l ,1)1()][(1([)1)((⋅+-+--+-+=

将它们代入（3）就得到前一法（考虑y x l l ,对称）得到相同的结果。

])1)(()1)([(41

222

++-++-+=

m l m l m l m l l x 22])1([2

1

m l l -+= 又从（4）式看出，由于--++l l l l ˆˆ,ˆˆ没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。

—— ——，，

设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化，即12

22

1=+C C ），求 （a ）z L 的可能测值及平均值; （b ）2L 的可能测值及相应的几率； （c ）x L 的可能测值及相应的几率。 解：1121122 Y Y L =，2022026 Y Y L =；

1111 Y Y L z =，20200 Y Y L z =。

（a ）由于ψ已归一化，故z L 的可能测值为 ，0，相应的几率为21C ，22C 。平均值 2

1C L z =。 （b ）2L 的可能测值为22 ，26 ，相应的几率为2

1C ，2

2C 。