1983年全国高考数学试题及其解析

1983年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．两条异面直线，指的是 （ ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cosα的值是 （ ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3π5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -=y x -=的图形，并写出它们交点的坐标2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法。

四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）：五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合42≤r2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤ 六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MABϕϕϕβϕ-ββαϕ+ααcos 2cos sin sin )sin(cos cos )cos(sin如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|=6，焦距|F 1F 2|=24，过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N 设∠F 2F 1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？八．（本题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1=b(b ≠0），它的前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),并且S 1，S 2，S n ，…是一个等比数列，其公比为p （p ≠0且|p|＜1）1．证明：a 2,a 3,a 3,…a n ,…(即{a n }从第二项起）是一个等比数列2．设W n =a 1S 1+a 2S 2+a 3S 3+…+a n S n (n ≥1),求n n W ∞→lim （用b,p 表示）九．（本题满分12分）1．已知a,b 为实数，并且e<a<b ，其中e 是自然对数的底，证明a b >b a . 2.如果正实数a,b 满足a b =b a .且a<1，证明a=b文史类试题一．（本题满分10分）1．在直角坐标系内，函数y=|x|的图象 （ ） （A ）关于原点对称 （B ）关于坐标轴、原点都不对称 （C ）关于x 轴对称 （D ）关于y 轴对称2．抛物线x 2+y=0的焦点位于 （ ） （A ）y 轴的负半轴上 （B ）y 轴的正半轴上 （C ）x 轴的负半轴上 （D ）x 轴的正半轴上3．两条异面直线，指的是 （ ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线（C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线4．对任何2cos ,360180α︒<α<︒的值等于 （ ） （A ）.2cos 1α+（B ）.2cos 1α-（C ）.2cos 1α+-（D ）.2cos 1α-- 5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<方程 x 2+y 2=2xx 2-y 2=0 图形名称图形三．（本题满分10分）1求函数)36(log 522x x y -+=的定义域2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法四．（本题满分12分） 已知复数α=+α+α=3cos 21:,sin cos 33zz i z 求证 五．（本题满分14分）在圆心为O 、半径为常数R 的半圆板内画内接矩形（如图）当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积六．（本题满分14分）如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB=20米，在A 点处测得P 点的仰角∠OAP=300，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP=450，又测得∠AOB=600，求旗杆的高度h （结果可以保留根号）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，∠ABC=600，∠ACB=300，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm求以A为顶点的三棱锥A-NBC的体积（结果可以保留根号）八．（本题满分17分）一个等比数列有三项如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列;如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列九．（本题满分17分）如图，已知两条直线L1:2x-3y+2=0,L2:3x-2y+3=0.有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称理工农医类参考答案一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解. (1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C. 二、解：1.图形如左图所示交点坐标是：O （0，0），P （1，-1） 2．曲线名称是：圆图形如右所示三、解：1.dx x e x e dx x e dy x x x ]2sin )()2(sin [)2sin ('+'='=---.)2sin 2cos 2()2sin 2cos 2(dx x x e dx x e x e x x x -=-=---2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C 四、解法一:把第1列乘以sin ϕ加到第2列上,再把第3列乘以(-cos ϕ)加到第2列上,得解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得解法三:把行列式按第2列展开,得解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得五、1．证：复数i t t z |sin ||cos |+=（其中t 是实数）的模||z r =为.|sin ||cos |)|sin |()|cos |(22t t t t r +=+=要证对任意实数t ，有42≤r ，只要证对任意实数t ，2|sin ||cos |≤+t t 成立对任意实数t ，因为1|sin ||cos |22=+t t ，所以可令|,sin |sin |,cos |cos t t =ϕ=ϕ且)2,0(π∈ϕ，于是.2)4sin(2sin cos |sin ||cos |≤π+ϕ=ϕ+ϕ=+t t2．因为复数i t t z |sin ||cos |+=的实部与虚部都是非负数，所以z 的幅角主值θ一定适合20π≤θ≤从而.1040≤θ≤⇔π≤θ≤tg 显然0||≠=z r 因为.111||010,|||cos ||sin |≤≤-⇔≤θ≤⇔≤θ≤==θtgt tg tg tgt t t tg 所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在k k t k tgt t tgt y π+π≤≤π-π≤≤-ππ<<π-=这就是所求的实数t 的取值范围六、证：因为SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影， AB ⊥NC ，所以AB ⊥SC （三垂线定理） 连结DM 因为AB ⊥DC ，AB ⊥SC ，所以AB 垂直于DC 和SC 所决定的平面又因DM 在这个平面内，所以AB ⊥DM∴∠MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC在△MDC 和△NSC 中，因为∠MDC=∠NSC ，∠DCS 是公共角， 所以∠DMC=∠SNC=900从而DM ⊥SC 从AB ⊥SC ，DM ⊥SC ，可知SC ⊥截面MAB七、解一：以椭圆焦点F 1为极点，以F 1为起点并过F 2的射线为极轴建立极坐标系由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429,焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为 θ-=θ-=ρcos 2231cos 1e ep.2cos 896||,cos 2231||.cos 2231||2212211=α-=ρ+ρ=α+=ρ=α-=ρ=∴MN N F M F解得.656.22cos π=απ=α∴±=α或 以上解方程过程中的每一步都是可逆的， 所以当6π=α或65π=α时，|MN|等于短轴的长 解二：以椭圆的中心为原点，F 1F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922=+y xMN 所在直线方程为)()22(α=+=tg k x k y 其中解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+)22(1922x k y y x消去y 得0)18(9236)91(2222=-+++k x k x k .α+α+=++=++++=-+-=22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tg tg k k k k k k y y x x MN下同解法一解三：建立坐标系得椭圆如解二， MN 所在直线的参数方程为)(sin cos 22是参数t t y t x ⎩⎨⎧α=α+-=代入椭圆方程得 .01)cos 24()sin 9(cos 222=-α-α+αt t设t 1,t 2是方程两根，则由韦达定理，.sin 9cos 64)(||||.sin 9cos 1,sin 9cos cos 2422212212122212221α+α=-+=-=α+α-=α+αα=+t t t t t t MN t t t t下同解一解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x |F 1F 2|=24，∠F 2F 1M=α在△MF 1F 2中由余弦定理得13cos 22,cos 28)24()6(222=+-αα-+=-x x x x xα-=cos 2231x同理，设|F 1N|=y ，则|F 2N|=6-y 在△F 1F 2N 中，由余弦定理得.cos 896cos 2231cos 2231||,cos 2231,1cos 223).cos(28)24()6(2222α-=α++α-=α+==α+α-π-+=-MN y y y y y y下同解一八、1．证：由已知条件得S 1=a 1=b.S n =S 1p n-1=bp n-1(n ≥1）因为当n ≥2时，S n =a 1+a 2+…+a n-1+a n =S n-1+a n ,所以 a n =S n -S n-1=bp n-2(p-1)(n ≥2)从而),2()1()1(211≥=--=--+n p p bp p bp a a n n n n因此a 2,a 3,a 3,…a n ,…是一个公比为p 的等比数列2．解：当n ≥2时，,)1()1(212111p bpp bp bp p bp S a S a n n nn n n n n =--=---++ 且由已知条件可知p 2<1，因此数列a 1S 1，a 2S 2，a 3S 3，…a n S n …是公比为p 2<1的无穷等比数列于是.11)1(1)(lim 2222223322p p b p p p b p S a S a S a S a n n n +-=--=-=+++∞→ 从而)(lim lim )(lim lim 332211332211n n n n n n n n n S a S a S a S a S a S a S a S a W ++++=++++=∞→∞→∞→∞→.11222pb p p b b +=+-=九、1．证：当e<a<b 时， 要证a b >b a ， 只要证blna>alnb,即只要证b ba a ln ln >考虑函数0(ln +∞<<=x xxy 因为但e x >时，,0ln 12<-='xx y 所以函数),(ln +∞=e x xy 在内是减函数因为e<a<b ，所以bba a ln ln >，即得a b >b a 2．证一：由a b =b a ，得blna=alnb ，从而ba a ln =考虑函数)0(ln +∞<<=x xxy ，它的导数是.ln 12xx y -=' 因为在（0，1）内0)(>'x f ，所以f(x)在（0，1）内是增函数由于0<a<1,b>0,所以a b <1,从而b a =a b <1.由b a <1及a>0,可推出b<1.由0<a<1,0<b<1,假如b a ≠，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(b f a f ≠，即bba a ln ln ≠，从而a b b a ≠这与a b =b a 矛盾 所以a=b证二：因为0<a<1，a b =b a ，所以,log log b a a b a a =即aba log =假如a<b ，则1>ab ，但因a<1，根据对数函数的性质，得b abb a b a b a a a a log ,log ,1log log =>=<这与从而矛盾所以a 不能小于b假如a>b ，则1<a b ，而1log >b a ，这也与b ab a log =矛盾所以a 不能大于b 因此a=b证三：假如a<b ，则可设ε+=a b ，其中ε>0由于0<a<1,ε>0,根据幂函数或指数函数的性质，得1<εa 和1)1(>ε+a a， 所以 ,)(,)1(,)1(a a a a a a a a aa a a a a ε+<ε+<ε+<ε+εε 即ab <b a .这与a b =b a 矛盾所以a 不能小于b假如b<a ，则b<a<1，可设a=b+ε,其中ε>0,同上可证得a b <b a .这于a b =b a 矛盾a 不能大于b因此a=b文史类参考答案一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解. (1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C.二、在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形方程 x 2+y 2=2x x 2-y 2=0 图形名称圆两条相交直线图形三、解：1.根据题意，得⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<-≥>-≥+,66,5,036,052x x x x 即 解得 )6,5(.65-∴<≤-函数的定义域是x2．)(1003416242614种=+⋅+⋅C C C C C 或：)(1002012036310种=-=-C C 四、证：333333)sin (cos )sin (cos 1--α+α+α+α=+=+i i z z zz α=α-+α-+α+α=3cos 2)3sin()3cos(3sin 3cos i i五、解：设矩形在半圆板直径上的一边长为2x ，α角如图所示，则x=Rcos α,另一边的长为Rsin α矩形面积S 为S=2R 2sin αcos α. =R 2sin2α当2α=2π即α=4π时，也即长为R R 24cos 2=π，宽为R R 224sin =π时，矩形面积最大最大面积是R 2六、解：在直角三角形AOP 中，得OA=OPctg300=h 3. 在直角三角形BOP 中，得OB=OPctg450=h在三角形AOB 中，由余弦定理得).(3420,34400,)34(400,60cos )3(2)3(2022222米即-=-=-=︒⋅⋅-+=h h h h h h h答：略七、解：自N 作NE ⊥BC ，E 为垂足连结AE ，由三垂线定理可知 AE ⊥BC 在直角三角形ABC 中，.3660sin 30sin =︒⋅︒⋅=BC AE在直角三角形ANE 中， 33621.3322=⋅⋅=∆=-=NE BC S NBC AN AE NE 的面积 三棱锥A-NBC 的体积)(3108312cm AN S V =⋅⋅=答：略八、解：设所求等比数列为a ,a q,a q 2,由已知条件得⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-====⎩⎨⎧-=-=+-⎩⎨⎧+=++=+59232.2)4(,8)12(:).32()4(,)4(22222q a q a q a q q a aq a aq aq a aq 或解方程组得化简得由a =2,q=3,得所求等比数列是2，6，18; 由5,92-==q a ，得所求等比数列是.950,910,92- 经检验均正确九、解：设圆心M 的坐标为(x,y)，圆的半径为r ，点M 到L 1，L 2的距离分别为d 1,d 2根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有.5.)224(,)226(2212222222221=-=+=+d d r d r d 得根据点到直线的距离公式，得.16565)1(.651225)13323()13232(,13|323|,13|232|22222221=-+=-++=+--+-+-=+-=y x y x x y x y x y x d y x d 即化简得得方程代入上式轨迹是双曲线。