排列组合常见的九种方法

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排列组合常见的九种方法

排列组合常见的九种方法

复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在n 1m 第2类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不2m n n m 同的方法,那么完成这件事共有:12nN m m m =+++L 种不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做n 1m 第2步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那2m n n m 么完成这件事共有:12nN m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同522522480A A A =的排法练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?练习题:1、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 302、某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种47A 方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有种方法。

完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标:1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略,能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力。

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

复巩固:1.分类计数原理(加法原理):完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

3.分类计数原理和分步计数原理区别:分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事。

2.确定采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合问题(无序),元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略。

一、特殊元素和特殊位置优先策略:例1:由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有C3,然后排首位共有C4,最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素。

若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

排列组合讲解方法汇总

排列组合讲解方法汇总

排列组合讲解方法汇总 The following text is amended on 12 November 2020.1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.3.排列数公式:4.组合数公式:排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.分隔排列--插空法相邻排列--捆绑法互斥分类--分类法先后有序--位置法反面明了--排除法方法1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

例1 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。

8个学生,4个老师,要求老师在学生之间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题. 解:先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.方法2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解: 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法.方法3 转化法(插拔法):对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.解:此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有711C 种不同的放法,所以名额分配方案有711C 种.方法4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法分析:此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.解: 把所有的硬币全部取出来,将得到×23+×10=元,所以比2元多元,所以剩下元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有311232310C C C +种取法.方法5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序分析:对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.解:不加任何限制条件,整个排法有99A 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有9912A 。

排列组合常见的九种方法

排列组合常见的九种方法

复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在n 1m 第2类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不2m n n m 同的方法,那么完成这件事共有:12nN m m m =+++L 种不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做n 1m 第2步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那2m n n m 么完成这件事共有:12nN m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同522522480A A A =的排法练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?练习题:1、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 302、某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种47A 方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有种方法。

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点,也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时,我们可以运用多种方法来求解,下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法,根据排列组合的定义,直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法,利用排列组合的公式进行计算,如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!,组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法,通过递推关系式求解排列组合问题,如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法,将问题进行分类讨论,分别求解每种情况的排列组合个数,然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法,利用组合数的性质,如C(n,m)=C(n,n-m),C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1),简化计算过程。

6. 二项式定理法,利用二项式定理展开式子,求解排列组合问题。

7. 二项式系数法,利用二项式系数的性质,如n个不同元素的排列个数为n!,n个相同元素的排列个数为1,简化计算过程。

8. 容斥原理法,利用容斥原理求解排列组合问题,排除重复计算的部分。

9. 对称性法,利用排列组合的对称性质,简化计算过程。

10. 逆向思维法,从问题的逆向思考,求解排列组合问题。

11. 生成函数法,利用生成函数求解排列组合问题,将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法,通过构造合适的排列组合模型,求解问题。

13. 图论法,将排列组合问题转化为图论问题,利用图论算法求解。

14. 动态规划法,利用动态规划算法求解排列组合问题,降低时间复杂度。

15. 贪心算法法,利用贪心算法求解排列组合问题,简化计算过程。

16. 模拟法,通过模拟排列组合过程,求解问题。

17. 枚举法,将所有可能的排列组合情况列举出来,求解问题。

18. 穷举法,通过穷举所有可能的情况,求解问题。

19. 数学归纳法,利用数学归纳法证明排列组合的性质,求解问题。

排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)

排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
解析:(2)按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,
分别有个 ,
个,合并总计300个,

个。
5.不相邻问题插空法: 对于某两个元素或者几个元素要条件的元素按要求 插入排好元素的空档之中即可 .
解析:方法一(排除法):逆向思考,至少各一台的反面就是分别只 取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型 电视机各一台,则不同的取法共有 ( )
解析:把4名学生分成3组有 种方法,再把三组学生分配到3所学校
有种,则不同的保送方案共有

解决排列组合问题的一般过程如下: 1、认真审题弄清要做什么事。 2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同 时进行,确定分多少步及多少类。 3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数 是多少及取出多少个元素。 4、解决排列组合综合性问题,往往分类与分步交叉,因此必须掌握一 些常用的解题方法,根据题目的条件,我们就可以选取不同的方法来解 决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用 把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通。
人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的
选法共有

7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型 电视机各一台,则不同的取法共有 ( )

排列组合方法总结

排列组合方法总结

(2)组合: 无次序组成一组;组合数公式 Cnm = Pnm / Pmm ,其中 m£n;
组合数性质 1: Cnm = Cnn-m; 特殊地,Cn 0 = Cnn=1;
组合数性质 2:
Cnm
+
C m-1 n
=Cn+1m
;
3. 排列组合问题的常用方法
1 对称法:对称思想; e.g.五人站一排,甲在乙 A 右边;P55/2 2 特殊优先法:特殊位置/元素优先考虑; 先特殊-后普通;e.g.五人站排,甲在首;1·P44
7 逆向法:至多至少问题,正难则反,等价转化,又称间接法; 8 枚举法:数量不大时可以逐一枚举各种情况;
排列组合
1. 计数原理 乘法原理 :分步;共有:N = m1 × m2 × .共有: N = m1 + m2 + ... +mn 种不同的方法;
2. 排列组合
(1)排列: 有次序排成一列;排列数公式 Pnm = n(n-1)(n-2)...(n-m+1),其中 m£n;
3 先选后排法:先进行组合,再进行排列; 先分组-后排序
4 捆绑法:相邻问题捆绑法; 捆绑为一个元素;e.g.五人站一排,甲乙相邻;P44 ·P22 5 插空法:不相邻问题插空法; e.g.五人站一排,甲乙不相邻;P33 ·P42 6 隔板法:相同元素分组问题; e.g.7 个球放进 4 个盒子(不空);C63

高考数学排列组合常见方法

高考数学排列组合常见方法

排列组合中的常用方法1.排列数:)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n P mn -=+-⋅⋅⋅--=,(其中m ≤n ,m 、n ∈N ).注意:为了使m=n 时,!)!(!n n n n P P nn m n =-==公式成立,我们规定10=!(同时11=!).2.组合数:)!(!!123)2)(1()1()2)(1(m n m n m m m m n n n n P P C m m m n m n-⋅=⨯⨯⋅⋅⋅--+-⋅⋅⋅--==),,(n m N m n ≤∈*且 m n n m n C C -= ),,(n m N m n ≤∈*且.注意:为了使m=n 时,0n n n C C =公式成立,我们规定10=n C , 所以111010====+++k k kk k k C C C C ;3.排列组合问题联系生活实际,生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题还是组合问题或是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。

4.排列组合中的常用方法如下:(1)特殊元素和特殊位置问题——优限法 (2)多元问题——合理分类与分步法 (3)相邻问题——捆绑法 (4)不相邻问题——插空法 (5)定序问题——倍缩法 (6)重排问题——求幂法 (7)平均分组问题——除序法 (8)分组问题——隔板法(9)分配问题——先分组后排列法 (10)球盒问题(11)区域涂色问题——分步与分类综合法 (12)“至少”“至多”问题或者部分符合条件问题——排除法或分类法(“正难则反”策略) (13)元素个数较少的排列组合问题——枚举法 (14)复杂的排列组合问题——分解与合成法1.特殊元素和特殊位置问题——优限法元素分析法和位置分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,则先安排特殊元素,再处理其它元素;若以位置分析为主,则先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

排列组合常用方法总结(全)

排列组合常用方法总结(全)

解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。

组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去,集合中的元素是无序的。

较复杂的排列组合问题一般是先分组,再排列。

必须完成所有的分组再排列,不能边分组边排列.排列组合问题的常见错误是重复和遗漏.弄清问题的实质,适当的分类,合理的分步是解决这个错误的关键,采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.集合是常用的工具之一.为了将抽象问题具体化,可以从特殊情形着手,通过画格子,画树图等帮助理解。

“正难则反”是处理问题常用的策略。

常用方法:一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位,现在上来5名乘客,每人坐1个座位,有几种不同的坐法?例2. 公共汽车上有5个座位,现在上来3名乘客,每人坐1个座位,有几种不同的坐法?分析:例1中将5名乘客看作5个元素,3个空位看作3个位置,则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上,共有种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂,将5个空位看作元素,而将乘客看作位置,则例2变成了例1,所以在解决排列组合问题时,合理选择主元,就是选择合适解题方法的突破口。

二. “至少"型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题,先转化为“至少一个"型组合问题,再用n个隔板插在元素的空隙(不包括首尾)中,将元素分成n+1份。

例5. 4名学生分6本相同的书,每人至少1本,有多少种不同分法?解:将6本书分成4份,先把书排成一排,插入3个隔板,6本书中间有5个空隙,则分法有:(种)三。

注意合理分类元素(或位置)的“地位”不相同时,不可直接用排列组合数公式,则要根据元素(或位置)的特殊性进行合理分类,求出各类排列组合数。

再用分类计数原理求出总数。

例6. 求用0,1,2,3,4,5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。

解:比2015大的四位数可分成以下三类:第一类:3×××,4×××,5×××,共有:(个);第二类:21××,23××,24××,25××,共有:(个);第三类:203×,204×,205×,共有:(个)∴比2015大的四位数共有237个。

排列组合方法归类大全

排列组合方法归类大全

排列组合的常见题型及其解法一. 特殊元素(位置)用优先法把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采取特殊元素(位置)优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?分析:解有限制条件的元素(位置)这类问题常采取特殊元素(位置)优先安排的方法。

解法1:(元素分析法)因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有A 41种站法;第二步再让其余的5人站在其他5个位置上,有A 55种站法,故站法共有:A A 4155⋅=480(种)解法2:(位置分析法)因为左右两端不站甲,故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端,有A 52种;第二步再让剩余的4个人(含甲)站在中间4个位置,有A 44种,故站法共有:A A 5244480⋅=(种)二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:即将这几个元素看作一个整体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。

例2. 5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法? 解:把3个女生视为一个元素,与5个男生进行排列,共有A 66种,然后女生内部再进行排列,有A 33种,所以排法共有:A A 66334320⋅=(种) 三. 相离问题用插空法元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例3. 7人排成一排,甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法?解:先将其余4人排成一排,有A 44种,再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入,有A 53种,所以排法共有:A A 44531440⋅=(种) 四. 定序问题用除法对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。

解题方法是:先将n 个元素进行全排列有A n n 种,m m n ()≤个元素的全排列有A m m种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,则有A A n n mm 种排列方法。

排列组合常用方法总结(全)

排列组合常用方法总结(全)

解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。

组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去,集合中的元素是无序的。

较复杂的排列组合问题一般是先分组,再排列。

必须完成所有的分组再排列,不能边分组边排列。

排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。

弄清问题的实质,适当的分类,合理的分步是解决这个错误的关键,采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。

集合是常用的工具之一。

为了将抽象问题具体化,可以从特殊情形着手,通过画格子,画树图等帮助理解。

“正难则反”是处理问题常用的策略。

常用方法:一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位,现在上来5名乘客,每人坐1个座位,有几种不同的坐法?例2. 公共汽车上有5个座位,现在上来3名乘客,每人坐1个座位,有几种不同的坐法?分析:例1中将5名乘客看作5个元素,3个空位看作3个位置,则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上,共有种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂,将5个空位看作元素,而将乘客看作位置,则例2变成了例1,所以在解决排列组合问题时,合理选择主元,就是选择合适解题方法的突破口。

二. “至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题,先转化为“至少一个”型组合问题,再用n个隔板插在元素的空隙(不包括首尾)中,将元素分成n+1份。

例5. 4名学生分6本相同的书,每人至少1本,有多少种不同分法?解:将6本书分成4份,先把书排成一排,插入3个隔板,6本书中间有5个空隙,则分法有:(种)三. 注意合理分类元素(或位置)的“地位”不相同时,不可直接用排列组合数公式,则要根据元素(或位置)的特殊性进行合理分类,求出各类排列组合数。

再用分类计数原理求出总数。

例6. 求用0,1,2,3,4,5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。

解:比2015大的四位数可分成以下三类:第一类:3×××,4×××,5×××,共有:(个);第二类:21××,23××,24××,25××,共有:(个);第三类:203×,204×,205×,共有:(个)∴比2015大的四位数共有237个。

排列组合方法

排列组合方法

排列组合方法1.相离问题插空法相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题,是解决排列组合问题的常见方法之一。

它是指先把无位置要求,无条件限制的元素排列好,然后对有位置要求,受条件限制的元素进行整理,再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。

解析:该题若轻易展开答疑较为麻烦,此时可以利用嗟乎问题插空法,可以并使问题迎刃而解。

先将原来的6个节目排序不好,这时中间和两端存有7个空位,然后用一个节目回去挂7个空位,存有a种方法;接着再用另一个节目回去挂8个空位,存有a种方法;将最后一个节目填入至9个空位中,存有a种方法,由乘法原理得:所有相同的嵌入方法aaa=种。

解析:先排好8辆车有a种方法,要求空位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个,将空位置插入其中有c种方法。

故共有ac种方法。

2.相连问题绑定法相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一,就是在解决对于某几个元素相邻问题时,将相邻元素作为整体加以考虑,视为一个“大”元素参与排序,然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。

解析:由于甲、乙两人必须陈小华在一起,故可以将甲、乙两人绑定出来做为一个整体展开考量,即将两人视作一人,再与其他四人展开全系列排序,则存有a种排法,甲、乙两人之间存有a种排法。

由分步计数原则所述,共aa=种相同排法。

解析:此题共6个球要分为5份,那么必有两个球在一起,所以从6球当中选择两球捆绑在一起的情况为c种,那么此时将捆绑的两球作为一个整体和另外4球进行全排列,则总的情况为ca=种。

故选b.3.多元问题分类法多元问题分类主要用解决元素较多,情况多种时的排列组合问题。

它是在弄清题意的基础上,按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑,分别计数,最后一一相加,进行总计。

,解析:若子集a、b中没相同的元素,且都不是空集,则存有:(1)从5个元素中选出2个元素,有c=10种选法,小的给a集合,大的给b集合;(2)从5个元素中挑选出3个元素,存有c=10种选法,再分为1、2两组,较小元素的一组给a子集,很大元素的一组的给b子集,共计2×10=20种方法;(3)从5个元素中选出4个元素,有c=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给a集合,较大元素的一组的给b集合,共有3×5=15种方法;(4)从5个元素中挑选出5个元素,存有c=1种选法,再分为1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给a子集,很大元素的一组的给b子集,共计4×1=4种方法;总计为:10+20+15+4=49种方法,故答案为d。

排列组合问题常用的解题方法含答案

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列.例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.例2:七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法.例3:A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成.例4:将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5:有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6:由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7:从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种?例8:从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种?七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。

n A B n A n B n A B()()()()例9:从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法?八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。

排列组合的各种方法

排列组合的各种方法

排列组合的各种方法
排列组合是一种数学问题,描述的是从给定的元素集合中选择一部分元素来形成一组对象的方法。

下面是一些常见的排列组合方法:
1. 排列
排列是从给定的元素集合中选择一定数量的元素,按照一定的顺序来排列形成一组序列。

常见的排列方法有:
- 全排列:将集合中的所有元素按照不同的顺序排列成一组序列。

- 循环排列:将集合中的元素排列成一组序列,并且其中的某些元素可以循环使用。

2. 组合
组合是从给定的元素集合中选择一定数量的元素,无需考虑元素的顺序。

常见的组合方法有:
- 无重复组合:从集合中选择不同的元素来组成一组对象,元素之间没有重复。

- 有重复组合:从集合中选择元素来组成一组对象,元素之间可以重复。

3. 全排列组合
全排列组合是将排列和组合结合起来,从给定的元素集合中选择一定数量的元素,按照一定的顺序来排列形成一组序列。

其中可以包括全排列和有重复排列两种形式。

这些方法可以通过数学公式或递归算法来实现。

具体的实现方法可以参考相关的数学教材或计算机算法书籍。

排列组合基本方法

排列组合基本方法

排列组合基本方法排列组合基本方法是数学中常见的一种计算方法,用于求解在一定条件下物体的排列和组合问题。

在实际生活中,排列组合方法被广泛运用于统计学、概率论、组合数学等领域,具有重要的理论意义和实际应用价值。

首先,我们来了解一下排列和组合的概念。

排列指的是将一组物体按照一定的顺序进行排列,而组合则是从一组物体中选择若干个物体,不考虑顺序。

下面分别介绍排列和组合的基本方法:一、排列的计算方法:1. 全排列:全排列是指将一组不同的物体按照一定的顺序进行排列,不允许重复。

全排列的计算方法是通过阶乘来求解,即n个物体的全排列数为n!,其中n表示物体的个数。

2. 循环排列:循环排列是指将一组物体按照一定的顺序排列,允许循环移位。

循环排列的计算方法是通过n个物体的全排列数除以n,即n!/n。

3. 有重复元素的排列:当一组物体中有重复的元素时,排列的计算方法需要考虑重复的情况。

此时,排列数为n!/n1!n2!...nk!,其中n为总的物体数,n1、n2、...、nk为重复元素的个数。

二、组合的计算方法:1. 组合的定义:组合是指从一组物体中选择若干个物体,不考虑顺序。

组合的计算方法是通过组合数的公式来求解,即C(n,m)=n!/(m!(n-m)!),其中n表示物体的总数,m表示选择的物体数。

2. 组合的性质:组合数具有一些重要的性质,如C(n,0)=1,C(n,n)=1,C(n,1)=n,C(n,m)=C(n,n-m),C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)等。

3. 组合的应用:组合数在概率计算、组合数学、排列组合等领域有着广泛的应用,如二项式定理、二项分布、组合恒等式等。

总的来说,排列组合的基本方法是数学中重要的计算工具,能够帮助我们解决各种实际问题。

通过掌握排列组合的基本概念和计算方法,我们能够更好地理解和运用数学知识,提高解决问题的能力和效率。

排列组合方法的应用不仅局限于数学领域,还可以在生活和工作中帮助我们进行合理的组合和排列,提高工作效率和创造力。

排列组合常用方法

排列组合常用方法

解决排列组合问题的常用方法一、特殊元素法例:用1,2,3,4,5,6组成无重复的四位数,求满足下列条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位。

分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择25A ,其余2位有四个可供选择24A ,由乘法原理:25A 24A =240 特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有35A =60,1不在千位时,千位有14A 种选法,个位有14A 种,余下的有24A ,共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 排除法⑶有三张卡片,正面分别写着1,2,3三个数字,反面分别写着0,5,6三个数字,问这三张卡片可组成多少个三位数?分析:先排列三张卡片,然后再计算组成的三位数的个数,其算式为4022A 222A 2233=⨯⨯-⨯⨯⨯;也可回归到分步计数原理,则是40245=⨯⨯二、相邻问题-----捆绑法:1.⑴6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有几种?2402255=⋅A A⑵4名男生和3名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法,而男生之间又有44A 种排法,又乘法原理满足条件的排法有:44A ×44A =576不相邻问题-----插空法:2.⑴要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不相邻,问有多少不同的排法?4766A A ⋅ ⑵在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法?分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有11019A A ⨯=100中插入方法。

等可能问题------缩倍法3.A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排,如果B 必须站在 A 的右边( A 、B 可以不相邻),那么有多少种排法?60/2255=A A枚举法4.将数字1、2、3、4填在标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填上一个数字,且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有几种?分析:此题的背景是同学们所不熟悉的错排问题,不好利用计数原理解之。

排列组合问题的解题方法总结很非常好的方法(高三复习很合适)全

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排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例1:5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解: 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1:7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再 与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3:6个人排成一排,甲、乙二人必须相邻的排法有多少种?解:将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列,有A55种,甲、乙二人的排列有A22种,共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”:对元素不相邻问题,可先不考虑限制条件先排其它元素,再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中(包括两端)即可。

例2: 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。

8个学生,4个老师,要求老师在学生之间,且老师互不相邻,共有多少种不同的坐法?分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解:先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1:一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种?解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30练2-3:用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数,其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解:先“相邻”排列成三个“大元素”,再三个“大元素”排列,最后7与8“插空”,共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素(或位置) “优先法”:排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题,即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此,对于有限制条件的排列组合问题,可从限制元素(或位置)入手,优先考虑。

排列组合方法技巧总汇

排列组合方法技巧总汇

总结排列组合题型一.直接法1.特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位。

分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择25A ,其余2位有四个可供选择24A ,由乘法原理:25A 24A =240 2.特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有35A =60,1不在千位时,千位有14A 种选法,个位有14A 种,余下的有24A ,共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二. 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。

如上例中(2)可用间接法2435462A A A +-=252例2 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书?分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个,其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个,这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432(个) 三. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法?分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有11019A A ⨯=100中插入方法。

四. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法,而男生之间又有44A 种排法,又乘法原理满足条件的排法有:44A ×44A =576练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种(3324A C )2. 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有(1928129A C ⋅)(注意连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列)五. 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。

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排列组合常见的九种方法
1. 直接排列法:将元素按照一定次序排列,每种排列方案都是一个不同的结果。

例如,3个元素的排列数为 3! = 3 × 2 × 1 = 6。

2. 递归法:将问题逐步分解成每一步只有相对简单的子问题,从而不断求解。

通过递归,经过一系列不同的子过程,得到最终的结果。

3. 循环法:使用循环来枚举所有的可能的排列组合情况。

通常用于数组、字符串等元素的排列组合问题。

4. 分组排列法:将待排列的元素按照一定属性分组,再对每组内的元素进行排列组合,最终将每组的结果进行组合得到最终的结果。

5. 交换法:通过元素间的交换,对所有可能的排列组合进行枚举。

该方法需要注意元素交换时的顺序。

6. 邻项对换法:将相邻的两项进行对换,直到所有项都被排列组合了一遍。

7. 插入法:将新的元素依次插入已有元素的任意位置,直到所有元素都被排列组合了一遍。

8. 非递增排列法:将待排列的元素按照一定属性进行排序,然后将元素从最大的开始进行排列组合。

9. 非递减排列法:将待排列的元素按照一定属性进行排序,然后将元素从最小的开始进行排列组合。

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