夹半角模型及应用
夹半角模型的15个结论
夹半角模型的15个结论1、夹半角模型可以分析潮流流变和冲击波在夹半角多层介质中的传播行为。
2、夹半角模型提出了一种多层介质在夹半角入射情况下传播波的分析方法，它可以用“层级分析”的方法来求解。
3、在夹半角多层介质中，由于弯曲指数的存在，入射波的反射和绕射在深度上会出现显著变化。
4、当入射波在夹半角多层介质中滞后传播时，传播时延曲线将按“弯折形”出现，在深度较浅的地方曲线会剧烈变化。
5、在夹半角多层介质中，传播系数的变化规律是入射角和波长相等，当深度增大时，传播系数会急剧减小，逐渐趋于0。
6、在夹半角多层介质中，反射和绕射的幅度规律是：入射角和波长相等时，表面传播系数增大，反射和绕射均减小，而深度越大表面传播系数越小，反射和绕射均增大。
7、夹半角模型所得结论也可用于双曲型多层介质中，双曲型多层介质中，入射波穿过时，波段变化规律与夹半角入射时相似。
8、夹半角模型主要用于研究夹半角多层介质中的潮流流变和冲击波的传播行为，效果良好而华丽。
9、夹半角模型的基本原理是：在夹半角多层介质中，入射波可以分解成质心欧拉公式确定的反射波和绕射波，并且他们共同组成波的总和。
10、夹半角模型的优点在于满足了若干简单的条件，简化了运算，求解变得简单，反应准确，可以更好地描述波在夹半角多层介质中的传播过程。
11、夹半角模型的结论为冲击波在夹半角多层介质中的传播提供了新的理论参考，也为多层介质的分析研究提供了重要的理论基础。
12、夹半角模型可以用于估算和计算夹半角多层介质中潮流流变和冲击波的位移和速度，以及深度弯折变化规律等。
13、夹半角多层介质中的反射系数随深度变化规律与波长和入射角有关，深度越大，反射系数越小。
14、夹半角多层介质中反射、绕射系数随变化规律与深度有关，深度越大，反射系数和绕射系数均增加。
15、夹半角多层介质中的介质参数，如波速、密度等在深度的变化趋势必须仔细观察，以确定波的传播情况。
半角模型(八年级人教版)
半角模型（八上人教版）知识导航夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。
其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。
学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．已知如图：1. 12=AOB 2∠∠ 2. OA OB =。
连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置， 连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。
模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； 夹半角模型分类： （1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．题型一 90度夹45度例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （2）∠AEB =∠AEF ．例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45∠=︒．EAF（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH EF⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．例3. 如图，正方形ABCD中，1AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ∆的边长．∆，求APQ例4.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且45EAF ∠=︒．猜测线段EF 、BE 、FD 三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论： ．（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；例5. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点， 且12EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．例6.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且45EAF ∠=︒，把ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，请直接写出图中所有的全等三角形；（2）在四边形ABCD中，AB AD=，90∠=∠=︒．B D①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF BAD∠=∠，求证：EF BE DF=+；②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2EAF BAD∠=∠，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．例7. 已知在正方形ABCD中，45∠绕点A顺时针旋转．∠=︒，EAFEAF（1）当点E，F分别在边CB，DC上时（如图①)，线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当EAF∠绕点A旋转到如图②的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．例8. 已知如图1，四边形ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒．（1）如图1，若点E 、F 分别在边BC 、CD 上，延长线段CB 至G ，使得BG DF =，若3BE =，2BG =，求EF 的长；（2）如图2，若点E 、F 分别在边CB 、DC 延长线上时，求证：EF DF BE =−．（3）如图3，如果四边形ABCD 不是正方形，但满足AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，且7,6DF EF ==，请你直接写出BE 的长．例9. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，90∠=︒，且EF交正AEF方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．题型二120度夹60度例1. 已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．例2. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且满足DB DC∠=︒，M，N分BDC=，120别是AB，AC上的点，且60∠绕点D旋转时，MN，BM，CN的∠=︒，当MDNMDN关系是否发生变化？请简述理由．例3. 如图，等边ABCMDN∠=︒，其∠=︒，现有60∆的边长为2，且DB DCBDC=，120两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将MDN∠绕着D点旋转，使得M，N 始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，AMN∆的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．例4. 如图①，ABC∠=︒的等腰三角形，以D为BDC∆是顶角120∆是等边三角形，BDC顶点作60︒的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN．（1）探究：BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC 之间的关系，在图②中画出相应的图形，并就结论说明理由．例5. 在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形∠=︒，BD DCBDC=，探究：当M、N分别在直线MDNABC外一点，且60∠=︒，120AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM DN=时，BM、NC、MN之间的数量关系；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN≠时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．例6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．例7. 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是（2）当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=2，则Q=__________（用含有L的式子表示）题型三2α夹α例1.（1）如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，说明理由．（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB AD =，180B D ∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠时，EF BE DF =+成立吗？请直接写出结论．例2. 如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，例3. 如图，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且3BE =，4DF =，12EAF BAD ∠=∠，求EF 的长度．例4.（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+． 求证：12EAF BAD ∠=∠ （2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．例5. 问题背景：（1）如图①：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E ，F分别是BC，CD上的点，且60EAF∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒．E、F分别是BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．。
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
十一短期课1——”夹半角“模型
八年级·十一短期课·特色课程数学第1讲夹半角模型是八年级几类重点全等模型的一种，在考试中常以解答题出现，重点考察学生对全等模型的认识以及对模型辅助线中截长补短的掌握，另外当半角的位置发生改变时，结论也会有所不同，需要学生在考试中注意区分。
夹半角模型知识点睛考点说明 TIPS【例1】已知△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，∠BDC=120°，E 、F 分别为AB 和AC 上任一点，且∠EDF=60°，DG ⊥EF ，求证：△BED ≌△GED ．【巩固】正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒． 结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.ABMC HND夹半角模型基本性质【变式】如图1，E 为边长为1的正方形ABCD 中CD 边上的一动点（不含点C 、D ），以BE 为边作图中所示的正方形BEFG ． (1) 求∠ADF 的度数．(2) 如图2，若BF 交AD 于点H ，连接EH ，求证：HB 平分∠AHE ．【例2】已知：点O 为正方形ABCD 的对角线AC 的中点，点M 、N 分别在直线AD 、CD 上， 45MON =∠.(1)如图1，点M 在AD 的延长线上，点N 在CD 上，求证：MN =DM +CN ；（2）如图2，点M 在边AD 上，点N 在边CD 上，其他条件不变，问MN 、DM 、CN 之间有怎样的数量关系？为什么？图1图2M【巩固】已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．【变式】如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF-BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=12∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=12∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；【例3】如图1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD 平分∠ACB 与y 轴交于D 点，∠CAO=90°﹣∠BDO ． （1）求证：AC=BC ；（2）如图2，点C 的坐标为（4，0），点E 为AC 上一点，且∠DEA=∠DBO ，求BC+EC 的长；（3）在（1）中，过D 作DF ⊥AC 于F 点，点H 为FC 上一动点，点G 为OC 上一动点，（如图3），当H 在FC 上移动、点G 点在OC 上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH ，试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．坐标系中的夹半角模型【巩固】如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4），过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式OFFMAM -=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由.【变式】如图所示，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(－2，2) (1) 如图(1)，在△ABO 为等腰直角三角形，求B 点坐标 (2) 如图(1)，在(1)的条件下，分别以AB 和OB 为边作等边△ABC 和等边△OBD ，连结OC ，求∠COB 的度数(3) 如图(2)，过点A 作AM ⊥y 轴于点M ，点E 为x 轴正半轴上一点，K 为ME 延长线上一点，以MK 为直角边作等腰直角三角形MKJ ，∠MKJ ＝90°，过点A 作AN ⊥x 轴交MJ 于点N ，连结EN ．则：①NE OE AN +的值不变；② NEOEAN -的值不变，其中有且只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并加以证明和求出其值【例4】如图1，等腰直角△ACO在平面直角坐标系中，C的坐标为（﹣1，3）．（1）求A的坐标．（2）如图2过A点作AE⊥AC，点F在AC上，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度数．（3）如图3过点C作CN⊥y轴于点N，M为AO的中点，连CM，连MN，求MN的长．【巩固】如图：在平面直角坐标系中，A（0，4），B（-4,0），D为线段OB上一动点，以AD为直角边，D为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形ADE。
夹半角的模型(教学材料)
3夹半角知识目标目标一：掌握夹半角的常见辅助线和常见结论；目标二：掌握夹半角模型的构造及应用模块一夹半角的模型知识导航夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。
其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。
学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．夹半角模型分类：（1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．题型一90度夹45度【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E在BC上，F在CD上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF（2）∠AEB=∠AEF．【练】在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：（1）DF-BE=EF；（2）∠AEB+∠AEF=180°．【例2】已知△ABC为等腰三角形，∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2．【练】在例2中，若M在BA延长线上，N在AB上，其余条件不变，试探究AM、BN、NM 之间的关系．【知识扩充】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，且∠EAF=45°，求证：点E为线段BC靠近B的三等分点．【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，点E为线段BC靠近B的三等分点，求证：∠EAF=45°．【变式3】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，在CM的右侧作∠MCN=45°交BD于点N，求证：N是线段BD靠近D的三等分点．【变式4】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，N是线段BD靠近D的三等分点，求证：∠MCN=45°．题型二120度夹60度【例3】已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．【练】如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．【拓】（汉阳12期中）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L 的关系．（1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是____________________；此时LQ=_________________；（不必证明） （2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN =2，则Q =__________（用含有L 的式子表示）题型三 2α夹α【例4】如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，BD =DC ，∠MDN =21∠BDC ，求证：BM +CN =MN ．【练】如图，在例4的条件下，若M 、N 分别为BA 延长线、AC 延长线上的点，∠BAC +∠BDC =180°，BD =DC ，∠MDN =21∠BDC ，探究：线段BM 、CN 、MN 的数量关系．模块二 夹半角模型的构造备注：以下题目可能会使用到勾股定理【例5】（2012年武珞路八上期中）如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（a ，0），B点的坐标为（b ，0），且a 、b 满足0121442=+-+-a a b a ，若D （0，4），EB ⊥OB 于B ，且满足∠EAD =45°，试求线段EB 的长度．【例6】（2014年粮道街八上期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，b ），点B （a ，0），点D （d ，0），且a 、b 、d 满足0)2(312=-+-++d b a ，DE ⊥x 轴且∠BED =∠ABD ，BE 交y 轴于点C ，AE 交x 轴于点F ．（1）求点A 、点B 、点D 的坐标； （2）求点E 、点F 的坐标；（3）如图，过P （0，-1）作x 轴的平行线，在该平行线上有一点Q （点Q 在点P 的右侧）使∠QEM =45°，QE 交x 轴于点N ，ME 交y 轴的正半轴于点M ，确定PQMQAM -的值．【例7】点A （a ，0）、B （0，b ）分别在x 轴、y 轴上，且0962=+-+-a a b a ．（1）求a ，b 的值（2）如图1，若线段AB 的长为23，点C 为y 轴负半轴上的一点，且射线CA 平分△AOB 的外角∠BA x ，求点C 的坐标．（3）如图2，取点D （0,2）并连接AD ，将△AOD 烟直线AD 折叠得到△ADE ，过点B 作y 轴的垂线BF 交射线DE 的延长线于F 点，连接AF ，求BF 的长．第3讲 【课后作业】 夹半角 1．（2015年洪山区八中期中）如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△AB 1E ，∠EA 1E 的平分线交BC 边于点F ，求证：△CFE 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半．2．如图△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，则△AMN 的周长为__________．3．已知如图，五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°． 求证：（1）AD 平分∠CDE ； （2）∠BAE =2∠CAD ．4．如图，平面直角坐标系中，已知A （a ，4）、B （b ，0），且满足09612=+-+-b b a （1）求A 、B 两点的坐标（2）若点A 在第一象限内，且△ABC 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．（3）如图，点N （1，0）、R （4，3），点P 为线段AN 上的一动点，连接PR ，以PR 为一边作∠PRM =45°，交x 轴于点M ，连PM ，请问点P 在运动的过程中，线段PM 、AM 、BM 直线有怎样的数量关系，证明你的结论．。
120度夹60度半角模型
120度夹60度半角模型
1.120度夹60度半角模型的基本概念
120度夹60度半角模型，从字面上理解，就是一种角度为120度和60度的模型。
这种模型在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
它基于三角函数原理，可以用来研究角度、力矩、速度等物理量之间的关系。
2.120度夹60度半角模型的应用领域
120度夹60度半角模型在多个领域具有重要应用价值。
例如，在建筑领域，它可以用来计算建筑物的角度和结构稳定性；在机械领域，可以用来分析机械部件的运动学和动力学特性；在电子领域，可以用来优化电路板的设计，提高电子设备的性能。
3.120度夹60度半角模型的制作方法
制作120度夹60度半角模型并不复杂。
首先，根据实际需求选择合适的材料，如塑料、金属或木材。
然后，按照预定的尺寸和角度切割材料，打磨表面，使其光滑平整。
最后，将切割好的部件组装在一起，形成一个完整的120度夹60度半角模型。
4.120度夹60度半角模型在日常生活中的实用性
120度夹60度半角模型虽然看似简单，但在日常生活中却具有很高的实用性。
例如，在制作家具时，我们可以利用120度夹60度半角模型来计算和调整家具的角度，使其更加美观和实用。
此外，在修理和优化电子产品时，120度夹60度半角模型也可以为我们提供有益的参考。
5.总结：120度夹60度半角模型的重要性
120度夹60度半角模型作为一种基本的几何模型，在科学技术发展和日常生活中具有重要意义。
它不仅有助于我们更好地理解和分析各种物理现象，还能帮助我们解决实际问题，提高生活质量。
夹半角模型的12个结论
夹半角模型的12个结论中国古代的夹半角模型从远古时期的芒耙眉形式发展而来，应用于一般常识学或字体发展角度出发，已发展出12个结论，这些结论为夹半角技术提供了制定规则和划定文本形态的标准。
第一，夹半角模型是在中国古代历史如何流变的基础上推导出来的，它可追溯至史前时期，已超过3500多年的历史渊源，是古代中国传统文字的重要载体。
第二，夹半角模型由四个半角和四个先行字组成，形状和夹角的大小是不可破坏的，在渲染文本的过程中，这些要素也就成为渲染文本的规律，保护字体的完整性和美观。
第三，夹半角模型本质上拥有变化潜力，其临时变化可以影响模型的总体表现，使文本拥有流畅美观的特点。
第四，夹半角模型的核心价值在于字节的总体组合，只有字节的调整才能在渲染文本的同时实现美学。
第五，节省文本拥有更多有趣的字形，并有助于以更少的素材产生更多的变化。
第六，夹半角的精细化可以赋予文字整体形态弹性，以满足丰富的文本效果。
第七，夹半角模型增强了字节之间的联系性，并根据字节组合形成相互之间均等的夹度，使文本中的字符成型。
第八，夹半角模型拥有三个特殊的概念：叠字概念，夹字概念，突破概念。
它们对模型的四个半角和先行字的图像表现力产生了决定性的影响。
第九，夹半角模型的运用可以实现以文本准备的方式发展更多的字体，从而增加文本的丰富性。
第十，夹半角模型的渲染字体包括三个基本因素：半角，空格形态和先行字拉动，用以约束变形的规模和范围，以达到字体美观的目标。
第十一，夹半角模型可以将半角分离出来，作为一种独立的视觉形式，从视觉上成为文本组合中最突出的精致点。
第十二，夹半角模型通过完善和提炼结构，。
利用数学模型解题——大角夹半角
例1、如图①，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且有∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF
思路分析： 1、求两条线段的和等于一条线段， 通常我们会怎样思考？
2、 ∠BAE与∠DAF，你能把它们拼在 一起么？拼图后有没有全等三角形？
A
●
● ×
3、你能体会图中的大角与半角的含 义么？你还能找到图形的哪些特点？
利用数学模型解题—大角夹半角
郸城一高附中 杨静
学习目标：
1. 理解图形中大角与半角的含义
2. 通过思考，交流讨论总结找出模型特征， 固化思路，快速作答
学法指导：
1、自主学习例1，总结出此类型题的图形 特征并找出解决办法
2、尝试应用你在例1中积累的经验，解决 问题
一、学习过程：
自主学习（抽象模型）
F’
模型特征:
1 、组成大角的两条线段相等。 2、大角与半角具有公共顶点。
方法小结：
1、旋转某个图形使大角的等线段重合在一起。 2、利用全等三角形进行求解。
二、合作探究：（模型应用）
（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC， CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数、达标测评（固化思路，轻松求解）
• 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等 腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N， 连接MN，求△AMN的周长
M’
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N 是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A 逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND ，DH之间的数量关系，并说明理由．
几何模型：半角模型
半 角 模 型一、90°夹45°定义：过正方形的一个顶点作一个45°角可形成90°夹45°的夹半角模型。
（1） 角含半角模型90°-1条件：①；②或者②；（2） 角含半角模型90°-2 ➢ 条件：①；②；（1）（2） （3）角含半角模型90°-3条件：①；②；（4）角含半角模型90°变形 ➢ 条件：①正方形；②；（3） （4）二、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角） （2）外夹：（120°角不完全包含60°角） ➢ 条件：①∠CAB=120°；②∠EAF=120°；C(1)(2)核心思想：（1）内夹角补短，外夹用截长；(2)先证小全等，再证大全等。
一、内嵌45°如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上一点.并且∠EAF=45°，AE、AF分别交对角线于M、N.（1）求证：求证：EF=BE＋DF；（或△EFC周长为定值）F （2）求证:∠AEB=∠AEF=∠ANM，∠AFD=∠AFE=∠AMN；F （3）求证:MN 2=BM 2＋DN 2；F （4）求证：2AM 2=BM 2＋DM 2，2AN 2=BN 2＋DN 2；F （5）连接NE，求证：AN=AE，AN⊥NE；F （6）连接MF，求证：AM=MF，AM⊥MF；F（7=BA＋BE=DA＋DF；FF（9）求证：EF；F（10）过点E作EG⊥BC交BD于点G，求证：N是DG中点；F （11）过点F作FH⊥DC交BD于H，求证：M是BH中点；F（12）过点E作EP⊥BD交BD于点P，求证：NP=12BD；F（13）过点F 作FQ ⊥BD 交BD 于点Q ，求证：MQ =12BD ；F（14）求证：S △AMN =12S △AEF (或S △AMN = S 四边形MEFN )F二、外嵌45°如图，在正方形ABCD 中，若∠BEC =45°，连接AE ，DE.E（1）求证：∠AEC =∠BED =90°；（2）求证：∠AEB=∠CED=45°；E （3）求证：EB平分∠AEC，EC平分∠BED；（4）求证：EB＋ED EC；（5）求证：EA＋ECEB；（6）求证：S四边形ABCE=12EB 2．正方形.gsp（1）内夹（120°角完全包含60°角）已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠D=60°∠EAF=60°，证明：BE+CF=EF变式：已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠D=60°，BE+CF=EF，证明：∠EAF=60°B（2）外夹：（120°角不完全包含60°角）已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠BDC=60°，CF-BE=EF，证明：∠EAF=60°变式：已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠BDC=60°，∠EAF=60°，证明：CF-BE=EF ArrayCE4.在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M,N，使∠MCN=45°,若AM=3,BN=4，求△ABC的面积5、在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．6、如图1，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图2，点P是边BC上一点，PH⊥BC交BD于点H，连接AP交BD于点E，点F为DH中点，连接AF．（1）求证：四边形ABCD为正方形；（2）当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF的值；若变化，请说明理由；（3）求证：BE2+DF2=EF2．7.如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．（3）若EG=4，GF=6，BM=38.如图，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D 在线段AC上。
从条件入手,破译夹半角模型
点评：很多同学拿到这个题的第一反应是想怎样计算面积，面积公式底乘高除以二？于是疯狂的作垂找“高”，最终发现于事无补.其实几何题的处理方式一般都是两条线，一是从条件入手往下推导，另一是从结论入手向上探究（即综合法与分析法），而这个题给了很多条件，明显是在暗示先分析条件.把条件做初步处理，方有解题的思路.而我在做这个题的时候，很快就想到了我们学过的一类经典题型—夹半角模型，以至于没有任何阻碍的做出了这个题，那么这个题和“夹半角”有什么关联呢？
不妨先来看看最常见的夹半角模型的基本特征：
既然角平分线出来了，我们对这题条件的初步处理已经结束，可以开始真正的解题了.第一步：通过角平分线还原图形
第二步：设元导边计算边长比例并求出面积
总结：证明到最后，不知道有没有同学发现一个很奇怪的事情，其实我们全程都只用了题目给出的一条角平分线，前面我们分析的∠ACD+∠BCD=180°并没有直接派上用场，反而是可以通过
其他条件证明得到，实际上这个题目有更加简洁的证明方法，那就是过D点分别作两条角平分线的双垂.因为这里有两条角平分线，我们分别利用它可以作两次对称.同时也是希望大家可以把这个题和我们讲过的“夹半角”例题进行对比，要知道我们学习几何模型，并不是为了会做这个题，这只是最基础的第一步.
更重要的是通过做题掌握对条件的处理手段，45°与90°中蕴含的旋转，角平分线中蕴含的对称.给出不同的条件，决定了不同的处理手段.只记住了“45°与90°”这个特征是远远不够的，理解对条件的使用，才能真正提高几何的解题能力.。
八年级数学夹半角与手拉手模型
夹半角与手拉手模型知识点一（夹半角型）【知识梳理】1、90°夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角）2、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹（120°角不完全包含60°角）【例题精讲】1、已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝60°。
求证：BD＋CE＞DE。
2、D为等边△ABC外一点，且BD＝CD，∠BDC＝120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM＋CN＝MN, （1）∠MDN＝度；（2）作出△DMN的高DH，并证明DH＝BD；（3）在第（2）的基础上，求证：MD平分∠BDH。
3、（1）如图1、在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系； （2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=21∠BAD ，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系。
【课堂练习】1、如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的任意一点，以点A 为中心 ，把△ADE 顺时针旋转90°得△ABE 1，∠EAE 1的平分线交BC 边于点F ，求证：△CFE 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半。
2、已知：△ABC 是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D 作∠EDF=60°，分别交AB 于E ，交AC 于F ，连接EF ，（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF；（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由。
半角模型结论与应用
半角模型结论与应用江苏苏州市吴中区西浦附校（215100）吴丹［摘要］初中几何有一类图形，它是角夹着半角，通常被称为“半角模型”。
教师引导学生善于发现和应用这个模型，有助于提高学生的解题能力。
［关键词］半角；模型；应用［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）11-0034-03一、半角模型所谓“半角模型”，是由一组共端点的等线段和共顶点的倍半角组成的图形，它们的另一组角是相同两边夹角的一半，其中两种角之间有半数的关系，所以被称为“半角模型”。
有半角，可旋转可翻折，旋转的方法是以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角，旋转的条件是具有公共端点的等线段，目的是将分散的条件集中，将隐蔽的关系显现，旋转后，需证明三点共线。
“一转成双”即旋转后共旋转点的三角形全等。
二、半角模型的几种情形（一）基本模型——等腰三角形的“半角半角””如图1所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D、E在BC上且∠DAE=12∠BAC，将△ADB绕A点旋转使得AB与AC重合，得到△AFC。
对于这个模型，有以下结论：（1）△ADE≌△AFE；（2）BD+CE>DE；（3）△ABC∽△ADF。
图1分析：上面三个结论中，结论（1）由“边角边”推出，进而有DE=EF，在△ECF中，根据三角形三边关系可推出EC+CF>EF，进而结论（2）是成立的，再由∠DAE=12∠BAC，可得∠BAC=∠DAF，进而结论（3）成立。
（二）基本模型——等腰直角三角形的“半角半角””如图2所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D、E在BC上且∠BAC=90°，∠DAE=45°，将△ADB绕A点旋转使得AB与AC重合，得到△AFC。
对于这个模型，有以下结论：（1）△ADE≌△AFE；（2）BD2+EC2=DE2；（3）△BAE∽△DAE∽△CDA。
分析：此模型结论（1）依然利用“边角边”来证明△ADE≌△AFE，后可得∠ECF=90°，所以EC2+FC2=EF2，再利用三角形全等，得出结论（2），又因为∠B=∠DAE=∠ACB=45°，且有∠AEB和∠ADC是公共角，可证结论（3）。
夹半角模型
夹半角模型夹半角模型是八年级全等三角形这一章中非常重要的模型，在武汉市的期中期末和月考考试中经常出现，他的特征是90°里面夹着45°，120°里面夹着60°，60°里面夹着30°，等等，类似这样的2倍角度或者一半的角度，通常会借助截长补短的方法，构造相等的角度构造全等三角形求解，谢老师通过多年的教学经验总结出以下典型例题供大家巩固提高。
1、如图，四边形ABCD 为正方形，∠MAN=45°,求证：DN+BM=MN解答：延长 CB 到 G，使 BG=DN，连接 AG ，∵AD=AB∠ADN=∠ABG=90°BG=DN ∴△ADN≅△ABG（SAS）∴AG=AN,∠GAB=∠DAN∴∠NAG=∠BAG+∠BAN=∠DAN+∠B AN=90°∴∠MAN=∠GAM=45°，DN=BGAG=AM ∴△AMN≅AGM（SAS）∴MN=GM∴DN+BM=MN2、四边形 ABCD 为正方形，∠MAN=45°,求证：DN-BM=MN解答：在 DN 上截取 DG，使 DG=BM，连接 AG∵AD=AB∠ADG=∠ABM=90°DG=BM ∴△ADG≅△ABM（SAS）∴AG=AM,∠DAG=∠BAM∴∠MAG=∠BAM+∠BAG=∠DAG+∠BAG =∠BAD=90°∠MAN=∠GAN=45°∵AG=AM∴△AMN≅△AGN（SAS）∴MN=GN=DN-BM3、如图，四边形ABCD 为正方形，DN+BM=MN,求证：∠MAN=45°解答：延长 CB 到 G，使 BG=DN，连接 AG ，∵AD=AB ，∠ADN=∠ABG=90°BG=DN∴△ADN≅△ABG（SAS）∴AG=AN,∠GAB=∠DAN∴∠NAG=∠BAG+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°∵DN+BM=MN∴BG+BM=MN=GM在△AMN与AGM中，AG=ANAM=AMMN=GM∴△AMN≅AGM（SSS）∴∠MAN=∠GAM=1/2X90°=45°4、四边形 ABCD 为正方形，DN-BM=MN，,求证：∠MAN=45°解答：在 DN 上截取 DG，使 DG=BM，连接 AG∵AD=AB ，∠ADG=∠ABM=90°DG=BM∴△ADG≅△ABM（SAS）∴AG=AM,∠DAG=∠BAM∴∠ MAG=∠BAM+∠BAG=∠DAG+∠BAG=∠BAD=90°∵DN-BM=MN ∴MN=GN在△AMN与AGM中，AG=AMAN=ANMN=GN∴△AMN≅AGN（SSS）∴∠MAN=∠GAN=1/2X90°=45°练习题：1、△ABD 中AB=AD,∠BAD=120°,∠MAN=60°，△BCD 为等边三角形，求证：DN+BM=MN2、△ABD 中AB=A D,∠BAD=120°,∠MAN=60°，△BCD 为等边三角形，求证：DN-BM=MN3、（2017秋·武昌月考）问题背景：“半角问题”（1）如图：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长FD到点G．使DG ＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中“∠BAD＝120°，∠EAF＝60°”换为∠EAF＝1/2∠BAD．其它条件不变．如图1，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．（3）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1/2∠BAD，请直接写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系．（不需要证明）（4）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝1/2∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．日期：2019/10/8 19:00:07；用户：王小帅；邮箱：*************************；学号：33475答案：1、解答：延长 CB 到 G，使 BG=DN，连接 AG；∵AD=AB ，∠ADN=∠ABG， BG=DN∴△ADN≅△ABG（SAS）∴AG=AN,∠GAB=∠DAN∴∠NAG=∠BAD=120°∴AG=AN，∠MAN=∠GAM=60°∴△AMN≅AGM（SAS）∴MN=GM∴DN+BM=MN2、解答：在 DN 上截取 DG，使 DG=BM，连接 AG ，∵AD=AB ，∠ADG=∠ABM，DG=BM∴△ADG≅△ABM（SAS）∴AG=AM,∠DAG=∠BAM∴∠MAG=∠BAD=120°∴∠MAN=∠GAN=60°∵AG=AM∠MAN=∠GAN=60°∴△AMN≅AGN（SAS）∴MN=GN∴DN-BM=MN3、【解答】（1）答案为：EF＝BE+DF；（2）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵在△ABG与△ADF中，AB =AD,∠ABG＝∠A DF ,BG =DF，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝1/2∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（3）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG与△ADF中，AB =AD,∠ABG＝∠D,BG =DF，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（4）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，AB =AD,∠ABG＝∠A DF ,BG =DF，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝1/2∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．更多的几何模型学习欢迎扫码加谢老师微信：。
120度夹60度半角模型
120度夹60度半角模型
【最新版】
目录
1.120 度夹 60 度半角模型的概述
2.120 度夹 60 度半角模型的特点
3.120 度夹 60 度半角模型的应用领域
4.120 度夹 60 度半角模型的优缺点分析
5.120 度夹 60 度半角模型的未来发展趋势
正文
120 度夹 60 度半角模型是一种在工程领域中广泛应用的模型，该模型的特点是夹角为 120 度，并且角度为 60 度的一半。
这种模型由于其特殊的角度设计，使其在工程应用中具有很高的灵活性和适应性。
120 度夹 60 度半角模型具有很多特点。
首先，它的夹角设计为 120 度，这样的设计可以使得模型在应用中更加稳定。
其次，模型的角度为 60 度的一半，这种设计可以使得模型在实际应用中更加灵活，能够适应各种不同的工程环境。
120 度夹 60 度半角模型在工程领域中有着广泛的应用。
这种模型通常用于机械设计、建筑设计等领域，能够帮助工程师设计出更加稳定和灵活的结构。
120 度夹 60 度半角模型既有优点也有缺点。
其优点在于其特殊的角度设计，使其在应用中更加稳定和灵活。
然而，其缺点在于其制作过程比较复杂，需要进行精确的计算和设计。
未来，随着科技的发展，120 度夹 60 度半角模型在工程领域中的应用将会越来越广泛。
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夹半角的模型
3夹半角知识目标目标一：掌握夹半角的常见辅助线和常见结论；目标二：掌握夹半角模型的构造及应用模块一夹半角的模型知识导航夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。
其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。
学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．夹半角模型分类：（1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．题型一90度夹45度【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E在BC上，F在CD上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF（2）∠AEB=∠AEF．【练】在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：（1）DF-BE=EF；（2）∠AEB+∠AEF=180°．【例2】已知△ABC为等腰三角形，∠ACB=90°，M、N是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2．【练】在例2中，若M在BA延长线上，N在AB上，其余条件不变，试探究AM、BN、NM 之间的关系．【知识扩充】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，且∠EAF=45°，求证：点E为线段BC靠近B的三等分点．【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F为CD中点，点E在BC上，点E为线段BC靠近B的三等分点，求证：∠EAF=45°．【变式3】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，在CM的右侧作∠MCN=45°交BD于点N，求证：N是线段BD靠近D的三等分点．【变式4】已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，M是AD的中点，N是线段BD靠近D的三等分点，求证：∠MCN=45°．题型二120度夹60度【例3】已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．【练】如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．【拓】（汉阳12期中）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L 的关系．（1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是____________________；此时LQ =_________________；（不必证明） （2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN =2，则Q =__________（用含有L 的式子表示）题型三 2α夹α【例4】如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，BD =DC ，∠MDN =21∠BDC ，求证：BM +CN =MN ．【练】如图，在例4的条件下，若M 、N 分别为BA 延长线、AC 延长线上的点，∠BAC +∠BDC =180°，BD =DC ，∠MDN =21∠BDC ，探究：线段BM 、CN 、MN 的数量关系．模块二 夹半角模型的构造备注：以下题目可能会使用到勾股定理【例5】（2012年武珞路八上期中）如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（a ，0），B点的坐标为（b ，0），且a 、b 满足0121442=+-+-a a b a ，若D （0，4），EB ⊥OB 于B ，且满足∠EAD =45°，试求线段EB 的长度．【例6】（2014年粮道街八上期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，b ），点B （a ，0），点D （d ，0），且a 、b 、d 满足0)2(312=-+-++d b a ，DE ⊥x 轴且∠BED =∠ABD ，BE 交y 轴于点C ，AE 交x 轴于点F ．（1）求点A 、点B 、点D 的坐标；（2）求点E 、点F 的坐标；（3）如图，过P （0，-1）作x 轴的平行线，在该平行线上有一点Q （点Q 在点P 的右侧）使∠QEM =45°，QE 交x 轴于点N ，ME 交y 轴的正半轴于点M ，确定PQMQ AM -的值．【例7】点A （a ，0）、B （0，b ）分别在x 轴、y 轴上，且0962=+-+-a a b a ． （1）求a ，b 的值（2）如图1，若线段AB 的长为23，点C 为y 轴负半轴上的一点，且射线CA 平分△AOB 的外角∠BA x ，求点C 的坐标．（3）如图2，取点D （0,2）并连接AD ，将△AOD 烟直线AD 折叠得到△ADE ，过点B 作y 轴的垂线BF 交射线DE 的延长线于F 点，连接AF ，求BF 的长．第3讲 【课后作业】 夹半角1．（2015年洪山区八中期中）如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△AB 1E ，∠EA 1E 的平分线交BC 边于点F ，求证：△CFE 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半．2．如图△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，则△AMN 的周长为__________．3．已知如图，五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°． 求证：（1）AD 平分∠CDE ； （2）∠BAE =2∠CAD ．4．如图，平面直角坐标系中，已知A （a ，4）、B （b ，0），且满足09612=+-+-b b a（1）求A 、B 两点的坐标（2）若点A 在第一象限内，且△ABC 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．（3）如图，点N （1，0）、R （4，3），点P 为线段AN 上的一动点，连接PR ，以PR 为一边作∠PRM =45°，交x 轴于点M ，连PM ，请问点P 在运动的过程中，线段PM 、AM 、BM 直线有怎样的数量关系，证明你的结论．。
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夹半角模型及应用
方法与技巧：
夹半角问题是通过旋转对除半角外剩余的角进行拼凑，从而产生一组旋转全等和一组轴对称全等来解决。
在实际解题过程中，添加辅助线的方式与截长补短相同。
强化练习：
模型1：90°角夹45°角
1、如图：正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以A 为顶点作∠EAF=45°，交CD 于点F ． 求证：①EF = BE+DF ②AE 平分∠BEF
2、如图：正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以A 为顶点作∠EAF=45°，交CD 于点F ． 求证：①EF = BE-DF ②∠AFD+∠AFE=180°
F
A
C
B
D E
45
F
E
D
C B A
模型2: 120°角夹60°角
3、如图：四边形ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=120°，E 、F 分别是AB ，AD 上的点，∠ECF=∠A=60°． 求证：①BE+DF=EF ②点C 在∠BAD 的平分线上
模型3: 2a °角夹a °角
4、如图，在四边形ABCD 中， AB ＝AD ，∠B+∠D＝180°， E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且2∠EAF ＝∠BAD， 求证: ①BE+DF=EF ②CE 平分∠BEF
F
E D
C
B
A。