《几何光学》球面几何
第三章几何光学球面反射折射物像公式
例3.4:
一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在 离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
[解]：两次折射成像问题。
n
P
O1
n
P’1 n` O 2
1、P为物, 对球面O1折射成像P1’
已知 : s1 5cm , r1 2cm , n 1, n ' 1.6 n n n n 由折射成像公式 ' r1 s1 s1
沿轴线段
A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。 （注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
2
r
2
s r
'
2
2 r s ' r cos
光程 PAP ' nl nl ' n
r 2 r s 2 2 r r s cos r
2
n
s r
'
2
2 r s r cos
1、高斯公式：
球面反射 : f ' f 1 1 2 ' s s r
六、理想成象的两个普适公式
n' n n' n 将物像公式 ' 变形为 : s s r n' n r r ' ' ' f f n n n n 1 1 ' ' s s s s
第三章几何光学的基本原理-卓士创($5-6)
其中：
(17)——横向放大率
(18)——角度放大率
(16)
推广：对于共轴光具组,理想成像应满足亥——拉定理,即
(19)
小结
一、 近轴物近轴光线条件下的球面反射
(1) 物象公式
(11)
(2) 横向放大率
(12)
二、近轴物近轴光线条件下的球面折射
（1）物象公式
(13)
（2）横向放大率
(14)
倒立象 ;
（2）公式：
（8）
由图知：
所以有：
近轴光线、近轴物物件下！
（9） ——也适用于单个球面
将
、
代入上式有：
说明：
（1）
，表示放大；
，表示等大；
（2） 对实物而言： ，表示像相对物正立；
对虚物而言： ，表示像相对物倒立；
（10）
，表示缩小。 ，表示像倒立。 ，表示像正立。
参图
小结
一、近轴条件下的薄透镜成像公式
已知： f1’= -f1 =2cm， f2’=-f2=2cm ， -r =8cm。试求：(1) d12= 5cm， d23= 10cm，-s2 =1cm ，叉丝P经光学系统成像的位置: S1’ (经L1) 、 S2’ (经L2) 、 S3’ (经L3) 、 S4’ (回经L2) 、 S5’ (又经L1) =? (2)当d12= 5cm时，目镜L1能成1个清晰叉丝像， d23=?
令
球
令
——球面折射公式（2）
面
反
射
令焦距
公
式
⑸
——球面折射公式（3）——高斯公式
由
、
——球面折射公式（4）——牛顿公式
例题3.4 一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长为20cm，两端的曲 率半径为2.0cm．若在离哑铃左端５.0cm处的轴上有一物点，试 求像的位置和性质。
几何光学 第二章 球面和球面系统
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
第十四章几何光学
C4
构成共轴球面系统。
各曲率中心所在直线称为共轴球面系统旳主光轴。 1．逐一球面成像法
前一种球面出射旳光束对后一种球面来说是入射 光束。所此前一种球面所成旳像就是后一种球面旳物， 依次应用单球面折射公式，逐一对各球面成像。最终 求出经过整个系统所成旳像。
【例14-2】
玻璃球(n=1.5)半径为r =10cm，一点光源放在球前 40cm处，求近轴光线经过玻璃球后所成旳像。
解：u =1m，n1 = 1.33，n2 = 1，r =∞
代入公式 n1 + n2 n2 - n1 得 uv r
1.33 + 1 0 1v
解得
v =－0.752m
像为虚像，位置水面下0.752米处。
二、共轴球面系统
两个或两个以上
n1
n2
n3 n4 n5
旳折射球面旳曲率
中心在一条直线上，
C2 C1 C3
第十四章 几何光学
以几何定律和某些基本试验定律为基础旳光学称 为几何光学。
一、几何光学旳基本定律： 1、光在均匀介质中旳直线传播定律。 2、光经过两种介质分界面时旳反射定律和折射定律。
折射定律：n1 sin i1= n2 sin i2 3、光旳独立传播定律和光路可逆原理。
第一节 球面折射
一、单球面折射
b tanb h h v-d v
1、单球面 折射式(14-
1)
n1 + n2 n2 - n1 uv r
(14 -1)
上式称为单球面折射公式，它描述了单球面折 射在近轴光线条件下物距与像距旳关系。
注
意 公式中n1为入射光线所在介质旳 折射率，n2为折射光线所在介质旳折 射率。
2、符号规则
几何光学
第十一章 几何光学§11-1 球面成像一、单球面折射当两种不同折射率的透明媒质的分界面为球面的一部分时，所产生的折射现象称为单球面折射。
应用此公式时应注意：1、符号规则实物、实像到折射顶点的距离p 、p ’ 取正；虚物、虚像到折射顶点的距离p 、p ’取负；凸球面对着光线r 取正；反之取负。
2、n 1为入射光线所在空间的折射率，称物方折射率； n 2为出射光线所在空间的折射率，称像方折射率。
3、近轴光线，否则不能会聚同一点。
二、焦度Φ、焦点F 、焦距fΦ=-=11211n r n n n fΦ=-=21222n r n n n f3、高斯成像公式给定折射球面（f 1、f 2、),成像公式可变为如下形式r n n p n p n 12'21-=+D rn n 单位为屈光度焦度,12-=Φ11'21'2112'21=+=+=-=+pf p f p n p n r n n p n p n φφφ4、平面折射、视深对平面折射（r=∝),像距p ’,称视深。
p n n p 12'-=二、共轴球面系统 coaxial spherical system两个或两个以上的折射球面的曲率中心在同一直线上的折射系统，称共轴球面系统，简称共轴系统。
采用依次成像法 等效光路法§11-2 透镜透镜：两个折射球面的共轴系统类型：形状分凸透镜、凹透镜功能分会聚透镜、发散透镜薄透镜：厚度d<<物距p,像距p’、半径r 的情形一、 薄透镜公式薄透镜的焦度公式凸透镜f>0 凹透镜f<0应用此公式时应注意同上二、薄透镜组合 f p p r r n n n f r r n n n p p 111)]11)([(1)11)((11'21002100'=+--=--=+得高斯成像公式)],11)([(2100r r n n n --=Φ焦度两个或两个以上的薄透镜组成的共轴系统。
第三章几何光学2
0 2、可表示像的虚、实： 0
实像； 虚像。
0 3、可表示像的正、倒： 0
倒像； 正像。
§6 光连续在几个球面界面上的折射、虚物 6· 共轴光具组： 1 定 义：一光学系统中，所有球面的顶点均位于同一公共 轴线上，该系统称共轴光具组。
P1
P2′ P1′
P4′
对PAC和P`AC应用正弦定理可得： PC AC sin i sin u P`C AC sin i` sin u`
AC r , PC s r r s, P`C r s` s`r
rs r sin i sin u s`r r sin i` sin u`
A
i P -u C
i i`
-i`
r s sin u s`r sin u`
-s
-u` P` -s` O
sin u sin u s` s r 1 sin u` sin u`
n— 物方介质折射率； n`— 像方介质折射率 n` f ` s` r 令 s = －∞ 得 ——像方焦距 n`n
令 s` = ＋∞ 得
折射球面特点：f`/f =－n`/n ，两焦距数值不等，两焦点 位于球面两侧不同空间。
n f s r n`n
——物方焦距
5· 理想成像的两个普适公式： 6
同球面反射一样，对 PAC和P`AC应用正弦定理得： PC AC P`C AC sin i1 sin u sin i2 sin u `
n -u P -s
-i1 A -i2
n` u`
O
r
C s`
P`C AC sin i2 sin u `
第四讲《光学》--几何光学的基本原理
14
例1、一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m 处，凹球面镜的曲率半径为0.20m，试确定像 的位置和性质（虚像，实像）。
解：若光线自左向右进行，这时 • • 由近轴物像公式式： • •
• 所成的是在凹面镜后0.10m处的一个虚像。
15
例1、一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m 处，凹球面镜的曲率半径为0.20m，试确定像 的位置和性质。
n' f ' r n ' n
n ' n n ' f' r
O
F
C
n
n’
r
f’
22
F’
-f
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
物方焦点F : 与光轴上无穷远处像点对应的物点 物方焦距f ：与物方焦点对应的物距。 物方焦平面：过F点垂直于光轴的平面。 物方焦距：
1 2 1 2
n '[(r )2 (s r )2 2(r )(s r ) cos ]
17
四、球面折射对光束单心性的破坏
Fermat原理
n n 1 ns ns ( ) l l r l l
s 随 而变，光束的单心性被破坏。
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式 在近轴条件下，值很小
对于r一定的球面，只有一个s’与s对应，即存 在一个确定的像点，这个像点是一个理想的像 点---高斯像点
C
o
13
三、近轴光线条件下球面反射的物像公式
当
s ,
r 得 s ' f ; 2
凹面镜 r 0, 凸面镜 r 0,
f 0; f 0.
第十一章 几何光学
用f1 、f2表示近轴光线的单球面折射公式：
n1 p
n2
r n1
n2 p'
n2
r n1
1
f1 f2 1 p p'
此式为近轴光线单球面折射成像 的高斯公式
10
例题11-1 某种液体（n=1.3）和玻璃(n=1.5)的分界面是球面。在 液体中有一物体放在球面的轴线上，离球面40cm处，并在球面 前32cm 处成一虚像。求球面上的曲率半径，并指出哪一种介质 处于球面的凸面。
球面成像 透镜 眼 放大镜
第一节 球面成像
一、 单球面折射
光从一种介质进入另一种介质，并且这两种不同折射 率的透明媒质的分界面为球面的一部分时，所产生的 折射现象称为单球面折射。
单球面折射是研究各种光学系统成像的基础
3
单球面折射模型
n1 i1
M
A
n2
O
i2
P
Cபைடு நூலகம்
N r
p
p′
图11-1 单球面折射
1 1 1 20 p' 40
p′ =40cm （实像）
30
两薄透镜紧密粘合在一起，组成复合透镜，复合透镜的厚度 仍可忽略，所以通过透镜组后所成像的位置，用薄透镜公式 及依次成像法求出。
O
C1 C2 I
p1=p
p2′=p′ p1′= -p2
I1
31
对第一透镜p， p1′ ，则：
1 1 1
p
n1 n2 n2 n1 f2 r
f2
n2 n2
n1
r
9
f1 、f2为正时，F1 、 F2是实焦点（会聚作用）。f1 、f2为负 时，F1 、 F2是虚焦点（发散作用）。
几何光学的基本原理3.3
1 l
1 l
1 r
(
s l
s l
)
考虑近轴光线,进一步得到
1 s
s：物距
1 s
2 r
r：曲率半径
s'：像距
它的成像规律与介质无关．
令 令
s ,
s Байду номын сангаас ,
2 r 得 f , 2
得 f
r
;
f f
r 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 . 凹面镜
3.3 光在球面上的反射和折射
1、球面的几个概念 符号法则
球面顶点：O 球面曲率中心：C 球面曲率半径：r 球面主轴(光轴)：连接O、C而得的直线。 主截面：通过主轴的平面。
C
r
O
主轴
光轴 ---光学系统的对称轴
光轴
近轴光线---与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
黄线—近轴光线
绿线—非近轴光线
1. 符号规则(sign convention)
-s = -x-f s’ = x’+f’
xx' ff '
牛顿成像公式
例1、一个折射率为1.5的玻璃球，半径R，置于空气 中。在近轴成像时，问： （1）无穷远处的物成像在何处？ （2）物在球前2R处，成像在何处？
n=1.5
P1’ O2
R s2 ’ s2 s1 ’ P’
P -s1
O1
n=1.5
解：
n' s' n s n' n r
-s1
O1 R
O2 P’ s2 ’ s2 s1 ’
理解几何光学中的球面折射与成像
理解几何光学中的球面折射与成像光学是物理学的一个重要分支，研究光的传播、反射、折射和成像等现象。
在光学中，球面折射与成像是一个重要的概念，它涉及到光线在球面上的传播和折射，以及由此产生的成像效果。
理解球面折射与成像对于我们认识光学现象和应用光学原理具有重要意义。
首先，我们来了解一下球面折射的基本原理。
当光线从一种介质射向另一种介质时，由于介质的折射率不同，光线会发生折射。
而当光线射入球面时，由于球面的曲率，光线会发生弯曲。
这种现象就是球面折射。
球面折射的基本原理可以用斯涅尔定律来描述，即光线在折射时入射角和折射角之间的关系满足sinθ1/sinθ2=n2/n1，其中θ1为入射角，θ2为折射角，n1和n2分别为两种介质的折射率。
在理解了球面折射的基本原理后，我们可以进一步探讨球面折射对成像的影响。
当光线通过球面折射后，会发生折射点的偏移和成像的变化。
具体来说，对于一束平行光线射入球面，经过折射后，光线会集中到球面的一个焦点上。
这个焦点就是球面的主焦点，它是球面折射后光线汇聚的位置。
而对于一个物体，当光线经过球面折射后，会在另一侧的球面上形成一个像。
这个像的位置和形状取决于物体的位置和球面的曲率。
当物体位于球面的主焦点上时，成像会出现在无限远处，形成一个实像。
当物体位于主焦点和球面之间时，成像会出现在球面的另一侧，形成一个放大的虚像。
当物体位于主焦点和球面之外时，成像会出现在球面的同一侧，形成一个缩小的虚像。
除了主焦点外，球面还具有次焦点和次主焦点。
次焦点是光线平行射入球面后汇聚的位置，次主焦点是光线从球面射出后汇聚的位置。
次焦点和次主焦点的位置和主焦点相对应。
当光线从球面射出时，会经过次焦点或次主焦点，然后发散出去。
这种现象在实际应用中有着重要的意义，比如在望远镜和显微镜中，通过调节物镜和目镜之间的距离，可以使光线从球面射出，从而实现放大或缩小的效果。
理解球面折射与成像对于我们认识光学现象和应用光学原理具有重要意义。
几何光学基础—球面透镜成像(眼镜光学技术课件)
y l r nl
y
l -r
nl
一、单球面成像放大率
y nl
y nl
• 当 β<0 时，l与l’异号，即物、像分居折射面两侧；
此时表示成倒像，像的虚实与物一致，即实物成实
像或虚物成虚像。
• 当 β>0时，l与l’同号，即物、像分居折射面同
侧；此时表示成正像，像的虚实与物相反，即实
l' l
r
n2 n1
u2 u1
l 2 l1 d
眼轴长计算
转面公式
利用转面公式，求出第一面
到最后像面之间的距离
教学目的
思政元素
专业、敬业、精益求精
教学目标
掌握单球面放大率的计算方法
掌握共轴球面系统放大率的计算方法
知识目标
单球面放大率的计算方法
共轴球面系统放大率的计算方法
2
PART
03
眼轴长度计算
一、眼睛光学结构参数
角膜
曲率半径
折射率
厚度
房水
晶体
玻璃体
前
后
前
后
7.8
6.8
10.0
-6.0
1.376
1.336
1.406
0.5
3.1
3.0
1.336
二、眼轴长度计算
• 角膜前表面成像
n角膜 1 n角膜 1
l1
r1
• 角膜后表面成像n角膜Fra bibliotekl1
n角膜 1
1 2
l2 l1
n
。
一、单球面成像放大率
第十一章 几何光学
（3）如果从折射点到曲率中心的方向，与折射光线的方向相 同曲率半径r为正，反之r为负。
25
2 、2 、薄透薄镜透镜的的焦焦距距(fo和cus焦)和度焦度(degree focus)
如透镜前后媒质相同则焦距
解：
n1=1.3
n2=1.5
O
I
P
p′
p 11
n1=1.3, n2=1.5, p= + 40cm, p′= -32cm, 代入球面成像公式，有
1.3 1.5 1.5 1.3 40 32 r
解得曲率半径为
r = -13.9 cm.
由于 r 是负的，说明凹面对着入射光线，即玻璃处于折射面 的凸侧。
20
按结构分类
凸透镜 (convex lens)
薄
中间厚 边缘薄
透
镜
凹透镜 (concave lens)
中间薄 边缘厚
21
透镜种类(按光学性质分): 会聚透镜 发散透镜
如果组成透镜材料的 折射率大于镜外介质 的折射率
凸透镜 凹透镜
22
一、薄透镜成像公式
1、薄透镜成像公式
n
<< r
n0
n0
O
之，若是入射光线对着凹球面，则r取负值。
规定：
（1）如果从物点到折射点的方向，与入射光线的方向相同，该物
称为实物，物距p为正。反之物为虚物，物距为负。
（2）如果从折射点到像点的方向，与折射光线的方向相同，
该像称为实像，像距p′为正。反之像为虚像，像距为负。
（3）如果从折射点到曲率中心的方向，与折射光线的方向相同，
几何光学基本定律球面反射和折射成像
P
P
CF
凹面镜： 物距：P>R 像距：R/2(f)<p’<R 倒立缩小实像
P CPF
凹面镜： 物距：f<P<R 像距：p’>R 倒立放大实像
几何光学基本定律球面反射和折射成像
C F P P
凹面镜： 物距：0<P<f: 像距：p’<0 正立放大虚像
P
P F C
凸面镜： 物距：任意值 像距：-f<p’<0 正立缩小虚像
n21
sin i sinr
v1 v2
绝对折射率：一种介质相对于真空的折射率 n c v 。
设
c n1 v1
c n2 v2
n 21
v1 v2
n2 n1
n1sinin2sinr 几何光学基本定律球面反射和折射成像
几种介质的折射率:
介质 金刚石 玻璃 水晶 岩盐
冰
折射率 2.42
1.50 ~ 1.75 1.54 ~ 1.56
发散光入射凸面镜： 总是成虚像 P
几何光学基本定律球面反射和折射成像
R
P
C
符号法则：
物点 P 在镜前时，物距为正；物点 P 在镜后 时，物距为负。
像点在镜前时，像距为正；像点在镜后时， 像距为负。
凹面镜的曲率半径 R 取正，凸面镜的曲率半 径 R 取负。
实正虚负!
几何光学基本定律球面反射和折射成像
i i
几何光学基本定律球面反射和折射成像
11-1-3 光的折射
折射定律： ⑴ 折射光线总是位于入射面内， 并且与入射光线分居在法线的两 侧；
i i v1 n1
n2
r v2
几何光学基础 球面透镜成像 镜片顶焦度、球镜片联合
• 在眼镜的配制过程中，需要根据镜片和镜架的具体情况，
进行镜片形式的优选组合，因而要设计合理的镜片形式。
• 通常先选定一面作为镜片的基准面（或称基弧），基
弧一旦确定，镜片的弯曲程度（形式）就确定了，这
时镜片的另一面度数要随着基弧的变化而变化。
• 正镜片基弧在后面，负镜片基弧在前面。
• 镜片的顶焦度是指镜片顶点到焦点距离（单位
m）的倒数
• 顶焦度又分为前顶焦度和后顶焦度
我们通常所说的镜片的度数（或镜片包装
袋上所示的度数）是镜片的后顶焦度。
一、镜片屈光力与顶焦度
• 前顶焦度F0：从镜片前表面的顶点到镜片的第一焦点距
离的倒数叫做镜片的前顶焦度。
• 后顶焦度F0’：从镜片后表面的顶点到透镜的第二焦点
• 薄镜片，镜片的两个屈光力和镜片屈光力只要满足公式
F F1 F2
• 厚镜片要受到厚度的影响，需满足公式
F F1 F2
t
F1F2
n
三、镜片的形式转换
例：一个厚镜片+8.00DS，n=1.50，t=10mm，如
果基弧做成 -1.00D，问前面应做成多少度？如果基
弧做成-4.00D，前面又应做成多少度？
教学目的
思政元素
专业—敬业、细心—耐心
教学目标
掌握镜片度数的概念
镜片联合后的屈光力
知识目标
镜片屈光力与顶焦度的关系
镜片联合后的屈光力
镜片的形式转换
能力目标
掌握镜片屈光力与顶焦度的关系
会进行镜片的形式转换
一、镜片屈光力与顶焦度
• 镜片的屈光力是指镜片焦距（单位m）的倒数，
焦距是镜片的主点到焦点之间的距离
几何光学
1
会聚透镜的光焦度为正，>0（f>0） 发散透镜的光焦度为负，<0（f<0）
例 求图中凸透镜的焦距.设透镜的折射率为1.5, 置于空气中.
n0=1
n=1.5
n0=1
解： （1）设光线射向凸面
R 30cm
1 1 f (n 1)( ) r1 r2
1
r1 30cm
1 1 f1 (1.5 1)( ) 30
1
r2
60cm
n0=1
n=1.5
n0=1
（2）设光线射向平面
R 30cm
1 1 f (n 1)( ) r1 r2
1
r1
r2 30cm
1
1 1 f 2 (1.5 1)( ) 30
1、薄透镜概述
2、薄透镜成像公式 3、焦点、焦距、成像公式的高斯形式 4、光焦度
1、薄透镜概述
透镜：是共轴球面系统中最简单的一种， 由两个有规则表面的透明介质组成。最常 见的两个表面是球面，但也有柱面、椭球 面等其他形式。 根据透镜几何形状分为： 凸透镜、凹透镜 根据透镜对光线的作用：会聚透镜、发散 透镜
当OA为近轴光线时，其入射角i1和折射角i2也很小， 有：
i1 sin i1 , i2 sin i2
n1 O
i1 P
M A i2 C
n2 I
u
N
r
v
• 入射线OA和折射线AI所满足的折射定理为：
n1 sin i1 n2 sin i2 n1i1 n2i2
n1 O
n1 n2
F1
n1 n2 n2 n1 u v r
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球面几何
❖为什么要研究球面几何呢？
因为人类生活在地球上，而地球的表面非常接近于一个球面。
在科学技术不太发达的时代，人类的活动范围非常有限，人们把大地理解成一个平面。
在测量土地、计算面积时用平面几何知识就可以了。
但是，航海技术发展起来以后，人们逐渐了解到大地不是一个平面，仍然用平面几何的知识来计算航海路线将会产生很大的误差。
因此需要了解球面几何图形的性质, 即球面几何的知识。
除了航海，在大地测量、天体观测、航空以及卫星定位等各方面都需要利用球面几何的知识。
所以，球面几何是一门实用性很强的学科。
•、平面几何与球面几何的类比
•平面几何与球面几何的类比主要从两个方面来进行：
、
(1)概念的类比；
(2)性质的类比。
(1)概念的类比
•平面上两点的距离：过这两点之间的线段长度。
•球面上两点的距离：通过A、B两点的大圆上以A、B为端点的劣弧的长度。
对于球面上的任意两点，在数学上可以严格证明过这两点的大圆的劣弧长度是最短的。
应该把大圆上这段劣弧的长度看作是这两点的距离。
k-、
(1)概念的类比
(1)概念的类比
❖平面直线：
直线没有端点，向两个方向无限
延伸。
•:•球面直线：过球面上两点A、B的大圆叫作过
A、B两点的球面直线。
大圆是封闭的、有限
•:•平面上的线段：直线上两点以及这两点之间的部分。
•:•球面上的线段：过球面上两点A、B的大圆的劣弧叫做连接A、B两点的线段。
(1)概念的类比
•:•平面角：过平面上一点A的两条射线AB、AC 形成的图形叫做角。
•:•球面角：从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫做球面角。
(1)概念的类比
•:•平面三角形：在平面上，如果三点不在同一条直线上，那么连结三点的线段组成的图形叫做三角形.
•:•球面三角形：在球面st,如果三点不在同一个大圆上，并且三点中没有对径点，那么由连接三点的大圆的劣弧组成的图形叫做球面三角形。
相同的性质：
(2)性质的类比
•两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(证明在下页)
❖边角关系：大角对大边；大边对大角。
❖三角形的全等的判定：SSS , SAS, ASAo
寿设球面三角形ABC 的三条边为a, b, c,球心 为
O,那么O ・ABC 是一个三面角，因
为
' 根据三面角的性质，可以直接得 到下面的性质：
a + b> c.
b + c> a.
c + a>b.
a — —上 BOC ，
b — Al = ZCOA,
c — 22
=
ci — b V c, c — a < b.
(2)性质的类比
不同性质：
•:•［平面上的任意两条直线相交或平行。
』球面上任意两条直线都相交。
打平面三角形的内角和等于180度。
•:・［球面三角形的内角和大于180度。
(2)性质的类比不同性质：
•:•［平面三角形相似的判定：AAAo 彳
•:」球面三角形全等的判定：AAAo
(2)性质的类比
a~ =b~ +c~ — 2bc cosZA < b~ =a- +c 2 -2accosZB c~ = a 2 +b 2 -2ab cosZC r cosa= cosbcosczh sinbsincccsZA
< cosb=cosccosal-sincsinacc8ZB
cosc= cosacosbi- sinasinbccsZC
•球面三角形角的余弦定理：
▼
cosZA = -cosZBcosZC + sinZBsinZCcoa
< cosZB = -cosZCcosZA + sinZCsinZAcob
不同性质：
•平面三角形的余弦定理:
•球面三角形边的余弦定理:
(2)性质的类比cosZC = -cosZAcosZB + sinZAsinZBcoc
(2)性质的类比不同性质
•平面三角形的正弦定理：
sinNA sinZ^B
ab
•球面三角形的正弦定理：.sinZC
sinC sine
(2)性质的类比
sin A _smB sin a sin b
不同性质：
•:•平面三角形的面积：底边长乘高线长的一半。
•:•球面三角形的面积：球面三角形的面积等于其内角和减去，其中A、B、C为单位球面上三
(2)性质的类比角形的三金内角(弧度制)。
计算以北京、上海、重庆为顶点 的球面三角形的边长和的面积。
解：根据地理知识，北京位于北纬39。
56\东经116。
20\上海位于北纬31 ° 14\东 经121。
29\重庆位于北纬29° 30\东经106° 30\地球半径为R=6400km o 如图所 C 为重庆。
在球而三角形NBC 中，
=型龙 0.87x7? = 5.6x10%加
180 —-=(cos 0.87)-(cos 1.06) + (sin 0.87)-(sin 1.06) (cos 0.17) R ， 可以求出 BC0.247? = 1.5xlO 3to ，同理可得：
BS a0.16/? = 1.0x10%”，CS a0.22R = 1.4x10%〃?' ❖ 解球而三角形BSC,仍然利用边的余弦定理，cos0・22 = cos0・24cos0・16+sin0・24sin0・16cosZC3S ,
❖
可以求出ZCBS5.il 弧度，同理ZBSCL34弧度，ZSCB5.71弧度。
所以球面三角形BSC 的面积为 ❖ (1.11 + 1.34+0.71-^)/?2=7.5X 105^?2。
】、应用
示，设N 为北极点，B 为北京，S 为上海，
弧度, 乙BNC = 116.3°-106.亍=9.8° «0.17 ,
NC 二空兀％ Rai ・06x/? = 6.8x10咲加
180
1、整个教材的安排
球面几何
球面上的三角形欧竝公式与徵几何
四、教学难点
1）几何直观、空间想象能力。
2）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
• 3)极三角形：已知球面三角形ABC,现在对每条边各选择一个极点使得d(A,A'),d(B,B')^d(C,C')都小于今o我们把球面三角形A8C，叫做球面三角形ABC 的球极三角形，简称极三角形。
四、教学难点
利用极三角形证明AAA判定定理。
证明：假设在同球面或等球而上，有两个球而三角形ABC和DEF,已知它们的对应角相等, 即ZA = ZD,ZB = ZE,ZC7Zg设球面三角形ABC和DEF的极三角形分别是和ABC ,
那么三角形与它的极三角形之间的关系，有
a =TT-ZA d‘ =兀一乙D b'=兀一ZB d =兀-ZE c =TT-ZC f'=兀一乙F
四、教学难点
所以，N 二d‘ b—c f = f
根据“SSS”，球而三角形A'B'C'= 球而三角形DEF o
所以，ZA f = ZD： ZB f = Z£, AC = ZF。
又根据球面三角形与它的极三角形之间的关系，有
f b = 7T—/B' e^7V-AE r c =兀—乙C / = U = d = 7V-AD
助以，a = d b — e c = f
再根据“SSS”，则球面三角形ABC= 球而三角形A'B'C' O。