西南交通大学概率论和数理统计第五次作业答案

8. 设 总 体 X N(, 4) ， 有 样 本 X1, X2, , Xn ， 求 当 样 本 容 量 n 为 多 大 时 ， P{| X | 0.1} 0.95 。
3
西南交通大学 2019—2020 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
解：因为 X n
N (0,1) ，所以
9. 设 X1, X 2,, X5 是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个 Xi i 1,2,,5都服从
N
0,1
。（1）试给出常数 c
，使得
c
X12
X
2 2
服从 2 分布，并指出它的自由度；（2）试给
出常数 d ，使得 d X1 X 2 服从 t 分布，并指出它的自由度。
X
2 3
X
2 4
11. 设 X1, X 2 ,, X n 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从参数为 的泊松分布，其
中 未知， 0 ，求 的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值：
X
0 1 2 34
频数 17 20 10 2 1
求 的矩估计值与最大似然估计值。
解： EX ，故 的矩估计量 ˆ X 。
X
另，X 的密度函数为
f X x
e x 0
x 0 x0
故似然函数为
L
对数似然函数为
n
en
Xi
i 1
0
X i 0, i 1,2,, n 其他
ln
L
n
ln
n
X
i
i 1
d
ln L
d
n
n
i 1
Xi
0
解得 的最大似然估计量 ˆ n 1 。
n
Xi
X
i 1
可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
对数似然函数为
ln
L
n
n
i 1
X
i
ln
n
i 1
lnX
i
!
n
d ln L n
Xi
i 1
0
d
n
Xi
解得 的最大似然估计量 ˆ i1 X ，故 的最大似然估计值 ˆ 1 。 n
12. 设 X1, X 2 ,, X n 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从区间 0, 的均匀分布，其
ˆ1
1 6
X1
1 3
X2
1 2
X3, ˆ2
2 5
X1
1 5
X2
2 5
X3
都是总体均值 的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。
证明：
Eˆ1
E
1 6
X1
1 3
X
2
1 2
X3
1 6
E
X1
1 3
E
X
2
1 2
E
X
3
1 6
1 3
1 2
E
X
E
X
，
E
ˆ2
E
2 5
X1
1 5
X
2
2 5
X3
，
2 5
E
解：根据习题 11 的结果， 的矩估计和最大似然估计量都为 1 ，故平均时间间隔的矩 X
估计和最大似然估计都为
1 ˆ
，即为
X
。
由样本观测值可算得 X 1 1.8 3.2 4 8 4.5 2.5 4 。
6
17. 设 X1, X 2 , X 3 为总体 X ~ N , 2 的样本，证明
2. 一保险公司有 1 万个投保人，每个投保人的索赔金额的数学期望为 250 元，标准差 为 500，求索赔金额不超过 260 万元的概率。
解：设第 i 个投保人的索赔金额为随机变量 X i (i 1, 2, ,10000) ，则 X1, X2, , X10000
独立同分布，且 E(Xi ) 250 ， D(Xi ) 5002 (i 1, 2, ,10000) ，
解：用 Xi 表示居民每户每日的用电量，则 Xi 的密度函数为：
从而： 令 X 表示该地区居民的用电量，则 所以：
于是若设供电站每天至少应供应 n 度电，则
2
西南交通大学 2019—2020 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
6. 机器包装某种面包时，每袋面包的净重为随机变量，平均重量为 100 克，标准差为 10 克。一箱内装 200 袋面包，求一箱面包的净重大于 20500 克的概率。
f x
2x 2
0 x 其他
0
其中 0 未知，求 的矩估计。
解：
EX
0
x
2x dx
2
2 3
，令
2 3
X
，故
的矩估计量为ˆ
3 2
X
。
14. 设 X1, X 2 ,, X n 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为
f x
1x 0 x 1
0
其他
其中 0 未知，求 的矩估计和最大似然估计。
X1
1 5
E
X
2
2 5
E
X
3
2 5
1 5
2 5
E
X
E
X
所以 ˆ1, ˆ 2 都是总体均值 的无偏估计，又
7
西南交通大学 2019—2020 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
Dˆ1
D
X1 6
X2 3
X3 2
1 36
D
X1
1 9
D
X
2
1 4
D
X
3
1 36
1 9
1 4
D
X
7 18
D
X
7 18
2
，
D
ˆ2
D
2 5
X1
1 5
X2
2 5
X3
，
4 25
D
X1
1 25
D
X
2
4 25
D
X3
9 25
解： EX 01 x
1x dx
1 2
，令
1 2
X
，故
的矩估计量为ˆ 1 2X X 1
，
另，似然函数
L
对数似然函数为
1n
n
X
i
i 1
0
0 Xi 1 其他
ln
L
n ln
1
n
ln
Xi
i 1
，
d
ln L
d
n 1
n
ln
i 1
Xi
0
6
西南交通大学 2019—2020 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
10000
索赔总金额不超过 2600000 元可表示为事件{ Xi 2600000}，由中心极限定理有 i 1
10000
P{
i 1
Xi
2600000}
(2600000 10000 250) 10000 500
(2)
0.9772
。
3. 某单位设置一电话总机，共有 200 个电话分机，若每个分机有 5%的时间要使用外线 通话，假设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机要有多少条外线才能保证每个 分机正常使用外线的概率不小于 90%？
X
2 5
解：（1）易见，X12
X
2 2
即为二个独立的服从
N
0,1
的随机变量平方和，服从
2
2
分
布，即 c 1；自由度为 2。
（2）由于
X1
X2
~
N 0, 2
，则
X1
X2
~
N 0,1 ， 又
X
2 3
X
2 4
X
2 5
~ 23
，
2
X1
X2
与
X
2 3
X
2 4
X
2 5
相互独立，则
2
X1 X 2 2 ~ t3 ，即 6 X1 X 2 ~ t3，
pn
1
p Xi n i 1
，对数似然函数：
ln
Lp
n ln
p
n
i1
Xi
n ln1
p
n
d
ln
L p
n
i 1
Xi
n
0
dp p 1 p
解得 p 的最大似然估计量为 pˆ 1 。
X
16. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布 E ，其中 0 未知，现在观测到
六个时间间隔数据（单位：s）：1.8、3.2、4、8、4.5、2.5，试求该路口车辆经过的平均时间 间隔的矩估计值与最大似然估计值。
解：设死亡人数为 X , X ~ B3000,0.001，保险公司亏本当且仅当 2000X 10 3000，
即 X 15 。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为
PX 15 P
X np
np1 p
15 np
np1 p
p x 3 15 3 3 0.999 1.73
1 6.93 0
解：设电话交换台每小时呼叫次数为 X ，在每小时每户用线的概率 P 0.03，由泊松
分布近似可取 np 20000.03 60 ，因此， X 服从参数 60 的泊松分布。
设要求的最小线路数为 m ： P{0 X m} 0.99
E(X ) 60 ， D(X ) 60
由泊松分布的正态逼近可得：
解：设箱中第 i 袋面包的净重为 Xi，则 Xi 独立同分布，