列一元二次方程解应用题的一般步骤
用一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题【知识要点】1. 列方程解应用题的一般步骤：（1）审题。
了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。
（2）设未知数。
一般情况下求什么设什么为未知数。
（3）列方程。
根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。
（4）解方程。
灵活运用一元二次方程的四种解法。
（5）验根。
检验一元二次方程的根是否满足题意。
（6）答。
作答。
2. 一元二次方程应用题常见题类型： （1）数字问题。
（2）与面积有关的几何问题。
（3）平均变化率问题。
（4）经营问题。
（5）行程为题。
（6）工程问题。
【经典例题】1、平均变化率问题：平均变化率问题的公式A=a （1+x ）na 为变化前的基数，x 为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n 为变化次数，A 为变化后的量。
例1：某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x ，则列方程正确的是（ ）A 、1199)1(8992=-x ；B 、899)1(11992=+x ；C 、1199)1(8992=+x ；D 、899)1(11992=-x 类题练习：1.某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x ，则列方程为（ ）A 、1600)1(4002=+x ；B 、16004004004002=++x x ； C 、[]1600)1()1(14002=++++x x ； D 、1600)21(400=++x x2.2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）22、数字问题：多位数问题在设时，通常设某数位上的数字.若一两位数，十位数字是a,个位数字是b,该两位数可表示为10a+b.不能写成ab 的形式。
一元二次方程应用题增长率下降率
3、某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大种植面 积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百 分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵， 求这个百分数。
解：设这个百分数为X
由题意得：200+200(1+x)+200(1+x)2=1400
可得(1+x)2+(1+x)-6=0
1+x=2或1+x=-3(舍去)
__2_6_0_(_1_+_X_)_2_万平方公里。（用代数式表示）
分析：
2620013年
增长 260X10%
2014年
增长：
260+260X10%= 260(1+10%)
260(1+10%2) X6100%(1+X26)02(1=+130%1)2+ 260(1+10%) X10% =
2015年 260(1+10%)x(1+10%)
1．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012 年屋顶绿化面积要达到2880平方米．设平均每年的增长率为x，
那么可列方程为_________。A
A、2000(1+x)2=2880
B、2000x2=2880
C、2000(1+x%)2=2880
D、 2000(1+x)2000(1+x)2=2880
260(1+10%)2
例1.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月 增长的百分率是多少?
分析:则2月份比一月份增产__5_0_0_0_x__ 吨. 2月份的产量是 ____5_0_0_0_(1_+__x_) ___吨 3月份比2月份增产__5_0_0_0_(_1_+_x_)_x_ 吨 3月份的产量是 ___5_0_00_(_1_+_x_)2__ 吨
一元二次方程实际应用题型
一、列一元二次方程解应用题的步骤(1)应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程．概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案．(2)一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：①审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系．（与一次方程思路相似）②设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)．③列：是指列方程，根据等量关系列出方程．④解：就是解所列方程，求出未知量的值．⑤验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去．⑥答：即写出答案，不要忘记单位名称．二、常见应用题类型（1）数字问题解有关数字问题的应用题，首先要能正确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形式，如一个三位数可表示为100a＋10b＋c，连续三个偶数可表示为2n－2，2n,2n＋2(n为整数) 等，其次解这类问题的关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续数问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般设这个多位数的某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字，等量关系由题目中的关键语句“译出”【例1】某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．分析：本题等量关系比较明显：新的两位数×原来的两位数＝736，关键是如何表示出这两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意．解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，由题意，得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736.整理，得x－5x＋6＝0，解得x＝2，x＝3.当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原两位数是23.当x＝3时，5－x＝2 符合题意，原两位数是32.答：原来的两位数是23或32．【例2】三个连续奇数的和是129，求这三个数。
一元二次方程的应用总复习
2500 2500 （ 1 x） 2500 （ 1 x） 9100
开启
智慧
10.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一 次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数 是多少?
解 : 设这次到会的人数为 x, 根据题意 ,得
整理得 :
x 2 x 132 0.
习题探究
• 7.某化肥厂去年五月份生产化肥450t, 从六月份开始，产量因市场关系，逐 月上升，到七月份达到了648t，求六、 七月份平均增长率.
变式训练
• 8.某公司前年缴税40万元，今年缴税 48.4万元.该公司这两年缴税的年平均 增长率为多少？
解：设该公司这两年缴税的年平均增 长率为x，根据题意得，
一、面积问题
• 1.长方形面积= • 2.正方形面积=
长×宽 边长×边长 （上底+下底）×高÷2 边长×边长×边长
• 3.梯形面积=
• 4.正方体体积=
• 5.长方体体积=
长×宽×高
一、面积问题
几何与方程
1. 如图,在一块长92m,宽60m的 矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽 度都相等.水渠把耕地分成面积均 为885m2的6个矩形小块,水渠应挖 多宽.
一元二次方程的应用总复习
复习回顾
• 列一元二次方程解应用题的一般步骤： • 1.审：审清题意；已知什么，求什么，已知未知之间有什 么关系
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位.
3.列：列代数式，列方程. 4.解：解所列方程 5.验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意. 6.答：答也必须是完整语句，注明单位.
解:设如果产量增加15.2%，那么应多种x棵桃树， 根据题意得， （1000-2x)(100+x)=1000×100+1000×100×15.2%
《用一元二次方程解决问题(2)》参考课件
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次 方程解决有关实际问题中的利润问题，能检验所 得的结果是否符合实际意义。
一、预习尝试：
某商场从厂家以每件80元的价格购进一批衬衫, 若每件的售价为120元，则可卖出200件， 商若场每全件卖部衬一售衫件出售衬这价衫批 降的衬1利元衫润，，是则则多每总少件利？衬润衫是的多利少润？为多少？ 若每件衬衫售价降2元，则每件衬衫的利润为多少？ 若每件衬衫售价降3元，则每件衬衫的利润为多少？
(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游 费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”
a.设的x人,比30人多了多少人？（x－30）人 b.降了多少元? 10(x-30)元 c.实际人均费用是多少? [800－10(x－30)]元 5.本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元.
3.这个问题的等量关系是什么?： 首先知道总费用是28000元 即有等量关系“人均费用×人数=28000元”
4.人数可设未知数x人,人均费用呢? (1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”
则总费用不超过30×800=24000＜28000;而现用 28000元,所以人数应超过30人
课堂练习:
1、某种服装，每件利润为30元时,平均每 天可销售20件，若每件降价1元，则每天可 多售6件。如果每天要盈利1600元，每件 应降价多少元？
2、某商店经销一批小家电,每个小家电成本 40元,经市场预测,定价为50元时,可销售200 个,定价每增加1元,销售量将减少10个,如果 商店进货后全部销售完,赚了2000元,问该小 家电定价是多少?
解: 设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得: [800－10(x－30)]·x = 28000
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
实际问题与一元二次方程知识点讲解2021-2022学年人教版数学九年级上册
21.3实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。
知识点二 实际问题中的数量关系一、传播问题设基数为a ,每次由一个个体传播给x 个个体，则一轮传播后有)(ax a +，也就是)1(x a +个个体；二轮传播后共有)1()1(x ax x a +++,也就是2)1(x a +个个体……依次类推，n 轮传播后共有n x a )1(+个个体。
例题有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？变式练习1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？二、增长率（下降率）问题设基数为a ,平均增长（下降）率为x ，则一次增长（下降）后的值为()x a a ±,二次增长（下降）后的值为()2x a a ±……依次类推，n 次增长（下降）后的值为()nx a a ±。
例题1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？2.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）变式练习1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200，2003年平均每公顷产8460，求水稻每公顷产量的年平均增长率.kg kg2.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01﹪）3.某市为了加快廉租房的建设力度，去年市政府共投资2亿人民币建设了廉租房8万平方米，预计明年年底，三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内内年投资的增长率相同。
一元二次方程应用题和答案
一元二次方程应用题部分一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；3.列:列代数式,列方程；4.解:解所列的方程；5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注：列方程解应用题的关键是: 找出等量关系；所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数（字母）表示，根据题目中提供的条件列出两个代数式，这两个代数式表示同一个量（这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数），用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。
二、《一元二次方程》，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型：一）求互相联系的两数(数与数字方面的应用题)：连续的整数：设其中一数为x ，另一数为x+1；（x-1，x ，x+1）。
连续的奇数：设其中一数为x ，另一数为x+2；（x-2，x ，x+2）。
连续的偶数：设其中一数为x ，另一数为x+2；（x-2，x ，x+2）。
和一定的两数（和为a ）：设其中一数为x ，另一数为a-x 差一定的两数（差为a ）：设其中一数为x ，另一数为x+a 积一定的两数（积为a ）：设其中一数为x ，另一数为a/x 商一定的两数（商为a ）：设其中一数为x ，另一数为ax （x/a ） 例：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。
解：设其中一数为x ，另一数为x+2， 依题意得：x （x+2）＝168 x 2+2x-168=0（x-12）（x+14）＝0 x 1=12，x 2 =－14当x ＝12时，另一数为14； 当x ＝-14时，另一数为-12.答：这两个偶数分别为12、14或-14、-12. 二）百分数应用题（含增长率方面的题型） 三）传染问题：（几何级数）传染源：1个【 每一轮1个可传染给x 个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x ）】 患者： 第一轮后：共（1+x ）个第二轮后：共（1+x ）•（1+x ），即（1+x ）2个第三轮后：共（1+x ）•（1+x ）•（1+x ），即（1+x ）3个 ……第n 轮后：共（1+x ）n个[注意：上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
第一步：审题，明确已知和未知；
第二步：找相等关系；
第三步：设元，列方程，并解方程；
第四步：检验根的合理性；
第五步：作答.
一、 数字问题
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
得根据题意设其中一个数为解,,:x ().454=+x x
.9,521-==x x 解得
.5,99,5:--或这两个数为答
3. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.
求这个两位数.
得根据题意为设这两位数的个位数字解,,:x
().3102x x x +-=
.6,521==x x 解得
.36,25:或这个两位数为答
4.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是
5.把这个两位数的十位数字与个位数字互
换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
得根据题意字为设这个两位数的个位数解,,:x
()[]()[].736510510=-++-x x x x
.3,221==x x 解得
.2332:或这两个数为答
二、 传播问题
例一 有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染
了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x 人
开始有一人患了流感,
第一轮:他传染了x 人,第一轮后共有______人患了流感.
第一轮后共有________人患了流感 第二轮的传染源
第二轮:这些人中的每个人都又传染了x 人,第二轮共传染______人
第二轮后共有____________________人患了流感.
2、有一个人收到短消息后,再用手机转发短消息,经过两轮转发后共有144人收到了短消息,
问每轮转发中平均一个人转发给几个人?
分析:设每轮转发中平均一个人转发给x 个人,第一轮后有 人收到了短消息,这些人中
的每个人又转发了x 人,第二轮后共有
个人收到短消息.
练习：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离
治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如
果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流
感？
分析：第一天人数+第二天人数=9
解：设每天平均一个人传染了x 人。
变式：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因3人患了甲型H1N1流感没有及时隔离
治疗，经过两天的传染后共有27人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如
果按照这个传染速度，再经过2天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流
感？
变式：甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因a 人患了甲型H1N1流感没有及时隔离
治疗，每天平均一个人传染了b 人，第一轮后，传染了（ ）人，共有（ ）
人患病，第二轮后，传染了（ ）人，
共有（ ）人患病。
整理得：
总结归纳
a 表示传染之前的人数，
x 表示每轮每人传染的人数，
n 表示传的天数或轮数，
A 表示最终的总人数
综合练习：惠州市开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其
中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x,根据题意列出
的方程是＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿
分析：本题中的相等关系为第一年培训人数+第二年培训人数+第三年培训人数=95万。
9)1(2
=+x 9)1(1=+++x x x 即 A x a n =+)1(
某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑
被感染．请你试一试分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效
控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，
则，1＋x ＋x (1＋x )＝100，即(1＋x )2＝100.
解得 x 1＝9，x 2＝－11(舍去)．∴x ＝9.
4 轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x )4＝104>7000.
三、 增长率问题
某公司2009年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共
950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
• 分析：设这个增长率为x;则
• 二月份营业额为：__________________
• 三月份营业额为：_______________
• 根据：______________________
• 作为等量关系列方程为：
2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担过重问题,在近两年的税费政策改革中,
我国政府采取了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为
180亿元,预计到2003年将到达304.2亿元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持
这项改革资金的平均增长率?
解:这两年的平均增长率为x,依题有
小结
1、类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
其中增长取“+”,降低取“－”
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n 次后的量是A,则它
们的数量关系可表示为
解： 95
)1(20)1(20202=++++x x 950
)1(200)1(2002002=++++x x 5
.0(5.321=-=x x 舍去）解这个方程得：2
.304)1(1802=+x A x a n =±)1(
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,列方程
( )
A.500(1+2x )=720
B.500(1+x )2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x )2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今
明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为 .
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生
产技术的进步,
现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药
品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为
(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分
数)
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲
种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得
♦ 某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。
已知该厂今年4月份的电
冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了120000台，求该厂今年产量的月平均
增长率为多少? 得根据题意均增长率为设该厂今年产量的月平解,,:x
().2.115)1(52
=+-+x x
♦ 某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之
几?
得根据题意分数为设每年平均需降低的百解,,:x
%.191)1(2
-=-x
30005000)1(2=-x ),(775.1,225.021舍去不合题意≈≈x
x
例1 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每
次升价的百分率（精确到0.1%）
商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问
平均每月降价百分之几？ 解：设原价为 元，每次升价的百分率为 ，根据题意，a x
解：设平均每月降价的百分数为 ，
又设两个月前的价格为 元，则现在的价格为 元，根据题意，得 ，
不合题意舍去．
． 答：平均每月降价 ． x a (136%)
a -2(1)(136%)a x a -=-0a ≠∵2
(1)136%x -=-∴10.8x -=±∴10.2x =∴2 1.8x =2 1.8x =0.220%
x ==∴20％
2(1) 1.2a x a +=。