列一元二次方程解应用题的一般步骤

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用一元二次方程解决问题

用一元二次方程解决问题【知识要点】1. 列方程解应用题的一般步骤：（1）审题。

了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。

（2）设未知数。

一般情况下求什么设什么为未知数。

（3）列方程。

根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。

（4）解方程。

灵活运用一元二次方程的四种解法。

（5）验根。

检验一元二次方程的根是否满足题意。

（6）答。

作答。

2. 一元二次方程应用题常见题类型：（1）数字问题。

（2）与面积有关的几何问题。

（3）平均变化率问题。

（4）经营问题。

（5）行程为题。

（6）工程问题。

【经典例题】1、平均变化率问题：平均变化率问题的公式A=a （1+x ）na 为变化前的基数，x 为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n 为变化次数，A 为变化后的量。

例1：某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x ，则列方程正确的是（）A 、1199)1(8992=-x ；B 、899)1(11992=+x ；C 、1199)1(8992=+x ；D 、899)1(11992=-x 类题练习：1.某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x ，则列方程为（）A 、1600)1(4002=+x ；B 、16004004004002=++x x ； C 、[]1600)1()1(14002=++++x x ； D 、1600)21(400=++x x2.2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）22、数字问题：多位数问题在设时，通常设某数位上的数字.若一两位数，十位数字是a,个位数字是b,该两位数可表示为10a+b.不能写成ab 的形式。

一元二次方程应用题增长率下降率

3、某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵，求这个百分数。
解：设这个百分数为X
由题意得：200+200(1+x)+200(1+x)2=1400
可得(1+x)2+(1+x)-6=0
1+x=2或1+x=-3(舍去)
__2_6_0_(_1_+_X_)_2_万平方公里。（用代数式表示）
分析：
2620013年
增长 260X10%
2014年
增长：
260+260X10%= 260(1+10%)
260(1+10%2) X6100%(1+X26)02(1=+130%1)2+ 260(1+10%) X10% =
2015年 260(1+10%)x(1+10%)
1．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012 年屋顶绿化面积要达到2880平方米．设平均每年的增长率为x，
那么可列方程为_________。A
A、2000(1+x)2=2880
B、2000x2=2880
C、2000(1+x%)2=2880
D、 2000(1+x)2000(1+x)2=2880
260(1+10%)2
例1.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率是多少?
分析:则2月份比一月份增产__5_0_0_0_x__ 吨. 2月份的产量是 ____5_0_0_0_(1_+__x_) ___吨 3月份比2月份增产__5_0_0_0_(_1_+_x_)_x_ 吨 3月份的产量是 ___5_0_00_(_1_+_x_)2__ 吨

一元二次方程实际应用题型

一、列一元二次方程解应用题的步骤(1)应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程．概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案．(2)一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：①审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系．（与一次方程思路相似）②设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)．③列：是指列方程，根据等量关系列出方程．④解：就是解所列方程，求出未知量的值．⑤验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去．⑥答：即写出答案，不要忘记单位名称．二、常见应用题类型（1）数字问题解有关数字问题的应用题，首先要能正确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形式，如一个三位数可表示为100a＋10b＋c，连续三个偶数可表示为2n－2，2n,2n＋2(n为整数) 等，其次解这类问题的关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续数问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般设这个多位数的某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字，等量关系由题目中的关键语句“译出”【例1】某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．分析：本题等量关系比较明显：新的两位数×原来的两位数＝736，关键是如何表示出这两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意．解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，由题意，得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736.整理，得x－5x＋6＝0，解得x＝2，x＝3.当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原两位数是23.当x＝3时，5－x＝2 符合题意，原两位数是32.答：原来的两位数是23或32．【例2】三个连续奇数的和是129，求这三个数。

一元二次方程的应用总复习

2500 2500 （ 1 x） 2500 （ 1 x） 9100
开启
智慧
10.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?
解 : 设这次到会的人数为 x, 根据题意 ,得
整理得 :
x 2 x 132 0.
习题探究
• 7.某化肥厂去年五月份生产化肥450t, 从六月份开始，产量因市场关系，逐月上升，到七月份达到了648t，求六、七月份平均增长率.
变式训练
• 8.某公司前年缴税40万元，今年缴税 48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率为多少？
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，根据题意得，
一、面积问题
• 1.长方形面积= • 2.正方形面积=
长×宽边长×边长（上底+下底）×高÷2 边长×边长×边长
• 3.梯形面积=
• 4.正方体体积=
• 5.长方体体积=
长×宽×高
一、面积问题

几何与方程
1. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
一元二次方程的应用总复习
复习回顾
• 列一元二次方程解应用题的一般步骤： • 1.审：审清题意；已知什么，求什么，已知未知之间有什么关系
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位.
3.列：列代数式，列方程. 4.解：解所列方程 5.验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意. 6.答：答也必须是完整语句，注明单位.
解:设如果产量增加15.2%，那么应多种x棵桃树，根据题意得，（1000-2x)(100+x)=1000×100+1000×100×15.2%

《用一元二次方程解决问题(2)》参考课件

学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程解决有关实际问题中的利润问题，能检验所得的结果是否符合实际意义。
一、预习尝试：
某商场从厂家以每件80元的价格购进一批衬衫, 若每件的售价为120元，则可卖出200件，商若场每全件卖部衬一售衫件出售衬这价衫批降的衬1利元衫润，，是则则多每总少件利？衬润衫是的多利少润？为多少？若每件衬衫售价降2元，则每件衬衫的利润为多少？若每件衬衫售价降3元，则每件衬衫的利润为多少？
(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”
a.设的x人,比30人多了多少人？（x－30）人 b.降了多少元? 10(x-30)元 c.实际人均费用是多少? [800－10(x－30)]元 5.本题实际意义是:人均旅游费用不得低于500元.
3.这个问题的等量关系是什么?：首先知道总费用是28000元即有等量关系“人均费用×人数=28000元”
4.人数可设未知数x人,人均费用呢? (1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”
则总费用不超过30×800=24000＜28000;而现用 28000元,所以人数应超过30人
课堂练习:
1、某种服装，每件利润为30元时,平均每天可销售20件，若每件降价1元，则每天可多售6件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
2、某商店经销一批小家电,每个小家电成本 40元,经市场预测,定价为50元时,可销售200 个,定价每增加1元,销售量将减少10个,如果商店进货后全部销售完,赚了2000元,问该小家电定价是多少?
解: 设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得: [800－10(x－30)]·x = 28000

一元二次方程应用题(几何图形面积问题)

解:设道路宽为x米，则
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是1500平方米，求这条跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？

实际问题与一元二次方程知识点讲解2021-2022学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（2）找：找出等量关系；（3）列：列出一元二次方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：作答。

知识点二实际问题中的数量关系一、传播问题设基数为a ,每次由一个个体传播给x 个个体，则一轮传播后有)(ax a +，也就是)1(x a +个个体；二轮传播后共有)1()1(x ax x a +++,也就是2)1(x a +个个体……依次类推，n 轮传播后共有n x a )1(+个个体。

例题有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？变式练习1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？二、增长率（下降率）问题设基数为a ,平均增长（下降）率为x ，则一次增长（下降）后的值为()x a a ±,二次增长（下降）后的值为()2x a a ±……依次类推，n 次增长（下降）后的值为()nx a a ±。

例题1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？2.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）变式练习1. 青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200，2003年平均每公顷产8460，求水稻每公顷产量的年平均增长率.kg kg2.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01﹪）3.某市为了加快廉租房的建设力度，去年市政府共投资2亿人民币建设了廉租房8万平方米，预计明年年底，三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内内年投资的增长率相同。

一元二次方程应用题和答案

一元二次方程应用题部分一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位；3.列:列代数式,列方程；4.解:解所列的方程；5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意；6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注：列方程解应用题的关键是: 找出等量关系；所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数（字母）表示，根据题目中提供的条件列出两个代数式，这两个代数式表示同一个量（这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数），用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。

二、《一元二次方程》，其应用题的范围也比较广泛，归纳起来可大致有以下几种类型：一）求互相联系的两数(数与数字方面的应用题)：连续的整数：设其中一数为x ，另一数为x+1；（x-1，x ，x+1）。

连续的奇数：设其中一数为x ，另一数为x+2；（x-2，x ，x+2）。

连续的偶数：设其中一数为x ，另一数为x+2；（x-2，x ，x+2）。

和一定的两数（和为a ）：设其中一数为x ，另一数为a-x 差一定的两数（差为a ）：设其中一数为x ，另一数为x+a 积一定的两数（积为a ）：设其中一数为x ，另一数为a/x 商一定的两数（商为a ）：设其中一数为x ，另一数为ax （x/a ）例：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。

解：设其中一数为x ，另一数为x+2，依题意得：x （x+2）＝168 x 2+2x-168=0（x-12）（x+14）＝0 x 1=12，x 2 =－14当x ＝12时，另一数为14；当x ＝-14时，另一数为-12.答：这两个偶数分别为12、14或-14、-12. 二）百分数应用题（含增长率方面的题型）三）传染问题：（几何级数）传染源：1个【每一轮1个可传染给x 个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x ）】患者：第一轮后：共（1+x ）个第二轮后：共（1+x ）•（1+x ），即（1+x ）2个第三轮后：共（1+x ）•（1+x ）•（1+x ），即（1+x ）3个 ……第n 轮后：共（1+x ）n个[注意：上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。

一元二次方程的应用题解法

解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答”，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果．本章节的内容综合性较强．1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环．（1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了1x -张，总共有x 个人所以列式为()1930x x -=；（2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为(1)1052x x -=．2、传播问题：(1)n a x A +=，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．内容分析知识结构知识精讲模块一传播问题一元二次方程的应用题解法例题解析【例1】学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?【例2】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会?【例3】某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?【例4】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?模块二利率、利润问题知识精讲1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．例题解析【例5】小明同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下降到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率．（利息税为20%，只需要列式子）【例6】某商场按标价销售某种工艺品时，按照标价出售，每件可获利45元，并且商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．（1）每件工艺品应降多少元出售，可使每天获得的利润为4900？（2）若已知按标价的八五折销售该工艺品8件与标价降低35元销售工艺品12件所获得的利润相等，则工艺品每件的进价为多少元?【例7】某单位组织员工去天河湾旅游度假，咨询了几家旅行社，定价相当，可有不同的优惠方案．稍后见到某旅行社的广告：基价1000元/人，若单位组织超过25人，每增加1人可将人均定价降低20元，结合单位员工人数进行比较，发现这家旅行社价格明显优于其他的旅行社，最终选择了这家旅行社．旅行结束后，单位经办人员按照这一标准，准备了2.7万元的支票前去结账，却被告知金额不止2.7万元，并取出合同，指明在有关旅游景点、食宿标准、自费项目等附则最后一项约定：优惠后的价格以人均不低于700元为限．双方对此发生争执，经当地消费者协会调查，调解，认为旅行社未在广告、合同明显位置明确这一约定，且不能提供证明在签字合同时尽到了告知的义务，存在欺诈行为；但鉴于消费者在签订合同时的失误，也应承担双方争执差额的30%的责任．（1）这家单位还应补缴多少金额?（2）对这一场消费纠纷，你有什么想法?【例8】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．1、面积问题：首先判断清楚要设的未知数是关键点，其次找出题目中的等量关系，然后判断所求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用x 表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．【例9】如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m ．（1）农场的面积能达到1502m ？（2）农场的面积能达到1802m 吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．（3）若墙长为a m ,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m 对题目的解起着怎样的作用？【例10】有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米?模块三面积问题知识精讲例题解析 18米2米九年级练数学习同步【例11】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？【例12】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m ，宽20m 的长方形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为2∶1，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的三分之二，则路宽应为多少（精确到0.1cm ）?【例13】要对一块长60米、宽40米的长方形荒地ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，长方形形P 、Q 为两块绿地，其余为水泥路面，P 、Q 两块绿地周围的水泥路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为长方形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的水泥路面的宽度．A B CDP Q传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式；【例14】如图，长方形ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点时，两点停止移动，如果P 、Q 分别是从A 、B 同时出发，t 秒钟后．（1）求出△PBQ 的面积；（2）当△PBQ 的面积等于8平方厘米时，求t 的值；（3）是否存在△PBQ 的面积等于10平方厘米，若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．模块五动态几何类问题知识精讲例题解析A BCD P Q【例15】在长方形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm /s 的速度5沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式．【例16】等腰直角三角形ABC 中，AB =BC =8cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B 移动，通过点P 引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于R 、Q ．当AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于162cm ?A BCD P QABC Q PR【例17】有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ．【例18】已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012h v t gt =-，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求：（1）隔多少时间爆竹离地面高度是25米?（2）多少时间以后爆竹落地?【例19】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．模块六其他类问题例题解析A B C DPQ Rl【例20】一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?随堂检测【习题1】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛．【习题2】用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的长方形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由．【习题3】小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题4】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．【习题5】在一幅长80cm ，宽50cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如果四周金色纸边的面积是14002cm ，求金色纸边的宽．【习题6】课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为31米的旧围栏，并且在花圃的较长的一面留一个2米门，求花圃的长和宽．【习题7】如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小长方形组成的长方形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【习题8】某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.62m ，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少?（2）如果计划每天挖土483m ，需要多少天才能把这条渠道挖完．A B CD【习题9】一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体x L ，求每次倒出的药液量．【习题10】某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题11】如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度；（2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．ABCPQ【作业1】从正方形的铁片上，截去宽为2厘米的一个长方形，余下的面积是48平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是________．【作业2】已知有46米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长25米）的长方形鸡场，其面积是260平方米，则鸡场的长为______米，宽为______米．【作业3】在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为82m 的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号）【作业4】如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为45003m ，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度CF ：BF =1：2，迎水坡度1：1=DE ：AE ，10110.049 精确到0.1m ）【作业5】某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌?【作业6】从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数?课后作业F E A BCD【作业7】某同学在初二年级末，将500元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出240元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和272.68元．求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程，不需要求解）.【作业8】将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为9000元，售价应该定为多少?【作业9】百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元?【作业10】已知在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD =2，P 是AB 上的一动点（不与A 、B 重合），且AP =x ，过点P 作直线l 与AB 垂直．（1）设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3的两部分．A BCD l P。

一元二次方程应用题

一元二次方程的应用列方程解应用题的一般步骤(1)审：审题，弄清已知量和未知量及问题中的等量关系．(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异．(3)列：列方程，一般找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，列代数式表示等量关系中的各个量，构成方程。

(4)解：求出所列方程的解 (5)验：检验方程的解是否正确，是否符合题意．(6)答：写出答案（一）增长率问题：平均增长率公式：b x a n =+)1(为平均增长率）为增长的次数，为终止量，为起始量，x n b a (降低率问题：b x a n =-)1(为平均降低率）为降低的次数，为终止量，为起始量，x n b a ( 例1.某电脑公司2011年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2013年经营总收入要达到2160万元，且计划从2011年到2013年，每年经营总收入的增长率相同，问2012年预计经营总收入为多少万元？2.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000 kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg ，求南瓜亩产量的增长率．3.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.4.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2O07年盈利2160万元，且从2005年到2007年每年盈利的增长率相同（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率不变，预计2008年盈利多少万元？5. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境总人数约为7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率。

一元二次方程的实际应用教案

教学过程一、复习预习我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下：1. 用直接开平方法解方程，得方程的根为（）A. B.C. D.2. 方程的根是（）A．0 B．1 C．0，－1 D．0，13. 设的两根为，且＞，则＝。

4. 已知关于的方程的一个根是－2，那么＝。

5.＝今天我们将继续学习列方程解应用题。

大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200x2－30x+200=0解得:x2=20 x2=10答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。

二、知识讲解1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．2.数与数字的关系:两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字3.翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．4.增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的m(1+x)2＝n (m＜n).如果是下降率则为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的m(1－x)2＝n (m＞n).5.经济问题常用的公式：（1）利润=售价-进价；（2）售价=标价×折扣；（3）利润率=利润÷进价×100%.6.列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．考点/易错点1要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系.考点/易错点2由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的.三、例题精析【例题1】【题干】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.【答案】解:设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答:这两个月的平均增长率是10%.【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.【变式练习】【题干】某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率．【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为．根据题意，得．解这个方程，得，（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为．【解析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．【例题2】【题干】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？【答案】解:根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答:需要进货100件，每件商品应定价25元.【解析】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点,根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中，每件盈利=每件售价-每件进价,建立等量关系.【例题3】【题干】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）【答案】解:设第一次存款时的年利率为x,则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.答:第一次存款的年利率约是2.04%.【解析】储蓄问题关键是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期数）,这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.【例题4】【题干】某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?【答案】解：设每张贺年卡应降价x元则（0.3-x）（500+）=120解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．【解析】本题是“每每问题”，得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点，根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．【变式练习】【题干】商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）【答案】解：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，即（元），则每天可销售商品30件，即（件）商场可获日盈利为（元）（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为元，则每件商品比130元高出元，每件可盈利元,每日销售商品为（件）依题意得方程整理，得即解得答：每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元．【解析】解与变化率有关的实际问题时：（1）注意变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．【例题5】【题干】如图，有一块长80cm，宽60cm的硬纸片，在四个角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.【答案】解：设截去的小正方形的边长为cm，则整理，得解得因为，所以不合题意，舍去所以答：截去的小正方形的边长为15cm【解析】用到的知识点是长方形的面积公式、解一元二次方程，注意把不合题意的解舍去．【例题6】【题干】一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

九年级数学上册 1.3 一元二次方程的应用教案2 湘教版

一元二次方程的应用一. 本周教学内容：一元二次方程的应用教学目标：*知识与技能：会列出方程解决实际问题，并提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

*过程与方法：通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般思维过程。

*情感、态度与价值观：进一步巩固数学来源于生活，又服务于生活的认识观。

教学重点：建立一元二次方程的模型解决实际问题。

教学难点：根据不同题型，认真审题，寻找等量关系，再列方程。

方法指导：这部分内容要求同学们能综合应用已有知识，经过自主探索和合作交流去尝试解决，在实践中获得成功经验。

因此，我们对部分内容的学习，要特别注意培养观察，分析及合情推理的能力。

注意解决问题的过程性原则，充分体现课程标准中“让不同的人在数学上得到不同的发展”这一理念。

主要内容：（一）列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审题：即读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量以及它们之间的关系。

（2）设未知数：即将题目中的未知量用字母来表示。

（3）列方程：根据等量关系列出方程，这是解应用题的关键。

（4）解方程：求出所列方程中未知数的值。

（5）检验：检验方程的解是否符合实际意义。

（6）答：写出问题的答案。

（二）提醒同学们分析问题时应注意的几个方面：（1）认真审题，看题中是否存在着某种公式，可根据此公式列方程。

（2）善于将应用题分类，如工程问题、数字问题、行程问题、经济问题及图形的面积问题等，从这些题中找出各量之间的等量关系，列出方程。

（3）注意抓住题中一些表达相等关系的语句来列方程。

（4）必须对方程的解加以检验，看看它是否有实际意义。

并舍去没有实际意义的方程的解，然后再作答。

【典型例题】1. 有关数字问题解数字问题关键是正确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如有关奇数个连续整数（或连续偶数、奇数）问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般不直接设这个多位数，而是设这个多位数的某位上的数字，再用代数式表示其余数位的数字，然后根据题中提供的数量关系列方程。

一元二次方程应用题的解题步骤

例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
根据题意，得 1 2x (6 x) 8
四边形PQCR的面积等于16cm2?
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x
根据题意得：x8-x 16
整理得：x2 8x 16 0
A
R
P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
CQ
B
动态几何：
❖ 1、已知：如图3-9-3所示，在△中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，△的面积等于 4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，△的面积能否等于7cm2?说明理由.
积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等
面
宽,应如何设计四周边衬的宽度?
27
积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的
问
矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
题
解:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
(27
依题意得
18x)(21
14x)
3
27
21
解方程得 x 6 3 3
学习目标
❖ 掌握一元二次方程应用题的解题步骤. ❖ 会从不同角度掌握各种类型应用题的解法. ❖ 能利用运动的观点解决应用问题.

专题21.3 实际问题与一元二次方程--九年级数学人教版

第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：读懂题目，弄清题意，明确、，以及它们之间的关系．（2）设：设出．（3）列：找出，列出方程．（4）解：解方程，求出的值．（5）验：检验是否符合实际意义．（6）答：写出．2．常见实际问题（1）传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数．（2）平均增长（降低）率问题：①设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的值为．②设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为．（3）几何图形面积问题：学！科网几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程．（4）数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为．（5）单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为场；双循环问题中总的比赛场数为场．（6）销售利润问题： =-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价； ()1=⨯+售价进价利润率；=-=⨯总利润总售价总成本单个利润总销售．（7）存款利息问题：=+本息和本金利息；=⨯利息本金利率．K 知识参考答案：1．（1）已知量，未知量（2）未知数（3）相等关系（4）未知数（5）方程的解（6）答案2．（2）()1n a x +，()1na x -（3）规则图形（4）10ab +，10010a bc ++（5）()112n n -，()1n n -K —重点一元二次方程解应用题K —难点（1）平均增长（降低）率问题（2）单、双循环问题K —易错销售利润问题一、根据实际问题列出一元二次方程同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．【例1】某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为________．【答案】()11522x x -=⨯【名师点睛】此类问题的几何模型：直线上有个n 点，一共能确定()12n n -条线段，与之相关的问题有：n 个人握手，总共的握手次数为()12n n -等．二、列一元二次方程解应用题的一般步骤1．审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系． 2．设：设出未知数．3．列：找出相等关系，列出方程． 4．解：解方程，求出未知数的值． 5．验：检验方程的解是否符合实际意义． 6．答：写出答案．【例2】某班有一人患了流感，经过两轮传染后，恰好全班49人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若4人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是【答案】B【解析】设每轮平均一人传染x 人，根据题意，得()1149x x x +++=，解得16x =，28x =-（舍去）．故4人患了流感，第一轮传染后患流感的人数是44628+⨯=，故选B ．【名师点睛】传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数．三、常见问题1．传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数． 2．平均增长（降低）率问题：（1）设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的()1na x +．（2）设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为()1na x -． 3．几何图形面积问题：几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程． 4．数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为10a b +；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为10010a b c ++．5．单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为()112n n -场；双循环问题中总的比赛场数为()1n n -场．学！科网6．销售利润问题：=-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价； ()1=⨯+售价进价利润率；=-=⨯总利润总售价总成本单个利润总销售．7．存款利息问题：=+本息和本金利息；=⨯利息本金利率．【例3】为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）27．【名师点睛】在平均增长（或降低）率问题中，要注意常用的相等关系：设基数为a ，平均增长（或降低）率为x ，则两次增长（或降低）后的值为()21a x +（或()21a x -）．【例4】如图，某农场有一块长40m ，宽32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为21140m ，求小路的宽．【答案】2 m【名师点睛】几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．1．我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2016年约为120万人次，预计2018年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是A．120（1+x）=170 B．170（1﹣x）=120C．120（1+x）2=170 D．120+120（1+x）+120（1+x）2=1702．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是A．6.3(1＋2x)＝8 B．6.3(1＋x)＝8C．6.3(1＋x)2＝8 D．6.3＋6.3(1＋x)＋6.3(1＋x)2＝83．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为A．x（5+x）=6 B．x（5–x）=6C．x（10–x）=6 D．x（10–2x）=64．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为A．(1)(2)++=18 B．2x–3x+16=0x xC．(1)(2)--=18 D．2x+3x+16=0x x5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为A．x（x–11）=180 B．2x+2（x–11）=180C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=1806．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为A．5米B．3米C．2米D．2米或5米7．某种服装原售价为200元，由于换季，连续两次降价处理，现按72元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为__________．8．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是__________．学￥科网9．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为__________．10．两年前生产1 t药品的成本是6000元，现在生产1 t药品的成本是4860元，则药品成本的年平均下降率是__________．11．某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率是x，则所列方程是__________．12．某工厂一种产品去年的产量是100万件，计划明年产量达到121万件，假设去年到明年这种产品产量的年增长率相同.（1）求去年到明年这种产品产量的年增长率；（2）今年这种产品的产量应达到多少万件？13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是A．x（x+1）=64 B．x（x–1）=64 C．（1+x）2=64 D．（1+2x）=6414．某超市1月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=100015．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为__________．（化用一般式表示）16．波音公司生产某种型号的飞机，7月份的月产量为50架，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98架，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是__________．17．某校图书馆去年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，则这两年的年平均增长率为__________．18．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为__________．19．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．（用方程解）20．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？21．如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m2，求小路的宽．22．（2018·眉山市）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是A．8% B．9%C．10% D．11%23．（2018·宜宾市）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为A．2% B．4.4%C．20% D．44%24．（2018·黄冈市）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2−10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.25．（2018·盐城市）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？26．（2018·安顺市）某地年为做好“精准扶贫”，投入资金万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元.（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬迁租房奖励，规定前户（含第户）每户每天奖励元，户以后每户每天奖励元，按租房天计算，求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.1．【答案】C【解析】设游客人数的年平均增长率为x，则2017的游客人数为：120×(1+x)，2018的游客人数为：那么可得方程：.故选C．2．【答案】C【解析】按照增长率公式列一元二次方程，即6.3(1＋x)2＝8.【名师点睛】平均增长率（降低）百分率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．3．【答案】B【解析】一边长为x米，则另外一边长为：102x-=5–x米，由题意得：x（5–x）=6，故选B．5．【答案】C【解析】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选C．6．【答案】C【解析】设道路的宽为x，根据题意得20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得x-26=24或x-26=-24，解得x=50（舍去）或x=2.所以道路宽为2米．故选C．7．【答案】40%【解析】设每次降价的百分率为x，由题意，得200（1–x）2=72，所以（1–x）2=0.36，x=1±0.6，解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不符合题意，舍去），故答案是：40%．8．【答案】10%【解析】设平均每次降价的百分率为x，由题意，第一次降价后的售价是100（1–x），第二次降价后的售价是100（1–x ）2，根据题意列方程解100×（1–x ）2=81，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9（不符合题意，舍去）．所以所求的百分率是10%． 9．【答案】160(1＋x )2=250【解析】设平均每月的增长率是x ，根据题意得，3月份的利润为160（1+x ），4月份的利润为160（1+x ）2=250，故答案是：160（1+x ）2=250．10．【答案】10%【解析】设药品成本的年平均下降率是x ，根据现在生产1 t 药品的成本=两年前生产1 t 药品的成本×(1–下降率)的平方，即可得出关于x 的一元二次方程：6000×()21x -=4860，解得：1x =10%，2x =190%（舍去）．故答案为：10%． 11．【答案】1200()21x +=1500．【解析】由于一月份生产空调1200台，三月份生产空调1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率为x ，那么二、三月份分别生产1200（1+x ）台，1200()21x +，由此即可列出方程1200()21x +=1500．故答案为：1200()21x +=1500．（2）（万件），答：今年这种产品的产量应达到110万件.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a (1+x )n =b ，其中n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，b 是增长后的数据，x 是增长率． 13．【答案】C【解析】平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，第一轮有（x +1）人患流感，第二轮共有x +1+（x +1）x 人，即64人患了流感，由此列方程x +1+（x +1）x =64，整理得，（1+x ）2=64．故选C ． 14．【答案】D【解析】由1月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x ，可得2月份的营业额为200×（1+x ）万元，于是3月份的营业额为200×（1+x ）×（1+x ）=200×（1+x ）2万元，因此可列方程为200+200×（1+x ）+200×（1+x ）2=1000，即200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000．故选D ． 15．【答案】2560x x --=【解析】每支球队都需要与其他球队赛(x −1)场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：1(1)472x x -=⨯，(1)56x x -=，2560x x --=，故答案为：2560x x --=． 16．【答案】40%【解析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x ，由题意得，250(1)98x += ，解得：x =0.4或x =–2.4（不合题意舍去），即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是0.4=40%．故答案为：40%．18．【答案】2x +x +1=91．【解析】由题意，设每个支干长出x 个小分支，则主干长出x 个分支，所以，一共长出x 个分支，2x 个小分支，则主干、支干和小分支的总数为：2x +x +1，即可列方程得：2x +x +1=91．故答案为：2x +x +1=91． 19．【答案】12米【解析】设BC 边的长为x 米，则AB 边的长度为1(32)2x -，根据题意得，1(32)1202x x -=，整理，得(20)(12)0x x --=，解得：x 1=20，x 2=12，∵20>16， x 1=20不合题意，舍去，∴x =12．答：矩形草坪BC 边的长为12米． 20．【答案】4株或者5株．【解析】设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（x +3）株，平均单株盈利为：（3–0.5x ）元，由题意得：（x +3）（3–0.5x ）=10．化简，整理，得2320x x -+=．解这个方程，得11x =，22x =，则3+1=4，2+3=5．所以要使每盆的盈利达到10元，每盆应植4株或者5株．答：每盆应植4株或者5株．21．【答案】小路的宽应是2 m．【解析】设小路的宽为x m，依题意有：（40–x）（32–x）=1140，整理，得x2–72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2 m．22．【答案】C【解析】设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1−x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选C．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．【答案】16【解析】解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．25．【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．26．【答案】（1）从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；（2）年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.（2）设年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，∵，∴，，解得：.答：年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．。

一元二次方程应用题整理经典实用

•一元二次方程应用题(整理)
解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.
整理，得90 x 2+145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－ 1.63.
由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63 舍去.
点评：此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
•一元二次方程应用题(整理)
销售定价问题
家乐福超市如果将进货价为40元的商品按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理，为了赚得8 000元的利润，你认为售价应定为多少（售价不能超过进价的160% ）?这时应进货多少个？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 △PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
B
Q
AP
C
ww •一元二次方程应用题(整理) w.图
分析：（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为： 12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）△ABC的面积的一半等于 12× 12×AC×BC=12cm2，令 12×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
•一元二次方程应用题(整理)
分析：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，
所以此时商场平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根据商场平均每天要盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可．解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，由题意，得（40-x）（20+2x）=1200，即：（x-10）（x-20）=0，解，得x1=10，x2=20，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元

列一元二次方程解应用题的一般步骤

列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式探寻等量关系。

首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语句、公式、定理等方面寻找相等关系。

举例如下：一、数字问题解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

例1，一个两数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两位的乘积为736，求原来的两位数。

等量关系：新的两位数×原来的两位数解：由题意得：[10x+（5-x）][10（5-x）+x]=736解得：x1=2，x2=3即两位数为23或32二、几何问题这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合知识检验。

例2：已知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个三解形三边长及面积。

通常用勾股定理列出方程，求解。

解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4（n为偶数），根据题意得n2+（n+2）2=（n+4）2解得：n=6∴三边长为6、8、10，面积为24。

三、增长率问题此类问题中一般有变化前的基础（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b），这四者之间的关系可用公式a（1+x）n=b表示这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。

例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明两件的投资总额为12万元，求该企业这两两年在m产品投资上的平均增长率是多少？解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为x，根据题意得2（1+x）+2（1+x）2=12解得：x1=1 x2=4（舍去）即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。

四、估测型问题这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。