微积分求极限的方法2·完整版

专题一 求极限的方法

【考点】求极限

1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目,一般为2-3题１2-１8分左右,而用极限的

概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则与利用定积分的概念求极限,使用这些方法时要注意条件,如等价量代换就是在几块式子乘积时才可使用,洛必达法则就是在0比０,无穷比无穷的情况下才可使用,运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。

2、 极限收敛的几个准则:归结准则(联系数列与函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、单

调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在)

3、 要注意除等价量代换与洛必达法则之外其她辅助方法的运用,比如因式分解,分子有理

化,变量代换等等。

4、 两个重要极限0sin lim 1x x

x

→= 1

01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,注意变形,如将第二个式子

1

lim(1)x

x x e

→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞

”的形式的典型求极限

题目。

5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结,如: （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限

（2） 函数在某点极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行

解题,如

11

1

lim x x e

-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。(当式子中出现绝对值与e

的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发)

（3） 遇到无限项与式求极限时想三种方法:

①瞧就是否能直接求出这个与式(如等比数列求与)再求极限 ②夹逼定理

③用定积分的概念求解。

(4)如果f(x)/g(x)当x →ｘ０时的极限存在,而当ｘ→x0时g(x)→０,则当x →x ０时f(x)也 →0

(５)一个重要的不等式:sin x x ≤(0x >) *其中方法②③考到的可能性较大。

6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。

7、 闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理) 8、 此部分题目属于基本题型的题目,需要尽量拿到大部分的分数。

【例题精解·求极限的方法】

方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算。

【例1】求极限 11

lim 1

m n x x x →--

解

12

12 11

1(1)() lim lim

1(

1)()

m m m

n n n

x x

x x x x

x x x x

--

--

→→

--++

=

--++

…1

…1

=

m

n

注:此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。

【例2】求极限22

lim(1)

x

x x x

→+∞

+--

解22

22

1

lim(1)lim

2

1

x x

x x x

x x x

→+∞→+∞

+--==

++-

注:1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化与采取倒变量的方法。

2、一个最基本的多项式极限

1

12

1

12

lim

n n

n

m m

x

n

a x a x a

b x b x b

-

-

→+∞

+++

+++

…

…

(系数均不为0):

①若ｎ>m,则极限为正无穷;

②若n

③若n=m,则极限为1

1

a

b

。(本质为比较次数)

要注意的就是x就是趋向于正无穷,而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的

1

2次来计算,如21

x+的次数为１。

方法二:利用单调有界准则来证明极限存在并求极限

【例3】设112

u≥-,

1

12(1,2,...)

n n

u u n

+

=+=,证明lim n

n

u

→∞

存在并求之

方法三:利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。

【例4】求极限(1

lim

123...n n n n n n

→∞++++

解 因 (1111=123...=n n n

n n n n n n n n n

⋅<

+++<⋅ 而 lim1=lim =1n

n n n →∞

→∞

故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n

→∞

++++=1

方法四＆方法五:等价量代换、洛必达法则——未定式极限。(化加减为乘除！)

【例５】求极限tan 0

lim tan x x x e e x x

→--

解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x

-→→--==--

【例６】求极限112

1

lim ()x x x x a a

+→+∞

-

解

11

1111222(1)

1

1

1

lim ()=lim (1)lim 1(1)x x x

x x x x x x x x a a x a

a

x a

-++++→+∞

→+∞

→+∞

--=⋅⋅-=

21

lim 1ln ln (1)

x x a a x x →+∞⋅⋅

⋅=+