更新过程ppt课件

注：条件Poission过程不一定是增量独立过程
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更新过程的基本概念及基本性质
定义：
设{X k , k 1} 是独立同分布，取值非负的随机变量，
分布函数为 F (x) ，且 F(0) 1 。令
n
S0 0, S1 X1, Sn X k k 1
对 t 0 ，记：
N (t) sup{n : Sn t}
n1 k 1
k 1 nk
P{N (t) k} P{N (t) n}
k 1
n1
P{Sn t}
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n1
证明：根据以上的关系式，计算得
m(t) nP{N (t) n} nP{N (t) n}
n0
n1
n
P{N (t) n} P{N (t) n}
n1 k 1
k 1 nk
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更新函数
称 m(t) E{N (t)} 为更新函数。
关于更新函数，有以下重要的定理。
定理：对于 t 0 ，有： m(t) Fn (t) n1
证明：根据以上的关系式，计算得：
m(t) nP{N (t) n} nP{N (t) n}
n0
n1
n
P{N (t) n} P{N (t) n}
下面给出几个极限定理。
定理： 推论：
Plim n
Sn n
1
P
lim
n
Sn
1
推论： t 0 ，有： m(t) Fn (t) n1
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记： N() lim N(t) ，则有： t
定理： PN () 1
定理：
P
lim
t
N (t) t
1
1
证明：由于：
S t S N (t)
N (t )1
S N (t) t SN (t)1 N (t) 1 N (t) N (t) N (t) 1 N (t)
由以上的定理，两边取极限，我们可以得到
P
lim
t
N (t) t
1
1
1
注：我们称 为更新过程的速率
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更新过程
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非齐次（时齐）Poission过程
定义：一计数过程 { N (t), t 0} 称它为具有强度函数 {(t) 0, t 0} 的非齐次Poission过程，若满足： （a）N (0) 0 （b）独立增量过程，即任取 0 t1 t2 tn N (t1), N (t2 ) N (t1), , N (tn ) N (tn1) 相互独立； （c）对任意 t 0，和充分小的 t 0有：
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实际意义：
1 如 { N (t), t 0} 表示粒子流， N (t) 表示 [0,t] 内到达的粒子数，Yi 表示第 i 个粒子的能量，
则 X (t) 表示 [0,t] 内到达的粒子的总能量。
2 若 { N (t), t 0} 表示顾客流，Yi 表示第 i
个顾客的行李重量，则 X (t) 表示 [0,t] 内到达的 顾客的行李总重量。
G(x), x 0 ，设 { N (t), t 0} 是一计数过程，
且在给定条件 下，{ N (t), t 0}
是一Poission过程， 即 s, t 0, n N0 , 0
，有：
P{N (s
t)
N (s)
n
}
(t)n
et
n!
则称 { N (t), t 0} 是条件Poission过程。
3 若某保险公司买了人寿保险的人在时刻 S1, S2 , , Sn ,
死亡，在时刻 Sn 死亡的人的保险金额是 Yn ，在
[0,t] 内死亡的人数为 N (t) 则
N (t)
X (t) Yi
i 1
表示该公司在 [0,t] 内需要支付的赔偿金总额。 5
条件Poission过程
定义： 设 是一正的随即变量，分布函数为
Fn
(
x)
Fx 0 n1
(
x
u)d
F
(
x)
(n 2)
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证明：由全概率公式有
Fn (x) P{Sn x} P{Sn1 X n x}
P{S n 1
x
u
X n u} f Xn (u)d u
0 P{Sn1
x
u}d
F
(x)
x 0
P{S
n1
x
u}d
F
(x)
x
0
Fn1
(
x
u
)d
F
(
x)
即
Fn (x) 是 F (x) 的 n重卷积，记作： Fn Fn1 F
则称 {N (t), t 0} 为更新过程
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定理：
更新过程是一计数过程，并有：
{N (t) n} {Sn t}
{N (t) n} {Sn t S } n1 {Sn t} {Sn1 t}
记： Fn (s) 为 Sn 的分布函数，由
易知：
F1(x) F (x)
n
Sn Xk k 1
P{N (t) k} P{N (t) n}
k 1
n1
即有：
P{Sn t}
n1
m(t) Fn (t)
n1
推论：若对 t 0 ，F(t) 1 ，则有： m(t) F(t)(1 F(t))1
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更新方程
定理：t 0 , m(t) 满足下列更新方程：
m(t)
F
(t)
t
0
m(t
u)dF
P{N (t t) N (t) 1} (t)t (t) P{N (t t) N (t) 2} (t)
其中 (t) 0 （称为强度常数）
2
定理：若 { N (t), t 0为} 非时齐具有强度函数 {(t) 0, t 0} 的Poission过程，则 s,t 0 ，有：
P{N (s t) N (s) n} m(s t) m(s) n e[m(st)m(s)] (n 0)
n!
记：
m(t
)
t
0
(s)ds
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复合Poission过程 定义： 设 {Yi , i 1} 是独立同分布的随即变量序列，
{N (t), t 0} 为Poission过程，且 { N (t), t 0} 与 {Yi , i 1} 独立，记：
N (t)
X (t) Yi i 1
称 { X (t), t 0} Hale Waihona Puke Baidu复合Poission过程。
(u)
证明：由 m(t) Fn (t) ，得： n1
m(t) F (t) Fn (t) n2
将
Fn
(t)
t
0
Fn1
(t
u)d
F
(t)
(n 2)
代入上式，
即有所要的结果。
注：称 (t) dm(t) 为更新强度函数
dt
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更新过程的极限性质
令： E{X n} ，由 F(0 ) 1 ，可知 0