精品《初等几何研究》练习题

《初等几何研究》作业
一、填空题
1、对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作。

2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。

3、第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是。

4、欧氏平行公理是：。

5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是。

6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法。

7、过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。

8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是三角形。

9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是。

10、解作图问题的常用方法有：、、、等。

11、数学公理系统的三个基本问题是性、性和性.
12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的，否则称A、B在a的 .
13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是定理的推论.
14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了原理.
15、罗氏平行公理是： .
16、在罗氏几何中，共面的两条直线有种关系，它们分别是
17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、法、法等.
18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有
的关系.
19、尺规可作图的充要条件是 .
20．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性
和性.
21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的对应.
22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.
23．绝对几何包括有组公理，它们分别是 .
24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .
25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .
26、．常用的几何变换有等
27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .
28．请写出两条作图公法： .
29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。

30．巴士公理：设A、B、C三点不共线，a是A、B、C所在平面上的一条直线，但不通过A、B、C中任一点，若a通过线段AB上一点，则。

31．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由公理保证的。

32．欧氏几何公理系统共有组公理，它们分别是。

33．写出一条与罗氏平行公理等价的命题：。

34．罗氏函数的定义域是，值域是，其性质有和。

35．合同变换包括变换、变换和变换。

36．梅内劳斯定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点，则X、Y、Z共线的充要条件是。

37．解作图问题的步骤一般分为：、、、、。

二、问答题：
1、在数学公理系统中，模型指的是什么？
2、巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？
3、定义线段长度的两个条件是什么？
4、以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？
5、欧氏几何公理系统中，不加定义的原始概念有哪些？对它们为什么不加定义？
6、试给第一组公理一个模型.
7、第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？ 8、定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？
9．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 10．数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？ 11．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 12．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？ 13．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？
14．数学公理系统的三个基本问题中哪个最重要，必须首先满足？
15．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？ 16．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？
在⊿ABC 中，过A 作AD 交BC 于D ，如图所示。

设⊿ABC 的内角和为x ，用ω表示直角， 则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。

三、轨迹问题：
1、 若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。

2、 ⊿ABC 的底边BC 固定,∠A=α是定角，延长BA 至D ，使BD=BA+AC ，求D 点的轨迹．（只作分析，并指出轨迹的图形即可）
3、 到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.
若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。

四、作图问题
A B
C
D
1 2
3 4 5
6
1、给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）
2、从已知圆外一点作一割线，使其圆外部分和圆内部分长度相等.（只写作图过程并讨论）
3、已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y 之间的一段要求与x 垂直.（只写作图过程并证明）
4、已知一边和该边的对角及此角的角平分线，求作三角形.
5．给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）
6．求作一圆，使该圆过两定点，并与一定直线相切.（只写作图过程）
7．已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y 之间的一段要求与x 垂直。

（只写作图过程并证明）
8．给定锐角三角形ABC ，求作其内接正方形， 使其两个相邻顶点在BC 边上，
另两个顶点分别在AB 和AC 边上。

（只写作图过程） 五、证明题
1、证明线段的合同关系满足反身性和对称性.
2、已知正方形ABCD ，作BF ∥AC ，
使AF=AC ，（如右图）， 则3∠CAF=2∠CAB.
X Y
B
A
D C
x y
A
B
X
Y
B
A
3、用同一法证明命题：已知P 为正方形ABCD 内一点，若∠PAB=∠PBA=15o
，则⊿PCD 是等边三角形. 4、过圆中AB 弦的中点M 任作两弦CD 、EF ，设CF 、DE 与AB 分别交于P 、Q ，求证：PM=MQ .
5．利用前两组公理证明定理7：对于A 、C 两点, 直线AC 上至少有一点B 在A 、C 之间.
6．在⊿ABC 边AB 的同侧
作三个正方形ACEF 、 CBGH 、BAIJ （如右图）， 求证：FJ ∥AG ， 且FJ=AG .
7．利用第一组公理和第二组公理的前三条，证明每条直线上至少有5个不同的点。

8．已知⊿ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C = 4∶2∶1，求证：
E H
I
J
A
B
C
F
G
.1
11c
b a =+。