6函数的极值与导数讲义

函数的极值与导数讲义

:点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值.

(2)极大值点与极大值:点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y

x 0)＝0时：

(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是.

f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是.

一点附近的大小情况．

(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点． (3)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点．

如y ＝x 3，y ′(0)＝0，x ＝0不是极值点．

问题1如图观察，函数y ＝f (x )在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什

么关系？y ＝f (x )在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？

思考函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值点.

【例1】求下列函数的极值．

(1)f (x )＝3x ＋3ln x ； (2)f (x )＝2x

x 2＋1

－2.

【例2】已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．

【变式】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且知当x ＝－1时取得极大值7，当x ＝3时取得极小值，试求函数f (x )的极小值，并求a 、b 、c 的值．

【例3】 (12分)设a 为实数，函数f (x

)

＝－x 3＋3x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

练习1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.

练习2 求函数y＝x4－4x3＋5的极值．

练习3已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值. 练习4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极

值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是

函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.

练习5设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a

的取值范围.

练习6若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常

数k的取值范围.