2017年导数及其应用专题复习
专题04 导数的应用专题-2017年高考数学文考纲解读与热
【2017年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.【重点、难点剖析】1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的四则运算①u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝u ′ x v x －u x v ′ x [v x ]2(v (x )≠0)．3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x .4．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．5．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．6．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )＞0的必要不充分条件. 【题型示例】题型1、导数的几何意义【例1】【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =．【答案】1ln 2- 【解析】【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值． 【举一反三】(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P处的切线垂直，则P 的坐标为________．【答案】 (1，1)【解析】 ∵(e x)′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′x ＝x 0＝－1x 20＝－1， 又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)． 【变式探究】 (1)曲线y ＝x ex －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1(2)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【命题意图】 (1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义． (2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力． 【答案】(1)C (2)－3【感悟提升】1．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．题型2、利用导数研究函数的单调性【例2】【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；223322(2)(1)()a ax x f 'x a x x x x--=--+=. 当0≤a ，)1,0(∈x 时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；(1,),()0x f 'x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，3(1)()(a x f 'x x x x -=+.（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a ，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，()0f 'x >，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减. 综上所述，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，22321122()()ln (1)x f x f 'x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则()()()()f x f 'x g x h x -=+，由1()0x g 'x x-=≥可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号.又24326()x x h'x x --+=，【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同．【举一反三】(2015·福建，10)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1【答案】 C【解析】 ∵导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，∴f ′(x )－k ＞0，k －1＞0，1k －1＞0，可构造函数g (x )＝f (x )－kx ，可得g ′(x )＞0，故g (x )在R 上为增函数，∵f (0)＝－1，∴g (0)＝－1，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＞－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴选项C 错误，故选C.【变式探究】(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－e －x－2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值；(3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．【命题意图】本题主要考查导数的综合应用，涉及利用导数求函数的单调区间、求函数的最值、估计无理数的近似值等，考查基本不等式的应用与分类讨论思想的应用，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力与对知识的综合应用能力．【感悟提升】1．利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f′(x);第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．2．根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f′(x)．(2)将单调性转化为导数f ′(x )在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅱ，21)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|0≤e－1，求m 的取值范围．(2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在－1，0]上单调递减，在0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e－1，f （－1）－f （0）≤e－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m ＋m ≤e－1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈－1，1]时，g (t )≤0.当m ∈－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0， 即e m－m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0， 即e －m＋m ＞e －1.综上，m 的取值范围是－1，1]．【规律方法】讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．题型3、利用导数研究函数的极值与最值 【例3】【2016高考江苏卷】（本小题满分16分） 已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
2017年导数及其应用专题复习
2017年导数及其应用专题复习知识点复习1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000；．3y f x =,x f x P4①C ⑤(5()1()2()367（1（3（48()1()2009、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根（4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．复习考点例题讲解考点一：求导公式。
例1.()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。
解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f例2.=。
()251=f ，所以例3.y =5+x 例4.00≠，求直线l 的方程及切点坐标。
解析： 直线过原点，则()000≠=x x y k 。
由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴2302000+-=x x x y 。
又263'2+-=x x y ，∴ 在()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴ 26323020020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：230=x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。
2017年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用
2017年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用sin2 x1. (2017年新课标I文)&函数y 的部分图像大致为(C)1 - cosx2 X」'2. ( 2017年新课标n卷理)11.若x = —2是函数f(x)=(x +ax—1)e 的极值点，贝U f (x)的极小值为()3 3A. -1B. -2e_C. 5e_D.1【答案】A【解析】由题可得 f (x) = (2x a)e xJ (x2 ax -1)e xJ =[x2 (a 2)x a -1]e xJ因为f (_2) =0，所以a = -1 , f (x) =(x2 -x-1)e x」，故f (x) =(x2 x-2)e x」令f (x)・0，解得x：：：-2或x 1，所以f(x)在(_：：,_2),(1,=)单调递增，在(-2,1)单调递减所以f (x)极小值=f(1) =(1 一1 一1)£」=一1，故选A。
3. (2017 年新课标I文)9 •已知函数f(x)=l nx ■ l n(2 -x)，贝y (C)A • f(x)在(0,2)单调递增B. f (x)在(0,2)单调递减C. y= f(x)的图像关于直线x=1对称D . y= f (x)的图像关于点(1,0)对称4. (2017年浙江卷)函数y=f(x)的导函数y = f (x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选 D.2 x 1 x5. (2017年新课标川卷理)11 .已知函数f(x)=x -2x a(e e )有唯一零点，则a=【答案】C【解析】壬—2* —"严),设g⑴=严+总十】,g((x) = ^1-八J =穴-刍=,e e当了(© = 0时，*1,当兀<1时，/(x)<0函数单调递减，当el时，函数单调递増,当尤二1时，函数取得最小值富⑴=2,设h(xj=x -2x f当兀二1时丿函数取得最小值-1,若-口>0 ,函数A(A),和昭仗)没有交点，当-^<0时，-慫⑴力⑴时，此时函数缺X)和购(对有一t交点,即_<7x2 = —1^ a =— j 故选C76. ( 2017年新课标n卷理)21.已知函数f x =ax -ax-xlnx，且f x -0。
2017届高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第5课时 指数与指数函数课件 理
1．(2016·河南三市一模)函数f(x)＝2|x－1|的图像是( )
解析：f(x)＝2|x－1|的图像是由y＝2|x|的图像向右平移1个单位得 到的，由此得到正确选项为B.
答案：B
2．(2016·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共 点，则b的取值范围是__________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可 知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b ∈[－1,1]．
解 (1)法一：∵f(x)是定义域在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴a·22－－x＋x＋a1－2＝－a·22x＋x＋a1－2， ∴2(a－1)(2x＋1)＝0， ∴a＝1.
法二：∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(0)＝0， 即2a－ 2 2＝0， ∴a＝1.
∴当x1<x2时，2x1<2x2， ∴f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在R上是增函数．
1．若m，n是方程x2＋x－1＝0的两根，则2m·2n＋(2m)n等于
()
A．1
B.52
C．4
D．2
解析：由题意知m＋n＝－1，m·n＝－1.
∴2m·2n＋(2m)n＝2m＋n＋2m·n＝2－1＋2－1＝1.
答案：A
2．计算下列各式的值．
考点二 指数函数的图像及应用 [例2] 函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是( )
x＋
1 3
x有最小值
5 6
.所以m≤
5 6
，即m的取值范围是
－∞，56.
指数幂大小比较的方法
[典例]
设a＝
3 5
，b＝
2 5
，c＝
2 5
大高考2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第二节导数的应用课件理
[解题指导] (1) 求导数f′（x） → 解不等式f′（x）＞0 → 确定f（x）递增区间 不等式f′（x）≤0 (2) f（x）在（－2，3）上为减函数 → → 在（－2，3）上恒成立 分离参数，求函数最值 → 确定a范围
＝0，所以 f(x)在[－1，1)上的最大值为 2. ②当 1≤x≤e 时，f(x)＝aln x，当 a≤0 时，f(x)≤0； 当 a＞0 时，f(x)在[1，e]上单调递增，则 f(x)在[1，e]上的最大值 为 f(e)＝a.故当 a≥2 时，f(x)在[－1，e]上的最大值为 a；当 a＜ 2 时，f(x)在[－1，e]上的最大值为 2.
(1)解
b f′(x)＝1＋2ax＋x .
f（1）＝0， 1＋a＝0， 由已知条件得 即 f′（1）＝2， 1＋2a＋b＝2.
解得 a＝－1，b＝3. (2)证明 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知 f(x)＝x－x2＋3ln x. 设 g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x， （x－1）（2x＋3） 3 则 g′(x)＝－1－2x＋x ＝－ . x
答案 (0，1)
(2)[利用单调性求参数的取值范围]函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞) 上是增函数，则实数a的取值范围为________. 解析 f′(x) ＝ 3x2 ＋ a ，则 3x2 ＋ a≥0 在 [1 ，＋ ∞) 上恒成立，即
a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，所以a≥－3，且a＝－3时，f′(x)
2.解决优化问题的基本思路
►利用导数求函数最值.
(5)[若为闭区间，可直接比较函数值，若为闭区间注意，利用
2017高考数学考试大纲解读系理科：专题3 导数及其应用 Word版含解析
专题三导数及其应用考纲原文呈现1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景； （2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C ，（C 为常数），231,,,,y x y x y x y y x=====的导数．（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f (ax +c )的复合函数）的导数．①常见基本初等函数的导数公式：()0C '=（C 为常数）；1()()n n x nx n N -+'=∈； (sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；()x x e e '=；()ln (01)x x a a a a a '=>≠且；1(ln )x x '=；1(log )log a a x e x'=(01)a a >≠且． ②常用的导数运算法则：法则1：[()()]()()u x v x u x v x '''+=+．法则2：[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+．法则3：2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠． 3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义．考情分析与预测导数在研究单调性与求最值中应用12命题预测本部分是高考重点考查内容，涉及的知识点多，综合性强，预计2017年的高考仍将突出导数的工具性，重点是利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题，其中蕴含对转化与化归、分类与讨论和数形结合等数学思想方程的考查，常与函数的单调性、方程的零点、不等式的证明及恒成立问题交汇命题，难度较大．主要题型仍将有：（1）以小题形式考查导数与定积分的计算及其几何意义；（2）以大题的形式出现，考查导数在函数的应用中（单调性，极值与最值）．样题深度解读主要有两种题型：（已知函数的单调区间，此样题分析首先求出函数()f x 的导函数(f x '的值，再利用定积分求得图象阴影部分的面积，押题：设函数()22ln f x x bx a x =+-．（1）当5,1a b ==-时，求()f x 的单调区间；（2）若对任意[]3,2b ∈--，都存在()21,x e ∈（为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数的取值范围．【解析】（1）当5,1a b ==-时，()225ln f x x x x =--，其定义域为()0,+∞，()()()245154541x x x x f x x x x x-+--'=--==， 由()0f x '<，得514x -<<，由()0f x '>，得1x <-或54x >． 因为定义域为()0,+∞，所以()f x 的递减区间为50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的递增区间为5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭．()()2820,1,x x x e ϕ'=->∈，所以()x ϕ在()21,e 上单调递增，所以()()12x a ϕϕ>=-，当2a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，所以()h x 在()21,e 上单调递增，所以()()10h x h >=，不符合题意．当2a >时，()()242120,42a e e e a ϕϕ=-<=--，若()20e ϕ≤，即()422242212a e e e e ≥-=->时，()0x ϕ<，即()0h x '<，()h x 在()21,e 上单调递减，又()10h =，所以存在()21,x e ∈，使得()00x ϕ<，若()20e ϕ>，即42242a e e <<-时，在()21,e 上存在实数m ，使得()0m ϕ=，即()1,x m ∈时，()()0,0x h x ϕ'<<，所以()h x 在()1,m 上单调递减，所以()01,x m ∈，使得()()010h x h <=．综上所述，当2a >时，对任意[]3,2b ∈--，存在()21,x e ∈，使得()0f x <成立．。
2017年高考数学深化温习命题热点提分专题07导数及其应用理
因此现在f(x)没有零点．
综上，当1<a≤2时，f(x)没有零点；当a>2时，f(x)有一个零点．
13．设函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)判定f(x)的单调性；
(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围；
②假设a≠0，∵x>1，∴只需 ＝lnx－ <0在(1，＋∞)上恒成立．
记h(x)＝lnx－ ，x∈(1，＋∞)，
则h′(x)＝－ ＝－ ，x∈(1，＋∞)．
由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝ .
若a<0，那么x2＝ <1＝x1，
∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，故h(x)为增函数，
∴h(x)>h(1)＝0，不合题意．
解析：函数f(x)＝2x－lnx的概念域为(0，＋∞)，由f′(x)＝2－ ≥0，解得x≥ ，因此函数f(x)＝2x－lnx的单调递增区间为 .
答案：
6．已知f(x)＝axlnx＋1(a∈R)，x∈(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)＝2，那么a＝________.
解析：∵f′(x)＝alnx＋a，∴f′(1)＝a＝2.
(2)假设存在如此的实数a知足条件，不妨设0<x1<x2.
由 >a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，
令g(x)＝f(x)－ax＝ x2－2alnx－2x，那么函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g′(x)＝x－ －2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立，那么a≤－ .
9．已知函数f(x)＝ x2－2alnx＋(a－2)x，a∈R.
2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题07 导数及其应用 文
专题07 导数及其应用 文【考向解读】高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2017年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．【命题热点突破一】导数的几何意义例1、【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2- 【解析】【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．【变式探究】 函数f(x)＝e xsin x 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6【答案】C【解析】因为f′（x ）＝e x sin x ＋e xcos x ，所以f′（0）＝1，即曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线的斜率为1，所以在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为π4.【命题热点突破二】函数的单调性 与最值 例2、【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a ，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增； 当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增.【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋ax，求函数f(x)的单调区间和极值．(2)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值，求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值．【解析】f′（x），f（x）随x的变化情况如下：所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.当m≥1时，f（x）在[m，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（m）＝（m－2）e m.当0＜m＜1时，m＜1＜m＋1，f （x ）在[m ，1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增，f （x ）min ＝f （1）＝－e.当m≤0时，m ＋1≤1，f （x ）在[m ，m ＋1]上单调递减，f （x ）min ＝f （m ＋1）＝（m －1）e m ＋1.综上，f （x ）在[m ，m ＋1]上的最小值f （x ）min ＝⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）e m，m≥1，－e ，0<m<1，（m －1）e m ＋1，m≤0.【感悟提升】利用导数求函数极值的一般步骤：对可导函数求出导数等于零的点，然后判断在导数等于零的点两侧导数的符号，先确定其是否为极值点，若是极值点，则再确定是极大值点还是极小值点．【命题热点突破三】函数的单调性与不等式 例3、已知f(x)＝xe x＋ax 2－x ，a ∈R . (1)当a ＝－12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，恒有f′(x)－f(x)≥(4a＋1)x 成立，求实数a 的取值范围．（2）设g （x ）＝f′（x ）－f （x ）－（4a ＋1）x ＝e x－ax 2－2ax －1， 则由题可知，当x≥0时，g （x ）≥0恒成立.g′（x ）＝e x－2ax －2a ＝u （x ），u′（x ）＝e x－2a ，当x≥0时，e x≥1.①当2a≤1，即a≤12时，u′（x ）≥0，g′（x ）＝e x－2ax －2a 在[0，＋∞）上单调递增，所以g′（x ）≥g′（0）＝1－2a≥0，所以g （x ）在[0，＋∞）上单调递增，所以g （x ）≥g（0）＝0恒成立.②当2a>1，即a>12时，令u′（x ）＝0，得x ＝ln 2a.当x ∈[0，ln 2a ）时，u′（x ）<0，g′（x ）＝e x－2ax －2a 在[0，ln 2a ）上单调递减，所以当x ∈[0，ln 2a ）时，g′（x ）＝e x－2ax －2a≤g′（0）＝1－2a<0，则g （x ）在[0，ln 2a ）上单调递减，于是g （x ）≤g（0）＝0，这与g （x ）≥0恒成立矛盾. 综上可得，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 【感悟提升】对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一般是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题．但要注意的是分离参数不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，则不要分离参数．【变式探究】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe －x 2＋mx ，x ∈（0，1），ln x －x ＋2，x ∈[1，＋∞），其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数，m ∈R .(1)若函数f(x)为(0，1)上的单调增函数，求m 的取值范围； (2)对任意的1<a<b ，求证：f （b ）－f （a ）b －a <1a （1＋a ）.（2）证明：依题意知，当x ∈[1，＋∞）时，f （x ）＝ln x －x ＋2，所以f （b ）－f （a ）b －a ＝ln b －ln a ＋a －bb －a ＝ln b －ln a b －a －1＝lnba b a －1·1a －1.记g （x ）＝x －ln x －1（x ∈[1，＋∞）），因为g′（x ）＝1－1x ＝x －1x≥0，所以g （x ）在[1，＋∞）上单调递增，则g （x ）≥g（1）＝0，从而ln x≤x－1（x ∈[1，＋∞））. （*）又因为1<a<b ，所以b a >1，由（*）式，知ln b a <ba －1，即ln ba ba －1<1，于是，ln b a b a －1·1a －1<1a －1＝1－a a ＝1－a 2a （1＋a ）<1a （1＋a ）.故当1<a<b 时，不等式f （b ）－f （a ）b －a <1a （1＋a ）成立.【感悟提升】用导数证明不等式问题，实质上是研究函数在一个区间上的恒成立问题，因此，证明的基本思路就是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，再根据函数的性质推断不等式成立．解题时注意技巧的总结：①树立服务意识，所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值等，服务于要证明的不等式；②强化变形技巧，所谓“变形技巧”是指对于给定的不等式无法直接证明，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明，例如采用两边取对数(指数)、移项、通分等方法．【命题热点突破四】定积分例4、(1) 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．(2) 如图71所示，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．图71【答案】（1）16 （2）1.2【解析】【感悟提升】定积分的应用主要是求曲边形的面积，其方法是根据定积分的几何意义把曲边形的面积表示为函数的定积分．【变式探究】一列火车在平直的铁轨上行驶，遇到紧急情况时，火车紧急刹车，此时火车以速度v （t ）＝5－t ＋551＋t（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）减速至停止，在此期间火车继续行驶的距离是（ ）A.55ln 10 mB.55ln 11 mC.（12＋55ln 7）mD.（12＋55ln 6）m【答案】B 【解析】令5－t ＋551＋t ＝0，得t ＝10（舍去负值），即经过10 s 火车停止，行驶的距离s ＝⎠⎛010⎝⎛⎭⎪⎫5－t ＋55t ＋1dt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5t －12t 2＋55ln （t ＋1）|100＝55ln 11（m ），即紧急刹车后火车继续行驶的距离是55ln 11 m.【高考真题解读】1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,xy x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。
(浙江专用)2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数在研究函数中的应用课件
当－12＜a＜0 时，f(x)在0，－（a＋1）a ＋ 2a＋1，
－（a＋1）－
a
2a＋1，＋∞上单调递减，
在－（a＋1）a ＋ 2a＋1，－（a＋1）a － 2a＋1上单调递增.
规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于 准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取 值对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若可导函数f(x) 在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可 转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式， 要注意“＝”是否可以取到.
(2)由题意得 g′(x)＝2x＋ax－x22，函数 g(x)在[1，＋∞)上是单调 函数. ①若 g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则 g′(x)≥0 在[1，＋∞) 上恒成立，即 a≥2x－2x2 在[1，＋∞)上恒成立，设 φ(x)＝2x－2x2， ∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0. ②若 g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则 g′(x)≤0 在 [1，＋∞)上恒成立，不可能. ∴实数 a 的取值范围为[0，＋∞).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增的充要条件是f′(x)＞ 0.( ×) (2)函数的极大值一定比极小值大.( × ) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.(× ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一 定是极小值.( √ )
2.(人教A选修2－2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象， 则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(江苏专用)高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理-人教版高三全册数学
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1．导数与导函数的概念(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)．(2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α为常数)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)[f xg x ]′＝f ′x g x －f x g ′xg 2x(g (x )≠0)．5．复合函数的导数若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．答案 3解析 ∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________．答案 ④解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除①③.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，由图知②不符合，④符合，故④正确．3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________.答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值X 围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x＋12＝－4e xe 2x ＋2e x＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. ∵e x >0，∴e x ＋1e x ≥2，当且仅当e x＝1e x ＝1，即x ＝0时，“＝”成立．∴y ′∈[－1,0)， ∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5．(2015·某某)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x－2x＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1； (5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x)′＋e′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.(4)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln x x 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－2x ln xx 2＋12＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋12.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0＝________.(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 答案 (1)1 (2)－2解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为__________．(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．答案 (1)x －y －3＝0 (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx2，则f ′(1)＝1， 故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是__________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________．答案 (1)2x －y －1＝0 (2)x －y －1＝0解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0. 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________. 答案 －2解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.命题点4 导数与函数图象的关系例5 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的________(填序号)．答案 ④解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为__________________． (2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 (2)－e 解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)， ∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1. ∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0， ∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18，∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e.4．求曲线的切线方程条件审视不准致误典例 (14分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．易错分析 由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况． 规X 解答解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得在原点处的切线斜率k ＝2， 即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.[5分](2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .[9分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.[12分]综上，a ＝1或a ＝164.[14分]温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论．[方法与技巧]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程． [失误与防X]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________. 答案 －1解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________．答案 1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则曲线在x ＝x 0处的切线斜率k ＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 016(x )＝____________.答案 sin x －cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x .4．设曲线y ＝ax －ln x 在点(1,1)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3解析 令f (x )＝ax －ln x ，则f ′(x )＝a －1x.由导数的几何意义可得在点(1,1)处的切线的斜率为f ′(1)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝______________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 6．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 7．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0， 则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9. 8．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为______________． 答案 x ＋4y －2＝0解析 y ′＝－e x e x ＋12＝－1e x ＋1ex ＋2， 因为e x >0，所以e x ＋1ex ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)， 则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)． 当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，12)， 切线的方程为y －12＝－14(x －0)， 即x ＋4y －2＝0.9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14. ∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.10．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 00203()()－＝1＋y y x x x - 即0020033()()＝(1+)－．y x x x x x -- 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．答案 14解析 由题意可知()1212，f x x -'=g ′(x )＝a x ， 由f ′(14)＝g ′(14)，得1211()1244＝，a -⨯ 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 12．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134 解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大． 13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. 14．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________． 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 热点专题突破一 函数与导数的综合问题课件 理
1 -1)- x(x2-3a)→+∞, 3
(3)由(2)知,当 a=1 时,g(x)>f(x)对 x>0 恒成立, 即 ex>1+ln(x+1). 令
1 1 x= , 则e10 10 x
> 1 + ln 1.1 ≈ 1.0953 >
1095 . 1000
由(2)知,当 a=-1 时,g(x)>f(x)对 x<0 恒成立,
D 正确.
考点 2 利用导数研究函数的零点与方程的根的问 题
试题一般是以含参数的三次式,分式,指数式、对数式及三角式结 构的函数零点或方程根的形式出现,是每年高考命题高频热点, 常有以下两种考查形式 :(1)确定函数的零点、图象的交点及方程 根的个数问题 ;(2)应用函数的零点、图象的交点及方程根的存在 问题来求参数值或范围.
π 3π , 2 2 1 2 ������ 2
1
1
+ 1 cos ������, 又因为������′(−������) =
3π ,2π 2
1 (-������ )2 2
+ 1 cos(−������) = 时, ������′(������) > 0, 当������ ∈
������′(������), 所以导函数为偶函数, 排除选项 A, B; 当������ ∈ 时, ������′(������) < 0, 当������ ∈ 确. 【参考答案】 C
������+������ 对称,则函数 2
y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是
(
)
A.①④
B.②④
C.②③
D.③④
D 【解析】 因为函数 y=f(x)的导函数在区间(a,b)的图象关于直线 x= 那么导函数要么图象无增减性, 要么是在直线������ = 由图得在������处切线斜率最小, 在������处切线斜率最大, 故导函数在(������, ������)
2017年高考数学考纲揭秘专题3导数及其应用理
（三）导数及其应用考纲原文1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C ，（C 为常数），231,,,,y x y x y x y y x=====. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f (ax +b )的复合函数）的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.高考预测与2016年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2017年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用，或以定积分的简单应用为主，难度中等；“一大”即以压轴题的形式呈现，仍会以导数的应用为主，主要考查导数、含参不等式、方程、探索性等方面的综合应用，难度较大.新题速递1．若32()=242()()3f x m n x mx m x n ∈++-+R ，在R 上有两个极值点，则m 的取值范围为 A ．(1,1)-B ．(1,2)C ．(,1)(2,)-∞+∞UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U 2．已知函数22()ln (,,0)f x a x b x a b b =-∈≥R ，函数1()ln 2g x a x x =-在点(1,(1))g 处的切线与直线210x y --=平行．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x >时，不等式22()(21)()f x b x b b x <+-+恒成立，求实数b 的值或取值范围．答案1．C 【解析】依题意，得22()1243f x x mx m '=++-，∴22()124=03f x x mx m '=++-有两个不相等的实数根，221648()03m m ∆=-->∴，即2320m m -+>，∴2m >，或1m <，故选C ． 2．【解析】（1）因为1()2ag x x '=-，则由题意知1(1)2g '=，所以1122a -=，即1a =． 所以22()ln (0)f x xb x b =-≥，定义域为(0,)+∞．21()2f x b x x '=-= 当0b >时，由()0f x '≥，得函数()f x 的单调递增区间为(0,]2b，由()0f x '<，得函数()f x 的单调递减区间为(,)2b +∞； 当0b =时，由()0f x '>，得函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，②当12b ≥时，()1 x ∈+∞，时，()0h'x >恒成立，所以()h x 在()1 +∞，上是增函数，且()()()1 h x h ∈+∞，所以不符合题意. ③当0b =时，()1 x ∈+∞，时，恒有()0h'x <，故()h x 在()1 +∞，上是减函数， 于是“()0h x <对任意()1 x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210b b -+≤，解得1b ≥-，故取0b =，综上，0b =．。
2017届高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数课件
►名师点拨 指数函数图象的应用 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、 对称变换得到其图象。 (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合 求解。
通关特训 2 已知实数 a，b 满足等式 2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0
当 f(x－2)＞0 时，
x－2≥0，
x－2＜0，
有2x－2－4＞0， 或2－x＋2－4＞0，
解得 x＞4 或 x＜0。
答案：(1)A (2)B
►名师点拨 指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小问题。常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法。 (2)简单的指数方程或不等式的求解问题。解决此类问题应利用指数函数的单调 性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论。 (3)指数型函数中参数的取值范围问题。在解决涉及指数函数的单调性或最值问题 时，应注意对底数 a 的分类讨论。
3．指数函数的图象与性质 y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域 值域 性质
R (0，＋∞)
(1)过定点□18 ____(0_,_1_)___
y＝ax 性质
a＞1
0＜a＜1
(2)当 x＞0 时，□19 _y_＞__1_；x＜0 (2)当 x＞0 时，□21 _0_＜__y＜__1___；
时，□200_＜__y_＜__1
B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C.32，＋∞ D．(1， 3]∪[3，＋∞)
(3)设 a＞0 且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1,1]上的最大值是 14，则 a 的值 为__________。
解析：(1)∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝12－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2， ∴21.6＞21.38＞21.2。即 a＞b＞c，故选 A。
2017年高考数学考点解读命题热点突破专题07导数及其应用文
专题07 导数及其应用 文【考向解读】高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测2017年高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．【命题热点突破一】导数的几何意义例1、【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2- 【解析】【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．【变式探究】 函数f(x)＝e xsin x 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6【答案】C【解析】因为f′（x ）＝e xsin x ＋e xcos x ，所以f′（0）＝1，即曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线的斜率为1，所以在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为π4.【命题热点突破二】函数的单调性 与最值 例2、【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a ，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（3）2>a 时，120<<a ，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增； 当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增.【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋ax，求函数f(x)的单调区间和极值．(2)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值，求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值．【解析】f′（x），f（x）随x的变化情况如下：x（－∞，1）1（1，＋∞）f′（x）－0 ＋f（x）减－e 增所以函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.当m≥1时，f（x）在[m，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（m）＝（m－2）e m.当0＜m＜1时，m＜1＜m＋1，f （x ）在[m ，1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增，f （x ）min ＝f （1）＝－e.当m≤0时，m ＋1≤1，f （x ）在[m ，m ＋1]上单调递减，f （x ）min ＝f （m ＋1）＝（m －1）e m ＋1.综上，f （x ）在[m ，m ＋1]上的最小值f （x ）min ＝⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）e m，m≥1，－e ，0<m<1，（m －1）e m ＋1，m≤0.【感悟提升】利用导数求函数极值的一般步骤：对可导函数求出导数等于零的点，然后判断在导数等于零的点两侧导数的符号，先确定其是否为极值点，若是极值点，则再确定是极大值点还是极小值点．【命题热点突破三】函数的单调性与不等式 例3、已知f(x)＝xe x＋ax 2－x ，a ∈R . (1)当a ＝－12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，恒有f′(x)－f(x)≥(4a＋1)x 成立，求实数a 的取值范围．（2）设g （x ）＝f′（x ）－f （x ）－（4a ＋1）x ＝e x－ax 2－2ax －1， 则由题可知，当x≥0时，g （x ）≥0恒成立.g′（x ）＝e x－2ax －2a ＝u （x ），u′（x ）＝e x－2a ，当x≥0时，e x≥1.①当2a≤1，即a≤12时，u′（x ）≥0，g′（x ）＝e x－2ax －2a 在[0，＋∞）上单调递增，所以g′（x ）≥g′（0）＝1－2a≥0，所以g （x ）在[0，＋∞）上单调递增，所以g （x ）≥g（0）＝0恒成立.②当2a>1，即a>12时，令u′（x ）＝0，得x ＝ln 2a.当x ∈[0，ln 2a ）时，u′（x ）<0，g′（x ）＝e x－2ax －2a 在[0，ln 2a ）上单调递减，所以当x ∈[0，ln 2a ）时，g′（x ）＝e x－2ax －2a≤g′（0）＝1－2a<0，则g （x ）在[0，ln 2a ）上单调递减，于是g （x ）≤g（0）＝0，这与g （x ）≥0恒成立矛盾. 综上可得，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 【感悟提升】对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一般是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题．但要注意的是分离参数不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，则不要分离参数．【变式探究】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe －x 2＋mx ，x ∈（0，1），ln x －x ＋2，x ∈[1，＋∞），其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数，m ∈R .(1)若函数f(x)为(0，1)上的单调增函数，求m 的取值范围； (2)对任意的1<a<b ，求证：f （b ）－f （a ）b －a <1a （1＋a ）.（2）证明：依题意知，当x ∈[1，＋∞）时，f （x ）＝ln x －x ＋2，所以f （b ）－f （a ）b －a ＝ln b －ln a ＋a －bb －a ＝ln b －ln a b －a －1＝lnba b a －1·1a －1.记g （x ）＝x －ln x －1（x ∈[1，＋∞）），因为g′（x ）＝1－1x ＝x －1x≥0，所以g （x ）在[1，＋∞）上单调递增，则g （x ）≥g（1）＝0，从而ln x≤x－1（x ∈[1，＋∞））. （*）又因为1<a<b ，所以b a >1，由（*）式，知ln b a <ba －1，即ln ba ba －1<1，于是，ln b a b a －1·1a －1<1a －1＝1－a a ＝1－a 2a （1＋a ）<1a （1＋a ）.故当1<a<b 时，不等式f （b ）－f （a ）b －a <1a （1＋a ）成立.【感悟提升】用导数证明不等式问题，实质上是研究函数在一个区间上的恒成立问题，因此，证明的基本思路就是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，再根据函数的性质推断不等式成立．解题时注意技巧的总结：①树立服务意识，所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值等，服务于要证明的不等式；②强化变形技巧，所谓“变形技巧”是指对于给定的不等式无法直接证明，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明，例如采用两边取对数(指数)、移项、通分等方法．【命题热点突破四】定积分例4、(1) 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．(2) 如图71所示，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．图71【答案】（1）16 （2）1.2【解析】【感悟提升】定积分的应用主要是求曲边形的面积，其方法是根据定积分的几何意义把曲边形的面积表示为函数的定积分．【变式探究】一列火车在平直的铁轨上行驶，遇到紧急情况时，火车紧急刹车，此时火车以速度v （t ）＝5－t ＋551＋t（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）减速至停止，在此期间火车继续行驶的距离是（ ）A.55ln 10 mB.55ln 11 mC.（12＋55ln 7）mD.（12＋55ln 6）m【答案】B 【解析】令5－t ＋551＋t ＝0，得t ＝10（舍去负值），即经过10 s 火车停止，行驶的距离s ＝⎠⎛010⎝⎛⎭⎪⎫5－t ＋55t ＋1dt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5t －12t 2＋55ln （t ＋1）|100＝55ln 11（m ），即紧急刹车后火车继续行驶的距离是55ln 11 m.【高考真题解读】1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,xy x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。
专题1.3 导数及其应用-2017年全国高考数学考前复习大串讲
【知识网络】【考点聚焦】1.原题（选修2-2第十一页习题1.1B 组第一题）改编 在高台跳水中，t s 时运动员相对水面的高度(单位：m ）是105.69.4)(2++-=t t t h 则t=2 s 时的速度是_______.【答案】13.1(/)m s -.2.原题（选修2-2第十九页习题1.2B 组第一题）变式记21sin 23sin,23cos ,21cos -===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ）A ．A B C >> B ．A C B >> C ． B A C >> D.C B A >>【答案】B.3.原题（选修2-2第二十九页练习第一题）变式 如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数（ ）A. 13(,)x xB. 24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x 【答案】B.【解析】函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B.4.原题（选修2-2第三十二页习题 1.3B 组第1题（4））变式 1 设02x π<<，记s i n l n s i n ,s i n ,xa xb xc e === 试比较a,b,c 的大小关系为（ ）A a b c <<B b a c <<C c b a <<D b c a << 【答案】A.变式2 证明：()x x x ≤+≤+-1ln 111，1x >- 【解析】（1）构造函数()x x x f -+=1ln )(，11)(-=-='xx f )1(->x ，当,0=x ()00='f ，得下表,1->∴x 总有,0)0()(=≤f x f (),01ln ≤-+∴x x ().1ln x x ≤+∴另解1111)(+-=-+='x xx x f )1(->x ，当,0=x ()00='f ， 当01<<-x ， ())(,0x f x f >'单调递增，,0)0()(,01=<<<-∴f x f x ……①当0>x ，())(,0x f x f <'单调递减，,0)0()(,0=<>∴f x f x ………………② 当,0=x ()00=f…………………………………………………………③综合①②③得：当1->x 时，,0)(≤x f (),01ln ≤-+∴x x ().1ln x x ≤+∴ （2）构造函数,111)1ln()(-+++=x x x g ()()2211111)(+=+-+='x x x x x g ， 当,0=x ()00='g ，当,01<<-x ())(,0x g x g <'单调递减；当,0>x ())(,0x g x g >'单调递增；)(,0x g x =∴极小值=[]0)0()(min ===g x g ，,1->∴x 总有∴=≥,0)0()(g x g ,0111)1ln(≥-+++x x 即：)1ln(111x x +≤+-. 综上（1）（2）不等式()x x x ≤+≤+-1ln 111成立. 5.原题（选修2-2第三十七页习题1.4A 组第1题）变式 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________.【感受高考】1.【2016高考新课标1文数】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】试题分析：()21cos2cos 03f x x a x '=-+…对x ∈R 恒成立, 故()2212cos 1cos 03x a x --+…,即245cos cos 033a x x -+…恒成立, 即245033t at -++…对[]1,1t ∈-恒成立,构造()24533f t t at =-++,开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值,故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩……,解得1133a -剟．故选C ．2.【2015新课标1理12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则的取值范围是（ ）(A)-32e ，1） (B)-32e ，34） (C)32e ，34） (D)32e，1）【答案】D3.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =-- 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()l n 3f x x x-=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．4.【2016高考新课标1卷理数】已知函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞ 【解析】又(1)f e =-,(2)f a =,取满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,l n (2x a ∈-时,'()0f x <；当(l n (2),x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 综上,的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <,由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<． 由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<．5.【2016高考新课标1文数】已知函数()()()22e 1xf x x a x =-+-．(I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【答案】见解析(II) ()0,+∞【解析】(ii)设0a <,由()'0f x =得x =1或x =ln(-2a).①若2e a =-,则()()()'1xf x x e e =--,所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2ea >-,则ln(-2a)<1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增,在()()ln 2,1a -单调递减. ③若2ea <-,则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >,当()()1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年导数及其应用专题复习知识点复习1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．4、常见函数的导数公式：①'C 0=； ②1')(-=n n nxx ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．7、求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．9、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根（4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．复习考点例题讲解考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
解析：因为21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。
解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例 4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析： 直线过原点，则()000≠=x x y k 。
由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴2302000+-=x x x y 。
又263'2+-=x x y ，∴ 在()00,y x 处曲线C的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴26323020020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：230=x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。
所以，直线l 的方程为x y 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛-83,23。
答案：直线l 的方程为x y 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
解析：函数()x f 的导数为()163'2-+=x ax x f 。
对于R x ∈都有()0'<x f 时，()x f 为减函数。
由()R x x ax ∈<-+01632可得⎩⎨⎧<+=∆<012360a a ，解得3-<a 。
所以，当3-<a 时，函数()x f 对R x ∈为减函数。
（1） 当3-=a 时，()98313133323+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-=x x x x x f 。
由函数3x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 是，函数()x f 对R x ∈为减函数。
（2） 当3->a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。
所以，当3->a 时，函数()x f 在R 上不是单调递减函数。
综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。
答案：3-≤a点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例6. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。
解析：（1）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．，解得3a =-，4b =。
（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。
当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>。
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+。
则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+。
因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，。
答案：（1）3a =-，4b =；（2）(1)(9)-∞-+∞，，。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
考点六：函数的最值。
例7. 已知a 为实数，()()()a x x x f --=42。
求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
解析：（1）()a x ax x x f 4423+--=，∴()423'2--=ax x x f 。
（2）()04231'=-+=-a f ，21=∴a 。
()()()14343'2+-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或34=x ， 则()x f 和()x f '在区间[]2,2-上随x的变化情况如下表：x2-()1,2--1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,134⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 2()x f ' ＋ 0 — 0 ＋ ()x f增函数极大值减函数极小值增函数()291=-f ，275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 。
所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为275034-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，最小值为()291=-f 。
答案：（1）()423'2--=ax x x f ；（2）最大值为275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，最小值为()291=-f 。
点评：本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。
（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
解析： （1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即33ax bx c ax bx c --+=---∴0c =，∵2'()3f x ax b =+的最小值为12-，∴12b =-，又直线670x y --=的斜率为16，因此，'(1)36f a b =+=-，∴2a =，12b =-，0c =． （2）3()212f x x x =-。